答题模板06 导数综合问题有关的4类核心题型（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、函数的凹凸性、拉格朗日中值定理）（方法+题型+实战）2026年高考数学二轮复习讲练测

答题模板06 导数综合问题有关的4类核心题型 （端点效应（必要性探索）、洛必达法则、函数的凹凸性、拉格朗日中值定理） 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 方法二 用洛必达法则的解题技巧 方法三 函数凹凸性解题技巧 方法四 拉格朗日中值定理的解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】端点效应（必要性探索） 【题型02】洛必达法则 【题型03】函数凹凸性 【题型04】拉格朗日中值定理 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 模块说明： 洞察命题意图，明确攻坚方向 1. 考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。 2. 思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值） 高考对导数综合问题的考查，已从常规的单调性、极值、最值讨论，升级为在复杂恒成立、存在性、零点论证及不等式证明等情境下，对方法整合、逻辑严谨性及思维迁移能力的深度检验。试题可能设置初等方法解决但以高等数学思想为背景的问题，以此区分学生的思维层次。 高考中导数综合问题（高阶方法）核心考查三大方向： （1）“先必要后充分”的严谨逻辑链条构建（端点效应）： 当含参不等式恒成立问题中，参数分离困难或分类讨论界点模糊时，考查学生从区间端点、极值可疑点等特殊位置入手，获取参数范围的必要条件，再逆向证明其充分性的辩证思维能力。 价值：避免盲目分类讨论或无效分离，体现“缩小战场、精准打击”的策略性。 （2）借助极限工具处理边界未定式的能力（洛必达法则）： 在分离参数法求最值（或取值范围）时，常遇到函数在临界点（如端点）处无定义或呈“0/0”、“∞/∞”等未定式的情况。考查学生识别未定式结构，并运用（或实质上运用）连续求导确定极限值，从而完善参数范围论证的工具应用能力。 价值：填补初等工具在边界点的应用空白，确保解题过程的完整性。 （3）从整体几何关系转化局部导数的能力（拉格朗日中值定理）： 试题通过设计涉及函数值差、双变量不等式或中值点存在的问题，考查学生是否洞察到问题可转化为寻找一点使其导数等于割线斜率的几何本质。利用该定理，可将双变量（或差值）问题高效转化为单变量导数问题进行论证。 价值：提供将复杂关系化归为熟悉问题的高层视角与转化桥梁，凸显几何直观对代数推理的指导作用。 综上，这些高阶方法的核心考查价值在于：在常规方法陷入困境时，能否调动更具策略性的逻辑（端点效应）、更强大的分析工具（洛必达法则）或更深刻的几何洞察（拉格朗日中值定理）来突破瓶颈，体现了从“解题”到“探究”的思维跃迁。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 对“端点效应”的逻辑误区：误将必要条件当作充要条件 误区：仅通过代入端点得到参数范围后，便直接作为最终答案，缺失对充分性的证明。不理解端点效应只是“缩圈”，最终“清场”仍需利用单调性等工具进行验证。 短板：逻辑的完备性意识薄弱，对“必要性探索”与“充分性证明”的辩证关系理解不透，容易犯以偏概全的错误。 对“洛必达法则”的滥用与形式化理解 误区：不验证是否满足“0/0”或“∞/∞”等使用前提便直接套用；或将其视为“万能公式”， 在常规方法更简单时仍强行使用，使过程繁琐。 短板：对工具适用条件的严谨把握能力不足，以及方法择优的决策能力欠缺。实质上是未能理解洛必达法则解决的是“分离参数后，函数在临界点极限值”这一特定问题。 对“拉格朗日中值定理”的模型识别与构造障碍 误区：无法联想到割线斜率与切线斜率的几何模型，从而找不到运用该定理的切入点。 短板：从代数形式到几何模型的逆向建构能力弱。定理本身简单，但难点在于如何将待证结论主动构造成 (f(b)-f(a))/(b-a) 的形式。 对“函数凹凸性”的性质与图像关联脱节 模块说明： 构建思维框架，提炼通用解法 1.模模块化知识体系：熟记导数综合问题（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、函数的凹凸性、拉格朗日中值定理）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。 2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。 3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。 结论背记 一、二级结论 1. 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区间上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区间上,恒成立,且(或,则或. 2. 洛必达法则 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： 1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 型。 3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 3. 曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 4. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 需要注意的地方（逆命题不成立） 拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于 切线斜率,如在处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0 拉格朗日公式还有下面几种等价形式 ， ， ． 注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，． 技法归纳 方法一 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 在处理“函数 f(x)≥0（或 ≤0）在区间 I 上恒成立”的含参不等式问题时，若区间端点（或极限点）处的函数值为0（或常数），则参数必须满足该点处的导数非负（或非正）条件，此即为必要性条件。通过此条件可迅速缩小参数范围，后续只需验证在此范围内原不等式是否恒成立（充分性）。该方法通过“端点取值→导数符号”建立联系，是求解含参恒成立问题中高效、精准的必要性探路工具。 第一步：确定端点或极限点 明确不等式成立的区间I（如[a,b] 或[a,+∞)）。找到使 f(x) 取等号或极限值为0的特殊点，通常为区间的端点x=a 或 极限点 x→a+。 第二步：利用端点值建立必要条件 若f(a)=0 且 f(x)≥0 在I 上恒成立，则函数在x=a 处不能递减，即： • 若 a 为左端点，则需f′(a)≥0； • 若 a 为右端点，则需f′(a)≤0； • 若I 为开区间(a,b)，可考虑x→a+ 时的极限与导数符号。 注意：此条件为参数必须满足的必要条件，可据此求出参数的可能范围。 第三步：缩小参数范围 根据第二步得到的关于参数的不等式，解出参数的候选范围。此范围通常比直接处理原不等式简单得多。 第四步：验证充分性（关键步骤） 在得到的参数候选范围内，必须验证原不等式是否确实恒成立。常用方法： • 构造新函数g(x)，证明其在 I 上单调递增（或递减）； • 利用导数分析f(x) 在I 上的最小值是否 ≥0。 若验证通过，则候选范围即为最终答案；若不通过，则需调整或结合其他方法。 第五步：综合结论 将必要性与充分性结合，得到参数的精确取值范围 例题1 己知函数。 若在上恒成立，则的取值范围为______ 例题2 已知函数。 若在上 恒成立，则的取值范围为______ 例题3 若对恒成立，则实数m的取值范围是 . 例题4 （全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 方法二 用洛必达法则的解题技巧 洛必达法则是处理“不定型”极限（如 0/0、∞/∞）的强大工具。在高考导数压轴题中，当需要求函数在某点的极限值来确定参数范围或不等式界值时，若直接代入得到不定型，可暗中使用洛必达法则求出极限，作为解题的关键步骤。其核心是“分子分母分别求导，再取极限”，它能够将复杂的极限问题转化为更简单的导数计算。 第一步：识别不定型 判断所求极限是否属于可适用洛必达法则的形式： 满 足或型 函数在的某去心邻域内可导，且。 第二步：应用洛必达法则 对分子和分母分别求导，然后求新分式的极限： 若结果仍为不定型，可重复使用法则，直至得到确定值或河判断的结果。 第三步：结合题意求解或判断 将求得的极限值代入原题情境： 若用于求参数范围，则极限值即为参数的临界值； 若用于不等式证明，则极限值常作为函数最值的参照点。 第四步：严谨表述（高考答题建议） 在高考答题中，尽量避免直接写明“由洛必达法则得”，而应使用以下等效表述： “当x→a 时，f(x)∼…，g(x)∼…” 通过导数的定义或构造辅助函数来合理化极限过程。 关键：逻辑上使用了洛必达的思想，但书写上转化为高中知识可接受的形式 例题5 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 例题6 已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 例题7 恒成立,求的取值范围 例题8 设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 方法三 函数凹凸性解题技巧 方法概述：函数的凹凸性（二阶导数符号）描述了函数图象的弯曲方向。在证明某些涉及函数值平均值与自变量平均值的不等式时，利用凹凸性可直接建立不等式关系。此方法将几何直观（图象形状）转化为代数条件（二阶导正负），适用于处理形如或相反方向的不等式证明问题，是形转数"的典范。 第一步：判断目标不等式的结构 观察所证不等式是否与函数值的算术平均和自变量中点函数值有关。若形如： 则提示可能利用凹函数性质；若不等式方向相反，则可能利用凸函数性质。 第二步：求二阶导数判定凹凸性 对函数求二阶导数 若在区间上, 则f (x )在上为凹函数（或下凸)： 若在区间上, 则在上为凸函数（或上凸) 第三步：应用凹凸性不等式 根据凹凸性直接写出对应的不等式： 凹函数： 凸函数： 此步可直接用于证明原题不等式。 第四步：特殊推广与变形 凹凸性可推广至多个点加权平均的形式。 在高考题中，常见以下变形应用： 证明 结合导数几何意义，判断切线位置与函数值大小关系。 第五步：综合表述与结论 将凹凸性的判断过程与不等式结论清晰表述，完成证明。若题目涉及参数范围，可结合凹凸性条件建立关于参数的不等式 例题9 在，，，这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题10 设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 例题11 已知函数，的导数是. (1)求时，在处的切线方程； (2)当时，求证：对于任意的两个不等的正数，有； (3)对于任意的两个不等的正数，若恒成立，求的取值范围. 方法四 拉格朗日中值定理的解题技巧 拉格朗日中值定理是连接函数值与导数的桥梁，其核心公式为。 在高考中， 它常被用来处理涉及函数值差的不等式证明或求参数范围问题。通过引入中值点, 可将原问题转化为对导数的取值分析，从而简化问题结构。它特别适用于题干中出现与关系的情景，是实现“差商转导数值”的关键转化策略。 第一步：识别结构特征 当题目中出现形如的表达式，或要求证明与和相关的不等式时， 可考虑使用拉格朗日中值定理。 第二步：构造并应用中值定理 对函数在区间(或上应用拉格朗日中值定理，得到： 从而将原不等式或关系式转化为关于的表达式。 第三步：分析导数的取值范围 根据的取值范围，分析在该区间上的最大值、最小值或上下界。 若要证明某个不等式，雲判断在该区间内是否满足相应的不等关系。 第四步：求解参数或完成证明 若为求参数范围问题：根据的取值要求，建立关于参数的不等式，解出取值范围。 若为证明不等式问题：通过对的取值分析，推导出原不等式成立。 第五步：注意事项与拓展 使用前需验证在相应闭区间上连续、开区间内可导的条件。 若题目涉及绝对值，需注意的正负性，必要时进行分类讨论。 例题12 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为:若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（是在处的导数值），其中称为函数在闭区间上的中值点.现在有这样的问题:若函数在区间上的“中值点”个数为，函数（其中为自然对数的底数）在区间上的“中值点”的个数为，则有（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 例题13 用拉格朗日中值定理证明不等式：． 例题14 已知，， (1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间； (2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于． 模块说明： 聚焦前沿题型，靶向提升解题能力 1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。 2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。 题型01 端点效应（必要性探索）（共4题） 1．求k的最大整数值. 2．是否存在正整数，使得对一切恒成立，试求出的最大值. 3．已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 4．已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 题型02洛必达法则（共5题） 5．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．，恒成立，求的取值范围 7．已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 8．已知函数．当时，求的取值范围． 9．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 题型03函数凹凸性（共2题） 10．如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（   ） A． B． C． D． 11．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)求证：对任意的正实数，，有. 题型04拉格朗日中值定理（共3题） 12．已知函数，，，，求证：． 13．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 14．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. (1)已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. (2)已知函数有两个零点，记作，若，证明： 模块说明： 答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题 1．求使得在上恒成立的最小整数 2．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 3．函数， （1），求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）令函数，求证：. 4．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   5．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 6．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 7．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 8．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围． 9．已知数列满足，，满足，满足． (1)求数列的通项公式． (2)试比较与的大小，并说明理由． (3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 10．记函数 ； (1)求函数 的极值点个数； (2)记函数 的极值点为 ，证明： ① ； ②数列 单调递减． (提示： 时， ) 11．设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数． (1)判断函数在上的凹凸性，并说明理由； (2)若函数为上的凹函数，求的取值范围． 12．设，证明： ． 13．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它的表述如下： 若函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，则存在，使得. (1)若，，，求满足的实数的值. (2)运用拉格朗日中值定理求解以下问题： （ⅰ）对任意的且，证明不等式. （ⅱ）已知函数，对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.（结果保留3位小数） 参考数据：，，，. 14．“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件：①在区间上的图象是连续的；②在区间上可导，则在区间上至少存在一个实数，使得成立．已知函数． (1)，且，若恒成立，求的取值范围； (2)当时，是否存在区间，使？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由； (3)当时，设的两个极值点为，，且，证明：． 15．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理． (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明； (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 答题模板06 导数综合问题有关的4类核心题型 （端点效应（必要性探索）、洛必达法则、函数的凹凸性、拉格朗日中值定理） 目录 第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向 第二部分 方法建模 构建方法体系，提供通用工具 【结论背记清单】 方法一 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 方法二 用洛必达法则的解题技巧 方法三 函数凹凸性解题技巧 方法四 拉格朗日中值定理的解题技巧 第三部分 题型专攻 实施靶向训练，提升应试效率。 【题型01】端点效应（必要性探索） 【题型02】洛必达法则 【题型03】函数凹凸性 【题型04】拉格朗日中值定理 第四部分 答题实战 检验学习成效，锤炼应用能力 模块说明： 洞察命题意图，明确攻坚方向 1. 考向聚焦：精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值。 2. 思维瓶颈：精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板。 1. 考向聚焦（精炼概括本专题在高考中的核心考查方向与价值） 高考对导数综合问题的考查，已从常规的单调性、极值、最值讨论，升级为在复杂恒成立、存在性、零点论证及不等式证明等情境下，对方法整合、逻辑严谨性及思维迁移能力的深度检验。试题可能设置初等方法解决但以高等数学思想为背景的问题，以此区分学生的思维层次。 高考中导数综合问题（高阶方法）核心考查三大方向： （1）“先必要后充分”的严谨逻辑链条构建（端点效应）： 当含参不等式恒成立问题中，参数分离困难或分类讨论界点模糊时，考查学生从区间端点、极值可疑点等特殊位置入手，获取参数范围的必要条件，再逆向证明其充分性的辩证思维能力。 价值：避免盲目分类讨论或无效分离，体现“缩小战场、精准打击”的策略性。 （2）借助极限工具处理边界未定式的能力（洛必达法则）： 在分离参数法求最值（或取值范围）时，常遇到函数在临界点（如端点）处无定义或呈“0/0”、“∞/∞”等未定式的情况。考查学生识别未定式结构，并运用（或实质上运用）连续求导确定极限值，从而完善参数范围论证的工具应用能力。 价值：填补初等工具在边界点的应用空白，确保解题过程的完整性。 （3）从整体几何关系转化局部导数的能力（拉格朗日中值定理）： 试题通过设计涉及函数值差、双变量不等式或中值点存在的问题，考查学生是否洞察到问题可转化为寻找一点使其导数等于割线斜率的几何本质。利用该定理，可将双变量（或差值）问题高效转化为单变量导数问题进行论证。 价值：提供将复杂关系化归为熟悉问题的高层视角与转化桥梁，凸显几何直观对代数推理的指导作用。 综上，这些高阶方法的核心考查价值在于：在常规方法陷入困境时，能否调动更具策略性的逻辑（端点效应）、更强大的分析工具（洛必达法则）或更深刻的几何洞察（拉格朗日中值定理）来突破瓶颈，体现了从“解题”到“探究”的思维跃迁。 2. 思维瓶颈（精准诊断学生在此类题目上的高阶思维误区与能力短板） 对“端点效应”的逻辑误区：误将必要条件当作充要条件 误区：仅通过代入端点得到参数范围后，便直接作为最终答案，缺失对充分性的证明。不理解端点效应只是“缩圈”，最终“清场”仍需利用单调性等工具进行验证。 短板：逻辑的完备性意识薄弱，对“必要性探索”与“充分性证明”的辩证关系理解不透，容易犯以偏概全的错误。 对“洛必达法则”的滥用与形式化理解 误区：不验证是否满足“0/0”或“∞/∞”等使用前提便直接套用；或将其视为“万能公式”， 在常规方法更简单时仍强行使用，使过程繁琐。 短板：对工具适用条件的严谨把握能力不足，以及方法择优的决策能力欠缺。实质上是未能理解洛必达法则解决的是“分离参数后，函数在临界点极限值”这一特定问题。 对“拉格朗日中值定理”的模型识别与构造障碍 误区：无法联想到割线斜率与切线斜率的几何模型，从而找不到运用该定理的切入点。 短板：从代数形式到几何模型的逆向建构能力弱。定理本身简单，但难点在于如何将待证结论主动构造成 (f(b)-f(a))/(b-a) 的形式。 对“函数凹凸性”的性质与图像关联脱节 模块说明： 构建思维框架，提炼通用解法 1.模模块化知识体系：熟记导数综合问题（端点效应（必要性探索）、洛必达法则、函数的凹凸性、拉格朗日中值定理）的相关知识内容，形成清晰的解题思维基础逻辑，便于快速定位解题切入点。 2.通用解法模板化：针对高频题型，总结“审题-建模-推导-验证”法，规范解题流程，减少思维漏洞，提升答题效率。 3.易错点专项突破：整理常见误区，设计针对性训练题，通过对比正确与错误解法，强化对知识边界的理解，避免重复犯错。 结论背记 一、二级结论 1. 端点效应的类型 1.如果函数在区间上,恒成立,则或. 2.如果函数在区间上,恒成立,且(或),则或. 3.如果函数在区间上,恒成立,且(或,则或. 2. 洛必达法则 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： 1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 型。 3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 3. 曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 4. 拉格朗日（Lagrange）中值定理 若函数f（x）满足如下条件： （1）f（x）在闭区间[a，b]上连续； （2）f（x）在开区间（a，b）内可导． 则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得． 拉格朗日中值定理的几何意义 如图所示，在满足定理条件的曲线上至少存在一点P（ξ，f（ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线． 需要注意的地方（逆命题不成立） 拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于 切线斜率,如在处的切线斜率为0,但不存在割线使割线斜率等于0 拉格朗日公式还有下面几种等价形式 ， ， ． 注：拉格朗日公式无论对于还是都成立，而ξ则是介于a与b之间的某一常数．显然，当时，． 技法归纳 方法一 用端点效应（必要性探索）的解题技巧 在处理“函数 f(x)≥0（或 ≤0）在区间 I 上恒成立”的含参不等式问题时，若区间端点（或极限点）处的函数值为0（或常数），则参数必须满足该点处的导数非负（或非正）条件，此即为必要性条件。通过此条件可迅速缩小参数范围，后续只需验证在此范围内原不等式是否恒成立（充分性）。该方法通过“端点取值→导数符号”建立联系，是求解含参恒成立问题中高效、精准的必要性探路工具。 第一步：确定端点或极限点 明确不等式成立的区间I（如[a,b] 或[a,+∞)）。找到使 f(x) 取等号或极限值为0的特殊点，通常为区间的端点x=a 或 极限点 x→a+。 第二步：利用端点值建立必要条件 若f(a)=0 且 f(x)≥0 在I 上恒成立，则函数在x=a 处不能递减，即： • 若 a 为左端点，则需f′(a)≥0； • 若 a 为右端点，则需f′(a)≤0； • 若I 为开区间(a,b)，可考虑x→a+ 时的极限与导数符号。 注意：此条件为参数必须满足的必要条件，可据此求出参数的可能范围。 第三步：缩小参数范围 根据第二步得到的关于参数的不等式，解出参数的候选范围。此范围通常比直接处理原不等式简单得多。 第四步：验证充分性（关键步骤） 在得到的参数候选范围内，必须验证原不等式是否确实恒成立。常用方法： • 构造新函数g(x)，证明其在 I 上单调递增（或递减）； • 利用导数分析f(x) 在I 上的最小值是否 ≥0。 若验证通过，则候选范围即为最终答案；若不通过，则需调整或结合其他方法。 第五步：综合结论 将必要性与充分性结合，得到参数的精确取值范围 例题1 己知函数。 若在上恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由题意可知，需保证在上的最小值非负。利用导数研究函数单调性，分类讨论参数的取值范围。 【方法一】常规导数法 求导得 令, 解得。 1.当时，。对任意, 有, 故在上单调递增。所以, 符合题意。 2.当时，。 在上，, 函数单调递减： 在上, 函数单调递增。 故在处取得极小值，也是最小值： 令, 则, 所以在上单调递减，故,即, 不符合题意。 综上所述，的取值范围是。 【方法二】端点效应 先证必要性：因为在上恒成立，且, 所以必须有。 计算得, 故, 解得。 结合已知, 得。 再验证充分性：当时，对任意, 利用不等式(当时等号仅在处成立)， 有恒成立。 故的取值范围为。 例题2 已知函数。 若在上 恒成立，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】函数在处值为零，需保证其在整个区间上最小值非负。通过导数分析单调性，分类讨论参数。 【方法一】常规导数法 求导得 通分： 令分子为, 其判别式 1.当时，, 且二次项系数为正，故恒成立。 从而在上单调递增。 所以, 符合题意。 2.当时，有两个实根。 由于, 两根之积为, 故一根为负，一根为正。 设正根为, 则当时，, 即; 当时，, 即。 因此在上递减，在上递增，在处取得极小值（也是最小值）。 需验证是否成立。 取, 计算得, 可知当时，最小值可能为负，不符合题意。 实际上，可进一步证明当时 综上所述，的取值范围是。 【方法二】端点效应 因为在上恒成立，且, 所以必须有。 计算得 解得。 结合已知, 得。 再验证充分性：当时，由方法一知, 故在上单调递增，从而, 恒成立。 因此的取值范围为。 例题3 若对恒成立，则实数m的取值范围是 . 因为对恒成立， 即对恒成立， 记，， 因为，欲在恒成立，则要在单调递增 即在恒成立，则，解得， 再证明充分性，当，能否有对恒成立（证明略） 综上可得，即 例题4 （全国·统考高考真题）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 思路详解：【法一】端点效应一 令 ，得 ，且 在 上恒成立 画出草图 根据端点效应, 需要满足 ，而 则 , 令 , 得 当 时, 由于 , 只需证 即可 而 含有参数 , 故可对 进行放缩 即 令 , 其中 设 则 令 则 , 故 在 上递减, 得 则 , 得 在 上单调递增, 则 即 , 满足 成立 当 时， 故存在 , 使得在 上 , 所以 在 上单调递增, 则 , 不成立 特上所述: . 【法二】端点效应二 (2) 由于 , 且 , 注意到当 , 即 时, 使 在 成立, 故此时 单调递减 , 不成立. 另一方面, 当 时, , 下证它小于等于 0 . 单调递减, . 特上所述: . 【法三】设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 方法二 用洛必达法则的解题技巧 洛必达法则是处理“不定型”极限（如 0/0、∞/∞）的强大工具。在高考导数压轴题中，当需要求函数在某点的极限值来确定参数范围或不等式界值时，若直接代入得到不定型，可暗中使用洛必达法则求出极限，作为解题的关键步骤。其核心是“分子分母分别求导，再取极限”，它能够将复杂的极限问题转化为更简单的导数计算。 第一步：识别不定型 判断所求极限是否属于可适用洛必达法则的形式： 满 足或型 函数在的某去心邻域内可导，且。 第二步：应用洛必达法则 对分子和分母分别求导，然后求新分式的极限： 若结果仍为不定型，可重复使用法则，直至得到确定值或河判断的结果。 第三步：结合题意求解或判断 将求得的极限值代入原题情境： 若用于求参数范围，则极限值即为参数的临界值； 若用于不等式证明，则极限值常作为函数最值的参照点。 第四步：严谨表述（高考答题建议） 在高考答题中，尽量避免直接写明“由洛必达法则得”，而应使用以下等效表述： “当x→a 时，f(x)∼…，g(x)∼…” 通过导数的定义或构造辅助函数来合理化极限过程。 关键：逻辑上使用了洛必达的思想，但书写上转化为高中知识可接受的形式 例题5 1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 例题6 已知函数，.若当时，恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】按分段讨论，在时分离参数构造函数，利用导数探讨单调性，再利用洛必达法则求解即得. 【详解】当时，，不等式成立； 当时，，令，依题意，， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，则，即， 函数在上单调递增，由洛必达法则知， 因此恒成立，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 例题7 恒成立,求的取值范围 【答案】 【分析】常数分离得，判断的单调性并用罗比塔法则求其最小值. 【详解】， 记，， 则， 记， 则， 而， 所以,在单调递增,所以， 所以,在单调递增,所以， 即在上,所以在上单调递增， 所以， 所以. 例题8 设函数， (1)若，（为常数），求的解析式； (2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，求解； （2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 解得， 所以； （2）由（1）可知，时，，此时，； 故时，成立时，成立， 对恒成立， 即对恒成立； 记，则， 记，则， 记 ，则 ， ∴当0时，，在上单调递增； ， 所以在上单调递增；； ∴时，0，即在上单调递增； 记，， 当时，，符合洛必达法则条件， ∴， ∴时，， ∴． 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解. 方法三 函数凹凸性解题技巧 方法概述：函数的凹凸性（二阶导数符号）描述了函数图象的弯曲方向。在证明某些涉及函数值平均值与自变量平均值的不等式时，利用凹凸性可直接建立不等式关系。此方法将几何直观（图象形状）转化为代数条件（二阶导正负），适用于处理形如或相反方向的不等式证明问题，是形转数"的典范。 第一步：判断目标不等式的结构 观察所证不等式是否与函数值的算术平均和自变量中点函数值有关。若形如： 则提示可能利用凹函数性质；若不等式方向相反，则可能利用凸函数性质。 第二步：求二阶导数判定凹凸性 对函数求二阶导数 若在区间上, 则f (x )在上为凹函数（或下凸)： 若在区间上, 则在上为凸函数（或上凸) 第三步：应用凹凸性不等式 根据凹凸性直接写出对应的不等式： 凹函数： 凸函数： 此步可直接用于证明原题不等式。 第四步：特殊推广与变形 凹凸性可推广至多个点加权平均的形式。 在高考题中，常见以下变形应用： 证明 结合导数几何意义，判断切线位置与函数值大小关系。 第五步：综合表述与结论 将凹凸性的判断过程与不等式结论清晰表述，完成证明。若题目涉及参数范围，可结合凹凸性条件建立关于参数的不等式 例题9 在，，，这四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先理解的几何意义，再根据所给的函数图像对号入座. 【详解】由知为凸函数，如图：    对于图像如图：    显然是凸函数符合题意； 对于，函数图像如图：    当时也是凸函数符合题意； 对于的函数图像如图：    是凹函数不符合题意； 故选：C. 例题10 设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C． 【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性． 例题11 已知函数，的导数是. (1)求时，在处的切线方程； (2)当时，求证：对于任意的两个不等的正数，有； (3)对于任意的两个不等的正数，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）通过证明，，来证得. （3）将不等式分离常数，结合基本不等式、构造函数法以及导数来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，，， ，又切点， 切线方程，即. （2）由， 得 ， ， 由基本不等式得① ，② ，，，③， 由①②③得， 即. （3）由得， 所以 ， ， 即对于任意的两个不等的正数，恒成立， 即证恒成立，因为， 故恒成立， 设，， ，在上递增， 由解得， 所以在区间递减；在区间递增. 所以时，， 故所求的取值范围是. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，题中巧妙地用到了基本不等式并结合综合法来证明不等式成立.求解不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，结合导数来求解. 方法四 拉格朗日中值定理的解题技巧 拉格朗日中值定理是连接函数值与导数的桥梁，其核心公式为。 在高考中， 它常被用来处理涉及函数值差的不等式证明或求参数范围问题。通过引入中值点, 可将原问题转化为对导数的取值分析，从而简化问题结构。它特别适用于题干中出现与关系的情景，是实现“差商转导数值”的关键转化策略。 第一步：识别结构特征 当题目中出现形如的表达式，或要求证明与和相关的不等式时， 可考虑使用拉格朗日中值定理。 第二步：构造并应用中值定理 对函数在区间(或上应用拉格朗日中值定理，得到： 从而将原不等式或关系式转化为关于的表达式。 第三步：分析导数的取值范围 根据的取值范围，分析在该区间上的最大值、最小值或上下界。 若要证明某个不等式，雲判断在该区间内是否满足相应的不等关系。 第四步：求解参数或完成证明 若为求参数范围问题：根据的取值要求，建立关于参数的不等式，解出取值范围。 若为证明不等式问题：通过对的取值分析，推导出原不等式成立。 第五步：注意事项与拓展 使用前需验证在相应闭区间上连续、开区间内可导的条件。 若题目涉及绝对值，需注意的正负性，必要时进行分类讨论。 例题12 拉格朗日中值定理是微分学里的关键定理，具体内容为:若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得（是在处的导数值），其中称为函数在闭区间上的中值点.现在有这样的问题:若函数在区间上的“中值点”个数为，函数（其中为自然对数的底数）在区间上的“中值点”的个数为，则有（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】利用拉格朗日中值定理建立方程，再结合导数求出方程解的个数即可. 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，求导得， 则，因此，而，则方程有唯一解，即； 设函数在上的“中值点”为，求导得， 于是，即，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 因此函数在上有唯一零点，即方程在上有唯一解，则， 所以. 故选：B 例题13 用拉格朗日中值定理证明不等式：． 【答案】证明见解析 【分析】令，，则符合拉格朗日中值定理的条件，即存在，使，由的性质，令，即可证得结果. 【详解】证明：设，，则符合拉格朗日中值定理的条件， 即存在，使， 因为，由，， 可知，，， 即， 可得， 即有， 令，可得， 即有． 例题14 已知，， (1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间； (2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于． 【答案】(1)，和 (2)证明见解析 【分析】（1）利用极值的性质求得，再利用导数与函数单调性的关系即可得解； （2）利用导数的几何意义猜想拉格朗日中值定理，再利用导数的运算，结合基本不等式即可得证. 【详解】（1）因为，则， 依题意，有，即． 所以，， 令，得或， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以满足题意，同时，的单调增区间为和； （2）猜想如下： 因为表示的两端点连线的斜率， 而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即， 所以一定定存在，使得； 证明如下： 因为， 则． 由猜想可知，对于函数图象上任意两点， 在之间一定存在一点，使得， 又，故有. 模块说明： 聚焦前沿题型，靶向提升解题能力 1.精选各省市最新模拟题，确保训练内容紧密贴合当前考查方向与命题动态，帮助学生把握前沿考点。 2.按题型进行系统分类与专项训练，使学生能够集中突破特定题型，深度掌握其核心解题思路与技巧。 题型01 端点效应（必要性探索）（共4题） 1．求k的最大整数值. 【答案】 【分析】根据题意，利用求导求出的取值范围便可求得k的最大整数值. 【详解】解: 令 可知，令，则 当时， 即在上单调递增 ,使得 在上单调递减，在上单调递增 故在有，且 ，且取最大整数 故的最大整数值为. 2．是否存在正整数，使得对一切恒成立，试求出的最大值. 【答案】存在，2. 【分析】由对一切恒成立，则当可得，可知仅可取1，2，证明当时，将不等式转化为对一切恒成立，设，求导并利用导数研究函数的单调和最值，从而得出，即可得出当时，不等式恒成立，从而可知的最大值为2. 【详解】解：易知对一切恒成立， 当可得，而为正整数，则仅可取1，2， 当时，，即， 下面证明当时不等式对一切恒成立， 设，则， 对于函数，则，当时，， 所以在单调递增，故，则， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 当时，不等式恒成立，所以最大值为2. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，从而求出参数值，解题的关键在于将代入不等式后可知仅可取1，2，进而将不等式恒成立问题转化为不等式证明问题，再通过构造新函数和利用导数研究函数的单调性和最值，从而解决不等式恒成立问题，考查学生转化和化归思想. 3．已知函数 （1）若函数与有公共点，求的取值范围； （2）若不等式恒成立，求整数的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【分析】（1）由，可得，函数与有公共点，即有解，设，求导数，求出函数的值域即可. （2）不等式恒成立,即恒成立,当时，成立，解得，故再验证时，不等式成立即可得出答案. 【详解】解：（1）令，即，则， 函数与有公共点，即有解. 令，则. 令， 当时，，所以，当时，，所以 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以且当时， 所以. （2）不等式恒成立,即恒成立. 则时，成立，解得， 由题意求满足条件的整数最小值,下面验证是否满足题意. 当时，令，且在上单调递增. 又，可知存在唯一的正数，使得， 即， 则在上单调递减，在上单调递增.所以， 即当时，不等式成立. 故整数的最小值为 【点睛】关键点睛：本题考查根据两函数图像有公共点求参数范围和不等式恒成立求参数范围，解答本题的关键是先根据时，不等式成立，求处一个参数的范围，然后根据题目要求再验证满足条件，从而得出答案. 属于中档题. 4．已知，，． （1）若，证明：； （2）对任意都有，求整数的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【分析】（1）利用二次求导求得存在唯一零点，使得，在上恒成立上可以证明在定义域上的单调性，可知，便可证明结论. （2）先判断整数可知，接着证明 在区间上恒成立即可可出结论. 【详解】解： （1）证明：设，，则． 因为，且 则在，单调递减，， 所以存在唯一零点，使得 则在时单调递增，在上单调递减 又， 所以在上恒成立上，所以在单调递增 则，即， 所以． （2）因为对任意的， 即恒成立 令，则 由（1）知，所以 由于为整数，则 因此 下面证明，在区间上恒成立即可. 由（1）知，则 故 设，，则， 所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立. 综上所述, 的最大值为2． 题型02洛必达法则（共5题） 5．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据洛必达法则求解即可. 【详解】. 故选：B 6．，恒成立，求的取值范围 【答案】 【分析】根据题意，先讨论的情况，然后讨论的情况，分离参数，利用导数求其最值，即可得到结果. 【详解】当时，; 当时，不等式可化为. 记， 则， 记，则， 当时，则; 当时，则. 因为，并且，所以. 这时符合题意. 综上可知，的取值范围是. 7．已知函数，当时，，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】考虑和两种情况，参变分离，构造函数，求导得到其单调性，得到，结合洛必达法则求出答案. 【详解】当时，，即， ①当时，，， ②当时，等价于， 即， 令，，则， 记，， 则，因此在上单调递增， 且，所以， 从而在上单调递增， 所以， 由洛必达法则得， 即，. 综上所述，实数a的取值范围为. 8．已知函数．当时，求的取值范围． 【答案】 【分析】分离参数，构造新函数，及，判定其导函数的符号结合洛必达法则计算即可. 【详解】由题意可知，当时，即等价于． 设，则 设，则，因为，所以， 即当时，，所以在上单调递减， 当时，，当时，满足洛必达法则， 所以， 即当时，的取值范围是． 9．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数和满足下列条件： ①， ②在点a的去心邻域内与可导，且 ③，那么据此回答下面问题： (1)求的值，并用导数的定义证明： (2)已知 （i）求函数的单调递减区间; （ii）若对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)1，证明见解析 (2)（i）,；（ii） 【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可. 【详解】（1）， 依据导数的定义： （2）（i）因为，定义域为R， 所以， 令，解之得：， 所以的单调递减区间为， （ii）因为对任意恒成立，且当时，不等式显然成立， 所以，当时，原式可转化为恒成立， 令，即， 因为， 令， ， 当时，， ，在上单调递减， 所以， 即时， 所以在上单调递减， ， 所以， 当时， 因为， 所以， 所以， 所以， 综上可知：实数a的取值范围为 【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 题型03函数凹凸性（共2题） 10．如图所示，是定义在上的四个函数，其中满足性质：“对中任意的和，任意恒成立”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项. 【详解】对中任意的和，任意恒成立”，所以函数是下凹函数， 令，则恒成立， 所以在时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D， 当等号成立时，选项C满足题意，因此满足题意的是A，C. 故选：AC 11．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)求证：对任意的正实数，，有. 【答案】(1)单调减区间为，单调增区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）通过构造函数求导函数的单调性，即可求出时，函数的单调区间； （2）分别写出和的表达式，通过比较各项的大小即可得出二者的大小关系. 【详解】（1）由题意，， 在中，， 设，则， 当时， ，，， 令，解得. ∵， ∴函数在上单调递增， ∴当时，；当时，. ∴的单调减区间为，单调增区间为. （2）由题意及（1）得， 在中， 对任意的正实数，有 ， . ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴，即. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛，本题考查函数的单调性，构造函数，凸函数的定义，考查学生对函数几何意义的理解，具有很强的综合性. 题型04拉格朗日中值定理（共3题） 12．已知函数，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据的式子结构特点，想到可以借助拉格朗日中值定理将转化为求函数的导函数的最大值问题，即只需求的最值即可，利用导数研究函数的极值与最值，从而得证. 【详解】证明：根据题意，不妨设，由拉格朗日中值定理知，, ，使得, 因此要证明，只要证明在区间内恒成立即可， 因为，所以． 令，则． 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减． 所以，所以， 所以． 13．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由柯西中值定理可得对，，，结合的单调性即可求解； （2）取，，由柯西中值定理，成立，设，利用导函数求解的最大值即可得. 【详解】（1）由题， 由柯西中值定理知：对，， 使得，， 又在上单调递增，则， 则，即， 所以， 故在上为增函数； （2）， 取，， 因为，所以由柯西中值定理，， 使得， 由题则有：， 设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的. 14．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”. (1)已知且， （i）若恒成立，求实数的取值范围； （ii）当时，求证：. (2)已知函数有两个零点，记作，若，证明： 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）法一：构造函数，利用函数单调递增，则在上恒成立，然后转化为分离参数求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中值定理知，恒成立 ，使得，将问题转化为恒成立，在对其进行求解即可； （ii）将，再结合拉格朗日中值定理进行证明即可； （2）由函数有两个零点，转化为方程有2个根，构造函数，然后求导借助函数的单调性和最值确定两个零点的范围，即可求解. 【详解】（1）（i）解：法一：由，且化简得，即， 令，可知在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，显然在上单调递减， 所以，即，故实数的取值范围为. 法二：由拉格朗日中值定理可知，，使得， 故问题转化为恒成立. 又，则恒成立，即恒成立， 因为， 故令，显然在上单调递减， 所以，所以，故实数的取值范围为. （ii）证明：要证，即证， 即证， 又， 由拉格朗日中值定理可知，存在， ， . 由题意知，当时，在上单调递增， 则，故， 即，所以命题得证. （2）函数有两个零点，即方程有两个根，即方程有2个根. 令， 所以在上单调递增，且，即方程有2个根，且这两根即为方程的根， 所以，则，则由，得， 所以，则， 要证，即证， 又，令， 令， 又，所以，故在上单调递增， 所以， 所以，故在上单调递减，所以， 即， 即，所以不等式得证. 【点睛】关键点点睛： （1）对于第一问和第二问关键是理解拉格朗日中值定理，借助定义进行求解即可； （2）第三问是函数“隐零点”问题，解决这类题的方法是对零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目中的条件解决问题. 模块说明： 答题强化训练，实现能力跃迁。模块题量适中，全部选用最新高质量模拟题，侧重对方法模型的直接应用与巩固。题量15题 1．求使得在上恒成立的最小整数 【答案】 【分析】根据题意可知是的必要条件，由此解得最小整数后证明即可. 【详解】解:由题意得： 令，则必有成立，此时解得，即符合条件 下证时，恒成立 令，则 在时单调递增，，即 由 故使得在上恒成立的最小整数为1. 2．已知函数(其中为自然对数的底数). （1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）代入的值，求出函数的导数，结合函数的单调性证明即可； （2）求出，，，得到，得到，再根据得到结论成立即可确定的取值范围． 【详解】解：（1）证明：时，，， 设，则，令，解得：， 故在区间上单调递减，在上单调递增， 故的最小值是，即对任意恒成立， 故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于； （2）先证对任意，，， 令，，令，解得：， 故在区间递增，在递减， 故，故， 令，，， 令，解得：， 故在区间递减，在区间递增， 故，故，递增， 故，故，，， 对于任意，恒成立， ，故， 当时， ， 即对于任意的，恒成立， 综上：的取值范围是. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．函数， （1），求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）令函数，求证：. 【答案】（1）单调减区间为，；单调增区间为，.（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，判断与，即可得单调区间；（2）将不等式转化为恒成立，然后构造新函数，根据不等式恒成立列不等式组求解，代入构造新函数，然后分类讨论证明；（3）利用（2）的结论，可得，令，，，，2，…，8，代入，即可证明不等式. 【详解】（1），， 当，时，， 当，时，， 所以，的单调递增区间是，. 的单调递减区间是，. （2）不等式恒成立等价于在上恒成立， 令，则由可得， ∵可以看作是关于的一次函数，单调递增， ∴令， 对于，，恒成立. 只需证明即可. ①当，， 则，在上单调递减，又， 所以此时恒成立. ②当时，恒成立，所以在上单调递增，又，所以此时恒成立. ③当时，单调递增， ，，所以在上存在唯一的，使得， 当时，，当时，， 所以在时单调递减，在时单调递增. ∴，， ∴恒成立，故恒成立， ∴. （3）由（2）可知 令，，，，2，…，8， 可得到， 从而， 即得证. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用． 4．函数的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据正切函数的定义域可排除AC，再利用洛必达法则即可排除D. 【详解】因为当时，该函数无意义，故排除AC选项， 根据洛必达法则知，故D错误 故选：B. 5．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先判断函数的单调性，并根据不等式转化为，利用参变分离的方法，转化为求函数的最值问题. 【详解】设函数，则， 所以是奇函数，且时，单调递增， 则单调递增，且， 所以， 即，，则不等式恒成立，， 设，， 设，，， 所以在上单调递增，， 所以恒成立，则恒成立， 则在上单调递增， ，根据洛必达法则可知，. 故答案为： 6．已知函数，如果当，且时，，求的取值范围． 【答案】 【分析】将题意转化为，令，利用洛必达法则求出，即可得出答案. 【详解】根据题目的条件，当且时， 得，等价于． 设，， 因为，设， 则， 所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即在上单调递减，当在上单调递增． 当趋近时，趋近，当趋近时，趋近， 所以符合洛必达法则的条件， 即， 所以当时， 所以的取值范围是． 7．已知函数，.若对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题意可得，分、、三种情况，结合洛必达法则求解即可. 【详解】因为对任意，不等式恒成立， 即在内恒成立， 即在内恒成立， ①当时，，不等式成立； ②当时，，不等式成立； ③当时，即， 令， 则 ， 所以在内单调递增， 由洛必达法则得， 所以，故的取值范围是. 8．已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由题意分离参数可得，令，对求导，求出的单调性结合洛必达法则求出的最大值. 【详解】∵，∴． ∴当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增． 若当时，恒有成立，即恒有成立． 当时，不等式恒成立． 当时，恒有成立， 即，令， 则． 令，则，进一步， ∴ 在上单调递减，∴． ∴在上单调递减，∴． 即在上恒成立，∴在上单调递减． ∴，∴． 综上，的取值范围为． 9．已知数列满足，，满足，满足． (1)求数列的通项公式． (2)试比较与的大小，并说明理由． (3)是否能小于等于一个常数？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)，当且仅当时取等号，理由见解析 (3)能， 【分析】（1）对条件中的递推关系取倒数，得到是等差数列，从而得到通项，再得到的通项； （2）构造函数，求导可得，即，累加即可得证； （3）由题意可知，不妨设，令，得，求导结合洛必达法则求解即可. 【详解】（1）依题意得：， 所以是等差数列， 首项，公差， 所以，从而； （2）由（1）得， 构造函数，则 当时，，所以函数在区间上单调递增， 当时，，所以函数在区间上单调递减， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号，即， 累加即得，当且仅当时取等号； （3），， 不妨设，令， 则，， 令，由，得，在上单调递增， 由洛必达法则得，从而，所以． 10．记函数 ； (1)求函数 的极值点个数； (2)记函数 的极值点为 ，证明： ① ； ②数列 单调递减． (提示： 时， ) 【答案】(1)存在唯一极小值点，无极大值点； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）首先得到，在时，通过二次求导并结合零点存在性定理即可得到其极值点个数； （2）①等价转化为证明，设，转化为证明，，再设新函数并求导，再结合零点存在性定理和洛必达法则求证即可； ②转化为证明，首先求得，再代入计算，通过因式分解即可证明. 【详解】（1）由提示知，，显然不是其极值点， 故，， 令,， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，且代入，此时， 故存在，有， 且时，，且时，(不恒为零）， 从而在上单调递减，上单调递增， 故存在唯一极小值点，无极大值点. （2）①由（1）可知，为唯一的极值点，且为极小值点， 由单调性和正负性可知，等价于， 又，只需证， 即证，令， 只用证，， 令， 易知在单调递减，且， 则存在，有，且时，，时，， 故在单调递增，在单调递减，又， 且由洛必达法则，， 故时，，即，，证毕； ②由（1）可知，，故单调递减只需证， 即证：， 由，则有， 代入有： ， 因为，则，若， 只需：， 关注到因式分解，有：， 只需， 由前可知，，证毕． 11．设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数． (1)判断函数在上的凹凸性，并说明理由； (2)若函数为上的凹函数，求的取值范围． 【答案】(1)在上为凸函数，理由见解析 (2)． 【分析】（1）由题意求导判断即可； （2）由题意可得恒成立，根据导数计算即可. 【详解】（1）因为在上为增函数，所以在上为凹函数， ，设，则， 当时，， ，则在上为减函数， 所以在上为凸函数． （2）， 设为的导函数，则对恒成立． 则． 当时，（不恒成立），单调递减； 当时，（不恒成立），单调递增． 所以， 所以，解得，故的取值范围是． 12．设，证明： ． 【答案】证明见解析 【分析】构造函数，借助拉格朗日中值定理，即可得证. 【详解】证明： 设，，显然在满足拉格朗日中值定理的条件， 则，使得， 而，所以． 由知在上单调递增， 从而有 即有. 13．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它的表述如下： 若函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，则存在，使得. (1)若，，，求满足的实数的值. (2)运用拉格朗日中值定理求解以下问题： （ⅰ）对任意的且，证明不等式. （ⅱ）已知函数，对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.（结果保留3位小数） 参考数据：，，，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）求，利用拉格朗日中值定理建立关于的方程，求的值； （2）（ⅰ）构造函数（且），求，分，两种情况分别进行证明即可；（ⅱ）将问题转化为对任意的，，恒成立，构造函数，讨论函数在上的单调性，从而求解的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以由得，解得， 故实数的值为1. （2）（ⅰ）设（且），则， 当时，由拉格朗日中值定理得，存在，使得，即， 因为，所以，从而有，即， 当时，由拉格朗日中值定理得，存在，使得，即， 因为，所以，从而有，即. 综上，对任意的且，不等式成立. （ⅱ）任意的，，恒成立， 等价于任意的，，恒成立， 不妨设，由拉格朗日中值定理得，存在，使得， 由的任意性，可知，恒成立， 易知，令， 则， 易知函数在上单调递减，，， 由零点存在定理知，存在，使得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，即取得最大值， 最大值为， 又，， 所以， 所以，即或， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 14．“拉格朗日中值定理”是法国数学家拉格朗日在其著作《解析函数论》中给出的，其内容为若函数满足如下条件：①在区间上的图象是连续的；②在区间上可导，则在区间上至少存在一个实数，使得成立．已知函数． (1)，且，若恒成立，求的取值范围； (2)当时，是否存在区间，使？若存在，写出证明过程；若不存在，说明理由； (3)当时，设的两个极值点为，，且，证明：． 【答案】(1) (2)存在，证明过程见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用拉格朗日中值定理转化为要求对所有成立. 然后利用导数分析，可得答案； （2）方法一：题设不等式等价变形为 由拉格朗日中值定理进行等价转化为只需证明在区间上单调递增，然后利用导数进行分析求解；方法二：分析函数的凹凸性，利用数形结合分析得到结论； （3）当时，有两个极值点（）.利用导数分析可得到.由得和.两式相减得.作换元，可得，经分析可知要证明的结论等价于证明. 构造函数利用导数可以证明对于恒成立，，整理得：，最后转化为证明，至此在构造函数，利用导数逐次分析可以证得待证不等式. 【详解】（1）由题意，对于任意，有，等价于. 根据拉格朗日中值定理，存在使得. 因此，要求对所有成立. 整理得. 设函数，则. 在内，单调递增，在内，单调递减. . 故； （2）当时，函数. 验证是否存在区间（）使得. 方法一：不等式等价于. 由拉格朗日中值定理，可知存在，使得， 因此只需保证，这只需要在区间上单调递增， 由于函数，在时大于零， 所以的单调递增区间为， 所以只需要即可，因此存在这样的区间. 方法二：等价于函数在区间上为凹函数. 当（即）时，，在为凸函数；当时，， 为凹函数. 在凹区间（如）取，则； 在凸区间（如）取，则. 因此存在这样的区间. （3）由于，设，， 令得. 时，（单调递减）；时，（单调递增）. 因此，在处取得极小值： 由于，且，所以. 又因为和， 所以有两个解和，. 因为，所以. 由和，相减得：①， 需要证明，即：， 设，需证明②. 由①得：，， 所以③， 设，令， ，在时，单调递增，所以，，所以单调递增，所以， 所以对于恒成立， 所以结合③可得， 整理得：， 于是结合待证式子②，可知只要证明，即， 构造函数，只需证明在的条件下成立. 令， 对于恒成立， 所以即在上单调递增， ，所以 所以单调递减， 又因为，所以时成立. 至此证明完毕. 15．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理． (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明； (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【答案】(1)在上单调递增,证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，得取由恒成立，得在上单调递增，由即得结论； （2）先将题设不等式转化成，利用柯西中值定理，将表示成的形式，从而得，不等式恒成立，构造函数求出最大值即得； （3）将待证不等式等价转化为，对于左式，运用柯西中值定理得到，再根据范围进行放缩即可得证. 【详解】（1）不妨取，则在上单调递增. 证明：因，，令， 因在上单调递增，则，在上恒成立， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增. （2）因且，不等式恒成立， 即且，不等式恒成立， 取，由柯西中值定理，， 故，不等式恒成立， 令， 则由，可得，由可得， 即在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得最大值，故， 即实数的取值范围为. （3）因，取， 由柯西中值定理，， 因则， 因，故，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，属于难题. 解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $