第25章《概率初步》复习与小结 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十五章 概率初步 复习与小结题 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列事件，是必然事件的是（      ） A.经过有信号灯的路口，遇到红灯 B.打开电视频道，正在播体育新闻 C.掷一次骰子，向上一面点数大于 D.射击运动员射击一次，命中十环 2.下列事件中属于随机事件的是（      ） A.抛掷一石头，石头终将落地 B.从装有黑球、白球的袋里摸出红球 C.地球绕着太阳转 D.买张彩票，中万大奖 3.下列说法正确的是（      ） A.买一张电影票，座位号是奇数是随机事件 B.任意画一个三角形，其内角和为是随机事件 C.打开北师大版七下数学课本刚好翻到《图形的全等》是必然事件 D.汽车经过红绿灯路口时刚好遇上绿灯是必然事件 4.一个袋中装有个红球，个白球，它们除颜色外都相同从中任意摸出一个球，则（    ） A.必然是红球 B.很可能是红球 C.不可能是白球 D.很可能是白球  5.李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（      ） A. B. C. D. 6.如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为和，则下列关系正确的是（   ） A. B. C. D.无法确定的大小 7.某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图所示．根据以上信息，图中的度数为（    ） A. B. C. D. 8.用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（    ） A. B. C. D. 9.五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是时哥哥去，当余数是时妹妹去．这个游戏（   ） A.是公平的 B.有利于姐姐 C.有利于哥哥 D.有利于妹妹 10.下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果． 下面有四个推断： ①当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的概率是； ②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是； ③与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵； ④在用频率估计概率时，移植棵树时的频率一定比移植棵树时的频率更准确 其中合理的是（   ） A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是_________  （填写“必然 事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 12.如图是两个可以自由转动的转盘，其中转盘被分成面积相等的三个扇形，转盘中蓝色对应的扇形圆心角度数为，同时转动两个转盘，转出的颜色能配成紫色的概率是_____________.（红色和蓝色可以配成紫色） 13.某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示： 种子个数 … 发芽种子个数 … 发芽种子频率（结果保留两位小数） … 根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有_____________颗． 14.只有河南————戏剧幻城用沉浸的方式讲出厚重的河南．它不仅仅是河南文旅的新名片，更是河南人更加认同自己、介绍自己、让更多人了解河南最好的载体．景区以沉浸式戏剧艺术为手法，以独特的“幻城”建筑为载体，通过讲述关于“土地、粮食、传承”的故事，让更多人感受戏剧文化的魅力．小明假期期间去景区参观，由于时间关系，他只能在《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光(闭园大秀)中随机选择两个参观，则他选中《李家村剧场》和文明之光(闭园大秀)的概率为____________． 15.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是_____________． 16.“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为____________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（4分）箱子里有三个球，分别标有数，，，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 18.(6分) 小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有，两组箱子（如图），组有个箱子，其中个箱子中装有重要线索；组有个箱子，其中个箱子中装有重要线索．小亮要从，两组箱子中各选一个箱子去获得线索． （1）小亮选中的箱子均来自组是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法求小亮一条线索都没有得到的概率． 19.(7分) 已知一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中有个白球，个黑球． （1）求从中随机取出一个球是黑球的概率是多少； （2）若往口袋中再放入个白球和个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求的值． 20.(8分) 从一副张（没有大小王）的扑克中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 出现方块的次数 出现方块的频率 （1）填空：______，______； （2）从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是__ ____； （3）将这副扑克中的所有方块（即从方块到方块，共张，其中表示，表示，表示，表示）取出，将这张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 21.(8分) 将整数，，分别记在三张形状大小完全相同的卡片上，记数字的面朝下，将卡片洗均匀，开始抽取，完成下列问题： （1）若随机抽取一张，则该卡片上的数字是方程的解的概率是_____； （2）若抽取两次，第一次抽到的数字记作，放回洗匀后，第二次抽到的数字记作，则点落在以原点为圆心，为半径的圆内的概率是多少？ 22.(9分) 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）当实验次数为次时，估计摸到白球的频率将会接近______；（精确到） （2）盒子内有白球数量为_____； （3）通过增加这个不透明盒子内某种球的数量，可以使得摸到白球的概率为，请写出应该增加什么颜色的球，并求出增加的数量． 23.(10分) 如图，有，两个转盘，其中转盘被分成等份，转盘被分成等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． （2）在的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． （3）记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 24.(10分) 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比______； （3）若成绩达到分以上（含分）则对海洋科普知识了解情况为优秀，请你估计全校名学生中 25.(10分) 年月日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）频数分布直方图中______，所抽取学生成绩的中位数落在_____组；补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在分及以上为优秀，学校共有名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 人教版九年级数学 第二十五章 概率初步 复习与小结题 考试时间:120分钟 满分120分 班级：________________ 姓名：________________ 考号：________________ 卷I（选择题） 一、选择题（本题共计 10 小题 ，每题 3分 ，共计30分） 1.下列事件，是必然事件的是（      ） A.经过有信号灯的路口，遇到红灯 B.打开电视频道，正在播体育新闻 C.掷一次骰子，向上一面点数大于 D.射击运动员射击一次，命中十环 【答案】C 【解析】此题考查了必然事件的概念。解决此题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．此题依据定义即可判断． 【解答】Ａ、经过有信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故此题答案为项不符合题意；Ｂ、打开电视频道，正在播体育新闻，遇到红灯是随机事件，故此题答案为项不符合题意； Ｃ、掷一次骰子，向上一面点数大于，一定是至中的一个数一定大于，是必然事件，故此题答案为项符合题意 Ｄ、射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件故此题答案为项不符合题意． 故此题答案为： 2.下列事件中属于随机事件的是（      ） A.抛掷一石头，石头终将落地 B.从装有黑球、白球的袋里摸出红球 C.地球绕着太阳转 D.买张彩票，中万大奖 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】选项，抛掷一石头，石头终将落地是必然事件；选项，从装有黑球、白球的袋里摸出红球是不可能事件；选项，地球绕着太阳转是必然事件；选项，买张彩票，中万大奖是随机事件，故正确． 3.下列说法正确的是（      ） A.买一张电影票，座位号是奇数是随机事件 B.任意画一个三角形，其内角和为是随机事件 C.打开北师大版七下数学课本刚好翻到《图形的全等》是必然事件 D.汽车经过红绿灯路口时刚好遇上绿灯是必然事件 【答案】A 【解析】此题暂无解析 【解答】是随机事件，符合题意；是必然事件，不符合题意； 是随机事件，不符合题意； 是随机事件，不符合题意； 故此题答案为． 4.一个袋中装有个红球，个白球，它们除颜色外都相同从中任意摸出一个球，则（    ） A.必然是红球 B.很可能是红球 C.不可能是白球 D.很可能是白球 【答案】B 【解析】根据随机事件的概率，抓到红球的概率是，抓到白球的概率是，抓到红球的概率大于抓到白球的概率，由此即可求解． 【解答】解：抓到红球的概率是 ，抓到白球的概率是 ， ，即抓到红球的概率大于抓到白球的概率， 故选：．   5.李老师准备在班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，若三场讲座随机安排，则“心理”专题讲座被安排在第一场的概率为（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：班内开展“道德”“心理”“安全”三场专题教育讲座，“心理”专题讲座被安排在第一场的概率． 故选：． 6.如图，向甲、乙两个正方形飞镖盘中各随机投掷一枚飞镖，投中阴影区域的概率分别为和，则下列关系正确的是（   ） A. B. C. D.无法确定的大小 【答案】A 【解析】本题考查几何概率模型，由图及题意可知，甲正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比为；乙正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比也为；即可得到答案．熟记几何概率模型问题的解法是解决问题的关键． 【解答】解：如图所示： 甲正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比为；乙正方形中，阴影部分的面积占正方形面积的比也为； 由几何概率模型可知，投中阴影区域的概率 ， 故选：． 7.某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图所示．根据以上信息，图中的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查用频率估算概率，涉及几何概率模型等知识，先由获得优胜奖频率的折线统计图，如图所示，估算出获得优胜奖的概率是，再由几何概率模型求概率的方法即可得到答案，熟记概率基础知识是解决问题的关键． 【解答】解：由获得优胜奖频率的折线统计图，如图所示： 获得优胜奖的频率稳定在附近，即获得优胜奖的概率是， 如图所示： ， 故选：． 8.用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏：游戏者同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么他就赢了．根据游戏规则，游戏者获胜的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了用树状图或列表法求概率；右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分，根据题意画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【解答】解：右边转盘的红色部分的圆心角是，相当于个红色部分， 画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中一个是红色，另一个是蓝色的结果有种， 游戏者获胜的概率为， 故选：． 9.五一期间，新上映的一部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票一张，姐姐、哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以，规定：当正好整除时姐姐去，当余数是时哥哥去，当余数是时妹妹去．这个游戏（   ） A.是公平的 B.有利于姐姐 C.有利于哥哥 D.有利于妹妹 【答案】A 【解析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概率，比较大小，即可求得游戏是否公平．根据列表法解答即可． 【解答】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示： 第二枚第一枚 由表格可知，共有种等可能结果，其中点数之和正好能被整除的有种，点数之和除以后余数是的有种，点数之和除以后余数是的有种，他们获得电影票的概率都是，即为，所以这个游戏是公平的， 故选：． 10.下图显示了某林业部门统计某种树苗在本地区相同条件下的移植成活试验的结果． 下面有四个推断： ①当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的概率是； ②随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是； ③与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵； ④在用频率估计概率时，移植棵树时的频率一定比移植棵树时的频率更准确 其中合理的是（   ） A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 【答案】C 【解析】根据频率与概率的关系逐项判断即可得出答案． 【解答】解：当移植的棵树是时，成活的棵树是，所以“移植成活”的频率是，但概率不一定是，故①错误； 随着移植棵树的增加，“移植成活”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“移植成活”的概率是，故②正确； 试验条件下“移植成活”的概率是，因此与试验相同条件下，若移植棵这种树苗，可能成活棵，故③正确； 在用频率估计概率时，移植棵树时的频率不一定比移植棵树时的频率更准确，故④错误； 其中合理的是②③， 故选． 卷II（非选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ） 11.“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”是一句谚语，你认为农谚说的是______随机事件______  （填写“必然 事件”或“不可能事件”或“随机事件”）． 【答案】随机事件 【解析】本题考查了事件的分类，根据随机事件的定义解答即可，熟练掌握定义是解此题的关键． 【解答】解：当年农历八月十五这天，如果天空被云幕遮蔽，看不到中秋圆月，来年正月十五这天就会阴天或下雪，但天气是随机的，所以答案为随机事件， 故答案为：随机事件． 12.如图是两个可以自由转动的转盘，其中转盘被分成面积相等的三个扇形，转盘中蓝色对应的扇形圆心角度数为，同时转动两个转盘，转出的颜色能配成紫色的概率是________________.（红色和蓝色可以配成紫色） 【答案】 【解析】本题考查列表法与树状图法．画树状图得出所有等可能的结果数以及转出的颜色为红色和蓝色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：由题意得，转盘中红色对应的扇形圆心角度数为，相当于个红色部分， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中转出的颜色为红色和蓝色的结果有种， 同时转动两个转盘，转出的颜色能配成紫色的概率是． 故答案为：． 13.某农科所为了深入践行“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展对植物生长的研究，该农科所在相同条件下做某植物种子发芽率的试验，得到的结果如下表所示： 种子个数 … 发芽种子个数 … 发芽种子频率（结果保留两位小数） … 根据频率的稳定性，估计这种植物种子不发芽的有_____________颗． 【答案】 【解析】此题主要考查了利用频率估计概率，熟记大量反复试验下频率稳定值即概率．由表格可知发芽种子频率的稳定值为，所以发芽种子概率，不发芽种子概率，即可求解． 【解答】解：由题可知：发芽种子概率， 所以不发芽种子概率， 故这种植物种子不发芽的有颗． 故答案为：． 14.只有河南————戏剧幻城用沉浸的方式讲出厚重的河南．它不仅仅是河南文旅的新名片，更是河南人更加认同自己、介绍自己、让更多人了解河南最好的载体．景区以沉浸式戏剧艺术为手法，以独特的“幻城”建筑为载体，通过讲述关于“土地、粮食、传承”的故事，让更多人感受戏剧文化的魅力．小明假期期间去景区参观，由于时间关系，他只能在《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光(闭园大秀)中随机选择两个参观，则他选中《李家村剧场》和文明之光(闭园大秀)的概率为______________． 【答案】 【解析】本题主要考查用树状图或列表法求概率，分别用字母，，，表示《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光（闭园大秀），再画树状图所有等可能的结果数和选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的结果数，再运用概率公式求解即可． 【解答】解：用字母，，，表示《李家村剧场》《幻城剧场》《火车站剧场》和文明之光（闭园大秀）， 画树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能的结果，其中选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的有种， 所以，选中《李家村剧场》和文明之光（闭园大秀）的概率为， 故答案为：．   15.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是________________． 【答案】 【解析】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值． 【解答】解：总面积为， 其中阴影部分的面积为， 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 16.“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为____________． 【答案】 【解析】本题考查了勾股定理的运用，几何概率，设，则，根据，求出，得到正方形的面积，利用概率公式代入计算即可． 【解答】解：设，则， ，， ，     ， 解得：或舍去， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为： 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.（4分）箱子里有三个球，分别标有数，，，各球除所标的数外其他均相同从箱子里任意摸出一个球，记下数后放回，再任意摸出一个球，记下数．问：记录的两个数的积是奇数的可能性大，还是偶数的可能性大？请说明理由． 【答案】偶数的可能性大，理由见解析 【解析】本题主要考查事件发生的可能性大小的判断，根据题意，列出所有可能性，然后比较奇数与偶数结果的大小即可，理解题意是解题关键． 【解答】解：偶数的可能性大，理由如下， 记录两个数的所有可能为：， 则乘积是奇数的有种，乘积是偶数的有种， 则乘积是奇数的概率为，乘积是偶数的概率为， 所以乘积是偶数的可能性大． 18.(6分) 小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有，两组箱子（如图），组有个箱子，其中个箱子中装有重要线索；组有个箱子，其中个箱子中装有重要线索．小亮要从，两组箱子中各选一个箱子去获得线索． （1）小亮选中的箱子均来自组是___不可能____事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）请用列表或画树状图的方法求小亮一条线索都没有得到的概率． 【答案】不可能 【解析】（1）根据事件的分类进行判断即可； （2）利用列表法进行求解即可． 【解答】（1）解：小亮要从，两组箱子中各选一个箱子去获得线索 小亮选中的箱子均来自组是不可能事件． 故答案为：不可能； （2）解：将组的个箱子分别记为₁，₂，₃(假设₁中有线索)，组的个箱子分别记为₁，₂(假设₁中有线索)，列表如下： ₁ ₂ ₃ ₁ (₁,₁) (₂,₁) (₃,₁) ₂ (₁,₂) (₂,₂) (₃,₂) 由表格可知，共有种等可能的情况，其中小亮一条线索都没有得到的情况有种，故所求概率为． 19.(7分) 已知一个口袋中装有个只有颜色不同的球，其中有个白球，个黑球． （1）求从中随机取出一个球是黑球的概率是多少； （2）若往口袋中再放入个白球和个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求的值． 【答案】 【解析】（1）利用黑球个数比上总数即可得到概率； （2）利用白球个数比上总数等于，列出方程运算即可． 【解答】（1）解：从中随机取出一个球是黑球的概率是； （2）根据题意可得， 解得， 经检验是分式方程的解， ． 20.(8分) 从一副张（没有大小王）的扑克中，每次抽出张，然后放回洗匀再抽，在实验中得到下列表中部分数据： 实验次数 出现方块的次数 出现方块的频率 （1）填空：______，______； （2）从上面的表中可以估计从中随机抽取一张是方块的概率是__ ____； （3）将这副扑克中的所有方块（即从方块到方块，共张，其中表示，表示，表示，表示）取出，将这张方块扑克牌背面朝上重新洗匀后，从中任意摸出一张，若摸出的这张牌面数字为奇数，则甲方赢，若摸出的这张牌的牌面数字是偶数，则乙方赢，你认为这个游戏对双方是公平的吗？并说明理由． 【答案】， 这个游戏对双方不公平，理由见详解 【解析】（1）根据表格中的数据计算即可； （2）从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率； （3）分别求得概率再比较可得结论不公平． 【解答】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：从表中得出，出现方块的频率稳定在了，故可以估计出现方块的概率为， 故答案为：； （3）解：不公平， 理由：在方块到方块共张牌中，奇数有个，偶数有个， 甲方赢的概率为，乙方赢的概率为， 由于， 所以这个游戏对双方不公平． 21.(8分) 将整数，，分别记在三张形状大小完全相同的卡片上，记数字的面朝下，将卡片洗均匀，开始抽取，完成下列问题： （1）若随机抽取一张，则该卡片上的数字是方程的解的概率是_______； （2）若抽取两次，第一次抽到的数字记作，放回洗匀后，第二次抽到的数字记作，则点落在以原点为圆心，为半径的圆内的概率是多少？ 【答案】 【解析】（1）首先解方程，可得或，再根据概率公式即可求得； （2）首先通过列表或画树状图求所有等可能的结果，再根据勾股定理及到原点的距离即可求得． 【解答】（1）解：由方程得 解得，， 故随机抽取一张，该卡片上的数字是方程的解的概率是， 故答案为：． （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果， ，，，，， 点的坐标为或或或或或 故点落在以原点为圆心，为半径的圆内的概率为． 22.(9分) 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个，小李做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）当实验次数为次时，估计摸到白球的频率将会接近____0.6___；（精确到） （2）盒子内有白球数量为___24____； （3）通过增加这个不透明盒子内某种球的数量，可以使得摸到白球的概率为，请写出应该增加什么颜色的球，并求出增加的数量． 【答案】 增加个黑球 【解析】（1）计算出其平均值即可； （2）概率接近于得到的频率； （3）首先确定个球的颜色，然后使得黑球和白球的数量相等即可确定答案． 【解答】 （1）解：摸到白球的频率为， 当实验次数为次时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：． （2）解：摸到白球的频率为， 假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共个， 白球个数为， 故答案为：． （3）解：由得盒子内白球数，则黑球数， 使得摸到白球的概率为，即两种球的个数一样多，需要增加个黑球． 23.(10分) 如图，有，两个转盘，其中转盘被分成等份，转盘被分成等份，并在每一份内标上数字．现甲、乙两人同时分别转动其中一个转盘，转盘停止后（当指针指在边界线上时视为无效，重转），若将转盘指针指向的数字记为，转盘指针指向的数字记为，从而确定点的坐标为． （1）请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点的坐标． （2）在的基础上，求点落在反比例函数图象上的概率． （3）记，李刚为甲、乙两人设计了一个游戏：当时甲获胜，否则乙获胜，若这个游戏是公平的，求的值．（取整数） 【答案】见解答 【解析】（1）利用树状图或列表法求解即可； （2）由得到符合条件的点的个数，利用概率公式计算即可； （3）根据游戏公平性分析判断即可； 【解答】（1）解：列表如下： 由表格可得点的坐标共种． （2）当点坐标为或时，点在反比例函数上， 点落在反比例函数图象上的概率为． （3）由中的表格可得：的值分别为，，，，，，，，，，，，共个， 游戏是公平的， 甲乙获胜的概率都是，即的可能性有个的取值为，，，，，． 又为整数， ． 24.(10分) 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，将测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数直方图和扇形统计图． 请根据图中信息解答下列问题： （1）补全频数直方图； （2）在扇形统计图中，“”这组的百分比________； （3）若成绩达到分以上（含分）则对海洋科普知识了解情况为优秀，请你估计全校名学生中对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数． 【答案】见解答 人． 【解析】（1）先求出样本容量，再用用本容量减去已知各部分的频数，即可求出这组的频数，从而补全频数直方图； （2）用“文组的频数除以样本容量即可； （3）用乘以分以上人数所占的比例即可． 【解答】（1）解：(人)， (人)， 补全频数直方图如下： （2）. 故答案为：. （3）(人)． 优秀学生人数约是人． 25.(10分) 年月日，“天宫课堂”第二课开讲．“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下组（满分分），组：，组：，组：，组：，组：，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： （1）频数分布直方图中___60___，所抽取学生成绩的中位数落在__D____组；补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在分及以上为优秀，学校共有名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的名同学（其中有两名男生，三名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】；；补全学生成绩频数分布直方图见解答 人 【解析】（1）本题考查列表法与树状图法、频数 率 分布直方图、中位数、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 用频数分布直方图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得抽取的学生人数，用抽取的学生人数乘以扇形统计图中的百分比可得的值；根据中位数的定义可得答案；求出组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可． 根据用样本估计总体，用乘以样本中，组的人数所占的百分比之和，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】 （1）解： 由题意得，抽取的学生人数为（人）， 将抽取的名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第和名的成绩均落在组， 所抽取学生成绩的中位数落在组． 组的人数为人 ， 补全学生成绩频数分布直方图如图所示． 故答案为：；； （2）解： （人） 答：估计该校成绩优秀的学生约有人； （3）解：列表如下： 男 男 女 女 女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 男 男，男 男，女 男，女 男，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 女 女，男 女，男 女，女 女，女 共有种等可能的结果，其中抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果有种， 抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率为． 第3页 共16页 ◎ 第4页 共16页 第1页 共16页 ◎ 第2页 共16页 学科网（北京）股份有限公司 $