重庆市渝西中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

重庆市渝西中学高 2027 级高二 （上） 学期12月考试数学试卷 本试卷分第 Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分， 满分 150 分， 考试时间 120 分钟. 第 Ⅰ卷（选择题） 一、选择题： 本题共 8 小题，每小题 5 分， 共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.数列 ， ， ， … 的一个通项公式为 ( ) 2.抛物线 y2 = 4x 上一点 M 与焦点间的距离是 10， 则点 M 到y 轴的距离是 ( ) A． 10 B． 9 C． 8 D． 5 3.等差数列{an } 的前n 项和为 Sn ， 若 S5 = S10 ， a5 = 1， 则 a1 = ( ) A. -2 B. C. 1 D. 2 4. 已知函数 f (x ) = x2 + 1， 则 ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5.在平面直角坐标系 xOy 中，若△ABC 的顶点 A(0, -2) 和C(0, 2) ，顶点 B 在椭圆上，则 的值是 ( ) A． B． 2 C． 2 D． 4 6.若 f = x + 3sin 数列 {an }满足 an ， 则 f (a1 ) + f (a2 ) + ... + f (a2022 ) = ( ) A． 2022 B． 2023 C． 4044 D． 4046 7. 已知双曲线与抛物线 y2 = 4x 的一个交点为 M．若抛物线的焦点为 F，且 FM = 5 ，则双曲线的焦点到渐近线的距离为 ( ) A. B. 2 C. D. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 8. 已知数列{an } 中， a1 = 2, n(an+1 - an ) = an + 1, n ∈ N* ， 若对于任意的 a ∈[-2, 2], n ∈ N* ， 不等式 t2 + at -1恒成立， 则实数t 的取值范围为 ( ) A. (-∞, -2] U [1, +∞) B. (-∞, -2] U [2, +∞) C. (-∞, -1] U [2, +∞) D. [-2, 2] 二 、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分. 9.下列说法正确的是 ( ) A. 已知函数 f(x) = x3 + 2x ， 则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为 30 B. 已知 A(x1, y1 ) ， B(x2, y2 ) 在函数 y = f(x) 图象上， 若函数f(x)从 x1到 x2平均变化率为 ， 则曲线y = f(x) 的割线 AB 的倾斜角为 C. 已知直线运动的汽车速度 V 与时间t 的关系是 V = 2t2 - 1， 则 t = 2 时瞬时加速度为 7 D. 已知函数 fx ， 则 f(9.05) ≈ 3.008 10. 我们通常称离心率为 的椭圆为 “黄金椭圆 ”. 如图， 已知椭圆C ， A1, A2, B1, B2 为顶点， F1, F2 为焦点， P 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 C 为“黄金椭圆”的有 ( ) A. | A1F1 |, | F1F2 |, | F2 A2 | 为等比数列 B. 上F1B1A2 = 90。 C. PF1 丄 x 轴， 且 PO//A2B1 D. 四边形 A1B2 A2 B1 的内切圆过焦点 F1 , F2 11.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列 1， 2 进行构造， 第一次得到数列 1， 2， 2； 第二次得到数列 1， 2， 2， 4， 2， 依次构造，第n (n ∈ N*)次得到的数列的所有项的积记为 an ， 令bn = log2an .给出下列四个结论， 正确的是 ( ) A． 第三次得到的数列共 9 项 B． an+1 = a C． 数列是等比数列 D． 对每个正整数 n ， 以bn , bn+1, bn+2 为边长能构成一个三角形 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题： 本大题 3 个小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果， 不写过程） . 12.倾斜角为 90°且与点（1， 1） 距离为 2 的直线方程为 ． 13. 已知正项等比数列{an }的前 n 项和为 Sn， 且 4a1 + 7a3 = 2a2 . a4 ， 若 a1 = 1， 则 S5 = ___________． 14.设点 P（x， y） 是曲线 a|x|+b|y|=1 （a>0， b>0） 上任意一点， 其坐标 （x， y） 均满足 + ≤2， 则a+b 取值范围为 ． 四、解答题： 本大题 5 个小题， 共 77 分. 各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明 、演算步骤或推理过程） . 15.(本小题满分 13 分) 已知直线 l 经过点 P(2, 4 )． （1） 若点Q(1, 1)在直线l上， 求直线l的方程； （2） 若直线l与直线4x — 3y = 0 垂直， 求直线l的方程． 16.(本小题满分 15 分)如图，在多面体 ABCDEFG 中，矩形 ADEF，矩形 CDEG 所在的平面均垂直于正方形ABCD 所在的平面， 且 AB = 2, AF = 3. （1） 求多面体 ABCDEFG 的体积； （2） 求平面 BFG 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值. 17.(本小题满分 15 分)已知等差数列{an } 的前 n 项和为Sn ，且 a5 = 10, S7 = 56. (1)求数列{an } 的通项公式； (2)已知数列{bn }满足bn = ， （i） 求数列{bn } 的前 n 项和Tn ； （ii） 若不等式n λ < Tn 对任意 n ∈N* 恒成立， 求实数 λ 的取值范围. 第 3 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分 17 分)已知抛物线 E 的顶点为坐标原点， 对称轴为 x 轴， 且直线 y＝x＋ 1 与 E 相切. (1)求 E 的方程. (2)如图，设 P 为 E 的准线上一点， 过 P 作 E 的两条切线， 切点为A，B，直线 AB的斜率存在， 且直线 PA， PB 与 y 轴分别交于 C， D 两点. ①证明： PA ⊥PB. ②试问是否为定值？若是， 求出该定值； 若不是， 请说明理由. 19.(本小题满分 17 分)将平面直角坐标系中的一列点 A1（1， a1） ，A2（2， a2）， … , An（n， an）， …记为 |An |， 设f（n）＝ An An+1 •j， 其中j 为与 y 轴方向相同的单位向量． 若对任意的正整数 n， 都有f（n+1） ＞ f（n）， 则称{An }为 T 点列． （1） 判断 A1(1, 1)，A2 A … ，An …是否为 T 点列， 并说明理由； （2） 若{An }为 T 点列， 且 a2＞a1.任取其中连续三点 Ak，Ak+ 1 ，Ak+2， 证明△AkAk+ 1Ak+2 为钝角三角形； （3）若{An }为 T 点列， 对于正整数 k， l， m（k＜l＜m）， 比较 A1 Am+k •j 与 A1—kAm •j 的大小， 并说明理由． 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $高2027级高二（上）学期第三次学月考试（数学答案解析） 1D2.B3.B4.D5.A6.A7.C8.B9.BD10.BD 11.AC 11.【详解】第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确： 由已知4=1×2×2=4,4=1x2×2×4x2=32,所以424， 1 当n之2时，设第n次构造后得到的数列为1，x1,x2,…,x,2,则a。=2xx2…x, 则第n+1次构造后得到的数列为1，x,x,xx,x2,…,-1,,2x,2, 则a=4=4x( 所以B不正确： 网a=方女.则an=e风-s店)-1边，所以子毛》 因4=l8:4=lg4=2,则6 。≠0 所以数列色}是以子为首项，3为公比的等比数列，所以C正确 因为数列色}是以为首项3为公比的等比数所以。号多所以通 3+1 丽数y=31在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有b,<b1<b, 2 假设以b,b,bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+b1>b+2, 从而3++3+132+1，即3+3142>32+. 2 2 2 即3+2-31-3”=3”(9-3-1)=5·3”<1，显然不成立，所以D不正确故选：AC 12.x=3或x=-113.3114.[2,+∞). 14.解：曲线alxl+bly=1(a>0,b>0), 当x,y≥0时，化为ax+by=1; 当x≥0，y≤0时，化为ax-by=1; 当x≤0，y≥0时，化为-ax+by=1; 当x≤0，y≤0时，化为-ax-by=1. 画出图象：表示菱形ABCD. 由V×2+y2+2x+1+V×2+y2-2x+1≤2W2.即 V(x+1)2+y2+(x-1)2+y2≤2W2. 设M(-1.0.N1.01,则2pl≤22.BD≤2V反.5<2.名<aE a 解得b≥1，√2a≥1，.√2ab≥1+1=2.√2a+b取值范围为2，+∞)， 故答案为：[2，+∞). 四、解答题：本太题5个小题，共77分 15.解析：(1)直线1经过点2(1,1)和点P(2,4),直线1的斜率k=3, …2分 直线1的方程为3x-y-2=0(或y=3x-2);…6分 (2)因为直线1与直线4x-3y=0垂直，设直线1的方程为3x+4y+m=0,…8分 因为直线1过点P(2,4),所以3×2+4×4+m=0,解得=-22.…10分 所以直线1的方程为3x+4y-22=0…13分 I6.解析：(1)`.AF⊥AD,∴AF⊥平面ABCD,同理ED,GC均与平面ABCD垂直，故可将多面体补成 如图所示的长方体ABCD-FHGE,此长方体体积为2×2×3=12，…2分 三棱锥B-FHG的体积为二×2×3=2，……4分 E 故此多面体的体积为10；…6分 F (2)以A为坐标原点，AB,AD,AF分别为x,y,2轴正方向建立空间直角坐标系， 则A0,0,0),B(2,0,0),D0,2,0),F(0,0,3),G(2,2,3),…9分 D BF=(-2,0,3),FG=(2,2,0),设平面BFG的法向量为m=(x,y,9), B 2*2=0 -2x+3z=0 则 令x=1得m--1，) ……11分 又ABCD为正方形，：AB IAD,故ABI平面ADEF, ∴.i=(1,0,0)为平面ADEF的一个法向量，…13分 1 cos(m,）= 3V22 22, …14分 故平面BFG与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为 3V22 …15分 22 a1+4d=10 17.【详解】(1)设等差数列{a}的公差为d,则 +7x6d=56 7a1+2 解得 q=d=2,…2分 D B a=4+(n-1)d=2+2(n-1)=2n;…4分 /(2)（0由1)知b2=2点=2=2分，…5分 n-1 n +2+2, …6分 , ……7分 2 2+2京+2+…+ 22+1= -1、+2 …8分 1 .1 24 2 2 Tn=2-九+2 ……………9分 29 (们)由①得(11<2-"+2+”=2-名 2#2 2#， ……10分 设c=2-3 ，则-2品，-6-)(-引>0，数列c,}是递瑚数到.1分 当n为偶数时，<2会恒成立，A<:会- 22-2 ………12分 为奇数时、<2名恒成立，-A<2子，>1，…… ·实数入的取值范围为-1 3 …15分 18.(本小题满分17分)已知抛物线E的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且直线y=x+1与E相切. (1)求E的方程…4分 (2)设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A,B,直线AB的斜率存在，且直线PA,PB 与y轴分别交于C,D两点. ①证明：PAL PB.…9分 PC·AB ②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.…17分 PB·CD (1)解：依题意可设E的方程为y2=2px(p≠0)， 联立/广=2p 得x2+2(1-p)x+1=0, y=x+1, 依题意得△=4(1一p)2一4=0， 解得p=2或p=0(舍去)，故E的方程为y=4x (2)①证明：设A(x1,),B(,2),P(一1，m). 18解析：设过点P且与E相切的直线1的斜率为k,则1：y一m=(x十1)， 联立小=红+m+, 得ky2-4y十4(m+k)=0. y2=4x, 则△：=16-16(m+k)k=0, 即k2十mk-1=0, 由题意知，直线PA,PB的斜率k1,k2为方程k2十mk一1=0的两根， 则kk2=一1，故PA⊥PB. ②解：不妨设PA的斜率k>0,则PB的斜率kz<0, 设PA,PB的倾斜角分别为01，a,直线AB的倾斜角为0。且斜率为k, k=tanA,=业二y=,业二y= 4 T2x1 由0可知21=青，即0=号.同理可得为=忌， 2 2,=2=2 则k=k2十k -mm 因为an∠PcD=tam受-)=名 tan 0-tan 6o 是一 tan∠PBA=am0.-6)=1+amA·mA1十k:.2m+2k' 所以Pa-代D吉-点-器o m+2k2 k k1(m+2k2) 则tan∠PCD=tan∠PBA,从而∠PCD=∠PBA, 又PALPB,则R△SPCD/Ri△PaA,所以答器故S:品=1为定值 19.解：(1){A}为T点列.理由如下： 由题意可知，A1,n高，0,1，所-Aaj品 …1分 ard（六台》aaia>0, 即f(t1)>f(n),n=1,2,, …2分 所以A11,10,A2(2,2,A33,号)，Am,马，…为T点列： …3分 (2)由题意可知， AnA1(1,a1an,j(0,1）,所以f(n）=AnAt1jan1an,…4分 因为{An}为T点列，所以f(t1)-f(n)=a+2-a+1-(a+1-a)>0,n=1,2,,…5分 又因为>，所以2-m>0, 所以对A中连续三点Ak,A+1,A+2,都有+2-+1>+1-k>0,+2>G+1>,6分 又|AkA+112-1+(ak1-ak)2,|AAk+2|2=4+(ak2-ak)2，,|Ak+1Ak+212-=1+(ak2ak+H)2. 所以|AkAk+212>Ak+1Ak+212>|AkAk+1I2, 所以∠AA+以42为△AA+A+2的最大内角，…7分 由余弦定理可得，cos∠AkAk+1A+2 1A2Ax2-AxAx212 21AK1AK2AkAK+1 …8分 =2ak+2-2a1k-2ak41at2t2a+2ak-2_2(ak+1ak)(a+1-ak42)- 21Ak12AkAkti ∠0 …9分 2Ak+1Ak+2小AkAk+11 故∠AA+A+2为钝角，所以△A4+A+2为钝角三角形；……10分 (3)由正整数k,1,m满足k<1<,则23，…11分 因为{An}为T点列，由（Ⅱ)知a+2-a+1>a+1-a,n=1,2,···,…12分 所以an+t-anm+t-l>am+k-1-am+t-2, Cmtk-1 -Clm+k-2>amtk-2-alm+k-3, am+1 -am am-am-1, 两边分别相加可得am+k-am>am+t-1-am-l,…13分 所以am+t-1-an-1>anm+k-2-am-2>a-a-k,则amt-an>4-a-k,…14分 所以4m+t->a4n-G4-6,…15分 又A1A(m+-1,aa1）,A1-kA(mr1,ana1-k）, 所以A1Amhj护am收a1,A1-kAn'j=an-a1k,…16分 所以A1AjA1kAj.…17分