第27章 圆（单元测试·提升卷）数学华东师大版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第27章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆中最长的弦是直径，直径的长度是半径的2倍，解答即可． 本题考查了直径是圆中最大弦，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：∵的半径是， ∴最长的弦（直径）， 故选：B． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 【答案】C 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，熟练掌握“圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可”是解题的关键．根据确定圆的要素，分析各选项是否同时具备圆心和半径即可． 【详解】∵圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小， ∴选项只有圆心，无法确定圆的大小； 选项只有半径，无法确定圆的位置； 选项只有圆上一点，无法确定圆心和半径； 选项同时有圆心和半径，能唯一确定一个圆． 故选：． 3．若的半径为6，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系为（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 比较点P到圆心O的距离与半径的大小即可判断． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在上． 故选：B． 4．如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，计算即可． 【详解】解：根据圆周角定理， 故选：B． 5．如图，是圆内接四边形的一个外角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，补角的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补，是解题的关键．根据圆内接四边形得出，根据补角的性质得出即可． 【详解】解：∵是圆内接四边形的一个外角， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 6．如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，直角三角形的性质以及勾股定理等知识，连接，则，由得，得出，由勾股定理得；由，得，即是等腰直角三角形，可得，运用勾股定理可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵与相切于点C， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：C． 7．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得出，进而得出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，设该圆形铜镜的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴该铜镜的直径为． 故选：B． 8．如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ）． A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理及勾股定理：解决本题的关键是确定点在以为直径的上，从而利用两点之间线段最短解决问题．利用得，则，根据圆周角定理的推论可判定点在以为直径的上，连接交于，此时的长最小，然后利用勾股定理计算出即可得到长的最小值． 【详解】解：， 而， ， ， 点在以为直径的上， 连接交于，此时的长最小， ， 长的最小值为． 故选：A． 9．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，切线长定理，勾股定理，设与相切于点，正方形的边长为，可得，，，设，，则，，，由勾股定理得，即得，又由，可得，即得，得到，进而即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：设与相切于点，正方形的边长为， ∵是切线， ∴，，， 设，，则，，， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为， 故选：． 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则扇形的面积为．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，可以解决问题． 【详解】解：①， ， ， 是的直径， ， ， 故①正确，符合题意； ②点为的中点， ， 为直径， ， ， ， ， ，， ， ，故②正确，符合题意； ③连接， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，故③正确，符合题意； ④，， 又， ，由③知为等边三角形， ，则扇形的面积为．故④错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的定义；根据圆的定义，定点为圆心，点到的距离为定长，即半径． 【详解】解：由圆的定义可知，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，其中定点为圆心，定长为半径，故半径为． 故答案为：． 12．如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了切线长定理．直接利用切线长定理得出，进而求出的长． 【详解】解：∵切于点A，B，切于点E， ， 的周长是20， ， ， ， ， 故答案为：10． 13．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，若等边三角形的边长为6，则“勒洛三角形”的周长为 ． 【答案】6 【详解】本题考查等边三角形的性质、新定义问题，准确理解“勒洛三角形”的定义是解题的关键． 图中“勒洛三角形”是由三块相同的扇形拼接而成，其周长是三块扇形的弧长的和，据此进行解答即可． 【分析】解：如图所示： 是等边三角形， ，， 弧长， “勒洛三角形”的周长是， 故答案为：． 14．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接．若是劣弧的中点，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，连接，通过等边对等角得出，所以，再由圆周角定理可得，所以，由等边对等角得出，从而得到半径为，最后由扇形面积公式即可求解，求出扇形的圆心角和半径是解题的关键． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ． 【答案】 【分析】由可得四点共圆，且该圆的直径为，可知当时，最小，此时最小，过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用锐角三角函数和勾股定理可得，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由是等腰直角三角形，可得，，，即得，再利用的面积可得，设，则，可证是等腰直角三角形，得到，利用勾股定理可得，得到，即得到，即可求解． 【详解】解：∵交于点，交于点， ∴， ∴， ∴四点共圆，且该圆的直径为，如图， 由垂线段最短可知，当时，最小，此时最小，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理，垂线段最短，锐角三角函数，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 16．如图，已知是的直径，，与的边分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．，则 ；若的平分线交于点，连接交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是观察、构造相似三角形，把所求线段的比转化为两个相似三角形其它边的比． 证明是的切线，可推出，即可得到，利用相似三角形的性质列方程求得，即可求得；根据平分，得到，再求出算得，从而可得，在中，求得，最后证明，即可得． 【详解】解：连接，连接，并延长与，分别相交于点，点，连接． 是的直径， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 是的切线． ， ， ． ， ． ， ， 设，则．由勾股定理得， 即， 解得，（不合题意，舍去）． ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ，，． ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 【答案】(1)4 (2)5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到；由勾股定理求出长． （1）由垂径定理得到； （2）设，得，由勾股定理可得,求出的值即可． 【详解】（1）解：∵直径， ∴； （2）解：∵， ∴ 设， ∵, ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 18．（8分）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【详解】（1）解：如图1，即为所作；    （2）证明：如图2，作于，    ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 19．（10分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (2)写出旋转后点和点的坐标； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 【答案】(1)画图见解析 (2)， (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，勾股定理，求弧长． （1）根据旋转方式结合网格的特点找到A、B对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据（1）所画图形，写出对应点的坐标即可； （3）由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长，先利用勾股定理求出，由旋转的性质可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由图可知，点和点的坐标分别为，； （3）解：由题意得，点A旋转到点所经过的路线长即为的长， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点A旋转到点所经过的路线长． 20．（10分）如图，内接于． (1)用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接交与E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 解：∵是的平分线， ∴______①______， ∴， ∴平分， ∴______②______， ∴， 在中，， ∴______③______， ∴______④______ 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③5，④2 【分析】本题考查作图-基本作图、圆心角、弧、弦的关系、勾股定理． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据角平分线的定义、圆心角、弧、弦的关系以及勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：①；②；③5；④2． 21．（10分）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． (1)如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ (2)如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 【答案】(1)米 (2)秒 【分析】本题考查了弧长公式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接利用弧长公式，代入计算即可； （2）先计算的长为：（米），的长为：（米），再分别计算在笔直道路和转弯处行驶时间即可． 【详解】（1）解：的长为：（米）， 的长为：（米）， 且（米）． 比长米； （2）解：的长为：（米）， 的长为：（米）， 则该小汽车沿路线行驶的时间为： （秒）． 22．（10分）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2)解答见解析 【分析】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即：. 23．（10分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间． (1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？ (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，） 【答案】(1)此时盛水简P距离水面的高度 (2)从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上 【分析】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、矩形的判定与性质、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先根据时间和速度求出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒P距离水面的高度； （2）先确定当P在直线上时，此时P是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可． 【详解】（1）解：连接，过点P作，，垂足为D、H，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，筒车每秒转， 盛水简P浮出水面2.5秒后，此时， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：此时盛水简P距离水面的高度； （2）解：如图，因为点P在上，且与相切，所以当P在直线上时，此时P是切点， 连接，所以， 在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴需要的时间为（秒）， 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线上． 24．（10分）在平面直角坐标系中，对于图形M和点P，若图形M上存在不同的两个点E、F，使得，则称点P为图形M的“距离2点”，设，，的半径为r，（自行画坐标图） (1)①点，中，是线段的“距离2点”是 ②是的距离2点”，求r的取值范围； (2)设的半径为2，圆心M是x轴上动点，，若折线上存在点的“距离2点”，直接写出圆心M的坐标取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或 【分析】（1）①到和的距离之和是2，，到轴的距离是，从而得出结果； ②从，进而求得； （2），，，，，，进而求得． 本题考查了新定义的阅读理解，坐标与图形，勾股定理，解决问题的关键是数形结合观察． 【详解】（1）解：（1）①如图1， 到和的距离之和是2， 是线段的“距离2点”， ，且 ∴到的距离是1， ∵存在不同的两个点 ∴找不到线段上的其他点与的距离是1的 不是线段的“距离2点”， 到轴的距离是， 是线段的“距离2点”， 故答案是和； ②如图2， ， ， 即； （2）解：依题意，如图3， 设圆心的横坐标为， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述：圆心横坐标的取值范围是或． 25．（10分）如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，取的中点H，点Q为线段上的一动点，连接，将沿翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（）作于，可得，解直角三角形即可求解； （）作于，连接，在上截取，可得，可推出四点共圆，得到，，进而可得，得到，又根据，可得，即可求证； （）由折叠可得，从而推出点在以为圆心，为半径圆上运动，进而得到当与相切时，最大，此时，作于，求得，根据，可得，得到，再根据三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图， 作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 作于，连接，在上截取， ∴，， ∴， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：如图， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以为圆心，为半径圆上运动， ∴当与相切时，最大，此时， 作于，由()知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，同弧对的圆周角相等，折叠的性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第27章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 3．若的半径为6，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系为（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 4．如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是圆内接四边形的一个外角，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 7．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ）． A．4 B． C．3 D． 9．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则扇形的面积为．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为 ． 12．如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 13．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，若等边三角形的边长为6，则“勒洛三角形”的周长为 ． 14．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接．若是劣弧的中点，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 15．在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ． 16．如图，已知是的直径，，与的边分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．，则 ；若的平分线交于点，连接交于点，则 ． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 18．（8分）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 19．（10分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (2)写出旋转后点和点的坐标； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 20．（10分）如图，内接于． (1)用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接交与E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 解：∵是的平分线， ∴______①______， ∴， ∴平分， ∴______②______， ∴， 在中，， ∴______③______， ∴______④______ 21．（10分）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． (1)如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ (2)如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 22．（10分）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 23．（10分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间． (1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？ (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，） 24．（10分）在平面直角坐标系中，对于图形M和点P，若图形M上存在不同的两个点E、F，使得，则称点P为图形M的“距离2点”，设，，的半径为r，（自行画坐标图） (1)①点，中，是线段的“距离2点”是 ②是的距离2点”，求r的取值范围； (2)设的半径为2，圆心M是x轴上动点，，若折线上存在点的“距离2点”，直接写出圆心M的坐标取值范围． 25．（10分）如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，取的中点H，点Q为线段上的一动点，连接，将沿翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第27章圆·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 6 9 10 C B 6 D & 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）》 11.5 12.10 13.6π 14.3元 15.5 16. 3 三、解答题（共9小题，共86分） 17.(8分) 【详解】(1)解：直径AB⊥CD, :CE=CD=克×8=4：(3分) (2)解：：CD⊥AB, :∠0EC=90°， 设0C=R,(5分) ·BE=2 .0E=R-2, 在Rt△0EC中，CE2+0E2=0C2, 42+(R-2)2=R2, 解得R=5, .0C=5.(8分) 18.(8分) 【详解】(1)解：如图1，AD即为所作： 1/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 (4分) (2)证明：如图2，作DE⊥AB于E, 图2 :AD是∠CAD的平分线，DC⊥AC,DE⊥AB, :.DE=DC, :DE是半径，DE⊥AB, AB与⊙D相切.(8分) 19.(10分) 【详解】(1)解：如图所示，△ABC即为所求； y个 8 7 6 5 4 C B 12345678x(3分) (2)解：由图可知，点A和点B'的坐标分别为(6,4)，(5,1)：(6分) (3)解：由题意得，点A旋转到点A所经过的路线长即为AA的长， A(0,4),C(3,1), AC=V3-0)2+(1-4)2=32,(8分) 由旋转的性质可得∠ACA=90°， ·点A旋转到点A所经过的路线长= 90xX32 32π 180 2 2/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 8 7 6 5 4 B 3 CB' 012345678x(10分) 20.(10分) 【详解】(1)解：如图所示， E 0 (4分) (2)解：“AD是∠BAC的平分线， ∠BAD=∠CAD,(5分) ∴BD=CD, OD平分BC, OD⊥BC,(6分) :CE=BC=克×8=4， 在Rt△OCE中，OE=3, :0C=V0E2+CE2=5,(8分) ∴DE=0D-0E=0C-0E=2,(10分) 21.(10分) 【详解】(1)解：AB的长为：器×2π×10=5π（米），(2分) CD的长为：器×2m×4=2π（米），(4分) :5π>2m且5π-2m=3m(米). ·AB比CD长3π米；(5分) (2)解：月1的长为：器×2π×10=5m(米)，(7分) 3/9 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 R的长为：器×2m×10=7.5m(米)，(9分) 则该小汽车沿路线G一H一I一J一K行驶的时间为： 70x2+5+75=100+2.5m≈100+2.5×3.14=107.85（秒）.(10分) 14 5 22.(10分) 【详解】(I)解：：⊙O与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点G,F,E,H, :猜想AD+BC=AB+CD,(3分) (2)解：已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于⊙O相切于G,F,E,H,(5分) 求证：AD+BC=AB+CD,(7分) 证明：：AB,AD和⊙O相切， ÷AG=AH, 同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,(9分) :AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD, 即：AD+BC=AB+CD(10分) 23.(10分) 【详解】(1)解：连接OA,OP,过点P作PD⊥OC,PH⊥CA,垂足为D、H,如图： 水面 则∠PDC=∠DCH=∠PHC=90·,(2分) .四边形CDPH是矩形， ∴PH=CD, 由题意得，简车每秒转360°÷60=6·，(3分) 盛水简P浮出水面2.5秒后，此时∠A0P=2.5×6°=15°， :cos∠A0C=器=号=0.8， .∠A0C≈37.5°， .∠P0C=∠A0C+∠A0P=37.5°+15°=52.5°， ∠0PD=37.5°，(4分) 在Rt△P0D中，0D=0P·sin37.5°=3×0.6=1.8m, 4/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 PH=CD=2.4-1.8=0.6m, 答：此时盛水简P距离水面的高度0.6m:(5分) (2)解：如图，因为点P在⊙O上，且MN与⊙O相切，所以当P在直线MN上时，此时P是切点， H D 水面 M B 连接OP,所以OP⊥MN,(6分) 在Rt△OPM中，cos∠POM=器=音， .∠P0M=68°.(7分) 在Rt△0CM中，cos∠C0M=骺=装=0.3， .∠C0M=73°，(8分) .∠P0H=180°-∠P0M-∠C0M=180-68°-73°=39°， :需要的时间为器=6.5（秒），(9分) 答：从最高点开始运动，6.5秒后盛水筒P恰好在直线MN上.(10分) 24.(10分) 【详解】(1)解：(1)①如图1， Y 10 9 7 6 5 4 3 2 M怡 8-7-6-5-4-3-2-1,12345678x -6 图1 5/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P1到(0,0)和(2,0)的距离之和是2， ∴P1是线段AB的“距离2点”， :0P2=1,且2-1=1 P2到(0,0)的距离是1， :存在不同的两个点 找不到线段AB上的其他点与P2(0,1)的距离是1的 :P2不是线段AB的“距离2点”， :P3到x轴的距离是竞， :P3是线段AB的“距离2点”， 故答案是P1和P3:(3分) ②如图2， 6-5-4-3-2 01234567 8x 图2 :0P4=V32+4=5, 5-1<r<5+1, 即4<r<6:(6分) (2)解：依题意，如图3， 6/9 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 10 9 P 7 6 4 M. 23 45678 -5 6 图3 设圆心M的横坐标为x,(7分) :2AM1=2,2AM2=2, :-7<x<-1,(8分) :CM=3, :BM=32, :M(4-3V2,0), :M7,0), :4-32<x<7,(9分) 综上所述：圆心M横坐标的取值范围是-7<x<一1或4一3V2<x<7.(10分) 25.(10分) 【详解】(1)解：如图1， C W B 图1 作CW⊥AD于W,(1分) 7/9 西学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 .∠CWD=90o, § :tanD=岁， .∠D=30°， ∴CW=CD=3, Dw=cD-cosD=6×9=3V52分 :AB=BC,∠ACB=90o, .∠A=∠ABC=45o, ..AW=BW=CW=3. AD=AW+DW=3+3V3:(3分) (2)解：如图2， 图2 作CW⊥AB于W,连接DF,WP,在GD上截取GV=FG,(4分) .∠CWD=90o,∠FVG=∠GFV=45°， .∠DVF=135°， :线段DC绕点D逆时针旋转90·得到线段DE, CD=DE,∠CDE=90o, .∠DCE=∠E=45°， :点F是CE的中点， DF⊥CE, ∴.∠CFD=90o=∠CWD, CWF、D四点共圆，(5分) ∴∠FWD=∠DCE=45°，∠WCF=∠WDF, .∠CWF=135o,∠FWD=∠FVG, 8/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .WF=FV, :△CWF≌△DVF(AAS),(6分) ..CW=DV, .DV=CW= AG. 的 :DV+CV=兰AC+FG=GD, 号Ac+G=GD分》 (3)解：如图3， y R B 图3 :△HBQ沿HQ翻折得△HBQ, HB=HB, “点B在以H为圆心，BH为半径圆上运动，(8分) ·当DB与OH相切时，∠BDA最大，此时HB⊥DB', 作BR⊥AD于R,(1)知：CH=BH=3,DH=3V3, :DB=VDH2-HB2=V(35)2-32=35, :sin8D=器=3 =9分 :BR=6, saAD=AD-BR=方×(3+35)×V6=36+E 2 (10分) 9/9………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第27章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知的半径是，则中最长的弦长是（ ） A． B． C． D． 2．下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心 B．已知半径 C．已知圆心，半径 D．已知点为圆上一点 3．若的半径为6，点到圆心的距离为6，则点与的位置关系为（   ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 4．如图，点在上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是圆内接四边形的一个外角，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，与相切于点C，，，，则（   ） A． B． C． D．3 7．如图所示的是某地出土的圆形铜镜残片的复制品，某数学兴趣小组为测量其半径，将三角尺的顶点放在圆上，两边与圆的交点分别记为点，测得的长为，则铜镜的直径为（    ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ）． A．4 B． C．3 D． 9．如图，内切于正方形，边分别与切于点，点分别在线段上，且与相切．若的面积为，则的半径为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P，连结，．已知于点E，．下列结论：①；②若点P为的中点，则；③若，则；④若，则扇形的面积为．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．根据圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．已知平面内点到定点的距离始终等于，则这个圆的半径为 ． 12．如图，切于点A，B，切于点E，交于点C，D，若的周长是20，则的长是 ． 13．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点之间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为“勒洛三角形”，若等边三角形的边长为6，则“勒洛三角形”的周长为 ． 14．如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，交于点，连接．若是劣弧的中点，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 15．在中，，，，为边上一动点，交于点，交于点，连接，求的最小值 ． 16．如图，已知是的直径，，与的边分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．，则 ；若的平分线交于点，连接交于点，则 ． 三、解答题（共9小题，共86分） 17．（8分）如图，是的直径，弦于点，连接，若，． (1)求的长度； (2)求的长度． 18．（8分）如图，在中，．    (1)实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 19．（10分）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出绕点C按顺时针方向旋转后的； (2)写出旋转后点和点的坐标； (3)求点A旋转到点所经过的路线长（结果保留）． 20．（10分）如图，内接于． (1)用尺规作图作出的平分线，交于点D，连接交与E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的长度． 解：∵是的平分线， ∴______①______， ∴， ∴平分， ∴______②______， ∴， 在中，， ∴______③______， ∴______④______ 21．（10分）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． (1)如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点和点，且半径和分别为10米和4米，圆心角都为，求比长多少（结果保留）？ (2)如图4，已知五边形是一个商场，为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知和为笔直道路，且米，左转弯导向线和的圆心分别为点和点，且半径和均为10米，圆心角分别为，，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米／秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米／秒，求该小汽车沿着标线从行驶到车库门口的行驶时间为多少秒（取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 22．（10分）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 23．（10分）如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心O距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间． (1)浮出水面2.5秒后，盛水筒P距离水面约多高？ (2)若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点M，已知，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽中（即点P恰好在直线上）？（参考数据，，，） 24．（10分）在平面直角坐标系中，对于图形M和点P，若图形M上存在不同的两个点E、F，使得，则称点P为图形M的“距离2点”，设，，的半径为r，（自行画坐标图） (1)①点，中，是线段的“距离2点”是 ②是的距离2点”，求r的取值范围； (2)设的半径为2，圆心M是x轴上动点，，若折线上存在点的“距离2点”，直接写出圆心M的坐标取值范围． 25．（10分）如图，在中，，，点在的延长线上，连接． (1)如图1，当，时，求的长； (2)如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点为的中点，过点作于点．求证：； (3)如图3，在第（1）问的条件下，取的中点H，点Q为线段上的一动点，连接，将沿翻折得，连接，当最大时，直接写出的面积． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $