湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周末限时训练（12.21）

高二周末限时训练 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.直线3x+V3y-1=0的倾斜角a为() A.30 B.60° C.120° D.150° 2.设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A,B两点，则AB|=() A B.6 C.12 D.73 3.已知双曲线号-发=1(a>0,b>0)的离心率为则该双曲线的渐近线方程为() A.y=±2x B.y=±2x Cy=±x D.y=±x 4.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此双曲线存在“L点”，下 列双曲线中存在“L点”的是() A2-￥=1 B.2-号=-1C2-若=1D2-若=1 5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF·MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取 值范围是（) A.(0,1) B.(o,引 C.(o D竖， 6.已知椭圆C:之+兰=1，F1F2分别为其左右焦点，0为坐标原点，P为椭圆上一点，满足 cos∠F1PP2=子则I0PI的长为() A.V6 B.V同 C.2W2 D.5+1 7.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1,F2,P是它们的一个交点，且∠F1PF2=? 记椭圆和双曲 线的离心率分别为e1、e2,则e1·e2的最小值为() 第1页，共2页 A.3 B. C.3 D. 8已知点P在椭圆C:兰+苦=1上（点P不是椭圆的项点），R1,P,分别为椭圆C的左、 右焦点，PF2交y轴于点G,且LPF1G=∠GF1F2,则线段PF1的长为() A B. c D.v37 4 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知直线l1:mx-6y+1=0,2:x+(m-7)y+1=0,则下列结论正确的是() A.若L1/儿2，则m.=6 B.若l1/2,则m=1或m=6 C若112，则m=号 D.若12，则m=-号 10.已知x2+y2-4x+6y+k=0表示圆，.则下列结论正确的是() A.圆心坐标为(-2,3) B.当k=0时，半径r=VI3 C.圆心到直线x+y-1=0的距离为v2 D.当k=4时，圆面积为9π 11.已知圆O的半径为定长r,A是圆0所在平面内一个定点，P是圆上任意一点，线 段AP的垂直平分线1和直线OP相交于点Q当点P在圆上运动时，下列判断正确的是() 0 A.当点A在圆O内不与圆心重合)时，点Q的轨迹是椭圆 B.点Q的轨迹可能是一个定点 C.点Q的轨迹不可能是圆 D.当点A在圆O外时，点Q的轨迹是双曲线 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知双曲线C:共-y2=1〔m>0)的一条渐近线为V3x+my=0,则C的焦距为 13.已知双曲线的方程为-兰=1，如图，点A的坐标为(-3,0)，B是圆x2+0-3)2=1上的 点，点M在双曲线的右支上，则IMA+IMB列的最小值为 14.已知双曲线C:三-常=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F2点A在C上，点B在y轴上， F1A1F1B,F2A=-F2B,则C的离心率为 四、解答题：本大题共3小题，共36分。 15.设椭圆酷+茶=1(a>b>0)的左焦点为R,上顶点为B,已知椭圆的短轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (Ⅱ)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的 负半轴上.若|OW=IOFI(O为原点)，且OP⊥MN,求直线PB的斜率. 16,动点Mx,刀与定点(V3,0)的距离和它到定直线x=后的距离比为， 2 (1)求动点M(x,y)的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线与圆x2+y2=1相切，与(1)中所求点M(x,y)的轨迹交于A,B两点，且0A 0E≥4（其中0为坐标原点），求k的取值范围. 第2页，共2页 17.已知抛物线C:x2=-2py经过点(2，一1) (I)求抛物线C的方程及其准线方程； (Ⅱ)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线1交抛物线C于两点M,N, 直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的 两个定点 页 高二数学周日限时训练答案 1.解：3x+V3y-1=0, 直线的斜率k=一V3, 故直线的倾斜角a为120°， 故选：C. 2.解：由y2=3x得其焦点F(,0),准线方程为x=-三 则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为： y=tan30(x-3)=9cx-), 代入抛物线方程，消去y,得16x2-168x+9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x十2=8=受 所以AB=+是++是 3.3.21 =4+年+2=12. 故选C 3.解：由题知，e==、1+日2=号a>0,b>0) 解得=子所以渐近线方程为y=士子x 故选：D. 4.不妨设双曲线的两焦点为F1、F2: 由题意得PF1l=2PF2l,又因为PF1l-IPF2ll=2a,所以PF1l=4a,IPF2l=2a. 对于选项A,a=1,c=V5,则|PF1=4,lPF2l=2,IF1F2l=2W5,1PF1l+PF2>IF1F2, 可以构成三角形，即双曲线x2-兰=1上存在“L点”，正确； 第1页，共 对于选项B,a=1,cV10,则1PF1=4,1PF2l=2,F1F2=2V10,所以PF1l+ 1PF以<51F2不能构城三角形，即双曲线2-号=1上不存在L点，错误， 对于C、D选项，同理可知，双曲线上不存在L点，错误，故选A. 5.解：F1,F2是椭圆的两个焦点， ∠F1MF2的最大角上的位置M在短轴端点， 则椭圆上任意一点M都满足LF1MF2为锐角， 可得b>c,即b2>c2,即a2>2c2. 且e2<∴e∈(0，)，故选C 6.解：由椭圆方程可知：a=3,b=V5,c=Va2-b2=2, 可得|PF1l+PF2=2a=6,IF1F2l=2c=4, 在△F1PF2中，由余弦定理可得1F1F2I2=PF12+IPF22-2IPF1·PF2cos∠F1PF2 =(IPF1l+IPF2I)2-2PF1·IPF2l-2IPF1l·IPF2lcos∠F1PF2, 即16=36-2IPF1lPF2l-2PF·PF2,解得(PFlIPF2l=8, 因为O为线段F1F2的中点，则P可=(PF+PF2), 可得P0=(P丽+PF2=(P丽2+2P丽P丽+PF2) -子I0pF+PF2-2P·PF+2P·P1 osLF,PF.] =(62-2×8+2×8×)=6, 所以OPI的长为v6.故选：A. 7.解：不妨设梢圆与双曲线的标准方程分别为：兰+发=1(a>b>0,蒂-荒=1(a1> 0,b1>0), 设1PF1l=m,PF2l=n.m>n 则m+n=2a,m-n=2a1, :.m=a+al,n=a-a1. cos =m2+n2-4c2 1 2mn 艺=2 共4页 化为：(a+a1)2+(a-a1)2-4c2=(a+a1)(a-a1) a2+3a3-4c2=0, +=4 422得景则品≤希即e:6之号当且仅当：=号6=学时取等号。 V好3 2 故选：D 8.解：由题意可知LPF1G=GF1F2=GF2F1,又LF1PG=F2PF1,所以△PF1G~PF2F1, 所以=鹃 设PF11=九，则由椭圆的定义可知PF2=4一m, 则-9回 由角平分线定理可知=即婴= 护F21一依F2 2IGF21 又PG+1G2={PP2f=4-m,所以1GF2=8, m+2,② 又IGF1=GF2③ 由①②®可解得-；故选：C. 9.解：若L/2,则m(m-刀+6=0，解得m=1或m=6. 当m=1时，t1,2方程均为x-6y+1=0,此时L1与2重合； 当m=6时，飞1：6x-6y+1=0,2:x-y+1=0,此时4/1儿2 所以L1/2时，m=6,故A正确，B错误. 若1上2，则m-6(m-7刀三0，解得m=号，所以C正确，D错误. 故选：AC 10.解：对于A,由圆的方程x2+y2-4x+6y+k=0,可化为(x-2)2+(y+3)2=13-k, 得圆心为(2，一3)，故A不正确： 对于B,当k=0时，得圆的方程(x-2)2+(y+3)2=13,则圆的半径为r=√13，故B 正确； 对于C,由圆心为(2，-3)，得圆心到直线x+y-1=0的距离为d=2-3==V2,故C V12+12 正确； 第2页，共4 对于D,当k=4时，得圆的方程为(x-2)2+0y+3)2=9,则圆的半径为r=3,圆 的面积为S=r2=9E,故D正确.故选：BCD. 11. 解：对A选项，如图1，当点A在圆O内（不与圆心重合）时，连接QA, 图1 因为线段AP的垂直平分线1和直线OP相交于点Q, 所以QA!=1QPI, 所以QO1+IQA=1Q0I+1QP=10P1=r>IOA, 所以点Q的轨迹是以O、A为焦点，r为长轴长的椭圆，所以A选项正确； 对B选项，如图2， (0 图2 当点A在圆上时，点Q与圆心重合，轨迹为定点O,所以B选项正确： 对D,如图3，连接QA, 图3 共4页 因为线段AP的垂直平分线1和直线OP相交于点2， 所以QA=IQP, 所以IQA-1Q0l=IIQP|-I1QOI=I0PI=r<I0A, 所以点？的轨迹是以O、A为焦点，r为实轴长的双曲线，所以D选项正确； 对C选项，当点A与点O重合时，如图4， O(4) 图4 则线段AP的中垂线1与直线OP的交点即为线段OP的中点， 此时10Q|=,即点9的轨迹是以点0为圆心，半径为的圆，所以C选项错误。 故选：ABD 12解：根据题意，双曲线C:若-y2=1(m>0)的一条新近线为N3x+my=0, 则有=Vm,解可得m=3, 则双曲线的方程为号-y2=1,则c=V3+1=2, 其焦距2c=4; 故答案为：4. 13.解：取D(3,0),则点A,D是双曲线的左右焦点，由双曲线的定义，得|MA-IMD|=2a=4, ·IMA+IMBI=4+IMB+IMD≥4+IBD, 又B是圆x2+心-3)2=1上的点，圆的圆心为C(0,3),半径为1， 故BDI=ICDI-1=3V2-1,从而MAM+|MB≥4+1BD1≥3W2+3, 当点M,B在线段CD上时取等号， 即IMA+|MBI的最小值为3V2+3 第3页，共 14.解：因为F2A=-F2B, 不妨设F2B|=3x, 则|F2A=2x,IAB|=5x, 因为F1,F2为焦点且B在y轴上， 则|F2B|=IF1B|=3x, 又F1A1F1B, 由勾股定理有： IAF1l=√AB2-lBF1Z=√(5x)2-(3x)2=4x, 则COLF,AF,=份-经=青 IAF1I-IAF21=2a, 即a=x, 在△AF1F2中，由余弦定理得 IF1F2I2=IAF1IP+IAF2I2-2AF1·AFzl·cos∠F1AF2, 即4e2=（42+2x2-2(42号 解得：器 则双曲线离心率为e=S=蓝=35 a 故答案为：5 15.解：(I)由题意可得2b=4,即b=2, 则e=8=52-b2=c2, 解得a÷V5,c=1, 故椭圆方程为号+苦=1： (Ⅱ)B(O,2),设PB的方程为y=kx+2, 代入椭圆方程4x2+5y2=20, 可得(4+5k23x2+20kx=0, 共4页