寒假作业02 圆的概念与性质的应用8大必刷题型（巩固培优）九年级数学苏科版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 圆的概念与性质 一．圆的概念及特征 1.定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径 2.圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 圆可以看成：平面内到定点（圆心Ｏ）的距离等于定长（半径ｒ）的所有点组成的图形 二．与圆有关的概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，同圆中所有的半径相等。 4.优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 5.等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。 6.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 8.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 9.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 三．垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 几何表述： 在⊙O中，CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 2. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 四．圆的对称性 1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 五．圆心角、弧、弦、弦心距间关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 2.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等。 几何表述： ∵∠AOB=∠A'OB' ∴ 3.推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距（弦到圆心的距离）中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 六．圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 如图，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，∠BAC=∠BOC 推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆相关的概念 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据圆的基本概念逐一判断各说法的正确性． 本题考查了圆的基本概念，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ①半圆是圆上任意直径的两个端点之间的部分，是弧的一种，正确； ②直径是连接圆上两点且经过圆心的线段，是弦的一种，正确； ③长度相等的两条弧必须在同圆或等圆中才能称为等弧，否则不一定重合，错误； ④圆的定义是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，正确； ⑤　弦连接圆上两个不同点，，最大弦为直径， ∴，正确。 ∴ 正确的是①②④⑤， 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直径是经过圆心的弦， ∴正确，符合题意； ∵等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立， ∴错误，不符合题意； ∵相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中， ∴错误，不符合题意； ∵平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直）， ∴错误，不符合题意； 故选：． 3．（12-13九年级上·河北·期末）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本概念和命题的真假判断． 根据弧、弦、等弧等定义逐一分析各命题：①半圆是弧，正确；②弦是线段，不是圆上两点之间的部分，错误；③等弦所对的弧不一定相等，因为可能涉及优弧或劣弧，且未指定同圆或等圆，错误；④根据弧向圆心角的关系可知④正确；⑤是圆的定义，正确．因此正确命题为①和⑤． 【详解】解：半圆是圆上任意两点与直径端点围成的弧，①正确； 弦是连接圆上两点的线段，不是“部分”，②错误； 等弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，且未指定同圆或等圆，③错误； 因为能够重合的弧叫等弧，即只有在等圆或同圆中才存在等弧，所以等弧所对的弦相等，④正确； 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，⑤正确； 正确的是①④⑤． 故选：C． 题型二 圆中的弦的条数及最长弦 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的有关概念，由连接圆上任意两点的线段叫做弦，即可判断得出答案，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：圆中的弦有：、，共两条， 故选：． 6．（23-24九年级上·北京密云·期中）对于和内一点（与不重合）给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点P为的属相关点，为点关于的相关系数，在平面直角坐标系中，已知的半径为．    (1)当点的坐标为时． ①经过点的的所有弦中，最短的弦长为______； ②点关于的相关系数为______． (2)已知点，点为的属相关点，求线段的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）如图，弦经过点，当弦时，线段是经过点的圆的最短弦，过点O作于点F，，中，，当最大时，取最小值，,最小值为.设经过点的弦的弦长为，则，可取的正整数为，.故点关于的相关系数为． （2）经过点的长度为正整数的弦长度分别为，经过点的且弦长为6的弦有1条，为经过点的的最短弦．令此弦为，可得点在以为圆心,以为半径的圆上．于是． 【详解】（1）解：如图，弦经过点,当弦时，线段是经过点的圆的最短弦，理由如下，    过点作于点F，, 中，, 当最大时，取最小值， 如图，,当点F与点重合时，取最大值，即, 相应的，取最小值，最小值为. 故答案为：． 经过点的的最长弦为直径，弦长为8， ∴设经过点的弦的弦长为，则， ∵， ∴可取的正整数为6，7， 经过点的弦长为8的弦有1条，弦长为6，7的弦各有2条 ，故点关于的相关系数为． （2）解：如图，点为的4属相关点，    ∵经过点的且弦长为的弦有1条，为直径，经过点的且弦长为的弦有2条， ∴经过点的且弦长为6的弦有1条，为经过点的的最短弦． 如图，令此弦为，由（1）知，, ∴. ∴点在以为圆心,以为半径的圆上． 如图，连接并延长，交半径为的圆于点， ． ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解题的关键． 题型三 垂径定理和垂径定理的推论 7．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的作出辅助线，熟练应用垂径定理和圆周角定理．连接，根据垂径定理即可推出，然后根据圆周角定理即可推出的度数． 【详解】解：连接， 的半径垂直于弦，， ， ． 故答案为． 8．（25-26九年级上·江苏南京·月考）将任意半径为的圆按如图所示的方式折叠得到一个月牙形，若折痕到圆心的距离，则月牙形与原圆面积之比为 ． 【答案】 【分析】记圆心为，弦为，作于点，连接，，利用勾股定理推出，进而利用垂径定理得到，再根据解直角三角形，推出，最后结合扇形面积公式，对称的性质求解，即可解题． 【详解】解：记圆心为，弦为，作于点，连接，，如图所示： ， 由题意知，，， ， ， ， ， 同理可得， ， 弓形面积为：， 结合折叠性质可知，月牙形面积为， 则月牙形与原圆面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积公式，折叠的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解题的关键． 先求得，如图：过O作于F，连接，则、 ，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， 如图：过O作于F，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，掌握相关知识是解题的关键．需分两弦在圆心同侧和异侧两种情况计算距离，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可． 【详解】解：如图，当弦和在圆心同侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ，, ，， ； 如图，当弦和在圆心异侧时，作于F，交于E，连接，， ， ， ，， ，， 的半径为， ， ， ，， ； 综上所述，两弦之间的距离为或， 故答案为：或． 11．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出，进而求出结论． 【详解】解：连接，过点O作， ， ，即， ， 由圆环的面积公式可得： ， 故选：D． 12．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由垂径定理得到，由等腰三角形的性质得到，再根据线段的和差即可证明结论； （2）如图：连接，设的半径是r，则，由垂径定理得到，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：连接， 设的半径是r，则， ∵， ∴， ∵， ∴，解得： ， ∴的半径是． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，过半径的中点作交于，两点． (1)求的度数； (2)若，计算阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为 【分析】本题考查了垂径定理、扇形面积公式、等边三角形的判定与性质，利用垂径定理结合勾股定理求出圆的半径是解题的关键． （1）由为中点，，根据垂直平分线性质得，结合圆的半径，推出，故是等边三角形，即可得； （2）由垂径定理得，由角所对的直角边等于斜边的一半得，由勾股定理列方程求得、（即半径）长，由即可得出． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，即； （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的直径，，点，在上，连结，，取，的中点，，连结，． (1)若，求的长． (2)若，，求的长． (3)若，，请用的代数式表示的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知，，利用勾股定理求出的长度； （2）过点作，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理即可求出的长度； （3）根据，可知，过点作，即可求出，连结，根据三角形中位线定理可知，根据垂径定理可知，过点作，根据直角三角形的性质可知，，在中，利用勾股定理可得与的关系． 【详解】（1）解：是的直径，， ， ，点为的中点， ，， ； （2）解：如下图所示，过点作， ，点是的中点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ； （3）解：如下图所示，连结、、，过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 点、分别是、的中点， ，，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 整理得：，（负值舍去） 解得： 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、圆周角定理、三角形的中位线定理、垂径定理、直角三角形的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造直角三角形，用勾股定理找边之间的关系． 15．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题以圆为几何背景，考查了中位线定理、垂径定理、勾股定理等知识点．熟记定理内容是解题关键． （1）由题意可得且，结合“垂径定理”可得，，据此即可求解； （2）由“垂径定理”可得，，解直角三角形即可求解； （3）连接，在求出线段的长度即可． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵F为中点，O为中点， ∴且， ∵， ∴， ∵于点E， ∴， ∴； （2）解：∵弦于点E， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：连接， ∵，， ∴， ∴． 在， ∵，，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 题型四 垂径定理的应用 16．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）“圆材埋壁是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深四寸，锯道长一尺六，问径几何？”用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长是 寸．(1尺10寸) 【答案】20 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，由垂径定理得到寸，设的半径为x，则，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径，弦寸， ∴（寸）， 设的半径为x，则， ∵寸 ∴， 在中，根据勾股定理得： 即， 解得， ∴寸， 故答案为：20． 18．（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及垂径定理．解题的关键是构造由半径、半弦长、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算． 根据垂径定理的推论，可得此圆的圆心在的垂直平分线上，设圆心是O，连接．根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是圆心，设半径为，即， 依题意得：，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得： 答：圆弧门所在圆的半径为． 故选D． 19．（25-26九年级上·河南安阳·月考）有一破损的水管，截面图为一个不完整的圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规补全这个圆；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若水管直径为20cm，水面宽度，求劣弧的长．（结果保留π） 【答案】(1)作图见详解 (2) 【分析】本题考查了弦的垂直平分线性质，线段垂直平分线的作法，垂径定理，勾股定理及弧长公式的应用． （1）作的垂直平分线，交于点C，交圆于点D，连接，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆即可； （2）连接、，根据已知条件利用勾股定理求出的长度，此时，进而证得是等边三角形，进而根据圆心角的度数及弧长公式求得劣弧的长度． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图，连接、， ∵，， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∴弧的长为． 20．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 【答案】(1)10米 (2)不能顺利通过，理由见解析； 【分析】本题考查了垂径定理，点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）边接，设半径为，在中，利用求得答案即可； （2）连接， 依题意可知，，然后先求得，然后利用勾股定理求得，然后判断一下是否在圆外，即可判断出答案． 【详解】（1）解： 连接，如图所示： ∵，， ∴， 设半径为，在中，，， ∴， ∴， 答：拱桥圆弧的半径是10米． （2）解：该货船不可以顺利通过，理由如下： 连接，如图所示： 依题意可知， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∵， ∴， ∵，此时点在圆外， ∴该货船不可以顺利通过． 题型五 圆心角与圆周角 21．（2023九年级·全国·专题练习）已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可． 【详解】解：∵弦把圆周分成两部分， ∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆周角的度数为， 优弧的度数为：，即：优弧所对的圆周角的度数为， ∴弦所对圆周角的度数为或； 故选：D． 【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系，解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况． 22．（24-25九年级上·云南昭通·月考）如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角，根据圆周角定理求出的度数，然后根据同弧所对圆心角相等求出的度数，然后根据平角定义即可求解 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶D． 23．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，点、、、在半径为的上，若，，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算、圆周角定理，根据题意，先求出的度数，进一步得出的度数，最后结合弧长公式即可解决问题．掌握弧长公式及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵，圆周角和圆心角所对的弧为， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵的半径为， ∴的长为：． 故答案为：． 24．（2021·浙江杭州·二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理．连接、、，由同圆中，等弧所对的圆周角相等，得到，同弧所对的圆周角相等，，即，，在中三角形的内角和为，可以得出，在中，，，即可以得出与的关系． 【详解】解：如图，连接、、， ∵、分别是、中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中， ， ， ， ， 故选：B． 25．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本性质，解题的关键是掌握同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的一半，垂径定理，直径所对的圆周角为，等腰三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． 由垂径定理，得到，，故①③正确，证明，故②正确，推导出，得到，继而证明，得到，则，故④正确，即可解答． 【详解】解：∵是的直径，与相交于点D，， ∴， ∴，故①③正确， ∴， ∵， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，①②③④全部正确． 故选D． 题型六 作图 26．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查了复杂作图，线段垂直平分线的性质及垂径定理的综合应用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．解题时注意：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （1）根据弦的垂直平分线经过圆心，先作出两条弦的中垂线，其交点即为圆心； （2）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，即可得出点； （3）根据垂径定理，分两种情况计算点到线段的距离，即可求的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点，即为所求； （3）如图所示，连接、、、、，设交于点， 则， ，， ， 在中，， ， ，， 故的面积为或． 27．（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． (1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于F点，再作交于E点，然后延长交于D点，则满足条件； （2）过O点作于Q点，于P点，连接，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，所以，于是可判断，然后证明，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于与之间的图形的面积进行计算即可． 本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与性质． 【详解】（1）解：如图1，为所求； （2）解：如图2，过O点作于Q点，于P点，连接， 则，， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理， 该圆位于与之间的图形的面积 28．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）先连接交于点，再根据矩形的性质即可； （2）分别作，的垂直平分线交于点即可； （3）先连接交格线于点， 连接，再作直线交于点，交于点，然后作直线交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图 作法：1．连接交于点， 2．作直线交于点， 故直线即为所求． 证明：在矩形中， 点是矩形边的中点， ，即垂直平分； （2）解：如图 作法：1．连接，， 2．分别作，的垂直平分线交于点， 故点即为所求， 证明：点和点是对称点，点和点是对称点，四边形均为正方形， 垂直平分，垂直平分， 点为旋转中心； （3）解：如图 作法：  1．连接交格线于点， 连接， 2．作直线交于点，交于点， 3．作直线交于点，连接, 故点即为所求， 证明：过点作直线的垂线，垂足为点， ， ， ， ，即垂直平分， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，圆的基本性质，熟练运用以上知识作图是本题的关键． 32．（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 40．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，即为所求； （2）以为圆心，长为半径画弧，与交于点； （3）以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦即可． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，弦即为所求； 理由：， ； （2）解：如图，以为圆心，长为半径画弧，与交于点，弦和即为所求； 理由：， ； （3）解：如图，以为圆心为半径画弧，交于，连接，作，在上截取，过、两点作弦，弦即为所求． 理由： 连接，由作法可得， ， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 同理， ， ， ， ． 29．（25-26九年级上·云南丽江·月考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、C均落在格点上，点B在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，线段的长等于______； (2)如图1，以为直径的半圆的圆心为O，在半圆O上找一点D，使且； (3)如图2，以为直径的半圆的圆心为O，在半圆O上找一点E，使平分； (4)如图2，以为直径的半圆的圆心为O，线段与半圆O交于点P，在线段上画点Q使得． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）如图，取格点Y，连接，延长交于点D即可； （3）如图，取格点F，连接并延长交于点E，连接，则即为所求； （4）连接并延长交的延长线于点R，设相交于点，连接并延长交于点Q即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：如图，点D即为所求； 连接， ∵ ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故点D即为所求； （3）解：如图2，即为所求； 理由：∵格点F是中点，点是的中点， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即平分； （4）解：如图2，点即为所求． 理由：连接并延长交的延长线于点R，设相交于点，连接并延长交于点Q， ∵是的直径， ∴， ∵平分, ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识，此题综合性强，难度较大． 题型七 最值问题 30．（2025九年级上·福建泉州·专题练习）正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了圆的基本概念、等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 取的中点，连接、，根据题意得，根据等边三角形的性质得到，，，根据勾股定理求出的长，根据三角形中位线定理得到，再根据两点之间线段最短的性质即可求出的最大值． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵的半径为，是上动点， ∴， ∵正的边长为，点是的中点， ∴，，， ∴， ∵点是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 31．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂径定理， 连接，作，连接，由垂径定理得，再根据勾股定理求出即可求出，然后根据“等边对等角”得出，可得，接下来说明点F在以为直径的上运动，根据三角形的三边关系得，即点F在的延长线上时，的长最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，过点G作，于点M，连接， ∵ ∴． 在中，， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， 点F在以为直径的上运动， ∴， 当点F在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选：C. 32．（2025·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，取中点，连接，以为直径作，先确定点，在上，由圆周角定理得到，那么为等边三角形，则将的最小值转化为的最小值，再根据垂线段最短，以及解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，取中点，连接，以为直径作， ∵， ∴， ∴， ∴点，在上， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小， ∴时，最小，即最小，如图： ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 33．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，借助于圆解决线段的最值问题，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．判定出，得出，确定点在以为直径的圆弧上运动，进而可求出的最小值． 【详解】解：在正方形中，，且， ， 又，， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆弧上运动， ∵，分别是边和上的动点， ∴当点E与点D重合、点F与点A重合时，取得最小值， 由勾股定理得， ， 即的最小值是， 故答案为：． 34．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是旋转， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，为等边三角形， 有，从而，当点D、E、共线时取得最小值；由易得，则点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动，则，当且仅当三点共线时取等号；连接，过O作于点M，在中，由勾股定理得求得，即可求得结果． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴, 当且仅当点D、E、共线时取等号， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等号， ∵， ∴； 如图，连接，过O作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，一点到圆上点距离的最值等知识，利用旋转变换、构造辅助圆是解题的关键． 35．（2024·北京西城·模拟预测）如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意得点的运动轨迹是直线，作点关于这条直线的对称点，连接与直线的交点即是的周长最小值时的点，求出，再根据两点之间的距离公式即可求出此时，进而求解即可． 【详解】解：， ， 的周长为， 当取得最小值时，的周长最小． 为的直径， ， 点是直线上的动点，点是上的动点， 点的运动轨迹为． 过点作直线的对称点，可知点在直线上， 连接，交直线于点，连接，如图． 此时的最小值即为． 直线与直线相互平行，且， ， 点的坐标为 ∴ ∴周长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、圆的性质、对称性，能够找到使最小时点的位置是解答本题的关键． 36．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理得出，利用圆周角定理即可得出点在以为直径的圆上，则，可得，当、、三点共线时，有最小值，由勾股定理，可得，即可得线段的最小值． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， ∴， ∴， 当、、三点共线时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短． 37．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，以弦为边作等腰，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为3，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接、，过点作交于，与交于点，，设，，由正弦函数得，由圆周角定理得，由正弦函数得，由勾股定理得，由三角形面积得 ，设，则，，由二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：连接、，过点作交于，与交于点， ， 设，， 是等腰三角形，垂直平分， ，， ，， ，， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 当时，的最大值为， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的判定及性质，二次函数的性质求最值等；掌握圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，三角形，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用解直角三角形及二次函数的性质进行求解是解题的关键． 题型八 圆的性质综合 38．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为 ． 【答案】，或 【分析】本题考查了圆的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意得出，半径，分三种情况：作轴于点交于，此时；作轴于，交于，此时；作交轴于，交于，此时；分别利用相似三角形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：点和点，是的一条直径， ，，， ， 半径， 如图，作轴于点交于， ， 则，， ， ，， ， ； 作轴于，交于，则，， ， ，， ， ； 作交轴于，交于，则，， ， 作于，则， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ； 综上所述，点的坐标为，或， 故答案为：，或． 39．（2026九年级·海南·专题练习）如图，线段，在线段上，，点为平面内一点，且满足，以、为邻边构造，连接，则对角线的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作交的延长线于点，可证明，得，，作的外接圆，圆心为，连接、、，作于点，由，，得，则，由勾股定理求得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， 作的外接圆，圆心为，连接、、，作于点， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、两点之间线段最短、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 40．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的直径，点C在上，于E，交于点F，． (1)求证：C是的中点； (2)若，则的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）同角的余角相等，得到，圆周角相等，得到，进而得到，等边对等角，得到，进而得到，等角对等边得到，等弦对等弧，得到，即可得证； （2）由（1）得到，勾股定理求出的长，即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C是的中点； （2）由（1）可知：，， ∴， ∴的半径为． 41．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接． (1)若是的直径，且，求的面积； (2)若面积的最大值为12， ①求线段的长； ②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值． 【答案】(1)24 (2)①；②4 【分析】（1）首先得到，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）①根据题意得到当点A在延长线上时，的面积最大，连接，设，则，由垂径定理得到，然后由三角形面积求出，然后根据勾股定理求解即可； ②如图所示，延长交于点F，连接，，首先得出，然后由得到，然后等量代换得到，得到，进而由得到当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∴的面积； （2）解：①如图所示，当点A在延长线上时，的面积最大，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ； ②如图所示，延长交于点F，连接，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，弦的长为6， ∴ ∴ ∵ ∴当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度 ∴的最大值为4． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 42．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 过点作于点，延长交于点，连接，先证出是等边三角形，则，根据等腰三角形的三线合一可得，则劣弧的度数为，优弧的度数为，再分两个临界位置：①当点在优弧上时，②当在劣弧翻折后的圆弧上时，利用圆周角定理求出的度数，由此即可得． 【详解】解：如图1，过点作于点，延长交于点，连接， ∵把沿弦翻折后恰好经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 如图2，当点在优弧上时，连接， 由圆周角定理得：； 如图3，当在劣弧翻折后的圆弧上时， 作点关于弦的对称点，连接，则点在劣弧上，， 由圆周角定理得：， ∴此时； 如图4，在内有任意点，连接，则有，证明如下： ， ∵， ∴， ∴当点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界）时，． 故答案为：． 43．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，为的直径，弦，垂足为．，，，则（1）半径 ；（2）弦的长度为 ． 【答案】 5 【分析】本题主要考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接、，交于G，利用垂径定理得到，设的半径为r，则，，根据勾股定理得到，解得；再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长． 【详解】解：如图：连接、，交于G， ∵， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴，解得：； ∵， ，， 在中，，① 在中，，② 解由①②组成的方程组得到， ． 故答案为：5，． 44．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，以的斜边为直径作圆O，经过点F，点F为弧的中点，切线与直径延长线相交于点D，连接与直径相交于点P，，当时，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形、圆的性质（直径所对圆周角、弧中点性质）、切线性质、相似三角形及三角函数的应用．解题关键是利用圆的性质确定角度关系，结合三角函数和相似三角形求解线段长度． （1）连接，过点B作于H，先求出，根据求出，在中求出，最后根据求得结果； （2）连接，先证明，令，则，根据相似三角形的性质得出，再证，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵点F为弧的中点， ，， 为圆的直径， ， ，， ， ， 在中，， 设， 则， 由勾股定理，得， ， 解得，，即， 过点B作于H， ， ， ，即， ， 在中，， ； （2）连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 令，则， ， ，解得，， ， ， ， ， 故答案为：． 45．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为． (1)如图1，连结，求的度数． (2)如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结． ①求证：； ②若，，求的半径． 【答案】(1) (2)①见解析，②的半径为． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角，等腰三角形的性质，勾股定理，圆的内接四边形，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）连接，由折叠，得，证明，则是等边三角形，即可解答； （2）①先证明，推导出，即可解答．②连接，，，推导出，弧=弧，得到，推导出，得到为等边三角形，继而得到，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线所在直线，得到，由，得到，解得，或（舍去），求出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：连接，如图， 由折叠，得， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． （2）①∵与关于直线对称 ∴ ∵四边形是圆的内接四边形， ∴ ∵， ∴． ②连接，，，如图， 由(1)，可得，弧=弧， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图 ∴，即，． ∵圆心O在的垂直平分线上， ， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线所在直线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， ∴． 答：的半径为． 46．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)的半径为或 (4) 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角所对弦是直径，圆内接四边形； （1）由矩形可得，，再由内接四边形可得是直径，即可根据“勾股弦”定义解答； （2）由垂径定理可得，，再由“勾股弦”定义得到，再结合勾股定理可得，，即可证明； （3）利用（2）中规律得到，，再根据在圆心位置分类讨论，画出图形求解即可； （4）利用（2）中规律得到，，再设，半径为，则，，，，，由列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：连接， ∵矩形， ∴，，， ∴， ∵矩形是的内接四边形， ∴是直径， ∴与或是一组“勾股弦”， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴，，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴； （3）解：分别为的中点，连接，，则， ∴， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， 当在圆心同侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； 当在圆心两侧时，如图 ∵，之间距离为7， ∴之间距离为， ∴， ∴； ∴的半径为或； （4）解：连接，， ∵分别为的中点， ∴，，， ∵是的一组“勾股弦”， ∴由（2）可得，， ∵， ∴设，半径为，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵， ∴， ∴． 47．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图1，在中，直径，是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点． (1)如图2，连结，求证：． (2)如图3，当点与圆心重合时，求线段的长度． (3)在点的运动过程中，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得平分，且，即可得证； （2）易证，所以是等边三角形，从而利用特殊角解直角三角形即可得解； （3）由中点可知点M是的重心，继而得到，再根据题干可证是等腰直角三角形，最后设参求解即可． 【详解】（1）证明：∵是直径，且， ∴平分， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：解：连接，连接， 当点与圆心重合时，是直径， ∵是中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，连接， 由（1）知是中点， ∵是中点， ∴和是的中线，即点是重心， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵直径， ∴， ∴， ∴， 即， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 48．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知是的直径，A、D是上的两点，连接，线段与直径相交于点． (1)若，求的值． (2)当时． ①直接写出和的数量关系 ； ②若，，求线段的长； ③若，，则 ． 【答案】(1) (2)①；②；③45 【分析】利用圆周角定理得到，再利用特殊角的三角函数值解答即可； ①利用弧与圆心角的关系解答即可； ②利用圆周角定理导角证明，则，再代入求解即可； ③将代入得到，即可求解的度数，再由圆周角定理求解即可． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：①， 和的数量关系为， 故答案为：； ②如图， ，是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ③，， ， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，弧与圆心角的关系，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 49．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形中，，于点，以为半径作圆，交于点，交于点，点为上一点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，与交于点，延长交于点，连结，若，求的大小． (3)如图3，若的半径为15，，请用尺规作图的方法作出的角平分线，与交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查的是圆周角定理、圆心角与弧的关系、等腰三角形性质及正方形的判定与性质， （1）连接，先证明，则，再证即可得出结论； （2）连接并延长交于点M，求出，再证明，即可求出结论； （3）作出的角平分线，与交于点，连结，连接，作于点Q，证明四边形是矩形，得出，再根据勾股定理求出结论． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ∵等腰三角形中，，， ， ， ； （2）解：连接并延长交于点M， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵等腰三角形中，，， ， ， ， ， ； （3）解：按要求作出的角平分线，与交于点，连结，连接，作于点Q， ∵等腰三角形中，，， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴矩形是正方形， 的半径为15，， ， ， ， 在中， ． 50．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若经过点O，求的度数． (2)如图2，若不经过点O． ①求证：． ②连接和．若的直径为，，求，的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②， 【分析】（1）先由弧与圆心角的关系得到，再由平角的意义求出的度数，然后由圆周角定理即可求解； （2）①设，则，由圆周角定理得到，根据互余关系得到，，则，即可证明，再由等角对等边即可证明； ②如图，连接，并延长交于，连接交于，证明，，可得，求解，，证明，可得，，结合，可得，，进一步求解即可. 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. （2）证明：①连接， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴. ②如图，连接，并延长交于，连接交于， ∵为的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴. 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 51．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接． (1)如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点． ①若，求的度数； ②若，求的半径； (2)如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①连接，如图所示，先由垂径定理得到，再由题中已知条件，有，从而有，最后根据圆周角定理求角度即可得到答案；②由垂径定理可知，设的半径为，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，如图所示，先由圆内接四边形性质得到，进而证得，再由全等三角形的性质得到，最后由等腰直角三角形的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：①连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 是的直径， ∴， ， ； ②∵， ， 设的半径为， ， ， 在中，由勾股定理可知，即 ， 解得， 的半径为； （2）解：的值为． 延长至点，使，连接，如图所示： 四边形为的内接四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及垂径定理、圆中弦与弧的关系、圆周角定理、勾股定理、圆内接四边形性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟记圆的相关性质及几何性质，并灵活运用是解决问题的关键． 52．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，的直径，是上（不与点，重合）的任意一点，，为上的两点．若，则称为直径的回旋角． (1)若为直径的回旋角，且，求的大小． (2)如图，点，在上，若于点，交于点，连接交于点． ①是直径的回旋角吗？请说明理由． ②猜想的度数与度数的大小关系，并给出证明． (3)若直径的回旋角，且的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①是直径的回旋角．理由见解析；②相等．证明见解析 (3)4或6 【分析】（1）用平角减去，再除以 2 可得； （2）①利用垂径定理可知垂直平分，从而得出，再用对顶角相等和等量代换，从而证明，即是直径的回旋角； ②连接，利用可证，又用圆周角定理可知，从而可知回旋角的度数与的度数的大小相等； （3）过点作于点，过点作于点，连接，由②得回旋角的度数与的度数相等，可知，从而求出的长，则，联立可得的长度，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵为直径的回旋角， ， 又 ∵， ； （2）解：①是直径的回旋角，理由如下： ∵过圆心， ∴，即垂直平分， ， 又 ∵， ， 又 ∵， ， ∴是直径的回旋角． ②回旋角的度数与的度数相等，证明如下： 连接， 由①知：， ， ， ， 又 ∵， ， 又 ∵的度数等于度数， ∴回旋角的度数与的度数相等． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点，连接， ∵的直径， ∴， 由（2）②得回旋角的度数与的度数相等， ， ∵， ∴为等腰直角三角形， ，， ∵的周长为， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴解得或， ， ， 和都是等腰直角三角形， 当时，点在上， ， 在中， ，， 当时，点在上，同理可得， ， 综上所述：的长度为4或6． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了对新定义的理解与应用，圆的基本性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，利用前面探索的结论解决新的问题是解题的关键，属于中考压轴题． 53．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)1 【分析】（1）根据，，再利用线段的和差即可求解； （2）过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； （3）连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 54．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3． (1)若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______； (2)若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围； (3)点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】（1）如图，弦经过点M，当弦时，线段是经过点M的圆的最短弦，过点O作于点F，，中，，当最大时，取最小值，，最小值为．设经过点M的弦的弦长为，则，可取的正整数为5，6．故点关于的相关系数为3． （2）经过点N的长度为正整数的弦长度分别为，经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦．令此弦为，可得点N在以为圆心，以为半径的圆上．于是； （3）根据题意， 推导点是点为圆心，为半径的圆与的交点，点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点．运用数形结合可知，当与以点为圆心，为半径的圆外切时，，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，(下限)，从而得到解． 【详解】（1）解：如图，弦经过点M，当弦时，线段是经过点M的圆的最短弦，理由如下， 过点O作于点F，， 中，， 当最大时，取最小值， 如图，，当点F与点M重合时，取最大值，即， 相应的，取最小值，最小值为． 经过点M的的最长弦为直径，弦长为6， ∴设经过点M的弦的弦长为，则， ∵， ∴可取的正整数为5，6． 经过点M的弦长为6的弦有1条，弦长为5的弦有2条 ，故点关于的相关系数为3． （2）解：如图，点N为的4属相关点， ∵经过点N的且弦长为6的弦有1条，为直径，经过点N的且弦长为5的弦有2条， ∴经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦． 如图，令此弦为，由（1）知，， ∴． ∴点N在以为圆心，以为半径的圆上． 如图，连接并延长，交半径为的圆于点， ． ∴． ∴ （3）解：根据题意，的半径分别为3和2，故必存在经过，的长度为正整数的弦， ∴． ∵，且， ∴． ∴经过点的的长度为正整数的弦有2条，最长弦为直径，长度为6，另一条弦长为5，如图，令弦为，过点作于点D，连接， 则， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上． 即点是点为圆心，为半径的圆与的交点； 经过点的的长度为正整数的弦有1条，最长弦为直径，长度为4， 所以过点R的弦最小值要大于3， 当过点R的弦长为3时，同理可知：弦心距：， 即点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点， 当与以点为圆心，为半径的圆相交，且与相交时，满足题意； 如图，当与以点为圆心，为半径的圆外切时，，    如图，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，，    综上，时，存在点，，使得，且． 【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解题的关键． 55．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于半径为1的，线段及直线l，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段是的弦，则称线段为关于直线的引入弦． (1)如图1，点，，，，，，线段，，中，是关于某条直线的引入弦的为__________． (2)如图2，点，，点C在直线上，若线段，和中，至少有一条线段是的引入弦，直接写出点的纵坐标的取值范围． (3)如图3，线段是关于直线的引入弦，且．以点，，，为顶点的正方形与线段有公共点，请直接写出b的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据线段长度不大于圆直径判断即得；（2）设点，根据长不大于圆直径计算判断，即得；；（3）分当点M在点E的位置时，，或当点M在点G的位置时，，或解答即可． 【详解】（1）解：设的弦为d， ∵点，，，，，， ∴线段，，， ∵的半径为1， ∴直径为2， ∴d应满足， ∴是关于某条直线的引入弦的为，； （2）解：∵点C在直线上， ∴设点， ∵点，， ∴，，， ∴，不是的引入弦， 当时，， 化简，得， 解得， ∴； ∵是的引入弦， ∴， ∴； 当时，， 化简，得， 解得， ∴， 同理，， 综上，点的纵坐标的取值范围为； （3）解：对， 令，则， 解得； 令，则， ∴直线交x轴于点，交y轴于点， ∴直线与坐标轴围成的图形是等腰直角三角形， 当点M在点E的位置时，， 点M关于直线的对称点为，此时直线在第一第三象限角平分线上， 直线垂直平分线段，设垂足为P， ∵点在上， ∴， 设， 则， ∴， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； 当点M在点G的位置时，，直线在第一第三象限角平分线上， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； ∴： 当点M在点E的位置时，， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； 当点M在点G的位置时，， 若， ∴， ∴， 代入得，， ∴； ∴； 综上，b的取值范围为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，分类讨论，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 56．（2024·陕西西安·二模）（1）如图1，在中，，，，若的半径为2，点在上，是线段上一动点，连接，求线段的最小值，并说明理由．    新定义：在平面直角坐标系中，已知点为定点，对点给出如下定义，在射线上，若（，且为整数），则称是点的“倍点”． （2）如图2，点是半径为1的上一点，且，是点的“二倍点”，点为直线上一点，是否存在点，使得线段最小；若存在，请求出的最小值，并直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．    【答案】（1）线段的最小值为；（2）存在，的最小值为，此时点坐标为 【分析】 （1）过点作交于点，此时的长有最小值，求出的长即可； （2）延长至使，连接，点在以为圆心，2为半径的圆上，可求，过作垂直直线交于点，交圆于点，当、、三点共线时，的值最小，延长交轴于点，交轴于点，求出，即为的最小值；求出，，即可求． 【详解】 解：（1）过点作交于点，此时的长有最小值，    ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 线段的最小值为； （2）存在，理由如下： 是点的“二倍点”， ， 延长至使，连接，    ， ， ， 点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 点在以为圆心，2为半径的圆上， ， ， 直线与轴的夹角为， ， 过作垂直直线交于点，交圆于点， ， 当、、三点共线时，的值最小， 延长交轴于点，交轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 的最小值为，此时点坐标为． 【点睛】 本题考查一次函数的图象及性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌握一次函数的图象及性质，根据题意能够确定点的轨迹是解题的关键． 57．（25-26九年级上·陕西商洛·月考）【问题提出】 （1）如图①，点均在上，若，则锐角的度数为___________； 【问题探究】 （2）小聪遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（不与点重合），连接．求证：． 小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程； 【问题解决】 （3）如图③是一个圆形的城市广场，广场边缘分布着四个休息亭，四边形内接于，且是连接休息亭之间的步道，若，求步道的长度． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据圆周角定理解答； （2）延长至点E，使，连接，再根据“边角边”证明，可得是等边三角形，则此题可证； （3）延长至点E，使，连接，先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，然后根据勾股定理即可求出解． 【详解】解：（1）∵，且是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴． 故答案为：； （2）如图，延长至点E，使，连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）延长至点E，使，连接， ∵是的外角， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 根据勾股定理，得， 即， ∴ ∵ ∴步道的长度为． 1 / 55 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 圆的概念与性质 一．圆的概念及特征 1.定义：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫做圆。其固定的端点O叫做圆心，线段OP叫做半径。 2.圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。 圆可以看成：平面内到定点（圆心Ｏ）的距离等于定长（半径ｒ）的所有点组成的图形 二．与圆有关的概念 1.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 3.直径：经过圆心的弦叫做直径，同圆中所有的半径相等。 4.优弧、劣弧：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。 5.等圆：能够互相重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。 6.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 7.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 8.弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 9.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 三．垂径定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧 几何表述： 在⊙O中，CD是直径，AB是弦， ∵CD⊥AB，垂足为Ｅ， ∴ 2. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 四．圆的对称性 1.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 2.圆是中心对称图形，对称中心为圆心。 五．圆心角、弧、弦、弦心距间关系 1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 2.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对弦的弦心距相等。 几何表述： ∵∠AOB=∠A'OB' ∴ 3.推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距（弦到圆心的距离）中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等 六．圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半； 如图，弧BC所对的圆周角为∠BAC，圆心角为∠BOC，∠BAC=∠BOC 推论1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2.半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B ∠AC1B=∠AC2B =∠AC3B=90° 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 圆相关的概念 1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）给出下列说法：①半圆是弧；②直径是弦；③长度相等的两条弧是等弧；④在同一平面中，到定点的距离等于定长的点的集合是圆；⑤A，B是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是．其中，正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤ 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的是（   ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A． B． C． D． 3．（12-13九年级上·河北·期末）下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（     ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤ 题型二 圆中的弦的条数及最长弦 5．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图所示，点，，，点，，以及点，，分别在一条直线上，则圆中弦的条数为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·北京密云·期中）对于和内一点（与不重合）给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点P为的属相关点，为点关于的相关系数，在平面直角坐标系中，已知的半径为．    (1)当点的坐标为时． ①经过点的的所有弦中，最短的弦长为______； ②点关于的相关系数为______． (2)已知点，点为的属相关点，求线段的取值范围． 题型三 垂径定理和垂径定理的推论 7．（25-26九年级上·福建厦门·月考）如图，的半径OC垂直于弦，D是优弧上的一点（不与点A，B重合），若，则等于 ． 8．（25-26九年级上·江苏南京·月考）将任意半径为的圆按如图所示的方式折叠得到一个月牙形，若折痕到圆心的距离，则月牙形与原圆面积之比为 ． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）已知：如图，是的直径，弦交于E点，，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知的半径为，弦，，，则两弦之间的距离为 ． 11．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 13．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，过半径的中点作交于，两点． (1)求的度数； (2)若，计算阴影部分的面积． 14．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，是的直径，，点，在上，连结，，取，的中点，，连结，． (1)若，求的长． (2)若，，求的长． (3)若，，请用的代数式表示的长． 15．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为的中点，且． (1)求的长． (2)当时，求的长． (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 题型四 垂径定理的应用 16．（25-26九年级上·江苏镇江·月考）某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为 ． 17．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）“圆材埋壁是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深四寸，锯道长一尺六，问径几何？”用数学语言可表述为：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则直径的长是 寸．(1尺10寸) 18．（25-26九年级上·河北唐山·月考）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26九年级上·河南安阳·月考）有一破损的水管，截面图为一个不完整的圆． (1)请用无刻度的直尺和圆规补全这个圆；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若水管直径为20cm，水面宽度，求劣弧的长．（结果保留π） 20．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，已知一座圆弧形拱桥，圆心为点，桥下水面宽度，过作于点，． (1)求该圆弧形拱桥的半径； (2)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请通过计算说明该货船能否顺利通过． 题型五 圆心角与圆周角 21．（2023九年级·全国·专题练习）已知弦把圆周分成两部分，则弦所对圆周角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 22．（24-25九年级上·云南昭通·月考）如图， 是的直径，， 若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 23．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，点、、、在半径为的上，若，，则的长为 （结果保留）． 24．（2021·浙江杭州·二模）如图，锐角三角形内接于，点、分别是、的中点，，，则（    ） A． B． C． D． 25．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，与相交于点D，，连接，，点C为上一点，且，连接，交于点E，交于点F，连接．现给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型六 作图 26．（25-26九年级上·山西运城·月考）如图，已知线段 (1)作使得线段为的两条弦（要求尺规作图，保留作图痕迹） (2)在（1）中的上找出点，使得点到、两点的距离相等 (3)在（2）中，若，的半径为5，求的面积． 27．（2025·广东深圳·二模）如图，圆内有一点M，弦与点M分别位于圆心的异侧． (1)尺规作图：作过点M的弦，使得不写作法，保留作图痕迹； (2)在（1）中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦与所夹的面积． 28．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．    (1)如图1，点是矩形边的中点，过点画矩形的一条对称轴交于； (2)如图2，△ABC和△DEF的顶点分别与小正方形的顶点重合，若△DEF是△ABC绕点O旋转得到的，请在图中画出旋转中心； (3)如图3，圆经过两个格点，以及格线上的点，作劣弧的中点；并在优弧上找一点，使得； 32．（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 40．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知是的一条弦，请根据要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)在图①中，利用无刻度的直尺作一条弦，使； (2)如图②，点是上的一点，利用无刻度的直尺和圆规作弦，使； (3)如图③，过圆心作于，点是内的一点，连接，若利用无刻度的直尺和圆规作弦，使经过点且． 29．（25-26九年级上·云南丽江·月考）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A、C均落在格点上，点B在网格线上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)如图1，线段的长等于______； (2)如图1，以为直径的半圆的圆心为O，在半圆O上找一点D，使且； (3)如图2，以为直径的半圆的圆心为O，在半圆O上找一点E，使平分； (4)如图2，以为直径的半圆的圆心为O，线段与半圆O交于点P，在线段上画点Q使得． 题型七 最值问题 30．（2025九年级上·福建泉州·专题练习）正的边长为，的半径为，是上动点，点在上且，则的最大值为 ． 31．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于，两点，与轴交于，两点，为上一动点，于点，则点在上运动过程中，线段的长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 32．（2025·陕西西安·模拟预测）在 中，，，，延长 至点 ，过点 分别作 ，交直线于点，作，交直线于点，连接，线段的最小值为 ． 33．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是 ． 34．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 35．（2024·北京西城·模拟预测）如图，已知点，点B、C分别是直线，上的动点，以为直径作，则周长的最小值为 ． 36．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，以点为圆心，为半径画，点在上运动，连接，交于点，点为线段的中点，连接，则线段的最小值为 ． 37．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，以弦为边作等腰，，且点，，按顺时针排列，的垂直平分线交于点，连接，．若的半径为3，则当弦长度变化时，面积的最大值为 ． 题型八 圆的性质综合 38．（2024·江西上饶·二模）如图，在平面直角坐标系中，是的一条直径，已知点和点，点是上的一个动点，当线段截所得的三角形与相似时，点的坐标为 ． 39．（2026九年级·海南·专题练习）如图，线段，在线段上，，点为平面内一点，且满足，以、为邻边构造，连接，则对角线的取值范围为 ． 40．（25-26九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的直径，点C在上，于E，交于点F，． (1)求证：C是的中点； (2)若，则的半径为 ． 41．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接． (1)若是的直径，且，求的面积； (2)若面积的最大值为12， ①求线段的长； ②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值． 42．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，把沿弦翻折后恰好经过圆心，点是阴影部分内任意一点（包含除点、之外的边界），则的度数的取值范围是 ． 43．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，为的直径，弦，垂足为．，，，则（1）半径 ；（2）弦的长度为 ． 44．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，以的斜边为直径作圆O，经过点F，点F为弧的中点，切线与直径延长线相交于点D，连接与直径相交于点P，，当时，则 ， ． 45．（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为． (1)如图1，连结，求的度数． (2)如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结． ①求证：； ②若，，求的半径． 46．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）定义：若圆中两条弦的平方和等于直径的平方，则称这两条弦是一组“勾股弦”． (1)如图①，矩形是的内接四边形，与________是一组“勾股弦”（填一条弦即可）； (2)如图②，是的一组“勾股弦”，，求证：； (3)已知是的一组“勾股弦”，且，若之间距离为7，求的半径； (4)如图③，已知是的一组“勾股弦”，分别为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，且，求的值． 47．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图1，在中，直径，是上的动点，过点作交于点．连结，取的中点，连结交于点，延长交于点． (1)如图2，连结，求证：． (2)如图3，当点与圆心重合时，求线段的长度． (3)在点的运动过程中，当时，求的面积． 48．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图所示，已知是的直径，A、D是上的两点，连接，线段与直径相交于点． (1)若，求的值． (2)当时． ①直接写出和的数量关系 ； ②若，，求线段的长； ③若，，则 ． 49．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知等腰三角形中，，于点，以为半径作圆，交于点，交于点，点为上一点．    (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，当时，与交于点，延长交于点，连结，若，求的大小． (3)如图3，若的半径为15，，请用尺规作图的方法作出的角平分线，与交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹），并求出的长． 50．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知，是的弦，于点，且，连接． (1)如图1，若经过点O，求的度数． (2)如图2，若不经过点O． ①求证：． ②连接和．若的直径为，，求，的长． 51．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图1，图2，在中，为直径，为圆上的两个动点，连接． (1)如图1，当点与点位于同侧时，连接，若于点． ①若，求的度数； ②若，求的半径； (2)如图2，当点与点位于异侧（点不与点重合）时，连接．若，直接写出的值． 52．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，的直径，是上（不与点，重合）的任意一点，，为上的两点．若，则称为直径的回旋角． (1)若为直径的回旋角，且，求的大小． (2)如图，点，在上，若于点，交于点，连接交于点． ①是直径的回旋角吗？请说明理由． ②猜想的度数与度数的大小关系，并给出证明． (3)若直径的回旋角，且的周长为，请直接写出的长度． 53．（2025·广西钦州·二模）综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 54．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3． (1)若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______； (2)若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围； (3)点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围． 55．（25-26九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于半径为1的，线段及直线l，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段是的弦，则称线段为关于直线的引入弦． (1)如图1，点，，，，，，线段，，中，是关于某条直线的引入弦的为__________． (2)如图2，点，，点C在直线上，若线段，和中，至少有一条线段是的引入弦，直接写出点的纵坐标的取值范围． (3)如图3，线段是关于直线的引入弦，且．以点，，，为顶点的正方形与线段有公共点，请直接写出b的取值范围． 56．（2024·陕西西安·二模）（1）如图1，在中，，，，若的半径为2，点在上，是线段上一动点，连接，求线段的最小值，并说明理由．    新定义：在平面直角坐标系中，已知点为定点，对点给出如下定义，在射线上，若（，且为整数），则称是点的“倍点”． （2）如图2，点是半径为1的上一点，且，是点的“二倍点”，点为直线上一点，是否存在点，使得线段最小；若存在，请求出的最小值，并直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．    57．（25-26九年级上·陕西商洛·月考）【问题提出】 （1）如图①，点均在上，若，则锐角的度数为___________； 【问题探究】 （2）小聪遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（不与点重合），连接．求证：． 小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程； 【问题解决】 （3）如图③是一个圆形的城市广场，广场边缘分布着四个休息亭，四边形内接于，且是连接休息亭之间的步道，若，求步道的长度． 13 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $