专题03 勾股定理（期末复习讲义，5知识+16大题型+过关分层练）七年级数学上学期新教材鲁教版五四制

该初中数学勾股定理期末复习讲义通过表格系统梳理知识模块，将勾股定理及逆定理、勾股数、几何图形计算等核心考点按“基础概念-应用方法-实际建模”递进呈现，用知识框架图明确重难点分布及内在联系，培养学生几何直观与空间观念。 讲义亮点在于“题型+技巧”双轨设计，涵盖证明、折叠、最短路径等16类题型，如折叠问题通过设元构造直角三角形列方程，培养运算能力与模型意识。分层练习适配不同学生，教师可据此实施精准教学，助力学生系统提升。

专题03 勾股定理（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 勾股定理 1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a² + b² = c²）。 2. 验证与证明：了解常见证明方法（如赵爽弦图）。 3. 基本应用：已知直角三角形的任意两边，求第三边。 1. 能复述并推导勾股定理。 2. 理解并应用公式进行直接计算。 必考核心，主要在选择题、填空题、解答题中考查：①直接代入公式求边长；②在简单实际问题中应用。 2. 勾股定理的逆定理 1. 逆定理内容：如果三角形三边满足 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。 2. 应用：判定一个三角形是否为直角三角形。 1. 能区分定理与逆定理的条件和结论。 2. 理解并应用逆定理进行三角形形状判定。 高频考点。考查方式：①给出三边长度，判断形状（易与三边关系定理混淆）；②与网格、坐标系结合，证明垂直关系。 知识点01 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为 a, b，斜边为 c，则 a² + b² = c²。 本质：揭示了直角三角形三边之间的确定数量关系。 用途：在已知直角三角形任意两边的前提下，求第三边。即“知二求一”。 知识点02勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角是直角。 用途：在已知三角形三边长度时，判定其是否为直角三角形，并确定直角的位置。 知识点03勾股数 概念：能够构成直角三角形三边长的一组正整数。如 (3, 4, 5)、(5, 12, 13) 及其整数倍 (6, 8, 10) 等。 意义：是勾股定理的实例化，熟记常用勾股数能简化计算、快速验证。 知识点04几何图形中的计算 核心思想：在非直角三角形的图形（如等腰三角形、梯形、菱形等）中，通过作高等辅助线，构造出直角三角形，从而将问题化归为勾股定理的基本应用。 典型场景：求等边三角形的高、求等腰梯形的腰长等。 知识点05实际问题的建模与应用 最短路径问题：解决立体图形（如长方体、圆柱）表面两点间的最短距离。关键步骤是“化曲为直”——将立体图形的相关表面展开成平面图形，在展开图中连接两点，利用勾股定理计算这条线段（最短路径）的长度。 折叠问题：将图形折叠视为轴对称变换。折叠前后有重叠的边、角相等。解题时，常设未知数，将相关线段集中到一个新构造的直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。这是方程思想与几何结合的典范。 题型一、勾股定理的证明 解｜题｜技｜巧 掌握经典面积证法（如赵爽弦图）。核心思路是：用两种不同方式表示同一个大图形的面积，然后建立等式，化简后得到 a²+b²=c²。理解此过程比死记步骤更重要，它体现了数形结合与等积变换思想 【典例1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明．根据四个全等的直角三角形面积加上小正方形的面积等于大正方形的面积列式，整理后即可得到结论． 【详解】证明：∵， 整理，得， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 【答案】(1)①，；②，；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． （2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理． 【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为． ②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为． ③由面积相等可得， 展开得， 整理得． （2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为， ∴， ∴， 两边同乘得， 整理得，验证了勾股定理． 题型二、以直角三角形的边为边的图形面积 解｜题｜技｜巧 此类题常以直角边、斜边为边长向外作正方形。解题关键：牢记以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和。此结论是勾股定理的几何直观，可直接用于面积计算或证明。 【典例2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边． 利用勾股定理，分别得出同一个直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 根据勾股定理，得，， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是 ． 【答案】61 【分析】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型． 根据勾股定理可知：直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方．两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积． 【详解】解：如下图： 由勾股定理可知：， ∴， ∴． 故答案为：61． 题型三、勾股定理与网格图 解｜题｜技｜巧 在网格中，利用割补法计算相关正方形面积，或利用两点间距离公式（实质是勾股定理）求线段长。关键在于将网格点转化为直角三角形的顶点，借助网格的垂直特性构造直角三角形。 【典例3】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，结合正方形网格，逐一画图计算后判定即可． 【详解】解：A．如图，，该选项不符合题意； B．如图，，该选项不符合题意； C．在正方形网格中找不到这样的格点，使得，该选项符合题意； D． 如图，，该选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，网格中单位长度为1，再根据勾股定理即可求出每个线段的长度． 【详解】解：根据网格可知，， ， ， ， ， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查网格中求边长，勾股定理．根据网格图及勾股定理，即可解答． 【详解】解：由题意及图，得 ，，， ∴四边形的边长为整数的边是和． 故选B． 题型四、勾股定理与图形的折叠 解｜题｜技｜巧 折叠即轴对称。解题步骤：1.标出所有等量（重合边、角）；2.将所求线段与已知线段集中于一个新构造的直角三角形中；3.设未知数，利用勾股定理建立方程求解。核心是“设元列方程”。 【典例4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．设，利用折叠的性质和勾股定理列方程求解，求出，再证明，得到，求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ，即， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：，． 【变式1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 【答案】5 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．因为将折叠使点恰好落在边上的点，，已知，由勾股定理可求得长，则可求，设，则，，在中用勾股定理列方程即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， 又∵将折叠使点恰好落在边上的点， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 即的长为5． 题型五、用勾股定理理解三角形 解｜题｜技｜巧 勾股定理是边长关系的特例。更一般地，若 a²+b² > c²，则对角为锐角；若 a²+b² < c²，则对角为钝角。这提供了通过纯计算判断三角形形状（锐角、直角、钝角）的代数方法。 【典例5】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了平行线的性质和勾股定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得出，据此得出三角形是直角三角形，结合和的长进行计算即可． 【详解】解：， 、 在中， 故答案为：13． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，是高，是角的平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查勾股定理，角平分线，三角形的内角和定理 ， （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质得到，再结合，，计算即可． （2）根据勾股定理得到，结合面积公式， 得到，计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 在中，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的度数为， 的度数为． （2）解：∵， ∴是直角三角形， 在直角三角形中，，， 由勾股定理得：， 在中，是高， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 【答案】（1）10，；（2）的边BC的“中偏度值”为；（3）的边BC的“中偏度值”为6或 【分析】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理及应用，解答本题的关键是掌握分类讨论的思想方法． （1）根据题意和题目中的数据，可以计算出， 中边上的高和该边上的中点到的距离， （2）根据“中偏度值”的定义即可求解； （3）分两种情况：当在外部时，当在内部时，画出图形，分别计算即可． 【详解】解：（1）在中，，，， ， 设BC边上的高为h， ， ， 故答案为：10，； （2）作的中线，高线，如图， 由（1）知，，， 为斜边上的中线，， ， ， 则的边BC的“中偏度值”为； （3）①当在外部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为2， 则的边BC的“中偏度值”为； ②当在内部时，作的中线，如图， ，，，， ，， ， 为的中线， ， ， 即点E到的距离为7， 则的边的“中偏度值”为； 综上所述，的边的“中偏度值”为6或 题型六、以弦图为背景的图形面积 解｜题｜技｜巧 弦图是证明勾股定理的经典图形，由四个全等的直角三角形围成一个中空的正方形。解题时，需识别图形中的全等关系，并利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和的关系进行计算。 【典例6】（24-25八年级下·山东济南·月考）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出的长度， 然后利用外围周长即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴ ， ∴风车的外围周长是； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．146 C．169 D．196 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理；先求出小正方形的边长，再求出直角三角形的长直角边，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵小正方形的面积是36， ∴小正方形的边长为， ∵直角三角形的短直角边是5， ∴直角三角形的长直角边是， ∴大正方形的面积为， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意所求阴影部分面积为，再根据所给条件求面积即可． 【详解】解：如图， ，， 阴影部分面积， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 青出与青入的三角形全等， ， ， ， ， ，， ， 阴影部分面积 ， 故选：A． 题型七、判断三边构成构成直角三角形 解｜题｜技｜巧 严格使用勾股定理的逆定理。步骤：1.确定最长边为潜在斜边 c；2.计算两短边平方和 a²+b² 与 c² 比较；3.若相等，则是直角三角形。易错点：未将最长边作为斜边计算。 【典例7】（25-26八年级上·江苏南京·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和与勾股定理，运用分类分析思想，关键是分别从角和边的角度判断，易错点是对勾股定理的逆定理或角度和为的判定条件理解不透彻；解题思路：分别从角的关系（内角和）和边的关系（勾股定理逆定理）对每个选项逐一分析，判断是否为直角三角形． 【详解】选项A：因为三角形内角和为， ， 所以 ， 则为直角三角形，不符合题意； 选项B：设, ,， 则， 解得， 则, , ， 所以不能判断为直角三角形，符合题意； 选项C：因为 即， 即， 所以为直角三角形，不符合题意； 选项D：因为， 即， 故为直角三角形，不符合题意； 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内角和定理及三角形的分类，涉及的知识点是 “三角形内角和为 ”“锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义”．解题方法是利用内角和定理，结合各选项的角度关系列方程，求出最大角的度数，进而判断三角形类型；解题关键是通过设未知数将角度关系转化为方程，准确计算最大角的度数．易错点是角度比例或倍数关系转化时设未知数错误，导致计算出的角度不符合三角形分类．解题思路为：对每个选项，根据角度关系设未知数，结合内角和为 列方程，求出各角的度数，判断最大角的类型，进而确定三角形类型． 【详解】选项A：，且 ，∴ ，，故是直角三角形，A错误． 选项B：设 ， ，则 ，，，故是直角三角形，B错误． 选项C：设 ，， （由 和 得），则 ，，，故是钝角三角形，C错误． 选项D：设 ，，；，．则 ，，，故是直角三角形，D正确． 故选D． 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·期中）在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件： ①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键． 利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故②符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故④符合题意； ∵，， ∴， ∴为直角三角形，故⑤符合题意； ∵， ∴， ∴， 无法判断的形状，故⑥不符合题意； 综上可知：能判定为直角三角形，共5个， 故选：． 题型八、利用勾股定理逆定理的求解 解｜题｜技｜巧 此类题通常将逆定理作为隐含条件。已知三角形三边满足 a²+b²=c²，即可在推理中直接使用“该三角形为直角三角形”这一结论，从而为后续运用勾股定理、三角函数或证明垂直提供关键前提。 【典例8】（24-25七年级上·山东东营·期中）已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别算出每条边的长度，又因为，得出这个三角形是直角三角形，结合等面积法进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形三边之比为，周长为， ∴，，， ∵， ∴这个三角形是直角三角形， ∴这个三角形的面积， 则最长边上的高， ∴这个三角形的最长边上的高为， 故答案为： 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【答案】45 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明是解题的关键，属于中考常考题型．首先证明，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中利用勾股定理表示出即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是由翻折而来， ∴，，． 设， 在中，∵，，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：45． 【变式2】已知：如图，四边形中，，，，且，试求： (1)的度数． (2)四边形的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等边对等角． （1）连接，根据勾股定理得到，根据等边对等角得到，根据可知，进而可知； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）知和是直角三角形， ∴． 题型九、勾股定理逆定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 用于解决“是否垂直”、“是否符合直角”的判定问题。如测量土地、检验墙角。方法：测量三边长度，计算验证是否满足平方和关系。建模思路：将实际问题中的距离抽象为三角形三边。 【典例9】（25-26七年级上·山东烟台·期中）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【答案】空地的面积是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：连接， 在中，米，米，米，米， （米）， ， ， 是直角三角形，且， 答：空地的面积是. 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)B，N之间的距离为36米 (2)珍珍的观点正确 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）先求出线段的长，进而求出线段的长，则可证明，得到，即，再由垂线段最短即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得（米）， 答：B，N之间的距离为36米； （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，由勾股定理得米， ∴， ∴， ∴，即， ∴由垂线段最短可知，是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 题型十、勾股定理应用-梯子移动问题 解｜题｜技｜巧 将梯子、墙、地面抽象为直角三角形（斜边为梯长）。梯子滑动时，斜边长度不变。关键在于：在滑动前后的两个直角三角形中，分别利用勾股定理，并通过不变的梯长建立等量关系或方程。 【典例10】（24-25七年级上·山东淄博·期中）一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动 米． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．首先利用勾股定理得出的长，进而求出的长，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 故， 梯子顶端沿墙下滑米， ，， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2025八年级上·辽宁·专题练习）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端A距地面有远 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长即可； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这个梯子的顶端A距地面有远； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ∴， ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 【变式2】（22-23八年级上·山西临汾·月考）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 【答案】（1）；（2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是．理由见解析；（3）在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可； （2）首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （3）根据题意求出能够到达墙面的最大高度，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在中，， ， 答：这架云梯顶端距地面的距离有； （2）云梯的底部B在水平方向滑动到的距离不是， 由（1）可知， ． 在中，， ， ； （3）若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的， 则能够到达墙面的最大高度为． ， ， 在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的墙头去救援被困人员． 题型十一、勾股定理应用-折断大树问题 解｜题｜技｜巧 模型为：树干（竖直）、折断部分（斜边）、剩余底部（水平直角边）构成直角三角形。设未知数，利用“折断部分长度+竖直部分高度=原树高”以及勾股定理建立方程组求解。 【典例11】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理的应用，由题意得米，米，由勾股定理求出（米）即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得米，米， ∴（米）， ∴这棵大树在折断前的高度为（米）， 故选：． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高 ． 【答案】18 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长度，进而即可求出这棵树折断前高度． 【详解】解：根据题意得，， 在中，， ， 这棵树折断前高为， 故答案为：18 【变式2】（20-21八年级下·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 ． 【答案】3.2尺 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 解得：， ∴折断处离地面的高度为3.2尺， 故答案为3.2尺． 题型十二、勾股定理应用-水中的筷子问题 解｜题｜技｜巧 模型：将筷子斜插水中，露出部分、水下部分和水深构成直角三角形。筷子总长不变。解题时，将两次不同插入方式下的状态，分别抽象为两个直角三角形，利用勾股定理和总长不变联立方程。 【典例12】（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形，利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：1丈尺，葭生其中央， 尺， 在中，根据题意列方程得，， 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键． 【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺， 尺， 尺 在中，， 解得， 即芦苇长13尺， 水深为（尺）， 故答案为：12． 题型十三、勾股定理应用-高度测量问题 解｜题｜技｜巧 常涉及不可直接测量的高度（如建筑物）。利用工具（如测角仪）和地面长度构造直角三角形。若测量点到物体底部的距离 a 和观察的仰角，则物体高度 h = a * tanθ，但纯勾股问题更侧重利用影子长度等构造直接可解的Rt△。 【典例13】（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1) (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，利用勾股定理可求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ∵， ∴． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则， 在中，，，， 由勾股定理，得， ∴或（舍去）， ． 答：小明同学应该再放出8米线． 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【答案】12.25米． 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题的关键是熟练地掌握勾股定理的应用． 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方，建立方程，解方程即得． 【详解】解：设旗杆的高为x米， 由左图，根据勾股定理得，绳长的平方，右图，根据勾股定理得，绳长的平方， ∴， 解得，米． 答：旗杆的高度是12.25米． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 题型十四、勾股定理应用-航海问题 解｜题｜技｜巧 典型题型：两船从同一点出发，一船向北，一船向东，求某时刻两船距离。模型：两者的航行路线构成直角三角形的两直角边，所求距离为斜边。直接用勾股定理计算。注意单位统一和方向垂直的识别。 【典例14】（25-26八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南川·月考）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 【答案】海里/时． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出的长度，从而根据速度公式可得出船航行的速度． 【详解】解：由题意得，海里，海里， 在中，海里， ∵航行了2小时， ∴船航行的速度海里/时． 答：此船的航行速度为12海里/时． 题型十五、勾股定理应用-台风影响问题 解｜题｜技｜巧 将台风中心视为圆心，影响半径为 R，目标地点视为一点。计算该点与台风中心的距离 d，比较 d 与 R：若 d ≤ R，则受影响。距离 d 常需用勾股定理求出（在坐标系中）。 【典例15】（13-14八年级下·四川·月考）如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)城是否受到这次台风的影响？为什么？（提示：作，求出就可判断是否会受影响．） (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？（提示：以为圆心，以200为半径画弧交于、，连接，可求出，然后计算受影响时间．） 【答案】(1)城会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查了含直角三角形的性质，勾股定理的实际应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点作，垂足为，利用含角的直角三角形的性质解答即可； （2）以为圆心，以200为半径画弧交于、，连接，，利用勾股定理求出的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得：，， ∴， ∴在中，， ∵， ∴城会受到这次台风的影响； （2）解：以为圆心，以200为半径画弧交于、，连结，，如图所示： ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴受影响时间（小时）． 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)海港受台风影响的时间会持续h 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 【变式2】（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)会，影响的时间为1小时 【分析】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，理解图示，掌握勾股定理的运用是关键． （1）根据方位角的定义，结合图形得到，是等腰直角三角形，是等腰三角形，，设，则，由此得到数量关系列式求解即可； （2）如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，是等腰三角形，， 设，则， ∵（海里），， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则， ∴圆心M到直线的距离（海里）（海里）， ∴该船会受到影响， ∵，， ∴H为中点，且， ∴， ∴船受到影响时间为小时． 题型十六、勾股定理应用-最短路径问题 解｜题｜技｜巧 核心：将立体表面展开为平面。步骤：1.确定展开方式（长方体通常有多种，需比较）；2.在展开图上连接两点；3.此线段即为最短路径，其长度用勾股定理计算。关键：正确画出展开图，找到对应的直角三角形。 【典例16】（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 要求所用蚂蚁走的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图，， 故它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题．将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将盒子侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求， 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜， ，，，， ， ， ， ， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 49．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，由三线合一可得，再利用勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵，，， ∴， ∴， 故选：． 50．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理. 根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， ∵在中，， ， ， ． 故选：A． 51．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于，由作图可知是的角平分线，可证，得到，，即得，利用勾股定理得，设，则，在中，利用勾股定理求得，最后根据三角形的面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：B． 52．（24-25八年级上·山东青岛·期末）以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，6， B．1， C．10，24，26 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； C．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 53．（24-25八年级下·山东济宁·期末）的三边长分别为，由下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理、勾股定理逆定理，解题的关键是熟练运用这些知识判断三角形是否为直角三角形． 分别根据三角形内角和、勾股定理逆定理，对每个选项进行分析，判断是否能得出三角形为直角三角形． 【分析】A．所有三角形的内角和均为，无法判定为直角三角形，本选项不符合题意． B．将等式变形为，符合勾股定理的逆定理，说明为斜边，对应角为直角，故是直角三角形，符合题意． C．计算各边平方：，，．因，不满足勾股定理，本选项不符合题意． D．角度比为，总份数为，最大角为，均为锐角，无直角，本选项不符合题意． 故选：B． 54．（24-25八年级下·全国·期中）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，设两个小时后两船的位置分别为、，由方向角得出；再由时间与速度之间的关系得出，然后运用勾股定理求的长，即可完成解答． 【详解】解：如图所示，设后两船的位置分别为、， 则， ， 即后，两船相距． 故选：C． 55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 【答案】25 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，将立体图形展开在平面中求解是解题的关键．先得到长方体侧面展开图，再利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，将长方体的侧面展开在同一平面内， 由题意，得，， 在中，由勾股定理得：， 解得：负值已舍去 故答案为： 56．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，各边的长如图所示，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理；先利用勾股定理列方程求出，再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得， 解得， 所以的面积． 57．（24-25八年级上·山东青岛·期末）有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 米； 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 41．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡58．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算、判定即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴以7，24，25三根木棒能摆成直角三角形，以15，20，25三根木棒能摆成直角三角形，即C选项符合题意． 故选：C． 59．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理等知识，过点F作于点H，则，得出是等腰直角三角形，，，由含30度直角三角形的性质得出，设，则，，根据勾股定理求出，进而即可求出． 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 60．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识点，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：过点B作，且使，连接，先由勾股定理求出，，证明，进而依据“”判定和全等得，继而得，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，据此即可得出的最小值． 【详解】解：如图：过点B作，且使，连接， 在中，，，， ∴， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点F，E，A共线时，为最小，最小值是， 的最小值是 故选：B． 61．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的展开图求最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 62．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及勾股定理．如图，过点作于，点、在上，且，利用三角函数的定义求出，利用勾股定理求出、的长，即可得出的长，根据时间=距离÷速度即可得答案． 【详解】解：如图，过点作于，点、在上，且， 由题意可知：，， ∴， ∵火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响， ∴当火车行驶在、之间时，会受到噪音的影响， ∴， 同理可得：， ∴， ∵火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶，， ∴点处受噪音影响的时间为． 故选：B． 63．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 64．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 【答案】 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，勾股定理. 将中间半圆柱的凸起展平，使原来的长方形长增加而宽不变，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将中间半圆柱的凸起展平，长度变为半圆周长，连接， ∴，则， 在长方形中，，， 由勾股定理，得， ∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为：． 65．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D为中点，，交于点E， 交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用． （1）延长到N，使，连接，，证明，得到，，根据勾股定理解答； （2）设，则，，在中，，在中，，由（1）知，，进而得，再得关于x的方程，解方程进一步求解即可． 【详解】（1）证明：延长到N，使，连接，， ∵D是中点， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在中，， ∴； （2）解：设，则，， 在中，， 在中，， 由（1）知，， ∴， ∴， 解得， ∴． 66．（24-25八年级下·山东聊城·期末）随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 【答案】(1)能，理由见详解 (2)秒 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形的面积． （1）过点C作于点D，根据，，的长，可得出，进而可得出，再结合三角形的面积公式，即可求出的长，再和相比即可得出答案． （2）设点E，F在直线上，且利用勾股定理，可求出长，进而可得出，的长，再利用时间等于路程除以速度，即可求出结论． 【详解】（1）解：汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号，理由如下∶ 过点C作于点D，如下图1所示： ∵，，，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号． （2）解：设点E，F在直线上，且，如图2所示． 在中，，， ∴， 同理∶， ∴， ∴(秒)． 答：有秒可以接收到信号． 67．（24-25八年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上 (1)如图1，的长度为 ，中边上的高的长度为 ． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)如图4，的度数为 ． 【答案】(1)； (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意画出图形是关键． （1）依据题意得求出长，利用割补法求出再根据即可求出的长； （2）依据题意构造 由勾股定理求出、和的长，根据三角形三边关系解答即可； （3）依据题意，作点关于的对称点， 连接， ， 可得 判断是等腰直角三角形，且从而得到 解题即可． 【详解】（1）解：设边上的高的长度为， 由题意得，， ， 又∵， 中边上的高的长度 ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 构造如图所示： 由勾股定理，得：， 在中， ； （3）解：如图， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 由勾股定理得， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， 故答案为： ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 47．（23-24七年级下·山东·期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩68．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 69．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， ，， 点C在射线上， 下列的长度中， 不能唯一确定的是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定、含30度角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 过点作交于点，求出的长度，当的长度大于的长度且小于的长度时，以为圆心，以该长度为半径画圆，会在图中产生两个交点，依此判断不能唯一确定 ． 【详解】解：过点作交于点，如下图： ∵，， ∴， 故，由勾股定理得， 选项A：当时，则， 以点A为圆心，为半径画圆， 在射线上仅有一个交点，位于点右侧， 故该 唯一确定，不符合题意； 选项B：当时，则， 以点A为圆心，为半径画圆， 在射线上有两个交点， 但位于点左侧交点与点重合，不构成三角形， 故该唯一确定，不符合题意； 选项C：当时，则， 以点A为圆心，为半径画圆， 在射线上有两个交点，分别位于之间以及射线上， 故该 不能唯一确定，符合题意； 选项D：当时，则， 以点A为圆心，为半径画圆， 在射线上仅有一个交点，与点D重合， 故该 唯一确定，不符合题意； 故选：C． 70．（25-26九年级上·山东威海·期中）在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，根据已知数据画出图形，过点作于点，利用，求得，进而根据勾股定理求得，然后在中应用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵，， ∴， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 71．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据“可爱三角形”的定义，两边的平方和等于第三边平方的2倍，结合直角三角形勾股定理，列出方程求解即可． 【详解】解：在中，，，设，，则根据勾股定理，有，即， 由“可爱三角形”的定义，需考虑三种情况：  ①若，但，前后矛盾，故不成立 ； ②若，即，则代入， 得，整理得， 解得（负根舍去），则， ∴（负根舍去），即； ③若，即，则代入， 得，整理得， 解得，则， ∴（负根舍去），； 综上所述：或； 故答案为：或． 72．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 73．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点D为中点，平分．点M，N在线段上运动．连接．当的值最小时， 【答案】1 【分析】作点N关于的对称点G，连接，过点D作于点H，根据含30度的直角三角形性质得，可得，,当点M在上，点G与点H重合时，取得最小值，由，得 【详解】解：作点N关于的对称点G，连接，过点D作于点H， 则， ∵平分， ∴点G在上， ∵在中，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴当点M在上，点G与点H重合时，取得最小值， ∵， ∴此时，． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了轴对称．熟练掌握含30度的直角三角形性质，关于角平分线对称的性质，勾股定理，轴对称求路径最短，直角三角形斜边与直角边的大小关系，垂线段性质，是解题的关键． 74．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，中，，于点O，，． (1)则___________； (2)若点D是射线上的一个动点，作于点E，连接． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设延长线或线段交直线于点F，连接，若，则的长为 （直接写出结果） 【答案】(1) (2)①的长为2或②或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、分类讨论等知识；证明是等腰三角形是解题的关键． （1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长； （2）①分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题； ②分两种情况： i）当D在线段上时，如图3，过B作于G，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，得 ，可得，证明是等腰三角形，得，最后利用勾股定理可得结论； ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，同i）计算可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：，； 故答案为：； （2）解：①分两种情况： i）当时，过O作于N，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ii）当时，如图2所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或； ②分两种情况： i）当D在线段上时，过B作于G，如图3所示： ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ii）当D在线段的延长线上时，过B作于G，如图4所示： 同理得：， ∵， ∴， 同理得：是等腰三角形， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 75．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的面积； (2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 【答案】(1)4 (2)点Q在边上运动时，不能把的周长平分，理由见解析 (3)当t为秒或6秒或秒时，为等腰三角形 【分析】（1）根据点的运动速度求出，再根据三角形面积公式求解即可； （2）由勾股定理求出，由题意得出方程，解方程求出，即可得出结论； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时（图1），则，可证明，则，则，从而求得； ②当时（图2），则，易求得； ③当时（图3），过点作于点，则求出，即可得出． 【详解】（1）(1)，， ， ； （2）由勾股定理得： ， 根据题意得：， ， 当在上时有，解得，由题知，即， 若能把的周长平分，则， 即， 解得， 此时， 不合题意， 点在边上运动时，通过计算不能把的周长平分； （3）①当时，如图所示： 则， ， ， ， ， ， ， ， 秒， ②当时，如图所示： ， ， 秒， ③当时，如图3所示： 过点作于点， 则， ， ， ， 秒 ． 由上可知，当为秒或6秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、动点问题的分类讨论、等腰三角形的判定、周长平分的逻辑分析等知识点。解题关键是结合动点运动阶段，对不同位置下的几何关系进行分类讨论，再利用勾股定理、线段和差等知识建立等式求解． 试卷第32页，共73页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（期末复习讲义） 知识模块 核心考点 复习目标 考情规律 1. 勾股定理 1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a² + b² = c²）。 2. 验证与证明：了解常见证明方法（如赵爽弦图）。 3. 基本应用：已知直角三角形的任意两边，求第三边。 1. 能复述并推导勾股定理。 2. 理解并应用公式进行直接计算。 必考核心，主要在选择题、填空题、解答题中考查：①直接代入公式求边长；②在简单实际问题中应用。 2. 勾股定理的逆定理 1. 逆定理内容：如果三角形三边满足 a² + b² = c²，则该三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角。 2. 应用：判定一个三角形是否为直角三角形。 1. 能区分定理与逆定理的条件和结论。 2. 理解并应用逆定理进行三角形形状判定。 高频考点。考查方式：①给出三边长度，判断形状（易与三边关系定理混淆）；②与网格、坐标系结合，证明垂直关系。 知识点01 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为 a, b，斜边为 c，则 a² + b² = c²。 本质：揭示了直角三角形三边之间的确定数量关系。 用途：在已知直角三角形任意两边的前提下，求第三边。即“知二求一”。 知识点02勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角是直角。 用途：在已知三角形三边长度时，判定其是否为直角三角形，并确定直角的位置。 知识点03勾股数 概念：能够构成直角三角形三边长的一组正整数。如 (3, 4, 5)、(5, 12, 13) 及其整数倍 (6, 8, 10) 等。 意义：是勾股定理的实例化，熟记常用勾股数能简化计算、快速验证。 知识点04几何图形中的计算 核心思想：在非直角三角形的图形（如等腰三角形、梯形、菱形等）中，通过作高等辅助线，构造出直角三角形，从而将问题化归为勾股定理的基本应用。 典型场景：求等边三角形的高、求等腰梯形的腰长等。 知识点05实际问题的建模与应用 最短路径问题：解决立体图形（如长方体、圆柱）表面两点间的最短距离。关键步骤是“化曲为直”——将立体图形的相关表面展开成平面图形，在展开图中连接两点，利用勾股定理计算这条线段（最短路径）的长度。 折叠问题：将图形折叠视为轴对称变换。折叠前后有重叠的边、角相等。解题时，常设未知数，将相关线段集中到一个新构造的直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解。这是方程思想与几何结合的典范。 题型一、勾股定理的证明 解｜题｜技｜巧 掌握经典面积证法（如赵爽弦图）。核心思路是：用两种不同方式表示同一个大图形的面积，然后建立等式，化简后得到 a²+b²=c²。理解此过程比死记步骤更重要，它体现了数形结合与等积变换思想 【典例1】（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．试说明：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为． (1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）． ①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________； ②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________； ③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理； (2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理． 题型二、以直角三角形的边为边的图形面积 解｜题｜技｜巧 此类题常以直角边、斜边为边长向外作正方形。解题关键：牢记以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和。此结论是勾股定理的几何直观，可直接用于面积计算或证明。 【典例2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为（    ）． A．38 B．34 C．42 D．44 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是 ． 题型三、勾股定理与网格图 解｜题｜技｜巧 在网格中，利用割补法计算相关正方形面积，或利用两点间距离公式（实质是勾股定理）求线段长。关键在于将网格点转化为直角三角形的顶点，借助网格的垂直特性构造直角三角形。 【典例3】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形顶点上，则线段的长不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．10 【变式1】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在单位长度为1的的网格中，，，，，，各点都在格点上，其中能代表长为，的两线段是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的顶点均在格点上，则四边形的边长为整数的边是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 题型四、勾股定理与图形的折叠 解｜题｜技｜巧 折叠即轴对称。解题步骤：1.标出所有等量（重合边、角）；2.将所求线段与已知线段集中于一个新构造的直角三角形中；3.设未知数，利用勾股定理建立方程求解。核心是“设元列方程”。 【典例4】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 【变式1】（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，在长方形中，，，点在边上，将长方形沿折叠，点恰好落在边上的点处，求的长． 题型五、用勾股定理理解三角形 解｜题｜技｜巧 勾股定理是边长关系的特例。更一般地，若 a²+b² > c²，则对角为锐角；若 a²+b² < c²，则对角为钝角。这提供了通过纯计算判断三角形形状（锐角、直角、钝角）的代数方法。 【典例5】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，四边形中，，点E是上一点，且，，若，，则的长度为 ． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期中）如图，在中，是高，是角的平分线． (1)若，，求和的度数． (2)若，，，求的长． 【变式2】（25-26七年级上·山东烟台·期中）【阅读理解】定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形这条边的“中偏度值”．如图1中，和分别为的边上的高和中线，，，则的边BC的“中偏度值”为 【尝试应用】如图2，在中，，， （1）边的长为______，边上的高的值为______； （2）求的边的“中偏度值”； 【拓展延伸】如图3，点A为直线l上方一点，点A到直线l的距离，点B在直线l上，且，若点C在直线l上，且 （3）请直接写出的边BC的“中偏度值”． 题型六、以弦图为背景的图形面积 解｜题｜技｜巧 弦图是证明勾股定理的经典图形，由四个全等的直角三角形围成一个中空的正方形。解题时，需识别图形中的全等关系，并利用大正方形面积等于小正方形面积与四个直角三角形面积之和的关系进行计算。 【典例6】（24-25八年级下·山东济南·月考）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A．52 B．48 C．72 D．76 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期中）“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的短直角边是5，小正方形的面积是36，则大正方形的面积是（   ） A．121 B．146 C．169 D．196 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，图1是数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．标上字母绘成图2所示，记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为（   ） A． B． C． D． 题型七、判断三边构成构成直角三角形 解｜题｜技｜巧 严格使用勾股定理的逆定理。步骤：1.确定最长边为潜在斜边 c；2.计算两短边平方和 a²+b² 与 c² 比较；3.若相等，则是直角三角形。易错点：未将最长边作为斜边计算。 【典例7】（25-26八年级上·江苏南京·期中）的三边长分别为，由下列条件不能判断为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）对于，下列说法正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【变式2】（25-26七年级上·山东威海·期中）在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件： ①；②；③；④；⑤；⑥，能判定为直角三角形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型八、利用勾股定理逆定理的求解 解｜题｜技｜巧 此类题通常将逆定理作为隐含条件。已知三角形三边满足 a²+b²=c²，即可在推理中直接使用“该三角形为直角三角形”这一结论，从而为后续运用勾股定理、三角函数或证明垂直提供关键前提。 【典例8】（24-25七年级上·山东东营·期中）已知一个三角形三边之比为，周长为，则最长边上的高为 【变式1】（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，中，，，，把沿折叠，使边与重合，点B落在边上的处，则折痕等于 ． 【变式2】已知：如图，四边形中，，，，且，试求： (1)的度数． (2)四边形的面积（结果保留根号）． 题型九、勾股定理逆定理的实际应用 解｜题｜技｜巧 用于解决“是否垂直”、“是否符合直角”的判定问题。如测量土地、检验墙角。方法：测量三边长度，计算验证是否满足平方和关系。建模思路：将实际问题中的距离抽象为三角形三边。 【典例9】（25-26七年级上·山东烟台·期中）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动植绿种树”活动．志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地如图进行绿化，经测量，米，米，米，米，求空地的面积． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为100米，管道分叉口M与B之间的距离为60米，于点N，M到的距离（）为48米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【变式2】（24-25八年级上·四川成都·期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 题型十、勾股定理应用-梯子移动问题 解｜题｜技｜巧 将梯子、墙、地面抽象为直角三角形（斜边为梯长）。梯子滑动时，斜边长度不变。关键在于：在滑动前后的两个直角三角形中，分别利用勾股定理，并通过不变的梯长建立等量关系或方程。 【典例10】（24-25七年级上·山东淄博·期中）一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙角的水平距离为米，若梯子顶端沿墙下滑米，则梯子底端将向外滑动 米． 【变式1】（2025八年级上·辽宁·专题练习）如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 【变式2】（22-23八年级上·山西临汾·月考）综合与实践 问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离，． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），，云梯的底部B在水平方向滑动到的距离也是吗？若是，请说明理由；若不是，请求出的长度． 问题解决： （3）在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头进行救援？ 题型十一、勾股定理应用-折断大树问题 解｜题｜技｜巧 模型为：树干（竖直）、折断部分（斜边）、剩余底部（水平直角边）构成直角三角形。设未知数，利用“折断部分长度+竖直部分高度=原树高”以及勾股定理建立方程组求解。 【典例11】（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，一棵大树在台风中于离地面米处折断倒下，树的顶端落在离树干米远处，这棵大树在折断前的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图所示，一棵树被风刮断了，树顶落在离树根处，折断处的高度为，则这棵树折断前高 ． 【变式2】（20-21八年级下·四川绵阳·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是 ． 题型十二、勾股定理应用-水中的筷子问题 解｜题｜技｜巧 模型：将筷子斜插水中，露出部分、水下部分和水深构成直角三角形。筷子总长不变。解题时，将两次不同插入方式下的状态，分别抽象为两个直角三角形，利用勾股定理和总长不变联立方程。 【典例12】（25-26七年级上·山东泰安·期中）我国古代算书《九章算术》中有这样一道题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？根据题意，可设水深尺，则葭长尺．已知1丈尺，下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺． 题型十三、勾股定理应用-高度测量问题 解｜题｜技｜巧 常涉及不可直接测量的高度（如建筑物）。利用工具（如测角仪）和地面长度构造直角三角形。若测量点到物体底部的距离 a 和观察的仰角，则物体高度 h = a * tanθ，但纯勾股问题更侧重利用影子长度等构造直接可解的Rt△。 【典例13】（25-26七年级上·山东淄博·期中）【综合与实践】小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点，，，在同一平面内 (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【变式1】（25-26七年级上·山东泰安·期中）学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小亮设计了一个方案：如图，小亮将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端，然后将绳子末端拉直到距离旗杆处，测得此时绳子末端距离地面的高度为．如果设旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计），求x的值． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 题型十四、勾股定理应用-航海问题 解｜题｜技｜巧 典型题型：两船从同一点出发，一船向北，一船向东，求某时刻两船距离。模型：两者的航行路线构成直角三角形的两直角边，所求距离为斜边。直接用勾股定理计算。注意单位统一和方向垂直的识别。 【典例14】（25-26八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．则岛和港之间的距离（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·重庆南川·月考）在A岛上有一个观测站，上午8时观测站发现在A岛正北方7海里C处有一艘船向正东方向航行，上午10时，该船到达距A岛25海里的B岛，求该船的航行速度． 题型十五、勾股定理应用-台风影响问题 解｜题｜技｜巧 将台风中心视为圆心，影响半径为 R，目标地点视为一点。计算该点与台风中心的距离 d，比较 d 与 R：若 d ≤ R，则受影响。距离 d 常需用勾股定理求出（在坐标系中）。 【典例15】（13-14八年级下·四川·月考）如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)城是否受到这次台风的影响？为什么？（提示：作，求出就可判断是否会受影响．） (2)若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？（提示：以为圆心，以200为半径画弧交于、，连接，可求出，然后计算受影响时间．） 【变式1】（25-26七年级上·山东东营·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式2】（20-21九年级·湖南株洲·自主招生）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 题型十六、勾股定理应用-最短路径问题 解｜题｜技｜巧 核心：将立体表面展开为平面。步骤：1.确定展开方式（长方体通常有多种，需比较）；2.在展开图上连接两点；3.此线段即为最短路径，其长度用勾股定理计算。关键：正确画出展开图，找到对应的直角三角形。 【典例16】（25-26七年级上·山东济宁·期中）如图，一只蚂蚁需要从一个长宽高分别是的长方体的顶点爬到顶点，则它从点开始经过4个侧面到达点所走的最短路程为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点A处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点B处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点B处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 49．（24-25八年级下·山东济宁·期末）等腰三角形的腰长为，底边长为，它的底边上的高线长为（   ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，中，，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．4 B． C．2 D． 51．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，以为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 52．（24-25八年级上·山东青岛·期末）以下列各组数为三边的三角形，不是直角三角形的是（　　） A．，6， B．1， C．10，24，26 D． 53．（24-25八年级下·山东济宁·期末）的三边长分别为，由下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级下·全国·期中）一艘轮船以的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另一艘轮船以的速度从港口A出发向东南方向航行．离开港口后，两船相距（   ） A． B． C． D． 55．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知一个长方体的底面边长分别为6cm和6cm，高为7cm．若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则这只蚂蚁爬行的最短路程为 cm． 56．（24-25八年级下·山东滨州·期末）如图，各边的长如图所示，求的面积． 57．（24-25八年级上·山东青岛·期末）有两棵树，一棵高11米，另一棵高4米，两树相距24米，一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少飞行 米； 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 41．（24-25七年级下·山东青岛·期末）青岛是旅游热点城市，前海一线的回澜阁、小青岛更是游客网红打卡58．（24-25八年级上·山东青岛·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，摆放正确的是（    ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 60．（24-25七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点D，E分别是上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）． A．5 B． C．6 D． 61．（24-25八年级下·山东济宁·期末）农民麦子大丰收，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型（如图所示）．现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），则装饰带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图所示，公路和铁路在点O处交汇，，公路上E处距离O点．若火车行驶时，周围内会受到噪音的影响，则火车在铁路上沿由C到D的方向以的速度行驶时，E处受噪音影响的时间为（   ）秒． A．8 B．9 C．10 D．11 63．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 64．（24-25八年级下·山东临沂·期末）如图所示，地面上铺了一块长方形地毯，因使用时间而变形，中间形成一个半圆柱的凸起，半圆柱的底面半径为，已知，一只蚂蚁从A点爬到C点，且必须翻过半圆柱凸起，则它至少要走 m的路程． 65．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，D为中点，，交于点E， 交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 66．（24-25八年级下·山东聊城·期末）随着中国科技、经济的不断发展，信号覆盖的广泛性和稳定性都有更好的表现．如图，一辆汽车沿直线方向，由点A向点B行驶，已知点C为某个信号源，且点C到点A和点B的距离分别为和，且，信号源中心周围及以内可以接收到信号． (1)汽车在从点A向点B行驶的过程中，能接收到信号吗？为什么？ (2)若汽车的速度为，请问有多长时间可以接收到信号？ 67．（24-25八年级下·山东济南·期末）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．同学们发现在正方形网格中，构造某些图形可以发现和解决一些数学问题．如图，题目中的所有网格均是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，且点O，A，B，C，D都在格点上 (1)如图1，的长度为 ，中边上的高的长度为 ． (2)如图2，在正方形网格中构造，可以比较与的大小，其理由如下：因为在中，点A，B，C都为小正方形的顶点（构造图形），所以（三角形任意两边之和大于第三边）．因为（勾股定理），，所以． 请你参考例子中的方法，在图3中构造图形，比较与的大小，并说明理由． (3)如图4，的度数为 ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 47．（23-24七年级下·山东·期末）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，矩68．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 69．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图， ，， 点C在射线上， 下列的长度中， 不能唯一确定的是（    ） A． B．4 C． D． 70．（25-26九年级上·山东威海·期中）在中，，，，则 ． 71．（25-26八年级上·上海徐汇·月考）我们新定义一种三角形：两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“可爱三角形”．若是“可爱三角形”，，，则 ． 72．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 73．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点D为中点，平分．点M，N在线段上运动．连接．当的值最小时， 74．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，中，，于点O，，． (1)则___________； (2)若点D是射线上的一个动点，作于点E，连接． ①当点D在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长． ②设延长线或线段交直线于点F，连接，若，则的长为 （直接写出结果） 75．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发2秒后，求的面积； (2)当点在边上运动时，通过计算说明能否把的周长平分？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间． 试卷第32页，共73页 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $