精品解析：陕西省榆林市榆阳区2025-2026学年高一上学期第三次质量检测（12月）数学试题

2025级高一第三次质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：邢艳 审核人：邢艳 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正液､刮纸刀. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（ ） A 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A B. C. D. 8. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 经过4小时，时针转了 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的图象恒过定点 B. 命题：“，”的否定是“，” C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 函数不能用二分法求其零点近似值 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知函数，函数与图象关于直线对称，则_____ 13. 某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 14. 定义一种运算：，设，则下面结论中正确有______. ①方程有三个实数根； ②函数的图象关于直线对称； ③函数单调递减区间是和； ④函数的值域为. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 计算： （1） （2） 16. 已知函数（，且）. （1）若函数在上的最大值为2，求的值； （2）若，求使得成立的的取值范围. 17. 专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． （1）试求的函数关系式． （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 18. 已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求m的取值范围； （2）求在区间上的最小值； 19. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一第三次质量检测 数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 命题人：邢艳 审核人：邢艳 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正液､刮纸刀. 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 下列与的终边相同的角的集合中正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义直接求解． 【详解】易知， 对于A,B，集合表达式中混合使用了角度制与弧度制，表示错误，故A，B错误； 对于D，当时，不成立，故D错误； 所以与的终边相同的角的集合为： ，故C正确． 故选：C． 2. 已知函数则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数解析式即可求得函数值. 【详解】因为， 所以． 故选：B. 3. 已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断其定义域及单调性，利用零点存在性定理即可求得结果. 【详解】函数的定义域为，且在上是减函数； 易得，， ∴， 根据零点存在性定理及其单调性，可得函数的唯一零点所在区间为， ∴． 故选：C． 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根式函数定义域的求法与分式不等式的解法把集合具体化，然后利用集合交集的运算法则可得答案. 【详解】要使有意义， 只需，即， 所以； 由，移项通分得， 解得， 所以； 因此，. 故选：A 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对幂函数的性质判断参数的范围，即可得大小关系. 【详解】由，则. 故选：A 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】采用排除法，根据函数奇偶性可排除D，根据且时，可排除A，C. 【详解】记，函数的定义域是， ，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故D错误； 当且时，，，即，图像在轴下方，故A，C错误． 故选：B. 7. 2025年1月25日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道．已知火箭的最大速度（单位：km/s）与燃料质量（单位：kg）、火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系为．若已知火箭的质量为3100kg，火箭的最大速度为11km/s，则火箭需要加注的燃料质量为（ ）（参考数值：，结果精确到kg） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】根据题意，， 令，则， 所以，则， 即 所以. 故选：B 8. 函数在区间上单调递减的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数的单调性与充分必要条件的概念判断， 【详解】设． ∵在上单调递减， ∴由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，且在上恒成立． （注意对数的真数在上大于0） 又在上单调递减，（若函数在上单调递减，则） 解得． 则可得函数在区间上单调递减的充要条件是． 而所求的是函数在区间上单调递减的必要不充分条件， 故只需看是哪一个的真子集，结合选项只有C符合. 故选：C 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 经过4小时，时针转了 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 【答案】ABC 【解析】 【分析】将角化为最小正角确定所在象限判断A，由锐角、象限角的定义判断B，根据时针的旋转方向及正负角的定义判断C，由扇形的面积公式求圆心角判断D. 【详解】A，由，而为第三象限角，则角是第三象限角，对， B，由锐角的范围是大于且小于，显然在第一象限角，对， C，经过4小时，时针顺时针旋转了，即时针转了，对， D，若圆心角为，弧长为，半径为，则扇形面积， 所以，可得，即圆心角为，错. 故选：ABC 10. 下列命题中正确是（ ） A. 函数的图象恒过定点 B. 命题：“，”的否定是“，” C. 已知函数的定义域为，则定义域为 D. 函数不能用二分法求其零点近似值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数图像过定点问题确定、全称命题的否定、抽象函数定义域求解以及二分法的适用条件，需逐一分析选项. 【详解】A选项：对数函数恒过，令得，代入，所以过，A正确； B选项：全称命题的否定是特称命题，“”否定应为“”，B错误； C选项：定义域，对于，解得，定义域是，C错误； D选项：二分法要求零点两侧函数值符号相反，在两侧函数值非负（绝对值），不满足，D正确. 故选：AD. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为0 B. 的最小值为4 C. 的最小值为9 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式结合对数的运算性质判断A，利用基本不等式结合指数的运算性质判断B，利用基本不等式中“1”的代换判断C，先对原式平方，再结合重要不等式与给定条件判断D即可. 【详解】因为，，，所以由基本不等式得， 当且仅当时取等，下面，我们开始分析各个选项， 对于A，由对数的运算性质得， 则的最大值为0，故A正确， 对于B，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时，则的最小值为4，故B正确， 对于C，因为，所以， 则， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 此时解得，得到， 则的最小值不为9，故C错误， 对于D，我们对进行平方， 得到， 由重要不等式得， 当且仅当时取等，此时解得， 则， 故，得到， 而，，解得， 即的最大值为，故D正确. 故选：ABD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 已知函数，函数与的图象关于直线对称，则_____ 【答案】5 【解析】 【分析】根据指对数的关系写出，进而求函数值. 【详解】因为函数，是的反函数，故， 故． 故答案为：5 13. 某扇形的弧所对的圆心角为，且半径等于5，则其面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知求出圆心角的弧度，再由扇形面积公式求面积. 【详解】由题设，圆心角为， 所以扇形面积为. 故答案为： 14. 定义一种运算：，设，则下面结论中正确的有______. ①方程有三个实数根； ②函数的图象关于直线对称； ③函数的单调递减区间是和； ④函数的值域为. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】讨论不同取值去掉绝对值符号，通过解二次不等式，得到分段函数的解析式，根据解析式作出函数图象，由函数图象判断结论. 【详解】令 当时，则， 令，即，∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 当时，则， 令，即，∴， ∴当时，，即； 当时，，即； ∴； 函数的函数图象如下， 由函数图象可知，存在3个不同实根，①正确； 函数的图象关于直线对称，②正确； 函数的单调递减区间是和，③正确； 函数的值域为，④错误. 故答案为：①②③. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1 （2）19 【解析】 【分析】（1）结合平方差公式，利用对数运算法则化简求值即可； （2）结合根式与分数指数幂的互化，利用指数幂的运算法则化简求值即可. 【小问1详解】 原式= . 【小问2详解】 . 16. 已知函数（，且）. （1）若函数在上的最大值为2，求的值； （2）若，求使得成立的的取值范围. 【答案】(1)或；(2). 【解析】 【详解】试题分析： (1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或； (2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是. 试题解析： （1）当时，在上单调递增， 因此，，即； 当时，在上单调递减， 因此，，即. 综上，或. （2）不等式即. 又，则，即， 所以. 17. 专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． （1）试求的函数关系式． （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 【答案】（1） （2）和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目信息和图象，分和两种情况，代入点，求出解析式； （2）分和两种情况，得到不等式，解不等式求出解集，得到结论. 【小问1详解】 当时，设，将代入得， ，解得， 故， 将代入得， 解得， 故， 综上， 【小问2详解】 时，令， 解得， 时，，解得， 故和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节. 18. 已知函数，. （1）若在区间上单调递增，求m的取值范围； （2）求在区间上的最小值； 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）计算二次函数的对称轴，然后根据单调性可得，计算即可. （2）分类讨论，，，分别计算即可. 【详解】（1）由题可知，函数开口向上， 对称轴的方程为，若使得函数在上单调递增， 则满足，解得，即实数m的取值范围. （2）①当即时， 函数在区间单调递增， 所以函数最小值为； ②当，即时， 函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的最小值为； ③当即时， 函数在区间单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，函数的最小值为. 【点睛】结论点睛：二次函数在区间上的最值问题：（1）动轴定区间；（2）定轴动区间；（3）动轴动区间；对本题属于动轴动区间问题需要讨论对称轴与所给区间位置关系. 19. 已知函数. （1）当时，求的值域； （2）若最小值为，求m的值； （3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法将函数转化为二次函数在定区间求值域问题，根据二次函数的性质计算即可； （2）分类讨论，结合二次函数的性质计算即可； （3）利用分离参数法将问题转化为有解，利用基本不等式计算最小值解不等式即可. 【小问1详解】 设， ，，， 其对称轴方程为，故函数在上单调递增， 所以， 故所求值域为； 【小问2详解】 ∵函数最小值为，， 若，在R上单调递增，没有最小值； 若时，可知当时，y取得最小值； 即，解得或舍去， 综上，； 【小问3详解】 由题意，有实数解， 即，可得， 要使此不等式有解，只需即可， （当且仅当时取等号）， ， ，解得， 即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $