专题08 数列通项公式的求法（6重点+8题型+复习提升）（复习讲义）高二数学人教A版

该高中数学讲义通过思维导图系统梳理数列通项公式求法的知识体系，将由Sn与an关系、累加法、累乘法等六种方法按“原理-类型-注意事项”分层呈现，并用表格归纳累加法中不同函数类型的求和策略，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型+技法”的精准设计，如累加法针对一次函数、指数函数等不同类型给出对应求和方法，构造法通过待定系数法转化等比数列，培养学生数学思维与推理意识。例题涵盖选择、填空、解答题，分层设置难度，既助基础薄弱学生掌握方法，也供优秀学生拓展提升，为教师实施精准教学提供有力支持。

专题08 数列通项公式的求法 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ：由与关系求通项公式 由题目给出与（或者直接给出多项数列相加）关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造 然后根据化简。 1、 消得到的关系式 2、 消得到的关系式 3、 根据题目给出的项求和公式或者求积公式，构造项后做差或作商，求通项。 注意：构造后，，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。 知识点2：累加法求通项公式 型（是关于的函数）： 注意： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 验证首项是否满足通项公式。 知识点3：累乘法求通项公式 型（是关于的函数）： 注意： 的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。 验证首项是否满足通项公式。 知识点4：构造数列法求通项公式 1、 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足） 2、 目标把拆分成的形式，使得为公比为的等比数列（其中的满足 3、 两边同时除以，得，然后按照的方法去求通项。 注意： 通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。 验证首项是否满足通项公式。 知识点5：倒数法求通项公式 型 化成形式，得{}为等差数列 知识点6：递推式求周期性数列 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 1、 型 分式递推式，可能为周期数列，可计算出几项来证实一下周期性。 2、 或 3、 4、 分段式数列 注意： 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。 【题型1】消或消得通项公式 高妙技法 退位构造，然后根据化简。通常都是由消得到的关系式，但是若式子的其余项都是相关项，也会由消得到的关系式。注意检验首项 1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，求出数列递推公式，进而求出数列前6项，求出结果. 【详解】由可得，即，得， 由可得，，， 故是周期为3的周期数列，且，故. 故选：A. 2．（24-25高二下·广东·月考）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解. 【详解】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京·期中）设数列的前项和为．若，，则（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据作差得到，再一一求出前几项即可. 【详解】因为，当时， 所以，即， 所以， 又，所以， 由，则，由，则，由，则， 由，则. 故选：B 4．（24-25高二下·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，，则 ． 【答案】2024 【分析】由递推关系得到，再由得数列中所有项都为可得答案． 【详解】当时，由得， 两式相减得，即， 因为，所以由，得， 由，得， 所以数列中所有项都为， 则. 故答案为：. 【题型2 由公式递推式求项】 高妙技法 若题目给出的是n项相加或相乘的格式，也可以构建n+1项，然后两式相减或者相除，得第n+1项，注意检验首项 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值. 【详解】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 2．（25-26高二上·江苏苏州·月考）数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【详解】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的关系可求，继而得到，利用裂项相消可求得，整理不等式得，根据恒成立转化为求最值即可. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①－②得，，，经检验，，满足． 数列满足， 可得， 由于恒成立，即，整理得，， 因为在上单调递减， 故当时，，所以， 故选：C． 4．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 【题型3 累加法求通项公式】 高妙技法 右边项求和时，可以使用求和的几种方法。注意检查首项是否满足最后的通项公式 1．（2025高二·全国·专题练习）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将给定的递推公式变形，再借助累加法计算作答. 【详解】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 2．（24-25高二上·湖北孝感·月考）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系式，再根据累加法求的值. 【详解】由， 得， 所以， 所以， ，…， ， 各式两端相加得， 故． 故选：C. 4．（2025高三上·广东中山·专题练习）已知数列满足，则 ； 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】， ， ．显然满足上式， ． 故答案为：. 【题型4 累乘法求通项公式】 高妙技法 右侧的累乘项一般是分式可以上下消除，但要注意隔项消除时最后剩下的项。注意检验首项是否满足通项公式。 1．（多选）（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列满足，，则（   ） A．是递减数列 B． C．当的前n项和取得最小值时， D．对任意，不等式，则 【答案】ACD 【分析】对A，由题得，利用数列单调性定义判断；对B，由题，当时，，利用累乘法求出通项；对C，由题得，可得数列的前6项均小于0，从第7项开始大于0，得解；对D，对分奇数和偶数讨论，将原不等式转化为恒成立，求出最值得解. 【详解】对于A，由题，， 又，由递推式可得，所以是递减数列，故A正确； 对于B，由上面可知，当时，， 将上式累乘得，， 整理得，又，所以，故B错误； 对于C，设，则，， ，，，，， 由指数函数与函数的增长速度可知，当时，， 所以当数列的前n项和取得最小值时，，故C正确； 对于D，当为偶数时，不等式转化为，又， 所以， 当为奇数时，不等式转化为，又， 所以， 综上，，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）（24-25高二下·辽宁·期中）已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 【答案】ABD 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，作差判断A，根据数列的增减性判断B，利用判断C，利用数学归纳法，假设数列的前项和成立判断D. 【详解】由题意可得，， 所以当时，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，将代入解得， 当时满足，所以数列的通项公式为， 因为对恒成立， 所以对恒成立，A说法正确； 易知数列是递增数列，且，，所以，，B说法正确； 因为，所以不存在使得为完全立方数，C说法错误； 下证，数列的前项和， 当时，成立， 假设当时，成立， 则当时， 成立， 所以，数列的前项和，D说法正确； 故选：ABD 3．（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】通过累乘法来求数列的通项公式. 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 【题型5 一次/二次/常数型用构造法求通项公式】 高妙技法 当为常数或者一次函数或者二次函数，用待定系数法构使得 p，数列为等比数列。 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】由，可得，再根据等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，可得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 3．（多选）（25-26高三上·黑龙江·月考）设首项为1的数列前n项和为，已知，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．数列的前n项和 C．数列的通项公式为 D．数列不是等比数列 【答案】ABD 【分析】条件可化为，结合等比数列定义可判断A正确，由A可求得的通项公式判断B，由的通项公式可求得的通项公式判断C，利用特殊值可判断D. 【详解】 又，数列是首项公比都为的等比数列，故选项A正确； 由A知， ，故B选项正确； 又因为，当，，当，， ，故选项C错误； ，，所以数列不是等比数列，故选项D正确. 故选：ABD 4．（多选）（25-26高三上·辽宁·期中）记为数列的前项和，且，，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列单调递减 D． 【答案】AD 【分析】对于A：令可判断；对于B：利用与的关系，把转化成关于的递推公式，然后利用定义可判断；对于C：求出的通项，利用指数函数单调性判断；对于D：利用分组求和以及等比数列的前项和公式计算可判断. 【详解】对于A，令可得，即， 又，解得，故A正确； 对于B，当时，，两式相减可得，且， 即，故是以首项，公比为的等比数列，故B错误； 对于C，易得， 故，易得数列单调递增，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 【题型6 指数型用构造法求通项公式】 高妙技法 先除以式子中的指数，把这项变成常数项，然后按照常数的待定系数法去分配。 1．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 2．（25-26高二上·甘肃·月考）已知单调递增数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到、，讨论、时判断数列性质，即可得. 【详解】由于，即，整理得， 当时，单调递增，符合； 当时，则是首项为，公比为的等比数列， 所以，则， 当时，则，，不符， 当时，则，不符， 当时，则，，不符， 故选：A. 3．（多选）（25-26高三上·湖北荆州·月考）已知数列的前项和为，，且，则下列说法正确的有（   ） A．是一个等差数列 B．是一个等比数列 C．对，． D．数列的前项和为，则 【答案】ACD 【分析】对于A选项，由已知数列的递推式推得，由等差数列的定义判断即可；对于B选项，C选项，由等差数列的通项公式可得，即可求得，即可判断；对于D选项，由数列的裂项相消求和，即可求解. 【详解】对于A选项，因为，，可以得到，所以由数列是首项为，公差为的等差数列，故A正确； 对于B选项，，可得， 所以当时，， 当时，， 又，故，故B错误； 对于C选项，当时，， 当时，，即，故C正确； 对于D选项，数列，当时，首项为， 当时，， 所以， 当时，，故D正确. 故选：ACD. 4．（25-26高三上·河南新乡·期中）在数列中，，，则 . 【答案】 【分析】由已知的递推公式构造等比数列，求得该等比数列的通项公式，从而得到数列的通项公式. 【详解】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 【题型7 倒数型求通项公式】 高妙技法 构造倒数数列，然后求倒数数列的通项公式。 1．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知在数列中，，，，数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据取倒数法可得，由等差数列的定义和通项公式可得，进而，结合裂项相消法求和即可. 【详解】由，得，即， 又，所以， 则是以为首项，以为公差的等差数列， 得，故，得， 所以， 所以 . 故选：A 2．（多选）（25-26高二上·江苏南京·月考）数列的前项和为，则下列命题正确的是（　　） A． B． C．数列的最小项为 D．数列为等比数列 【答案】ACD 【分析】利用与的关系，将条件转化为的等差数列，求得；逐一验证各选项：分析的表达式、判断数列最小项、验证新数列的等比性. 【详解】当时，由，得， 两边除以（），得. 由此可知是首项为、公差为4的等差数列， 故，即， 也符合上式，所以，选项A正确. 选项B：时，， 但时，不满足此式，故B错误. 选项C：数列的项为：，，，，……， 时，的绝对值随增大而减小， 故是最小项，选项C正确. 选项D：，， 故， 该数列为常数列（每一项均为）， 常数列（非零）是公比为1的等比数列，选项D正确. 故选：ACD 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 4．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列中，，且满足，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】等式两边同除，构造等比数列求出，带入求和公式利用放缩法裂项相消证明即可. 【详解】因为，且满足，显然对任意，， 等式两边同除以得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，解得， 所以 ． 【题型8递推式求周期数列的通项公式】 高妙技法 可以列出数列中的几项来发现数列是否是周期数列，并找出其最小周期。 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）数列满足，则 . 【答案】/ 【分析】先根据递推关系计算数列的项进而得出数列是周期数列，最后根据周期性求值即可. 【详解】数列 满足 ，且 ， 则 . 所以数列 是周期为4的周期数列， 所以 所以 所以. 故答案为：. 2．（25-26高二上·福建莆田·期中）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，计算数列前5项确定周期，进而求出指定项. 【详解】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：C 3．（25-26高二上·山西·月考）已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，利用递推公式得数列的周期，利用周期即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以数列是以3为周期的数列， 故. 故选：C. 4．（25-26高三上·辽宁·月考）已知数列满足，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把递推关系式化简得到，再计算出数列的前几项，即可得到数列是周期为6的周期数列，根据周期性计算即可. 【详解】因为，且，， 故， 所以， 所以数列都是以6为一个周期的周期数列. 又，则，A项错误； 因为，所以，B项错误； 因为，所以，C项错误； 因为，所以，D项正确. 故选：D 一、单选题 1．（25-26高三上·山东泰安·月考）已知数列的前项和为，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系，得出数列的递推公式，从而利用构造法求得数列的通项公式.进而求得. 【详解】因为，所以当时， ，所以. 当时，， 所以， 化简得. 所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列. 所以. 所以. 故. 故选：B. 2．（25-26高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【详解】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C 3．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，代入计算即可得到，继而得到. 【详解】因为数列满足，， 所以， 所以， 则， 所以， 故选：A. 4．（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变成,（）.根据，依次计算即可. 【详解】数列满足，（），所以,（）. 因为，所以，，，. 故选：D. 二、多选题 5．（25-26高三上·辽宁·期中）记为数列的前项和，且，，则（    ） A． B．为等差数列 C．数列单调递减 D． 【答案】AD 【分析】对于A：令可判断；对于B：利用与的关系，把转化成关于的递推公式，然后利用定义可判断；对于C：求出的通项，利用指数函数单调性判断；对于D：利用分组求和以及等比数列的前项和公式计算可判断. 【详解】对于A，令可得，即， 又，解得，故A正确； 对于B，当时，，两式相减可得，且， 即，故是以首项，公比为的等比数列，故B错误； 对于C，易得， 故，易得数列单调递增，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD. 6．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知数列满足，记分别为数列的前项和，则（    ） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】构造常数列求出数列判断A；利用等差数列前项和公式求解判断B；利用裂项相消法求和C；由单调性判断D. 【详解】对于A，数列中，由，得，因此数列是常数列， ，，A正确； 对于B，数列为等差数列，，显然是递增数列， 当时，，B错误； 对于C，，， 因此，C正确； 对于D，当时，，而数列是递增数列， 则，因此，D正确. 故选：ACD 7．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知数列满足，则（    ） A． B．的前8项和为86 C．的前12项和为 D．的前16项和为168 【答案】AD 【分析】令即可求出判断A选项；由时得，再结合题设条件等式作差得的通项公式即可计算得前8项的和判断B选项；写出的通项公式，然后由等差数列的性质计算该数列的前12项的和，判断C选项；由的通项公式计算出的前16项和，判断D选项. 【详解】令，则，A选项正确； 由题意可知当时，， 所以，即， ∴数列的前8项和为，B选项错误； 令，则 ，C选项错误； ， ，D选项正确. 故选：AD. 三、填空题 8．（25-26高三上·重庆·月考）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】350或357 【分析】讨论的奇偶性，结合递推关系求项判断数列的周期性，进而求. 【详解】当为奇数时，，则， 数列的项依次为， 数列是周期为3的数列，所以； 当为偶数时，，则， 数列的项依次为， 数列是首项为8，从第2项起周期为3的数列， 所以. 故答案为：350或357 9．（25-26高二上·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】先由，a1＝1，得到数列周期为4，计算出一个周期内的和为，所以. 【详解】因为数列中， ，； 所以，， ，， 与相同， 所以数列的周期为4 一个周期内的和为， 因为 所以； 故答案为：. 10．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知数列 中， ，记 为 的前 项和， ，则 . 【答案】 【分析】利用数列前项和与的关系得到，然后由累乘法即可求得. 【详解】因为，当时，， 则，即， 可得：． 故答案为：12. 11．（25-26高三上·吉林延边·期中）在数列中，，，则 . 【答案】5 【分析】根据累加法即可求解. 【详解】由可得， 故， ， ……, , 相加可得， 故答案为：5 四、解答题 12．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，，求数列的通项． 【答案】 【分析】结合已知等式，利用作商的方法求出时，的表达式，进而得到的表达式，再单独验证时的情况. 【详解】由题意有， ， 两式相除得，即，而也满足该式， 当时，由，得． 所以 13．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】可看作数列的前项和，从而可通过消元法消去求得数列的通项，并进一步得到数列的通项． 【详解】由， 得， 所以， 两式相减可得， 所以，即． 因为，所以， 从而，又因为，所以， 所以. 14．（25-26高二上·海南海口·期中）已知数列满足,且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列的前项和． 【答案】(1); (2)证明见解析，首项为1，公差为1； (3) 【分析】（1）依次代入即可求解； （2）运用构造法，两边同除即可得证； （3）运用错位相减法解决“等差数列等比数列”的数列求和模型. 【详解】（1）∵,且, ∴, . （2）由, 得. 又,故数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知：,,故； , , 两式相减，得 , , , ; 故. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知数列中，，求． 【答案】 【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得. 【详解】， 所以， 又，则是首项为公差为的等差数列， 得，故． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08数列通项公式的求法 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 閨重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 ☆考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点 知识点01由an与Sn关系求通项公式 知识点02累加法求通项公式 知识点03累乘法求通项公式 数列通项公式的求法 知识点04构造数列求通项公式 知识点05倒数法求通项公式 知识点06递推式求周期数列 记 重难知识 ☑知识点1：由a,与Sn关系求通项公式 由题目给出an与Sn(或者直接给出多项数列相加)关系式求通项公式，可以考虑退位相减，构造S1 然后根据Sn-Sr1=an化简。 1、消Sn得到an的关系式 2、消an得到Sn的关系式 3、根据题目给出的项求和公式或者求积公式，构造n+1项后做差或作商，求通项。 注意：构造$1后，n≥2，所以求出通项公式后，记得验证首项是否满足通项公式。 ☑知识点2：累加法求通项公式 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 aH1=an十f()型(fa是关于n的函数)： an-an1=f(n-1) 22a=ma-2ttf+ya≥9 a2°a1=f(1) 注意： ①若f(n是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； ④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 验证首项是否满足通项公式。 ☑知识点3：累乘法求通项公式 罂=fn)型（f(n)是关于n的函数)： 最=f(n-) 20=f(a-2)→an=fn-1fn-2…f2f1a n22 景=f1) 注意： f()的连乘一般可以上下抵消，注意隔项相消的时候，要留意保留的项。 验证首项是否满足通项公式。 ☑知识点4：构造数列法求通项公式 1、aH1=pan十g(当p=1时，为等差数列，q=0时，为等比数列，所以p≠1，p≠0，g≠0) 目标把a+1=pan十g拆分成(aH1十A)=p(an十A的形式，使得[n十A小为公比为p的等比数列（其 中的A满足pA-A=q→A=是) 2an+1=pan+kn+b(p≠1，p≠0，k+0) 目标把a*1=pan+kn+b拆分成(a+1十A(a+1)+B)=p(an+An+B)的形式，使得 (an十An+B卧为公比为p的等比数列（其中的A,B满足p(An+B)-(A(n+1)+B)=kn+b 3、 at1=pan+gp≠1,0，q≠0,1 两边同时除以q+1,得品=号导+奇，然后按照a+1=P品n十g的方法去求通项。 注意 通过待定系数法，构造等比数列，最后来确定系数。 验证首项是否满足通项公式。 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ☑知识点5：倒数法求通项公式 an1an=pan1ap≠0)型 化成品六=p形式，得{经为等差数列 ☑知识点6：递推式求周期性数列 同函数的周期性一致，数列也具有周期性。以下举出几个常见周期数列的特征。 a1=会号型(C≠0)分式递推式，可能为月期数列，可计算出几项来证实下周期任。 2、 am1+an=k或aH2十aH1十an=k或aH2aH1十an=k是常数(k是常数 an1”n=k或a2”n1'8n=k或径=k 4、分段式数列 注意： 以上几种数列，当觉得可能为周期数列时，可计算出几项来验证一下周期性。 必考题型 【题型1】消Sn或消a,得通项公式 高妙技法 退位构造S1,然后根据SnS1=an化简。通常都是由消Sn得到an的关系式，但是若式子的其余项都 是Sn相关项，也会由消an得到Sn的关系式。注意检验首项 1.(25-26高三上湖南长沙月考)已知数列{an}的前n项和为Sn,a=2,且a.S+1=an(S,+1-1,则 S6=() A.3 B.6 C.9 D.12 2. (2425高二下广东月考)记S,为首项为1的数列a的前硕和，且三=，则S。=() a A.29 0 B. 50 29 c. D.9 3. (2425高二下北京期中)）设数列a,的前项和为3.若4=2，S.=n+a,则a,=（) 2 A.18 B.12 C.6 D.3 4.(24-25高二下·黑龙江绥化期中)已知Sn为数列{an}的前n项和，4=1，an1+2Sn=2n+1,则 S2024=- 【题型2由公式递推式求项】 高妙技法 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若题目给出的是n项相加或相乘的格式，也可以构建n+1项，然后两式相减或者相除，得第n+1项，注 意检验首项 1. (25-26高二上甘肃兰州期中)已知数列a,满足a,+2a,+3a,++na,=2，设，=n+2,S a 为数列{b,}的前项和若Sn<t对任意n∈N恒成立，则实数t的最小值为() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(25-26高二上江苏苏州月考)数列{an}满足a1+2a2+3a,+…+nan=2n-1(n∈N,n≥1，则数列 an 的前9项和为( ) n+2 161 106 C.49 72 A. B. 165 D. 165 66 1 1 3.(2025高三全国专题练习)已知数列a,}满足a+20,+方4，++na,=n+mn∈N)设数列，}满 足6=2n+1 数列b,}的前项和为T,若T,≤”2(n∈N)恒成立，则实数入的取值范围为（) a an+ n+1 C D. 4. (24-25高二下广东深圳期末)已知数列an}满足a,+3a2+…+3-an=n3”,则a2025= 【题型3累加法求通项公式】 高妙技法 右边项求和时，可以使用求和的几种方法。注意检查首项是否满足最后的通项公式 (2025高二全国专题练习)在数列a,}中，4=2，a=0+1n1+马， 则an等于( n+l n n A.2+nIn n B.2n+(n-1)Inn C.2n+nlnn D.1+n+nlnn 2.(24-25高二上湖北孝感月考)数列(an}满足：a1=1,a1=an+log2 n+1 则a=（) A.2√2 B.3 C.4 D.42 3.(2025商三全国-专题练习)已知数列a}满足4=2，S+=28,+log:（+日》n22引，则a=() A.22 B.3 C.4 D.42 4. (2025商三上广东中山专题练习》已知数列a满足4=2a=4,+n+》则a 【题型4累乘法求通项公式】 高妙技法 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 右侧的累乘项一般是分式可以上下消除，但要注意隔项消除时最后剩下的项。注意检验首项是否满足通项 公式。 1.(多选)(2425高二下-辽宁期中)已知数列a,满足a=7na,=2(n+la(neN),则（) A.{an}是递减数列 B.a,=2 n 1 C.当 -2n2 的前n项和取得最小值时，n=6 n…an D.对任意neN,不等式(-l”ma,≤a,则-sms 2.（多选〉（24-25高二下辽宁期中)已知数列a,满足a=6,0-”+3a 2a,则() n A.n∈N,an<(n+1) B.neN,an≠2025 C.n∈N,an为完全立方数 D.m∈N,数列a,的前项和S,-nn+(n+2n+3 4 3。（24-25高二下上海奉贤月考)已知数列a满足4=ha-2m+2 an,则{an}的通项公式为_ n n(n+1) 4. 025高三全国专题练习）已知a,4+2”≥2，求数列a的通项一 【题型5一次二次/常数型用构造法求通项公式】 高妙技法 at1=pan十f()当f(n)为常数或者一次函数或者二次函数，用待定系数法构 a+1+g如+=p(an+g()使得pg()g(n+1)=f(n),数列an十g(n)}为等比数列。 1. (2026高三·全国.专题练习)已知数列{an}满足an1=2an+n,a1=2,则an=」 2（25-26高二上甘肃平凉月考)已知a=1,当a≥2时，0，=4+2-1，则4，的通项公式为 3.（多选)（25-26高三上·黑龙江月考)设首项为1的数列{an}前n项和为Sn,已知Sm1=2Sn+n-1,则 下列结论正确的是() A.数列Sn+n为等比数列 B.数列{an}的前n项和Sn=2”-n C.数列{an}的通项公式为a。=2--1D.数列{a+1}不是等比数列 4.（多选)(25-26高三上辽宁期中)记Sn为数列{an}的前n项和，且a1=1,2Sn1-Sn=2n+2,则() 3 A.4,=2 B.{a。-2为等差数列 5/9 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.数列an}单调递减 D.S,=2n-2 2 【题型6指数型用构造法求通项公式】 高妙技法 先除以式子中的指数，把这项变成常数项，然后按照常数的待定系数法去分配。 1. (25-26高二上江苏镇江期中)已知数列{a,}中，a=3,且a1=30,+31,则a6=() A.2026×32026B.2025×32025 C.2026×32025 D.2025×32026 2.(25-26高二上·甘肃·月考)己知单调递增数列an}满足a+1=2”-2an,且a1=a,则a=() A.分 c 3.(多选)(25-26高三上湖北荆州·月考)已知数列{an}的前项和为Sn,a=3,且 S,=3S1+2×3”(n≥2)，则下列说法正确的有() A. 是一个等差数列 B. an 4n 是一个等比数列 C.对Vn∈N,3an>2Sn. D.数列 (-3)2a. S,S 的前项和为，则=-2+（少 32n+1 4. (25-26高三上河南新乡·期中)在数列an}中，4=0，am+1=2a,-3”-n2+2n+1，则an= 【题型7倒数型求通项公式】 高妙技法 构造倒数数列，然后求倒数数列的通项公式。 .2425高二上江苏锁江期中)已知在数列a中，4-2,42杂26=-广(2n+小aa数 列{bn}的前n项和为Sn,则So=() A.、400 101 B. 400 C.408 101 101 D.-408 101 2.(多选)(25-26高二上·江苏南京·月考)数列{an}的前n项和为 1 S,(S,≠0)，4=4a,+45S,=0(n之2列，则下列命题正确的是（） A.S.=4n 1 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.= 4n(n-1) C数列a的最小项为日 D.数列 an+l 为等比数列 S 3.(25-26高二上·黑龙江哈尔滨月考)已知数列an}满足41=1，an-a+1=2”anam+1,则an=（) 1 C. 20+1-1 1 A. 2-+1 B. 2-可 2”+1 D.21 4.(2025高三全国.专题练习)已知在数列an}中，a,=2,且满足an1+aan+1-2an=0,求证： 含aa-3 【题型8递推式求周期数列的通项公式】 高妙技法 可以列出数列中的几项来发现数列是否是周期数列，并找出其最小周期。 5-26高二上江苏苏州期中)数列a满足4，=V2,am1=2-。n∈N】 a1+02+03+…+02024+02025= 2.(25-26高二上·福建莆田期中)设数列an}满足an+H= 8,且4之则=（) 1-an A.-2 C. D.3 3.(25-26高二上山西月考)己知数列{an}中，a1=3,an=anan+1+1,，则a2025=() A.3 B.3 D.2 3 4.(25-26高三上·辽宁月考)已知数列{an}满足aam1+an+1an+2=ana+2,41=1,a=2,则下列说法正确 的是() A.a2025=-1 B.a1+a2+…+a2026=1 C.41a2a026=21350 1,1,1 D. 1+1+1+…+1=1 a2026 复习提升 一、单选题 1.(25-26高三上山东泰安·月考)已知数列{an}的前项和为Sn,满足S。+2n=2an,则a2025=() A.22025-2 B.22026-2 C.22027-2 D.22024-2 7/9 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 2.(25-26高三上广东肇庆开学考试)己知数列an}的前项和为Sn,a,=2,且anS1=an（Sn+1)-1, 则S2025=() A.1012 B.2024 C.2025 2 D.2025 3.(25-26高三上·四川成都开学考试)己知数列an}满足a,=1,an1=an+2”(neN)，则ao=（) A.210-1 B.2川+1 C.20+1 D.21-1 :25-26高二上重肤月考)已知数列Q,满足4，，。2 ,(n≥2，neN),则a1=() an-1 A B. C.1 D.2 二、多选题 5.(25-26高三上辽宁.期中)记Sn为数列{an}的前n项和，且4，=1,2Sn+1-Sn=2n+2，,则() A.a=2 B.{an-2为等差数列 C.数列{an}单调递减 D.Sn=2n-2+ 1）- 2 6.(24-25高二下广东深圳期中)已知数列a,6,满足a=2.0+ma,=mb,=4, ，记Sn,Tn分别 为数列{an},{bn}的前n项和，则() A.a =2n B.当n244时，Sm≥2025 2025 C.T025=2026 1 D.当n22时，3≤7,7<1 7.(25-26高三上福建莆田期中)已知数列{a,}满足a,+2a2+…+2-a,=n2,则() A.a=4 B.{an}的前8项和为86 C.{(-1)”an}的前12项和为-14 D.a.-10外的前16项和为168 三、填空题 3an+1,当an为奇数 8.(25-26高三上·重庆月考)已知数列{an}的前项和为Sn,且满足a2=4,an1= 号当为偶数·测 S150=— 9.(25-26高二上天津·月考)已知数列{an}中，a1=1,an1=(-1)“(an+1),记Sm为{am}的前n项和，则 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S2025= 10.(25-26高三上贵州贵阳期中)已知数列{an}中，a,=3,记Sn为{an}的前n项和， 2S。=(n+1)a。，则a4=一 1.（②526商三上吉林延边期中)在数列a中，4=3,8m=Q+e+月 则am= 四、解答题 2.(2025高三全国专题练习)已知数列a满足a=),4,=-9 +0+} 3n+3n>2),求数列a,}的通项a,· n 13. (2025高二全国专题练习)已知数列a,满足4+2，+3a,++ma。=2a,n≥2)，4=l,求数列 1+2+3+…+n {an}的通项公式 14.(25-26高二上海南海口期中)已知数列a}满足an1=2an+21,且a1=2. (1)求a的值； (②)求证：数列 是等差数列，并指出这个等差数列的首项和公差； (3)求数列{an}的前项和Sn. 15.(2025高三·全国专题练习)已知数列a中，4=1，a,1=8-} an+3,求a. 9/9