专题09 等差、等比数列中an与Sn性质的应用（6重点+10题型+复习提升）（复习讲义）高二数学人教A版

该高中数学讲义通过思维导图系统构建等差、等比数列知识体系，将通项公式、前n项和、函数性质等核心内容分模块梳理，用框架图呈现性质内在逻辑，明确重难点分布，帮助学生形成条理清晰的知识网络。 讲义亮点在于“题型+技法”创新设计，针对等差中项应用、片段和性质等10类必考题型，每类配备“高妙技法”提炼规律，结合各地月考真题分层训练，培养学生数学思维与运算能力，支持学生自主查漏补缺，助力教师实施精准教学，满足不同层次学生提升需求。

专题09 等差、等比数列中与性质的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ： 等差数列通项的有关性质 1、 通项公式的推广 2、 当时，． 特别地，若，则．是的等差中项。 3、 数列中序号为等差数列的项，…仍是等差数列，公差为 4、 若，是等差数列，则也是等差数列． 5、 数列是公差为的等差数列 知识点2：等差数列前项和的有关性质 1、 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 2、 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 3、 若是公差为d等差数列，则也成等差数列，首项，公差为． 4、 若与为等差数列，且前项和为与，则． 5、 若项数为偶数，则；；． 6、 若项数为奇数，则；；． 常用结论： 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 知识点3：等差数列的函数性质 由通项公式，求和公式，可得以下性质 1、公差为递增等差数列，有最小值； 2、公差为递减等差数列，有最大值； 3、公差为常数列． 知识点4：等比数列通项的有关性质 1、 通项公式的推广 2、 若，则．是的等比中项。 3、 数列中序号为等差数列的项，…仍是等比数列，公比为 4、 为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列，但为等差数列． 5、 若，是等比数列，则，仍是等比数列． 知识点5：等比数列前项和的有关性质 1、 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 2、 为等比数列，若前项积为，则成等比数列． 知识点6：等比数列的函数性质 1、当或时，为递增数列； 2、当或时，为递减数列． 3、若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【题型1 等差中项的应用】 高妙技法 在等差数列求项的时候，可以用通项公式，也可以考虑用等差中项的性质：若，则．是的等差中项 1．（25-26高二上·重庆·月考）记为等差数列的前项和．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【题型2 等差数列片段和的性质】 高妙技法 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 1．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 两个等差数列前n项和比值与中项比值关系】 高妙技法 若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（25-26高二上·山东临沂·月考）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆北碚·月考）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足  ， 则  （    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南常德·月考）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【题型4 等差数列奇数项和与偶数项和的性质】 高妙技法 弄清楚数列的总项，因为总项是奇数或偶数会影响到奇数项和跟偶数项和。 1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 4．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（    ） A．15 B． C． D． 【题型5 等差数列{数列性质】 高妙技法 数列的前n项和为是等差数列 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 2．（24-25高二下·广东广州·月考）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当取得最大值时， D．时，的最大值为32 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（    ） A．13 B．26 C．30 D．33 4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【题型6 等差数列的函数性质】 高妙技法 根据等差数列的通项有是关于n的一次函数，的增减性与的正负有关。 1．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列为递增数列 B． C．数列的前项和最小 D． 【题型7 等差数列的函数性质 】 高妙技法 根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可以根据二次函数的性质来讨论的单调性、最值。 1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【题型8 等比中项的应用】 高妙技法 若，则．是的等比中项。 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 2．（24-25高二下·广西·期中）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．54 C．49 D．42 3．（24-25高三上·广东·月考）已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（   ） A．121 B．364 C．728 D．1093 4．（24-25高三上·重庆·月考）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型9 等比数列片段和的性质】 高妙技法 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 1．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 2．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【题型10 等比数列的函数性质】 高妙技法 等比数列、等比数列的前n项和的增减性跟公比q、首项有关。 1．（24-25高二下·四川·期中）若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（24-25高二上·江苏南通·月考）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．若数列是递增数列，则 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为 4．（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 1．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东烟台·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 5．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 6．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 7．（23-24高二上·河北衡水·月考）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（   ） A． B．5050 C． D．4950 9．（2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 10（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 11.（24-25高三上·江西赣州·期中）已知等差数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为1 B．数列为递减数列 C．数列为递增数列 D．的最小值为1 12．（24-25高三上·广东·月考）设等比数列的前项和为，且，则（    ） A．243 B．244 C．81 D．82 13．（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 14．（多选）（24-25高二下·四川南充·期末）关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（   ） A．若等比数列的前项和，则实数 B．若数列为等比数列，且，则 C．若等差数列的前项和为，则成等差数列 D．若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 15．（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 等差、等比数列中与性质的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1 ： 等差数列通项的有关性质 1、 通项公式的推广 2、 当时，． 特别地，若，则．是的等差中项。 3、 数列中序号为等差数列的项，…仍是等差数列，公差为 4、 若，是等差数列，则也是等差数列． 5、 数列是公差为的等差数列 知识点2：等差数列前项和的有关性质 1、 ．数列是等差数列⇔（为常数）． 2、 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 3、 若是公差为d等差数列，则也成等差数列，首项，公差为． 4、 若与为等差数列，且前项和为与，则． 5、 若项数为偶数，则；；． 6、 若项数为奇数，则；；． 常用结论： 1、等差数列中，若，则． 2、等差数列中，若，则． 3、等差数列中，若，则． 知识点3：等差数列的函数性质 由通项公式，求和公式，可得以下性质 1、公差为递增等差数列，有最小值； 2、公差为递减等差数列，有最大值； 3、公差为常数列． 知识点4：等比数列通项的有关性质 1、 通项公式的推广 2、 若，则．是的等比中项。 3、 数列中序号为等差数列的项，…仍是等比数列，公比为 4、 为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列，但为等差数列． 5、 若，是等比数列，则，仍是等比数列． 知识点5：等比数列前项和的有关性质 1、 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 2、 为等比数列，若前项积为，则成等比数列． 知识点6：等比数列的函数性质 1、当或时，为递增数列； 2、当或时，为递减数列． 3、若既是等差数列又是等比数列是非零常数列． 【题型1 等差中项的应用】 高妙技法 在等差数列求项的时候，可以用通项公式，也可以考虑用等差中项的性质：若，则．是的等差中项 1．（25-26高二上·重庆·月考）记为等差数列的前项和．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质，可得，代入求和公式，化简计算，即可得答案. 【详解】由题意，则， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【分析】根据等差中项的公式，令两式相加即可得出答案. 【详解】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．10 D．15 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质可得出的值，进而利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由等差中项的性质可得，解得， 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【详解】因为为等差数列的前项和，且， 所以等差数列的前项公式有，即 又因为，所以， 则. 故选：C 【题型2 等差数列片段和的性质】 高妙技法 为等差数列前项和，则是等差数列，公差为 1．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 2．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．51 B．57 C．63 D．66 【答案】D 【分析】根据等差数列的前项和性质：片段和仍然成等差数列计算 【详解】等差数列的前项和为，，， ，，，成等差数列， ，，， ，则数列的前三项为，是公差为的等差数列，故，. 故选：D 3．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】方法1：利用在等差数列中，，，，仍成等差数列，代入求解即可. 方法2：利用等差数列前项和公式，求出等差数列首项，公差，代入求解即可. 【详解】方法1：由等差数列前项和的性质可知： 在等差数列中，，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列，即， 又，，所以， 解得. 方法2：设等差数列首项为，公差为， 由等差数列前项和公式可知： ，， 联立解得，， 所以. 故选：B. 4．（25-26高三上·重庆·期中）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前n项和为，则成等差数列，即可得出结论． 【详解】设，则， 等差数列的前n项和为，则成等差数列， 即成等差数列， 公差为，故，即， ， 故选：. 【题型3 两个等差数列前n项和比值与中项比值关系】 高妙技法 若与为等差数列，且前项和为与，则． 1．（25-26高二上·山东临沂·月考）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用即可得解. 【详解】由题得. 故选：D 2．（25-26高三上·重庆北碚·月考）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，且满足  ， 则  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列性质将转化为，再利用求出的值即可. 【详解】等差数列前项和，， 所以， 由等差数列性质知，， 所以. 又， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 令等差数列的公差为，等差数列的公差为， 则①，②，③， 由②得，，由③得，， 代入①中，整理得，，所以，故. 故选：C. 3．（25-26高三上·湖南常德·月考）等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】等差数列与的前n项和分别为和，因为， 所以. 故选：A. 4．（25-26高三上·重庆·月考）已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【详解】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 【题型4 等差数列奇数项和与偶数项和的性质】 高妙技法 弄清楚数列的总项，因为总项是奇数或偶数会影响到奇数项和跟偶数项和。 1．（25-26高三上·四川绵阳·月考）已知等差数列共有项，奇数项之和为，偶数项之和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】等差数列共项，其中奇数项有项，偶数项有项， 奇数项和为①， 偶数项和为②． 因为，所以①÷②，得，则． 故选：A． 2．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．10 B．19 C．21 D．29 【答案】B 【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得. 【详解】设项数为， 则， . 此数列共有19项. 故选：B 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 4．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（    ） A．15 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干信息，可得数列是首项为5的等差数列，再结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列， 设数列中所有奇数项的和为，则， 设数列中所有偶数项的和为，则， 又由等差数列的性质，知， 所以. 故选：D. 【题型5 等差数列{数列性质】 高妙技法 数列的前n项和为是等差数列 1．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则下列选项中不正确的是（ ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以A正确； B：由上可知：， 因为，所以当或6时，取得最小值，因此B不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以C正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，故D正确， 故选：B 2．（24-25高二下·广东广州·月考）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当取得最大值时， D．时，的最大值为32 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式先求出，再求通项公式，然后对各选项逐一检验即可. 【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列． 则． 所以. 对于选项A：， 当时，； 当时，； ， ． ， 数列是等差数列，故选项A正确； 对于选项B：， ，，， ，， 则，， 所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误； 对于选项C：，， 当或时，最大，故选项C错误； 对于选项D：令，得，， 即满足的最大正整数，故选项D错误. 故选：A． 3．（24-25高三下·浙江·开学考试）已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（    ） A．13 B．26 C．30 D．33 【答案】D 【分析】由条件结合等差数列的通项公式求的通项公式，由此可得，再由关系求结论. 【详解】因为，， 所以，， 因为为等差数列， 所以数列的公差为， 所以数列的通项公式为， 所以， 故， 故选：D. 4．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式，求解即可. 【详解】由题意可得，，化简， 所以，. 故选：B. 【题型6 等差数列的函数性质】 高妙技法 根据等差数列的通项有是关于n的一次函数，的增减性与的正负有关。 1．（25-26高三上·福建三明·月考）已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 2．（24-25高三上·北京海淀·期中）设无穷等差数列的前项积为.若，则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析公差三种情况，当时无最大值，当时， 不一有最大值，即可得出论. 【详解】对于无穷等差数列，由于， 当时，若数列中小于0的项为偶数项，且数列中无0时，显然没有最大值， 当时，数列为常数列，当不等于时，，无最大值， 所以公差不能推出有最大值， 当时，，所以趋于正无穷，为正负间隔的摆动数列，没有最大值， 所以当有最大值时，只能， 综上，“有最大值”是“公差”的充分不必要条件， 故选：A 3．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案. 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高二上·浙江绍兴·月考）在等差数列中，为其前项和.若，，则下列判断错误的是（    ） A．数列为递增数列 B． C．数列的前项和最小 D． 【答案】C 【分析】推导出，，可判断BD选项；利用等差数列的单调性可判断A选项；分析可知，当且时，；当且时，，可判断C选项. 【详解】设等差数列的公差为， 对于A选项，，可得， ，可得，所以，， 所以，，所以，数列为递增数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，，B对； 对于D选项，由A选项可知，，D对； 对于C选项，因为数列为递增数列， 当且时，；当且时，， 所以，数列的前项和最小，C错. 故选：C. 【题型7 等差数列的函数性质 】 高妙技法 根据等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可以根据二次函数的性质来讨论的单调性、最值。 1．（24-25高二下·河南驻马店·月考）已知等差数列的前项和为，若，，则使的最小的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件可得数列为递减数列，且，，，根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质可得结果. 【详解】设等差数列的公差为， ∵，， ∴数列为递减数列， ∴，，， 由得，即， ∴， ∴使的最小的的值为. 故选：D． 2．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 3．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先利用与等差数列前项和公式分析项的符号，再利用分析项的符号，最后判断的最小值即可. 【详解】由等差数列前项和公式得：， 因为，所以，即， 因为，所以， 又因为，可得，即， 由，可知数列前6项为负，第7项开始为正， 因此当取得最小值时，. 故选：C. 4．（25-26高二上·甘肃平凉·月考）设为等差数列的前项和，且，若，则的最小值为（    ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】C 【分析】由等差数列的性质及前项和求解． 【详解】由，得，又，所以， 等差数列的公差， 即是递减数列，由，得， 所以时，， 由，得， 所以当时，的最小值为30. 故选：C. 【题型8 等比中项的应用】 高妙技法 若，则．是的等比中项。 1．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且满足，，则（   ） A．11 B．31 C．32 D．121 【答案】B 【分析】由等比数列的性质求出，再用公比表示出，求出.由等比数列的前n项和公式即可求得. 【详解】由等比数列的性质知，又，所以， 设的公比为，则，所以或（舍）， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·广西·期中）已知在等比数列中，，等差数列的前n项和为，且，则（    ） A．0 B．54 C．49 D．42 【答案】C 【分析】先根据等比数列下标和的性质求出，然后结合等差数列下标和的性质，利用等差数列求和公式求解即可. 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，则， 所以. 故选：C. 3．（24-25高三上·广东·月考）已知正项递增等比数列的前项的和为，若，，则（   ） A．121 B．364 C．728 D．1093 【答案】B 【分析】由条件结合等比数列性质求，再根据等比数列通项公式求公比，首项，结合等比数列求和公式求. 【详解】在正项递增等比数列中，所以， 又，所以或（舍去）， 设数列的公比为，则，所以，所以. 故选：B. 4．（24-25高三上·重庆·月考）已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据下标和性质求出，即可求出、，即可求出，再由求和公式计算可得. 【详解】因为等比数列单调递增，，则，又， 解得或（舍去），所以， 所以. 故选：D. 【题型9 等比数列片段和的性质】 高妙技法 公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为． 1．（25-26高二上·湖南邵阳·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则的值为（   ） A．81 B．145 C．256 D．273 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质，计算即可得出答案. 【详解】因为等比数列，，， 所以成等比数列， 因为，，所以， 所以， 所以. 故选：D 2．（25-26高三上·广西·开学考试）记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式及等比数列的前项和定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A．56 B． C．63 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可. 【详解】因为等比数列的前n项和为， 所以，，成等比数列，且公比为正数， 设，由题意得，， 则7，，成等比数列，得到， 即，解得或， 因为，，三者同号，所以，故C正确. 故选：C. 4．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 【题型10 等比数列的函数性质】 高妙技法 等比数列、等比数列的前n项和的增减性跟公比q、首项有关。 1．（24-25高二下·四川·期中）若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等比数列的前n项和公式及，结合充分、必要性定义判断条件的关系. 【详解】若的公比为，则， 若时，不单调，充分性不成立； 若单调递增，则恒成立，故，必要性成立， 所以“”是“单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 2．（25-26高三上·北京·开学考试）已知无穷等比数列的前n项和为，则“”是“既无最大值也无最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设出公比为，利用等比数列基本量的运算得：的充要条件为或，分类讨论得既无最大值也无最小值时，，则有，最后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】设公比为，由得， 因为，所以，所以，所以或， 即的充要条件为或， 当，时，，此时， 故，所以为单调递增数列，此时有最小值无最大值， 当，时，，此时， 故，所以为单调递减数列，此时有最大值无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值，此时无最大值，无最小值， 所以由“”推不出“既无最大值也无最小值”； 反之，当时，为常数列，此时无最大值或无最小值； 当时，有最大值，也有最小值，此时有最大值和最小值； 当时，由上面分析若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则有最小值无最大值， 若，则有最大值无最小值； 当时，若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若，则， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值； 当时，结合前述分析可知无最大值，无最小值， 由此可知“既无最大值也无最小值”当且仅当，此时成立. 综上，“”是“既无最大值也无最小值”的必要不充分条件. 故选：B 3．（多选）（24-25高二上·江苏南通·月考）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，前项积为，则（    ） A．若数列是递增数列，则 B．若数列是递增数列，则 C．当时，存在实数，使得恒成立 D．若，则使得成立的的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，通过取，可得，即可求解；对于B，因为，根据条件，将问题转化成恒成立，即可求解；选项C，由得，再利用等比数列的前项和公式，即可求解；对于选项D，根据条件可得，即可求解. 【详解】对于选项A，取，则，此时是递增数列，所以选项A错误， 对于选项B，因为， 则，又，数列是递增数列，则且， 且恒成立，则，所以选项B正确， 对于选项C，当时，， 则，所以选项C正确， 对于选项D，若，由选项B知，即，得到， 所以，即， 则， 所以使得成立的的最大值为10，故选项D正确， 故选：BCD. 4．（2025高三·全国·专题练习）记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【分析】由，可得或，然后逐项讨论. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以，且或， 即或. 当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误； 因为，所以， 所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误； 又，且， ①当时，由于， 则，， 所以有最小值，最大值； ②当时，， 所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值； 综上所述，有最小值，C错误，D正确． 故选：D. 1．（25-26高三上·河北邯郸·月考）已知公差不为零的等差数列的前项和为，且成等比数列，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，列方程求出，进而可得，即可求解. 【详解】设公差为，则，所以， 又，所以，解得， 所以，则， 故选：D． 2．（25-26高三上·山东烟台·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列部分和的性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题意为等差数列，则， 所以，则. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏苏州·月考）设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 5．（25-26高三上·河北唐山·期中）已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 6．（25-26高三上·湖北·期中）已知数列是等差数列，公差为，前项和为，且，，则使得的的最小值为（   ） A．4048 B．4049 C．4050 D．4051 【答案】B 【分析】由，得到，继而推出，再结合，得到，，再结合求和公式即可判断. 【详解】由，，得，则，所以， 由和得， 结合， ， 故使得的的最小值为4049. 故选：B 7．（23-24高二上·河北衡水·月考）设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解. 【详解】 由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 8．（25-26高二上·重庆九龙坡·月考）已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（   ） A． B．5050 C． D．4950 【答案】A 【分析】根据数列的单调性，结合递推公式，利用分组求和以及等差数列求和，可得答案. 【详解】由数列是递增数列，得；由数列是递减数列，得. 由，且，即， 则当为偶数时，；当为奇数时，. 所以 . 故选：A. 9．（2025高三·全国·专题练习）一个等差数列共有项，其奇数项之和为319，偶数项之和为290，则此数列第项为（   ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【分析】由题中条件及等差数列的性质可得：，两式相减即可求解. 【详解】由题中条件及等差数列的性质可知：， 所以. 故选：C. 10（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 11.（24-25高三上·江西赣州·期中）已知等差数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为1 B．数列为递减数列 C．数列为递增数列 D．的最小值为1 【答案】B 【分析】由等差数列的求和公式可得，即可得到等差数列的，结合等差数列的通项公式与求和公式可得，然后对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设数列的公差为，由，所以. 又，所以， 所以. 选项A：， 所以当时，的最小值为1，A正确； 选项B：，因为， 所以数列不是递减数列，B错误. 选项C：，所以数列为递增数列，C正确； 选项D：，令，所以， 令，得或，所以在区间上单调递增， 所以当时，取得最小值，D正确. 故选：B. 12．（24-25高三上·广东·月考）设等比数列的前项和为，且，则（    ） A．243 B．244 C．81 D．82 【答案】B 【分析】由等比中项进行转化，得到公比，再由等比数列的前项和公式得到比值.： 【详解】由等比数列性质可得， 设的公比为，则， 故． 故选：B． 13．（24-25高二下·陕西汉中·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和的性质可得. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 14．（多选）（24-25高二下·四川南充·期末）关于等差数列和等比数列，下列选项中说法正确的是（   ） A．若等比数列的前项和，则实数 B．若数列为等比数列，且，则 C．若等差数列的前项和为，则成等差数列 D．若等差数列的前项和为，公差，则的最大值为30 【答案】BCD 【分析】根据等比数列前项和的性质，等比数列各项下标之间的关系，等差数列前项和的性质，依次判断各选项正误，求出结果. 【详解】由，可得时，， 作差得，当时，，解得，所以A错误； 由等比数列性质可知，因为，所以， ，所以B正确； 由等差数列的前项和可知，成等差数列，所以C正确； 等差数列中，公差，则， 当或时，前项和取得最大值，最大值，所以D正确. 故选：BCD. 15．（24-25高一下·上海·期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【答案】D 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $