精品解析：江苏省兴化中学2025-2026学年高一上学期12月学情调研数学试题

2025—2026学年度第一学期高一12月份学情调研 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】由得，解得，即， ，所以. 故选：C. 2. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解. 【详解】当在上单调递减， 设任意，且， 则， 又，所以可得， 故“”是“在上单调递减”的充要条件， 故选：C 3. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】，即，， 所以. 故选：D 4. 已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由三角函数定义得到答案. 【详解】当时，，故过定点， 由三角函数定义可得：，. 故选：A 5. 《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用图形以及“弦”和“矢”的定义，由平方关系可求得角的三角函数值，即可计算得出结果. 【详解】根据题意可设半径长， 可得， 由同角三角函数值之间的基本关系可得， 解得； 即可得,； 所以. 故选：D 6. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据已知有，可得，只需求出的最小值，根据 ，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出结论. 【详解】依题意知，与为函数的“线性对称点”， 所以， 故（当且仅当时取等号）. 又与为函数的“线性对称点， 所以， 所以， 从而的最大值为. 故选:D. 【点睛】本题以新定义为背景，考查指数函数的运算和图像性质、基本不等式，理解新定义含义，正确求出的表达式是解题的关键，属于中档题. 7. 已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设是图象上的任意一点，旋转后得点坐标变为，再根据条件，代入即可得到结果. 【详解】设图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转， 如图，设为旋转后的点，过作于，过作于， 则易知，得到， 所以点，依题有，得到，所以， 故选：B. 【点睛】关键点睛，本题解决的关键是，利用三角形全等求得点逆时针方向旋转后的点的坐标，从而得解. 8. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设结合赋值法求出和，接着求出函数是单调递减函数，再利用函数单调性解不等式得，解该不等式即可得解. 【详解】因为对任意的，都有，，且， 所以，且， 设任意，则，则， 又，所以， 若，则当时，，则，矛盾， 所以，所以，所以函数是单调递减函数， 所以不等式等价于，所以， 故即，解得. 所以不等式的解集是. 故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键1是巧妙赋值求出求出和，关键2是由所给条件结合单调性定义求出函数是单调递减函数. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 若为锐角，则为钝角 C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用象限角的定义，三角函数关系式，扇形面积公式的应用判断、、、的结论． 【详解】解：对于：因为所以与的终边相同，而为第二象限角，所以为第二象限角，故正确； 对于：若为锐角，则为锐角、直角或钝角，故错误； 对于：若，则，故正确； 对于：若圆心角为的扇形的弧长为，利用，解得， 故该扇形的面积为，故正确． 故选：． 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示： 因为方程有两个不同的实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据题意知，代入结合基本不等式即可判断；对于C，由代入得，再令，根据分式函数最值可得，接着即可判断；对于D，由，结合的最小值为，注意两次取等条件不一致即可判断． 【详解】对于选项A，因为，且， 所以，当且仅当时取等号， 令，得到，解得或（舍）， 所以，的最小值为9，故A错误； 对于B，由，则， ， 当且仅当，即时取等， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，，， 则， 令，则， ， ，当且仅当，即时取等， 则， ， 当且仅当时取等，故C正确； 对于D，因为，当且仅当取等号， 又，当且仅当,时取等号， 又，所以，故D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，代入已知即可求得. 【详解】因为函数是奇函数，所以， 所以，所以， 又，所以， 故答案为：. 13. a、b为正实数，若，，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由指数相等可设公共值为，利用对数定义将转化为，其和为；由方程解出并用表示，得到关于的函数表达式；通过换元结合基本不等式求出的最小值；最后由及的取值范围，根据对数函数单调性确定当最大且最小时取最小值. 【详解】设,则，由题得：故， 记，则， 由方程得 令，则于是 令， 设，则， 由基本不等式可得：当且仅当即时取等， 此时因此③， 由①③得， 又，为让最小，应取最小()且最大()，即 综上，的最小值为，仅当，，且时等号成立. 故答案为：2 14. 已知函数，，则的值域是______；若且对任意，总存在，使得，则m的取值范围是______． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】对①，由复合函数单调性求解；对②将问题转化为的取值范围是值域的子集求解. 【详解】对于①：， 因为由与复合而成， 又在单调递减，在单调递增， 所以在上单调递减，因为， 所以的值域为； 对于②：由①知，所以， 因为与在单调递增，所以在单调递增， 因为，所以， 由已知，所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据交、并、补集的概念计算； （2）解不等式得到，由求的取值范围. 【小问1详解】 因为或， 所以或，，； 【小问2详解】 由得，解得， 即， 由得，所以，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 条件①：，是关于x的方程的两个实根； 条件②：为角终边上一点，且； 条件③：且. （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】首先根据角的范围判断，的符号，选条件①时根据韦达定理可列方程组求得，的值，利用同角三角函数的基本关系式可求得的值，进而求解； 选条件②时根据三角函数的定义列方程求得的值，进而可求解，的值，从而求解； 选条件③时根据已知条件及同角三角函数的基本关系式可列方程组求得，的值，进而求解. 【小问1详解】 因为是第二象限角，所以，. 选条件①：因为，是关于x的方程的两个实根， 所以，解得. 所以，所以. 选条件②：因为为角终边上一点，且， 所以，且，解得， 所以，所以， 所以，所以. 选条件③：因为，解得或， 又，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以. 17. 已知函数（a为常数）． （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （2）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围． 【小问1详解】 令，因为外层函数在定义域上为增函数， 且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得， 因此，实数的取值范围是； 【小问2详解】 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是． 18. 设． （1）当时，若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围； （2）当时，若值域为，求m的取值范围； （3）当时，给出命题p：存在使，以及命题q：任意使．若p为真命题且q为假命题，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对不等式进行变形化简，然后根据二次函数的性质求解即可 ，注意考虑的情况. （2）要使值域为，只需的值域覆盖所有正数，进而建立不等式，求解参数范围即可. （3）根据命题的真假和二次函数的性质求出答案即可. 【小问1详解】 当时，不等式在上恒成立， 当时，，符合题意； 当时，要使不等式恒成立，则， 解得，所以的取值范围是. 【小问2详解】 当时，的值域为，令， 所以要使的值域为，则的值域必须覆盖区间， 当时，，值域不为，不符合题意； 当时，可得， 令，则对称轴为且过定点， 所以只需要二次函数开口向上，且最小值小于等于0，确保能覆盖所有正数， 即，，解得，所以的取值范围是. 【小问3详解】 当时，，最小值为，令， 则，且. 命题：任意使为假，即使得为真， 即存在，，开口向上，判别式，则， 此时根为， 要满足题意，需的取值范围与有交集， 即，化简得，解得； 命题：使得为真，因可趋向， 故必存在大于0的值，所以恒真. 综上，的取值范围为. 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 【答案】（1）与关于是唯一交换，理由如下： 因为，， 令，所以，解得， 所以有唯一解， 所以与关于是唯一交换. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据方程解的情况判断即可； （2）根据“对任意的，成立”得到关于的方程，然后设出的解析式，根据方程左右两边对应项相同求解出的值； （3）根据条件通过分离参数将问题转化为“存在唯一实数，使得”，然后分析的奇偶性，从而确定出，由此可求的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，对任意的，成立， 即对任意的，； 因为为函数，且，故， 故， 即， 所以， 综上所述，. 【小问3详解】 当时，， 因为与关于唯一交换， 所以存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得， 即存在唯一实数，使得； 令，且定义域均为， 又，， 所以都是偶函数，所以为偶函数， 因此，若存在唯一实数使得，只能是， 所以， 综上所述，的取值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义，涉及方程解以及函数奇偶性等相关问题，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较大. “新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算去解决问题，本题第二问可以从方程左右两边对应相等入手，第三问则可以从函数的奇偶性入手进行分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高一12月份学情调研 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“在上单调递减”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（且）的图象恒过定点，若角的终边经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.记圆心角，若“弦”为，“矢”为1时，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 6. 对于函数，若满足，则称为函数的一对“线性对称点”．若实数与和与为函数的两对“线性对称点”，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数为坐标原点，若对于图象上的任意一点，将线段绕着点逆时针方向旋转后，点落在的图象上，则实数（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，当时，，且，若，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 是第二象限角 B. 若为锐角，则为钝角 C. 若，则 D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为 10. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 11. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最小值为6 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，且，则______． 13. a、b为正实数，若，，则的最小值为______． 14. 已知函数，，则的值域是______；若且对任意，总存在，使得，则m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）求，； （2）记关于x的不等式的解集为M，若，求实数m的取值范围． 16. 已知第二象限角满足______，请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分） 条件①：，是关于x的方程的两个实根； 条件②：为角终边上一点，且； 条件③：且. （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数（a为常数）． （1）若在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围． 18. 设． （1）当时，若关于x的不等式恒成立，求m的取值范围； （2）当时，若值域为，求m的取值范围； （3）当时，给出命题p：存在使，以及命题q：任意使．若p为真命题且q为假命题，求a的取值范围． 19. 已知函数的定义域均为，给出下面两个定义： ①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换； ②若对任意的，均有，则称与关于任意交换． （1）请判断函数与关于是唯一交换还是任意交换，并说明理由； （2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b的值； （3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $