学易金卷：九年级数学上学期期末模拟卷（江苏南京专用，测试范围：苏科版九年级上册全章+九下二次函数、相似）

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册全章+九下二次函数、相似。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于的一元二次方程的较小实数根为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间/h 2.5 3 3.5 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（ ） A．4；4 B．5；4 C．4；3.5 D．5；3.5 3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点为位似中心，若，点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图像如图所示，则等于（   ） A． B． C．13 D．1 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7．抛物线的顶点坐标为 ． 8．若则 ． 9．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 10．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”） ． 11．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 12．盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则 的值为 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 14．如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 15．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1)； (2) 18．（6分）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 19．（8分）电动平衡车采用电能驱动，不仅有助于环境保护，而且轻便易携，受到广大群众的喜爱．甲、乙两个品牌的电动平衡车都宣传他们的产品在正常情况下最大续航里程不低于．相关部门分别对两个品牌电动平衡车的续航里程做了抽样调查．统计结果（单位：）如下： 甲品牌：12.7，12.8，12.9，14.6，14.6，14.8，15，15.8，16.8，17； 乙品牌：12.8，12.9，14，14.2，14.8，15，15，15，16.4，16.9； 甲、乙两个品牌电动平衡车调查数据统计表 （质检部门规定该产品最大续航里程不低于．为合格产品） 平均数 中位数 众数 合格率 甲品牌 14.7 14.6 乙品牌 14.7 14.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____；_____；_____； (2)哪个品牌的最大续航里程更稳定？ (3)若你是顾客，宜选择哪个品牌的电动平衡车？结合上表平均数、中位数、众数、合格率、方差等数据说明理由． 20．（8分）习近平主席在考察北京师范大学时对好老师提出了弘扬“四有好老师”精神，其中： a． 有理想信念 - 政治素质过硬，教育信仰坚定； b． 有道德情操 - 师德高尚，行为世范； c． 有扎实学识 - 业务能力精湛，育人水平高超； d． 有仁爱之心 - 关爱学生，用心培育； 小光同学将其中的“有理想信念”、“有道德情操”、“有扎实学识”、“有仁爱之心”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片． (1)小光第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率是 ； (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的概率（卡片名称可用字母表示）． 21．（7分）新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． (1)求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； (2)为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 22．（7分）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 23．（8分）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 24．（9分）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 25．（8分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 26．（8分）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 27．（11分）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册全章+九下二次函数、相似。 第一部分（选择题 共12分） 1、 选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于的一元二次方程的较小实数根为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把 ，化为标准形式后因式分解，得到两个实数根，比较大小后得出较小根 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 较小实数根为 ， 故选项 C 2．如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间/h 2.5 3 3.5 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（ ） A．4；4 B．5；4 C．4；3.5 D．5；3.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了众数和中位数， 众数是出现次数最多的数据，中位数需先计算总数据个数，再确定中间位置的数据值． 【详解】解：总频数 ， ∵众数为频数最大的对应时间，频数12最大，对应时间， ∴众数为4； ∵总频数42为偶数， ∴中位数为第21和22个数据的平均值， 累积频数：时间累积1，时间累积7，时间累积15，时间累积27，时间累积36，时间累积41，时间累积42， ∴第21和22个数据均落在时间， ∴中位数为． 故选：A． 3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的平移．先确定原抛物线的顶点坐标，根据抛物线平移规则“左减右加，上加下减”，再计算平移后的顶点坐标，从而得到新解析式． 【详解】解：∵原抛物线 的顶点为， ∴向右平移2个单位长度，顶点横坐标变为；向上平移3个单位长度，顶点纵坐标变为． ∴平移后顶点为， ∴平移后所得抛物线的解析式为． 故选：A 4．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角． 【详解】解：∵圆锥全面积，其中，， ∴ 即 ∴ ∴ 设侧面展开图的圆心角为，则弧长 ∵弧长等于底面周长 ∴ ∴ 故侧面展开图的圆心角为， 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点为位似中心，若，点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形的位似和平面直角坐标系，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为点和点，根据题意可知，证得，即可求得答案． 【详解】解：如图所示，过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为点和点． 根据题意可知． ∵，， ∴． ∴，． ∴，． ∴点的坐标为． 故选：C 6．已知函数的部分图像如图所示，则等于（   ） A． B． C．13 D．1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据题意，可知函数的图像与轴的两个交点为和，顶点坐标为，待定系数法求出函数解析式，进而求出的值即可． 【详解】解：由图像可知，和时，不存在函数值， 即当和时，分母， ∴函数的图像与轴的两个交点为和， ∴， 由图像，抛物线的顶点坐标为， ∴，解得， ∴， 故， ∴； 故选A． 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，顶点坐标可直接从表达式读出． 【详解】解：二次函数顶点式为 ，顶点坐标为，比较给定函数，可得，，因此顶点坐标为． 故答案为：． 8．若则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了分式的求值，比例的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由已知比例关系，设参数表示变量，代入所求分式计算． 【详解】解：已知， 设，（其中）， 则， 故答案为：4． 9．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数式求值的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 由是方程的根，根据根的定义得到，进而将所求表达式变形后代入计算，即可求解； 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴， 故答案为：7； 10．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”） ． 【答案】甲 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性；方差是反映一组数据波动大小的量，方差越小，数据波动越小，稳定性越好，长势越整齐． 【详解】解：∵，，且， ∴甲种小麦的方差较小，长势更整齐． 故答案为：甲． 11．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 12．盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则 的值为 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意可得从盒中随机取出1枚棋子是黑色棋子的概率，再结合概率公式解答即可． 【详解】解：∵从盒中随机取出1枚棋子是黑色棋子的概率是 ， ∴从盒中随机取出1枚棋子是黑色棋子的概率是 ， ∵黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚， ∴， 故答案为： 故答案为： 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即 解得：或（舍去）． 故答案为：． 14．如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的性质和图象即可求解，解决本题的关键是采用图象法解决问题． 【详解】解：∵ ∴    ∵如图；与关于y轴对称，抛物线与直线交于两点， ∴抛物线与直线交于两点，   ∴，即 ∴ 故答案为：. 15．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，圆周角定理以及勾股定理．根据直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：是圆的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，其中涉及勾股定理与折叠问题以及相似三角形相关，考查学生的综合应用能力，有一定难度．连接，延长交于点，得出和，由勾股定理得出，同时过作，交于点，结合平行四边形的性质以及相似三角形的性质得出，列方程得出，进一步即可得出． 【详解】解：连接，延长交于点， 为中点， ， 沿翻折得到， ， ， ∵， ， 沿翻折得到， ， 在中，由勾股定理可得：， ， ， 过作，交于点， ∵四边形是平行四边形，， ， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， 设，则， ∴，即， 在中，，则， ∵， ∴， 解得， 即， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程方法是解题的关键． （1）二次三项式的因式分解方法解答； （2）移项，提公因式分解因式方法解答． 【详解】（1）解：， 分解因式，得， ∴或 ∴，（4分） （2）解： 移项，得 提公因式，得 提公因式，得 ∴或， ，（8分） 18．（6分）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查垂径定理及推论，圆周角定理，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由为的直径，是弦，且，根据垂径定理，即可根据圆周角定理证明； （2）由垂径定理得，由，，求得，则，所以，则，求得． 【详解】（1）证明：为的直径，是弦，且， ， ；（3分） （2）解：为的直径，是弦，且于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 弦的长为．（6分） 19．（8分）电动平衡车采用电能驱动，不仅有助于环境保护，而且轻便易携，受到广大群众的喜爱．甲、乙两个品牌的电动平衡车都宣传他们的产品在正常情况下最大续航里程不低于．相关部门分别对两个品牌电动平衡车的续航里程做了抽样调查．统计结果（单位：）如下： 甲品牌：12.7，12.8，12.9，14.6，14.6，14.8，15，15.8，16.8，17； 乙品牌：12.8，12.9，14，14.2，14.8，15，15，15，16.4，16.9； 甲、乙两个品牌电动平衡车调查数据统计表 （质检部门规定该产品最大续航里程不低于．为合格产品） 平均数 中位数 众数 合格率 甲品牌 14.7 14.6 乙品牌 14.7 14.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____；_____；_____； (2)哪个品牌的最大续航里程更稳定？ (3)若你是顾客，宜选择哪个品牌的电动平衡车？结合上表平均数、中位数、众数、合格率、方差等数据说明理由． 【答案】(1)14.7，15， (2)乙品牌的最大续航里程更稳定 (3)选择乙品牌的电动平衡车，理由见解析 【分析】本题考查了中位数，众数，方差的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据中位数，众数的定义可求出，的值，用大于等于13的数量除以总数即可求出的值； （2）根据求方差公式计算即可； （3）根据中位数，众数，合格率，方差作答即可． 【详解】（1）解：将从甲品牌得到的10个数据按照从小到大的顺序排列，位于最中间的两个数为14.6，14.8， 中位数； 乙品牌数据中出现的次数最多，出现了3次， 众数为15， 大于等于13的数据为8个， ． 故答案为：14.7，15，；（2分） （2）解：甲的方差为； 乙的方差为， ， 乙品牌的最大续航里程更稳定；（5分） （3）解：选择乙品牌的电动平衡车，理由如下： 乙品牌的中位数、众数和合格率都高于甲品牌，且方差小于甲， 选择乙品牌的电动平衡车．（8分） 20．（8分）习近平主席在考察北京师范大学时对好老师提出了弘扬“四有好老师”精神，其中： a． 有理想信念 - 政治素质过硬，教育信仰坚定； b． 有道德情操 - 师德高尚，行为世范； c． 有扎实学识 - 业务能力精湛，育人水平高超； d． 有仁爱之心 - 关爱学生，用心培育； 小光同学将其中的“有理想信念”、“有道德情操”、“有扎实学识”、“有仁爱之心”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片． (1)小光第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率是 ； (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的概率（卡片名称可用字母表示）． 【答案】(1) (2)图表见解析， 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，利用概率公式计算是解题的重要步骤． （1）直接根据概率公式求解； （2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次抽取卡片上的一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率； 故答案是：．（4分） （2）画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的结果数为， 所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率．（8分） 21．（7分）新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． (1)求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； (2)为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 【答案】(1) (2)28元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为，根据题意可得，解方程即可； （2）设每条数据线上涨元，则每周的销量为条，结合总利润等于一条数据线的利润乘销售数量，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为， 由题意，得， 解得（不符合题意，舍去）， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为．（3分） （2）解：设每条数据线上涨元，则每周的销量为条， 由题意，得， 整理，得， 解得， ∵尽可能让利于顾客， ∴， ∴． 答：应将零售价定为28元．（7分） 22．（7分）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据列表，描点，连线即可作图； （2）根据函数图象，得出当时，的取值范围即可； （3）根据函数的增减性以及最值，结合函数图象求出两个端点时的函数值即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 3 … … 0 6 … 描点，连线画出抛物线，如图所示． （2分） （2）解：根据函数图象可知，当时，的取值范围是；（4分） （3）解：由图象可知顶点坐标为， 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大， 当时，， 综上，当时，的取值范围为．（7分） 23．（8分）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是4．△的面积是6 【分析】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明△△是解题的关键． （1）由是边上的高线，得，由，得，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△△． （2）由为的中点，得，则，，由相似三角形的性质得，则，求得． 【详解】（1）证明：是边上的高线， 于点， 在边上取点，与交于点， ， ， ， △△．（4分） （2）解：为的中点，△的面积为1， ， ，， △△． ， ， ， △的面积是6．（8分） 24．（9分）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定，圆心角定理，圆周角定理，垂径定理逆定理等知识，综合性强，难度较大． （1）根据垂径定理逆定理得到，结合，得到，即可证明与相切； （2）连接，则．根据得到．根据得到，从而得到．再证明，，得到，即可证明． 【详解】（1）解：与相切． 理由：为半径， ． ， ， 与相切；（4分） （2）证明：如图，连接，则． ， ． ， ， ． ， ， ， ， ， ．（9分） 25．（8分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米；（4分） （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米．（8分） 26．（8分）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证； （3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分①若对称轴在直线左侧时，即，②若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，则有二次函数解析式为， 由条件可得， 解得：， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为；（2分） （2）证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，且， ∴当时，， ， ∴；（5分） （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ， ①如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ， ∴此时不符合题意； ②如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， 解得：．（8分） 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 27．（11分）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据圆周角定理和三角形的外角性质求解即可； （2）根据等边三角形的性质和圆周角定理画图即可； （3）在图（2）的基础上，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，再根据（1）中结论可得答案． 【详解】（1）证明：设交于点E，连接，则， ∵， ∴； （3分） （2）如图，作等边，作外接圆O，设与的交点为，，则，故点，即为所求作： （7分） （3）如图，由（2）中作图痕迹，得，，， 在中，， 由勾股定理得， ∴，则； 中，，， ∴，， 由勾股定理得， ∴，则； 过O作于G，连接，则，， 在中，，， ∴，； 在中，，， ∴，则， ∴， ， 由（1）知，当点C在内部时，， ∴．（11分） 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形的外角性质、等边三角形的尺规作图及其性质、尺规作三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确作出图形是解答的关键． 5 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 4 5 C A D C A 第二部分（非选择题共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.(3,5 8.4 9.7 10.甲 11.30 12 13.5-1/.1+5 14.-5≤x≤2 15.24-25π 16.15V2 4 1 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(8分) 【详解】(1)解：x2-6x+8=0, 分解因式，得（x-2)(x-4=0, .x-4=0或x-2=0 .=4,x3=2.(4分) (2)解：3x(x-1)=2x-2. 移项，得3xx-1-2x+2=0 提公因式，得3x(x-1)-2x-1=0. 提公因式，得x-1(3x-2)=0. .x-1=0或3x-2=0, x=1,=行(8分) 18.(6分) 【详解】(1)证明：：AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD, 1/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :AC=AD, :∠B=∠ACD;(3分) (2)解：AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E, ∠BEC=90°，CE=DE, AE=2,BE=8, :AB=AE BE =10, 0=04=B=5, .0E=0A-AE=3, CE=V0C2-0E2=V52-32=4, .CD=2CE=8, ·弦CD的长为8.(6分) 19.(8分) 【详解】(1)解：将从甲品牌得到的10个数据按照从小到大的顺序排列，位于最中间的两个数为14.6,14.8 :中位数a=14.6+14.8=147； 2 :乙品牌数据中15出现的次数最多，出现了3次， :众数b为15， :大于等于13的数据为8个， :m=8x100%=80%6 10 故答案为：14.7,15,80%；(2分) (2)解：甲的方差为 12.7-14.7)2+12.8-14.72+12.9-14.72+14.6-14.72+14.6-14.72+14.8-14.7)2+15-14.7)2+(15.8-14.7)2+16. 10 乙的方差为 12.8-14.7+(12.9-14.72+(14-14.72+(14.2-14.72+(14.8-14.7+(15-14.7)2+(15-14.7)2+(15-14.7)2+(16.4-14 10 1.56<2.188, 2/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :乙品牌的最大续航里程更稳定；(5分) (3)解：选择乙品牌的电动平衡车，理由如下： “乙品牌的中位数、众数和合格率都高于甲品牌，且方差小于甲， “选择乙品牌的电动平衡车.(8分) 20.(8分) 【详解】1)第一次抽以的卡片上的文字是有扎实学识的藏率=： 故答案是： 4·(4分) (2)画树状图为： 开始 第一次 B 个N 个 第二次 B C D A BD 共有12种等可能的结果数，其中两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的结果数 为2， 126(8分) 所以两次抽取卡片上的文字一次是国家层面价值目标、一次是社会层面价值取向的概率=名=】， 21.(7分) 【详解】(1)解：设该门店这两周该数据线销量的周均增长率为x, 由题意，得1251+x)2=180, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意，舍去)， 答：该门店这两周该数据线销量的周均增长率为20%.（3分) (2)解：设每条数据线上涨1.5y元，则每周的销量为180-15y)条， 由题意，得(25+1.5y-16)(180-15y)=1800, 整理，得y2-6y+8=0, 解得1=4,2=2， ,尽可能让利于顾客， y=2, .25+1.5×2=28 3/10 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 答：应将零售价定为28元.(7分) 22.(7分) 【详解】(1)解：列表如下： -5 -3 -2 -1 0 1 3 y 6 0 -2 0 6 2 2 描点，连线画出抛物线， 如图所示. 6 5 4 32 6542123456 (2分) 6 (2)解：根据函数图象可知，当y<0时，x的取值范围是-3<x<1;(4分) (3)解：由图象可知顶点坐标为-1，-2)， 当x≤-1时，y随x的增大而减小， 当x>-1时，y随x的增大而增大， 当4时、少4+-2- 2 综上，当-1<x<4时，)的取值范围为-2<y<引 .(1分) 23.(8分) 【详解】(1)证明：：AD是BC边上的高线， .AD⊥BC于点D, :在AB边上取点E,CE与AD交于点F, .∠FDC=∠ADB=90°， EC EB, .∠FCD=LB, 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ·△CDF∽△BDA.(4分) (2)解：F为AD的中点，△ACF的面积为1， 4F=0F-4, '.S.CDF=S.4CF=1, DF 1 DA2' :△CDF∽△BDA. S.COL- S BDA -g ∴.SB0A=4S.cpF=4, S.ABC =S.ACF+S.CDF+S.BDA=1+1+4=6, ·△ABC的面积是6.(8分) 24.(9分) 【详解】(1)解：BC与⊙O相切 理由：：DF=FE,OC为半径， OC⊥DE. :DE∥BC, ..OC L BC BC与⊙O相切；(4分) (2)证明：如图，连接AH,则∠AHC=∠ADC. H G ∠AOH=∠COD, D B C :AH CD,AH CD. :OC⊥DE, :CD=CE=AH, .∠ACO=LEDC. :∠GAC=∠ADE, ∠GAC+∠ACO=∠ADE+∠EDC, 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠AGH=∠ODC, .∠AGH=∠AHC, :AH =AG, CD=AG.(9分) 25.(8分) 【详解】(I)解：由题意得，AB∥AB, .△AOB∽△A'OB', ,CD⊥AB, .CD⊥AB, 又CD经过点O, g兴 即4B、12.8 832 .A'B′=3.2厘米；(4分) (2)解：过点作AE‖OD交MN于点E,如图， M C D E N A'E OD,MN I A'B', ∴.四边形A'EOD为平行四边形， .A'E=0D=12.8cm,0E=A'D. 同理可得四边形ACOP为平行四边形， .'AP=OC 32cm. AP CD,A'ElOD, .AP‖A'E, .△AP0∽△A'E0, P0AP32-5 OEAE12.82’ 8务 6/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .MN I A'B', .△POF∽a△A'DF, P0=0F5 A'D DF2 .0F= 64厘米。 答：凸透镜焦距OF的长为4厘米.(8分) 7 26.(8分) 【详解】(1)解：当a=1时，则有二次函数解析式为y=x2+bx+c, 9+3b+c=-1 由条件可得 c=-4 b=-2 解得： 1c=-4 .二次函数y=x2-2x-4=(x-1)2-5, 函数图象的顶点坐标为1，-5)；（2分) (2)证明：若a=-2,则二次函数y=-2x2+bx+c, .抛物线开口向下， 函数图象与x轴有两个交点x0),x20),且x<-1<x2, ∴.当x=-1时，y=-2x(-12-b+c>0, .-2-b+c>0, .c>b+2;(5分) (3)解：，当x≤1时，y≥m+1;当x>1时，y≥m, .抛物线开口向上， a>0, 若对称鞋在直线x左侧时，即 7/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :当x≤1时，y≥m+1;当x>1时，y≥m, 当x=- 6 ,y取最小值m+1, 2a :m+1>m, 此时不符合题意： ②如图，若对称轴在直线x=1右侧时， .当x=1时，y=a+b+c=m+1,当x= b ,y取最小值m, 2a 函数图象经过点(3，m), b 2a =3,9a+3b+c=m, ∴.a+b+c-1=9a+3b+c,即8a+2b=-1,b=-6a, 1 解得：a=4 (8分) 27.(11分) 【详解】(I)证明：设AD交⊙O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB, ,∠ADB<∠AEB, ∴.∠ADB<∠ACB; B (3分) 图(1) (2)如图，作等边△ABD,作△ABD外接圆O,设⊙O与PN的交点为C,C,则 ∠ACB=∠AC,B=∠ADB=60°，故点C,C,即为所求作： 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B X(7分) C,N 图(2) (3)如图，由(2)中作图痕迹，得∠E40=30,∠FEP=90,A正=BE=AB=3. B A 'C2 图(2) 在Rt△AE0中，OA=20E, 由勾股定理得AE2=(20E)-0E2=30E2, ·0E= AE=5,则0A=25: Rt△PEF中，∠MPN=30°，PE=PA+AE=7, .PF=2EF,∠PFE=90-∠MPN=60°， 由勾股定理得PF2=(2EF2-EF2=3EF2, EF-5PE-5,则PF-146, 3 3 3 过O作0G⊥PN于G,连接OC,则C,G=C,G,∠0GF=L0GC,=90°， 在RA0GF中，∠G0F=90-∠PFE=30,OF=EF-0E=7W5-5-4V5 GF=OF=213.0G=JOF-GF 4V3 23 =2； 3 3 2 在Rta0GC,中，OC=OA=2W3,0G=2, CG=0C-0c=2-22=22,则C,G=22, 9/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴PC,=PF-GF-CG=145-25-2N2=4N5-22, 3 3 PC2=PF-GF+C,G=43+22, 由(1)知，当点C在⊙O内部时，∠ACB>∠ACB=∠AC,B=60°， .4V5-2V2<PC<4V5+2V2.(11分) 10/10 ( ) ( ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] ) ( 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 7． ______________ 8． ______________ 9． ________ ______ 10． ______________ 11． ______________ 1 2． ______________ 1 3． ______________ 1 4． ______________ 1 5． ______________ 1 6． ______________ 三、解答题（本题共11小题，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． （8分） ) ( 18． （6分） 19． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20． （8分） 21． （7分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22． （7分） 23． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24． （9分） 25． （8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 26． （8分） 27． （11分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏科版九年级上册全章+九下二次函数、相似。 第一部分（选择题 共12分） 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．关于的一元二次方程的较小实数根为（    ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间/h 2.5 3 3.5 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数和中位数是（ ） A．4；4 B．5；4 C．4；3.5 D．5；3.5 3．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A． B． C． D． 4．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点为位似中心，若，点坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的部分图像如图所示，则等于（   ） A． B． C．13 D．1 第二部分（非选择题 共108分） 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 7．抛物线的顶点坐标为 ． 8．若则 ． 9．已知是一元二次方程的一个根，则的值是 ． 10．为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”） ． 11．如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 12．盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有 a 枚，白色棋子有 b 枚，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是 ，则 的值为 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图汉字“坤”端庄稳重、舒展美观．其中竖笔画起点为，终点为，交接处点恰好是线段的黄金分割点，即，若，则的长为 ． 14．如图，抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是 ． 15．如图，点是以为直径的半圆的圆心，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，以为圆心，为半径的弧交半圆于点，点是上一点，，，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，平行四边形，，，，G为边上一点，连接，将沿翻折，点B的对应点为，E为中点，F为边上一点，连接，将沿翻折，点D的对应点恰巧也为，则 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（8分）解方程： (1)； (2) 18．（6分）如图，为的直径，是弦，且于点连接、、． (1)证明：； (2)若，，求弦的长． 19．（8分）电动平衡车采用电能驱动，不仅有助于环境保护，而且轻便易携，受到广大群众的喜爱．甲、乙两个品牌的电动平衡车都宣传他们的产品在正常情况下最大续航里程不低于．相关部门分别对两个品牌电动平衡车的续航里程做了抽样调查．统计结果（单位：）如下： 甲品牌：12.7，12.8，12.9，14.6，14.6，14.8，15，15.8，16.8，17； 乙品牌：12.8，12.9，14，14.2，14.8，15，15，15，16.4，16.9； 甲、乙两个品牌电动平衡车调查数据统计表 （质检部门规定该产品最大续航里程不低于．为合格产品） 平均数 中位数 众数 合格率 甲品牌 14.7 14.6 乙品牌 14.7 14.9 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____；_____；_____； (2)哪个品牌的最大续航里程更稳定？ (3)若你是顾客，宜选择哪个品牌的电动平衡车？结合上表平均数、中位数、众数、合格率、方差等数据说明理由． 20．（8分）习近平主席在考察北京师范大学时对好老师提出了弘扬“四有好老师”精神，其中： a． 有理想信念 - 政治素质过硬，教育信仰坚定； b． 有道德情操 - 师德高尚，行为世范； c． 有扎实学识 - 业务能力精湛，育人水平高超； d． 有仁爱之心 - 关爱学生，用心培育； 小光同学将其中的“有理想信念”、“有道德情操”、“有扎实学识”、“有仁爱之心”的文字分别贴在4张硬纸板上，制成如图所示的卡片．将这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌子上，从中随机抽取一张卡片，不放回，再随机抽取一张卡片． (1)小光第一次抽取的卡片上的文字是“有扎实学识”的概率是 ； (2)请你用列表法或画树状图法，帮助小光求出两次抽取卡片上的文字一次是“有理想信念”、一次是“有仁爱之心”的概率（卡片名称可用字母表示）． 21．（7分）新能源科技公司研发出一款新型家用充电桩适配数据线，某门店以每条16元的进价购进一批该数据线，第1周的销量为125条，第3周的销量达到180条． (1)求该门店这两周该数据线销量的周均增长率； (2)为响应绿色能源推广政策，同时尽可能让利于顾客，门店计划通过合理提高售价进行调整．经市场调研发现，当以每条25元的零售价售出时，周销量为180条，若在此基础上每条数据线每上涨1.5元，销量就会减少15条．该门店希望每周通过销售该数据线赚取1800元利润，应将零售价定为多少元？ 22．（7分）已知二次函数的解析式 (1)在直角坐标系中画出它的图象； (2)观察图象可知时，的取值范围是 ； (3)当时，观察图象直接写出函数值的取值范围． 23．（8分）如图，锐角中，，是边上的高线，在边上取点E，使．，与交于点F． (1)求证：． (2)若F为的中点，的面积为1，求和的面积． 24．（9分）如图，在的边上取一点，以为半径作，与交于，两点，过点作，与交于点，与交于点，延长交于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)连接，为上一点，且满足，求证：． 25．（8分）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 26．（8分）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 27．（11分）（1）如图（1），是的外接圆，点在外．求证：． （2）如图（2），，是的边上的两点，点在边上．若，利用直尺和圆规求作满足条件的所有的点．（要求：保留作图的痕迹，写出必要的文字说明） （3）如图（3）A，B是的边上的两点，且，，．点在边上．若，直接写出的长的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 考生禁填： 缺考标记 证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题 以上标记由监考人员用2B铅 必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 笔填涂 或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 选择题填涂样例： 超出区域书写的答案无效：在草稿纸、试题 卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【√1【/] 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1 [A][B][c][D] 5[A][B][CI[D] 2 [A][B][c][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分.） 9 10. 11. 12. 13. 14 15 16. 三、解答题（本题共11小题，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第1页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) EO D 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第2页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 21.(7分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第3页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(7分) A 6 5 ---------人-- > -65432-19 123456 5 -6 23.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(9分) G B 25.(8分) M B C O B 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第5页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(8分) 27.(11分) D 图(1) M B N 图(2) BM A 图(3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第6页