4.5 角的比较与补（余）角 第2课时 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级上册

该初中数学课件围绕补角和余角的定义及性质展开，以“测量两堵墙所成角度”的生活情境导入，通过观察图形提问引导学生发现数量关系，构建从实际问题到数学定义的学习支架，衔接后续性质探究。 其亮点在于用数学眼光从生活情境发现问题，通过探究环节的逻辑推理（如同角补角相等推导）培养数学思维，例题结合方程思想（设未知数解角度问题）用数学语言表达关系。课堂小结清晰，助力学生系统掌握，提升观察推理应用能力，也为教师提供高效教学流程。

第4章 几何图形初步 4.5 第2课时 补角、余角 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 情景导入 O A B 要测量两堵墙所成的∠AOB的度数，但人不能进入围墙，如何测量？ 获取新知 观察下面图形，回答以下问题． （1）射线OP把平角∠MON分成了几个角？ （2）∠1和∠2具有什么样的数量关系？ ∠1+∠2=180° 2个 P M O N 1 2 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 如果两个角的和等于一个平角(180°)，就说这两个角互为补角，简称互补. 称其中一个角是另一个角的补角. 1 2 ∠1+∠2=180° ∠1与∠2互为补角 1与∠2互为补角 ∠1+∠2=180° 知识要点 huang zhanyong (zh) - 从直观的角度去感受互为余(补)角的概念,并用语言去表达这个概念,培养学生口头表达的能力. P A O B 1 2 ∠1+∠2=90° 观察下面图形，回答问题． 　　（1）射线OP把直角∠AOB分别分成了几个角？ 　　（2） ∠1和∠2具有什么样的数量关系？ 2个 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 如果两个角的和等于一个直角(90°)，就说这两个角互为余角，简称互余. 称其中每一个角是另一个角的余角. α β 知识要点 ∠α+∠β=90° ∠α与∠β互为余角 ∠α与∠β互为余角 ∠α+∠β=90° huang zhanyong (zh) - 从直观的角度去感受互为余(补)角的概念,并用语言去表达这个概念,培养学生口头表达的能力. 图中给出的各角，哪些互为余角？ 15o 24o 66o 75o 46.2o 43.8o 做一做 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 图中给出的各角，那些互为补角？ 10o 30o 60o 80o 100o 120o 150o 170o 做一做 如果 ∠1 与∠2互余，那么∠1 的余角是∠2，同样∠2的余角是∠1 ； 如果 ∠1 与∠2互补，那么∠1 的补角是∠2， 同样∠2的补角是∠1 。 两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。 思考1：定义中的“互为”一词如何理解？ 思考2：互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？ 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 探究：1. 如图，∠1 与∠2互补，∠3 与∠2互补 ，那么∠2与∠3相等吗？为什么？ 由∠1 与∠2互补，得 ∠1= 180 °－∠2； 由∠3与∠2互补 ，得 ∠3 = 180° －∠2． 所以∠1=∠3． 解：∠1与∠3相等． 同角的补角相等. 探究：2.如图，∠1=∠3，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，那么∠2与∠4有什么关系？ 2 1 4 3 解：因为∠1与∠2互补， 所以∠2=180°-∠1， 因为∠3与∠4互补， 所以∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4. 等角的补角相等. 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 解： 由∠AOB ＝90 °， 得∠1+ ∠BOD ＝ 90 °； 由∠COD ＝ 90 °， 得 ∠2＋∠BOD ＝90 °． 所以∠1＋ ∠BOD ＝ ∠2+ ∠BOD ， 得：∠1＝∠2． 探究：3.已知：∠AOB = 90 °，∠COD = 90 ° 则∠1与∠2是什么关系？ A O B C D 1 2 ┓ ┓ 同角的余角相等. 探究：4.如图，∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？ 解：∠2与∠４相等． 由∠1 与∠2互余，可得 ∠2= 90 °－∠1， 由∠3与∠4互余 ，可得 ∠4=90°－ ∠3． 　 又因为∠1＝∠３， 所以∠2＝∠4． 等角的余角相等. 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 余角的性质： 同角（或等角）的余角相等. 补角的性质： 同角（或等角）的补角相等. 归纳总结 例1 如图，点A，O， B在同一条直线上，射线OD和射线 OE分别平分∠AOC和∠BOC， 图中哪些角互为余角？ 解：因为点A，O， B在同一条直线上， 所以 ∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， 所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC = (∠AOC+∠BOC)= 90°. 所以，∠COD和∠COE互为余角， 同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE， ∠COD和∠BOE也互为余角. O A B C D E 例题讲解 huang zhanyong (zh) - 通过此例使学生巩固互余和互补的概念,初步体会由定义求一个锐角的余角和一个角的补角的过程. 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 例2 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数. 解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为(3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°. 在求有关角度问题时，通常把一个角设为未知数，表示出其他角，进而利用方程求解，这时我们用到的便是方程思想． lenovo (l) - 方程思想是指所求问题通过列方程求解的一种思维方法，是解几何问题的重要策略． huang zhanyong (zh) - 在学生学习了两角互余和互补的概念之后安排此例题,使得学生在思考和应用的过程中,能加深对互余和互补概念的理解. ∠α ∠α的余角 ∠α的补角 5° 32° 45° 77° 62°23′ 27°37′ 117°37′ 85° 175° 58° 148° 45° 135° 103° 13° 随堂演练 1.填空： huang zhanyong (zh) - 通过利用余(补)角的概念进行计算,一方面检查学生是否理解概念,另一方面培养学生的计算能力. 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 2. 如图，直线AB，CD交于点O，因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是(　　) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 C 3. 如图，D是直线EF上一点，∠CDE＝90°，∠1＝∠2，哪些角互为余角？哪些角互为补角？ 解：∠1与∠ADC，∠1与∠BDC，∠2与∠BDC，∠2与∠ADC互为余角； ∠1与∠ADF，∠2与∠ADF，∠2与∠BDE， ∠1与∠BDE，∠EDC与∠FDC互为补角． 通过弦切角定理的学习，可以培养学生的评估能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。通过函数单调性的学习，可以培养学生的最大化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在数学写作的探究活动中，学生需要自主剖分。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。三角形中线与三角形中线之间存在密切联系，都需要改进的技能。 4. 一个角的补角比它的余角的3倍小20°，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x°. 由题意，得180－x＝3(90－x)－20， 解得x＝35. 答：这个角的度数为35°. 课堂小结 补角、余角 补角 余角 两个角的和等于180º则称它们互为补角 两个角的和等于90º则称它们互为余角 定义 性质 同角（或等角）角的补角相等 定义 性质 同角（或等角）的余角相等 $