精品解析：宁夏回族自治区银川市北京师范大学银川学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

北师大银川学校2025-2026学年第一学期高二年级月考二 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）题，写在草稿纸上超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆与圆相内切，则r等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆 ，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 的最小值为1 C. 若，则的面积为 D. 椭圆的离心率为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若直线与直线平行，则______. 13. 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为4，则=______. 14. 动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________. 四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）的面积． 16. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 17. 已知双曲线：的左右顶点分别为、． （1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； （2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 18. 已知双曲线C：（）. （1）若双曲线的离心率，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 19. 已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积； （ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大银川学校2025-2026学年第一学期高二年级月考二 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）题，写在草稿纸上超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 经过两点和的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两点确定直线斜率，再利用正切值求倾斜角即可. 【详解】经过两点和的直线斜率为， 所以该直线的倾斜角为， 故答案为：C 2. 圆关于原点对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【详解】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 3. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 4. 已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 5. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据渐近线的倾斜角可得，即可由焦距以及的关系列方程求解. 【详解】由条渐近线的倾斜角为，可知，故， 又和， 解得，故双曲线方程为， 故选：A 6. 若直线被圆：截得的弦长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由弦长公式可得，再根据点到直线的距离公式求解即可． 【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径， 则弦长为， 解得， ， 解得． 故选：C． 7. 已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解． 【详解】已知实数x，y满足， 则的轨迹方程为， 其轨迹为圆心为，半径为1的圆， 设，即， 由题意可得：，则 故选：B. 8. 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得椭圆中心到直线的距离小于短半轴长，推得，结合椭圆特征可得，表示出椭圆离心率，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交， 则，解得，又椭圆焦点在x轴上，则，故， 则椭圆C的离心率． 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆与圆相内切，则r等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再由题得解方程即得解. 【详解】由题得圆的圆心为半径为5； 圆的圆心为，半径为； 由题得. 故选：AC 【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 10. 已知圆 ，直线，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C. 直线与圆有一个交点 D. 若圆与圆 恰有三条公切线，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，将直线变形，即可得到直线过的定点.B选项，结合点到直线的距离公式，可得到结果.C选项，由定点在圆内，即可求解.D选项，由公切线条数可确定两圆位置关系，根据圆心距与两圆半径之间的关系来求解. 【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A选项正确. 对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为 ，故B选项错误. 对于C选项，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.故C选项错误. 对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确. 故选：AD 11. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 的周长为6 B. 的最小值为1 C. 若，则的面积为 D. 椭圆的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义与性质对选项进行分析，从而确定各选项的正确性. 【详解】对于选项A，依题意，，所以的周长为，故A选项正确； 对于选项B，若为椭圆上任意点，则，即， 当为椭圆长轴顶点时取等号，但P为椭圆C上异于长轴端点的动点，所以等号不成立，故B选项错误； 对于选项C，在中由余弦定理得 ， 所以，所以， 所以的面积为，故C选项正确； 对于D选项，椭圆的离心率为，故D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若直线与直线平行，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由平行的两条直线，对应方程的特性列式求解即得. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故答案为： 13. 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为4，则=______. 【答案】9 【解析】 【分析】利用抛物线的几何意义求解即可 【详解】解：设，由题意得， 所以由抛物线的几何意义得. 故答案为：9 14. 动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】因为动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数， 所以，即， 整理可得：，即， 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共计77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边上的垂直平分线所在直线的方程； （2）的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由点坐标得到中点坐标，通过求得直线斜率得到与直线垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程； （2）由（1）得到直线的直线方程，即可求得点到直线的距离，即可由三角形面积公式求得面积. 【小问1详解】 设边上的垂直平分线所在直线， ∵，∴中点， 直线斜率，则， ∴，即. 【小问2详解】 由（1）可知，即， 则点到直线的距离， ， ∴. 16. 已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且. （1）求抛物线C的方程； （2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C的方程； （2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值． 【详解】（1）， 所以，即抛物线C的方程. （2）设， 由得 所以， 所以 . 【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法， (1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角)． (2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝·|x1－x2|求解． 17. 已知双曲线：的左右顶点分别为、． （1）求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； （2）直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程； 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解； （2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程； 【小问1详解】 由题意可得，，，则， 又，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，点恰为弦的中点，则，， 又因为两点在双曲线上， 可得，两式相减得， 化简整理得，即， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 18. 已知双曲线C：（）. （1）若双曲线的离心率，求实数m的值； （2）若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； （3）直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【小问1详解】 由已知，可得，解得； 【小问2详解】 由已知，可得；解得； 【小问3详解】 联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 19. 已知椭圆C的长轴长为，一个焦点的坐标为(1,0)． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）设直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l斜率k=1，求△ABP的面积； （ⅱ）若直线AP，BP的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【详解】试题分析：解（1） 椭圆的标准方程为 3分 （2）（Ⅰ）设，　　 解得　　　　 4分 　　P到直线的距离为，则 6分 7分 （或） （Ⅱ）　　消去得　　 8分 10分 定值 12分 考点：椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系 点评：解决的关键是对于椭圆的性质的熟练运用，以及联立方程组的思想，结合斜率公式得到证明，属于基础题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $