阶段质量监测五-【衡水真题密卷】2026年高考数学阶段质量监测（B版 低难度）

2025一2026学年度阶段质量监测 光题 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.设命题p:Hm∈[1，+∞)，m2>lnm+2,则7p: () A.Hm∈(1，+∞)，m2>lnm+2 B.Vm∈[1，+∞)，m2≤lnm+2 C.3m∈[1，+∞)，m2≤lnm+2 D.3m∈[1，+∞)，m2>lnm+2 2.已知5tan 2025r-0）-1=0,则 2sin 0 2 0s(2π-0) 1 0 以号 C.5 D.10 3.任意一圆锥的表面积与其侧面积比值的取值范围为 a, B.(1,2) C.(1,2] nh,别 4.已知在复平面内，复数之=1十i,®=1一i对应的点分别为M,N,设O为坐标原点，则 OM·MN= () A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.已知曲线W:y=Acos wx(A>0,w>0)与y轴的交点为B,与x轴在y轴左、右两侧的 第一个交点分别为C,D,且△BCD的面积为1，则A= () C.ωπ D.2wπ 6.已知数列{am}的通项公式为an=4”十（一1）m-1m·2m+1,且{am}为递增数列，则m的取 值范围为 () A.(-1,2) B.(-1,1] C.[-2,1) D.(-2,1) 4 7.已知定义在R上的函数fx)满足fx+3)=f,且当0<x<3时，f)=2,则 f(605)= () A.1 B.2 C.4 D.8 数学试题（五）第1页（共4页） 真题密卷·乃 8.若曲线上存在横、纵坐标均为整数的点，则称该曲线为离散整数曲线.已知双曲线C:x2 班级 一y2=i,i={1,2,…,2025},则能使C为离散整数曲线的i的个数为 ( A.1517 B.1519 C.1520 D.1521 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 姓名 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知首项为1的正项数列a满足-瓜。，记5.为数列 1 的前n 得分 an十/an 项和，则 ( ) A.a2=4 B.{√am}为等差数列 C.{an}为周期数列 D.(n+1)S,=n 10.已知函数f(x)=ln(x2一2x),则下列说法正确的是 A.f(x)的定义域为(-∞，0)U(2,十∞) B.f(x)在（一∞，0）上单调递增 C.曲线y=f(x)为中心对称图形 D.若f(2a十1)>f(a+4),则a∈(-∞，-4)U(-2,-1)U(3,+∞) 11.某小组拟进行敏感性问题调查，受访者从装有除颜色外完全相同的30个白球和20个 红球的箱子内任取1个球，根据球上的标识写下回答的对应序号后放回，白球上的标 识为“①Y②N”,红球则相反，其中“Y”代表做过该敏感行为，“N”则相反.记事件I为 “受访者写下①”，事件J为“受访者回答Y”,且调查过程均为理想状态，则下列说法正 确的是 () A.若P(J)=0.5,则调查100人，事件I的发生次数接近50次 B.若P(I)=0.5,则调查100人，事件J的发生次数接近50次 C.任取1人，若P(J)∈(0,0.8)，则P(JI)一P(J|I)的最大值为0.2 D.任取1人，若P(J)∈(0.2,1)，则P(J|I)-P(J|I)的最小值为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线y日x的焦点华标为 13.若函数f(x)=ae一3x3-x在(0，+∞)上单调，则实数a的取值范围为 14.如图，各线段旁的数字代表该线段连接的两点之间的路程，则从A地到H地的最短路 程为 6 介段质量监测 数学试题（五）第2页（共4页） B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,sinA(a一bcos C) =sin Bcos C. (1)证明：B=C (2)若D为边AC的中点，且A>7,求BD的取值范围. 16.(15分)如图，点O1为圆台上底面的圆心，点O2为圆台下底面的圆心，AB为下底面的 一条直径，且AO1⊥BO1.圆台的体积为126π，以O1为顶点，AB为底面的一条直径的 圆锥的体积为72π.点P为下底面圆周上不与A,B重合的一点，点Q为O1O2上靠近 O1的三等分点. (1)当P为圆弧AB的中点时，求点A到平面BPQ的距离； 0 (2)求平面APQ与平面APO1夹角的余弦值的取值范围. 17.(15分)我国2015一2023年连续9年的乡村就业人员的人数（单位：亿人）如表所示，其 中第1年为2015年，第2年为2016年，依次类推： 第x年 1 2 9 人数y 3.54 3.42 3.29 3.15 3.02 2.88 2.79 2.74 2.70 计算得到相关数据：2y,=27.53,之x=285,之y≈84.97,2xy:=130.98. =1 =1 =1 5=1 (1)判断年份x与人数y之间是否具有较强的线性相关性 (2)某同学误将2019年的数据抄漏，其余均按照剩下的8组数据计算， (ⅰ)利用最小二乘法，求该同学得到的年份x与人数y之间的经验回归方程（斜率 与截距四舍五入保留两位小数). (ⅱ)若近似认为该同学抄漏后计算得到的人数的均值不变，证明：该同学求得的经 验回归模型的决定系数比由原数据求得的经验回归模型的决定系数大 B 数学试题（五）第3页（共4页） 真题密卷·阝 (x-x)(y:-y) =1 附：①样本相关系数r 三，当r>0.8时，认为两个变 2(x-x)/2(y.- 量有较强的线性相关性. ②利用最小二乘法计算回归直线y=x+ā，截距和斜率的估计公式为a=y一x, 2(x:-x)(y:一y) 6 2(x:-x)2 = (y:-y:)2 ③决定系数R2=1 i=1 2w.-y0 18.(17分)已知函数f(x)=e2-ax2十x,g(x)=x. (1)当a=0时，证明：f(x)有且仅有一个零点. (2)已知曲线y=f(x)与y=g(x)相切. (i)求a的值 (iⅱ)当x>0时，证明：f(x)≥g(x). 17分)如图所示，曲线C:c二十y2=1的形状似一个鸡蛋的截面，其中0为 原点 (1)求C与椭圆子+y2-1的公共点个数。 (2)证明：C关于x轴对称，且其图象上不存在关于y轴对称的两点. (3)若A,B为C上不同的两点，M为AB中点，已知M不在坐标轴上，证明：“直线 OM的斜率与直线AB的斜率的乘积小于-寻是“点M在y轴右侧“的充要条件。 阶段质量监测 数学试题（五）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2025一2026学年度阶段质量监测数学（五） 一、选择题 7,A解折1因为了C十3)=7名故f+) 1.C【解析】由全称量词命题的否定为存在量词命 4 4 题，可得p:3m∈[1，+∞)，m2≤lnm+2. f(x+3)4 -=f(x),所以f(x)是周期为6 f(a) 2.D【解析】由已知得tan0=5,故 2sin 0 os(2r-0)= 生 的周期函数，故f(605)=f(5)=f2)=1. 2sin 0 cos 0 =2tan0=10. 8.B【解析】对于双曲线C:x2-y2=i,i={1,2, 3.B【解析】设某圆锥的底面圆半径和母线长分别 …,2025},可将其因式分解为(x十y)(x一y)= 为r,山，则其表西积与其侧面积之比为1十 i,若C为离散整数曲线，则存在一组x,y为整 πrl 数，易知x十y与x一y同时为奇数或同时为 =1十，在直角三角形中，易得1>r,故所求比 偶数， 当i为奇数时，i可表示为两个奇数之积，满足条 值的取值范围为(1,2). 件.在1到2025中，奇数有1013个； 4.A【解析】由复数的几何意义可得M(1,1), 当i为偶数时，只有当i是4的倍数时，可表示为 N(1,-1),故OM=(1,1),MN=(0,-2), 两个偶数之积，满足条件.在1到2025中，4的倍 故OM.MN=-2. 数有506个.故满足C为离散整数曲线的i共有 5.A【解析】设函数y=Acosωz的最小正周期为 1013+506=1519个. T,因为C,D分别为W与x轴在y轴左、右两侧 二、选择题 的第一个交点，所以CD=T=2=工 21 2。,因为B 9.ABD【解析】令n=1,有Va2=1十 4a2, 为W与y轴的交点，所以B(0,A),所以△BCD 即（√a2-2)2=0,解得a2=4,故A正确；易得 的面教5-分，日，A=1,整理得A- {√am}是以1为首项，1为公差的等差数列，故B π 正确；√am=1+(n-1)×1=n,即am=n2,即 6.D【解析】由题意可得am+1一am>0恒成立，即a+i -an=4+1十(-1)”m·2+2-4"-(-1)"-1m· 1a}不是周期数列，故C错误；因为1 am十√an 2m+1=3X4m+3X(-1)m·2+1>0, 1 111 n2+nn(n+1)nn十，所以S.=12 即2m-1+(-1)”m>0.当n为奇数时，2-1-m>0, 即m<2m-1,故m<1;当n为偶数时，2-1+m>0, +23++-1 11 n+1n十7，故 即m>-2m-1,故m>-2.综上，-2<m<1. (n十1)Sm=n,故D正确. 数学答案（五）第1页（共6页） B 真题密卷 阶段质量监测（五） 10.AD【解析】由对数函数的定义可知x2一2x>0, P(J)∈(0,0.8)时，P(J|I)-P(J|I)∈(0,0.2]， 解得x<0或x>2,故f(x)的定义域为（一∞，0） U(2,十∞)，故A正确；函数y=x2-2x在(-∞，0) 在PJ)=”=0.5处取最大值0.2，故C正确； 2 上单调递减，在(2，十oo)上单调递增，且y=lnt在 对于D,当P(J)∈(0.2,1)时，P(J|I) 定义域内单调递增，故f(x)在（一∞，0）上单调递 P(J|I)∈(0,0.2]，无最小值，故D错误. 减，在(2，十∞)上单调递增，故B错误；因为 三、填空题 f(x)=ln(x2-2x)=ln[x(x-2],所以f(x十1)= 1 ln[(x+1)(x-1)],又f(-x+1)=ln[(-x+1)· 12.(0,2)【解析】抛物线)y=gx2就是抛物线x= (-x-1)]=ln[(x+1)(x-1)],所以f(1-x)= 8y,而抛物线x2=8y的焦点坐标为(0,2)，故抛 f(1十x),即曲线y=f(x)关于直线x=1对称，为 轴对称图形，故C错误；要使f(2a十1)>f(a十4)， 物线y=日女的盒点金标为0,2》， 需满足(2a+1)-1|>|(a+4)-11,且 13.(-∞，0]U[1,+∞)【解析】由题意可得f'(x) 2a十1<0或2a十1>2， =ae2-x2-1,f(x)在(0，十∞)上单调等价于 解得a∈(-∞，-4)U a+4<0或a+4>2, f'(x)=ae-x2-1≥0或f'(x)=ae-x2 (-2,-1)U(3,十∞)，故D正确. 1<0在区间(0，十⊙)上恒成立，即0≥+1或 11.ABC【解析】设受访者共m名，受访者中做过 ex 该敏感行为的人数为n,则P)册，由于调查 a≤x十1在区间(0，十∞)上恒成立.设g(x)= 过程均为理想状态，故可认为P(IJ)= ,而g'(x)=x+2x-1--(x-1D x2+1 e P1)-号·只，则由公式可得P)=PU)“ ≤0恒成立，故g(x)在(0，十∞)上单调递减.又 g(0)=1,当x趋近于正无穷时，g(x)趋近于0， PaJ)+PJ)P1IjD=·R+号 2 m 故若要。二x十1或a≤e在区间(0，大o)● 1-）-20,piD-1-pD-30m 5m 上恒成立，则a∈(-∞，0]U[1,+∞) 对于A,当P(J)=0.5时，”=0.5，代入可得 14.13【解析】每一次只考虑更新未走过的路程.第 m 一轮，从A出发可到达3个地方，到B为6，到 P(I)=0.5,此时事件I的发生次数服从概率为 C为4，到D为7；第二轮，从B出发经过未走过 P(I)的二项分布B(100,0.5),其期望为50次， 的路程可到达2个地方，更新A到E与A到C 故A正确；对于B,当P()=0.5时，2mT”一 的两个距离，此时A到C的最短距离为4，A到 E的最短距离为9；从C出发经过未走过的路程 0.5,解得”=0.5，即P)=0.5,故B正确；对于 m 可到达3个地方，更新A到E与A到D与A到 F的三个距离，此时A到E的最短距离为9，A C,P(J)-P(J1)= P(IJ)P(IJ) P(D P(I) 到D的最短距离为7，A到F的最短距离为11； 3. 2. 从D出发经过未走过的路程可到达1个地方， 3n 2n m m =5 更新A到G的距离，此时A到G的最短距离为 2m+n 3m-n 2+2 n 3 9;第三轮，从E出发经过未走过的路程可到达2 m m 个地方，更新A到F与A到H的两个距离，此 30 +23 n 时A到H的最短距离为14，A到F的最短距 m m 离为11；从F出发经过未走过的路程可到达2 B 数学答案（五）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 个地方，更新A到G和A到H的两个距离，此 代入圆台与圆锥的体积表达式，解得R=h=6, 时A到G的最短距离为9，A到H的最短距离 r=3. (4分) 为14；从G出发经过未走过的路程可到达1个 由于点Q为OO2上靠近O1的三等分点，则有 地方，更新A到H的距离，此时A到H的最短 01Q=2,02Q=4. 距离为13.综上，最短路程为A到D到G到H, 当P为圆弧AB的中点时，可得三棱锥 路程总计13. 四、解答题 QABP体积V=号0，Q·2·2R,R=48 15.(1)证明：由正弦定理可得bcos C=a(a-bcos C) (6分) =a-bcos C, 此时PQ=BQ=2√I3,PB=6√2，则在△BPQ 故a=2 bcos C, 中，PB边上的高为√34， 即sinA=2 sin Bcos C, (3分) m sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C, 故△BPQ的面积为S-专×6E×V-6m. 故sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0, 由等体积法，设点A到平面BPQ的距离为d, 又B∈(0，π)，C∈(0，π)，故B=C. (6分) 则V= (2)解：由A>受，可得c0sA b2+c2-a<0, 3$d=48,解得d=2417 17 2bc 即点A到平面BPQ的距离为247 17· (8分) 即262<1,0<b<), (2)如图，取AP的中点M,连接O1M,QM,O2M, 又6+c>a,放6>3放6∈（经， ,(10分) 2’2 b2+c2-a2 2 )+c2-BD2 所以cosA= 2bc 2. b 2 ·c 02 M 整理得BD2=4b2+2, (12分) 则由中位线性质有O2M⊥AP, 由b∈ 2 ),可得BD∈3，√10 又O1A=O1P,故△O1AP为等腰三角形，故 4’4 O1M⊥AP,同理QM⊥AP, 故BD的取值范围为(3，√0 故∠QMO1即为平面APQ与平面APO1所成 4,4 (13分) 二面角的平面角， (10分) 16.解：(1)设圆台上底面半径为r,下底面半径为 R,圆台的高O1O2=h, 设0，M=2BP=x∈(0,6)， 则圆台的体积V=3h(R2+r2+Rr)=126, 则QM=√x2+16,01M=√x2+36, 则在△O1MQ中，有cos∠QMO1 以O1为顶点，AB为底面的一条直径的圆锥的 x2+16+x2+36-4 休积V,=了hR=72x (2分) 2√/x2+16·/x+36 由AO1⊥BO1,且AB为底面的一条直径，结合 4x x4+52x2+576 对称性可得∠O1AO2=45° 4 又由圆台性质可知O1O2⊥平面ABP,故O1O2 576 (13分) ⊥AB,则有AO2=O1O2,即R=h, x2+52+ x2 数学答案（五）第3页（共6页） B 真题密卷 阶段质量监测（五） 当x∈(0,6)时，x2∈(0,36)，故当且仅当x2= ,-5-o-0 24时，cos∠QMO1有最小值，此时cos∠QMO: (12分) 20:-2-（-) 2√6 ,结合对勾函数的单调性可得 缺少数据之前回归方程的斜率与缺少数据之后 一致，而近似认为该同学抄漏后计算得到的人 cos∠QMO1∈ (15分) 数的均值不变，又年份的均值也不变，则预测值 17.(1)解：样本相关系数 也不变化.由(i)得y=y (13分) 2(x,-x)(y:-y) 又y5<y=y5,则(y5-y)2>0, =1 2(,-)--)含0：-) 考虑 一为 x-9zy (y,-y)2-(y-y)2 1=1 (y:-y) i=1 的分子与分母同时减去相同的数， √-9r√-9y 130.98-9×5×27.53 故由不等式号←州(0<a<6m>0可知， 9 0.-5)-(0-)°20，-)2 =1 1 √/285-9×52× 1/ 84.97-9× 27.53) 9 -02--y0 2- <-0.8, (4分) 20y:-)2-(0,-)2 i- 2:-) 即|r|>0.8,则可以认为年份x与人数y之间 则1 >1 具有较强的线性相关性。 (5分) 20y,-yy-(0-y2 = 20y:-y)2 = (2)(1)解：由题意得 所以该同学求得的决定系数比原来大.(15分) (x:-x)y:-y)-(z-x)(y-y） 18.(1)证明：当a=0时，f(x)=e+x,显然f(x) 6 =1 是增函数， 2(x:-x)2-(x,-x) 1 i=1 而f(-1)= -1<0,f(0)=1>0,故f(x)在 因为x5=x,y5<y,所以x5-x=0,y5一y<0, 区间（一1,0）上存在零点， (2分) 故(x6一x)(y5-y)=0,(x5-x)2=0, 结合f(x)的单调性可知其在R上有且仅有一 故缺少数据后斜率不会发生变化. (7分) 个零点 (3分) 2(x-x)(y:-) (2)(i)解：设切点为(xo,f(x),则f(xo)= 计算得= e0-ax8+xo,又f'(x)=e-2ax十l,故 (x,-x) =1 f'(xo)=e"o-2axo+1, ≈一0.11，缺少数据之后x'=x,y'= 则切线方程为y-(eo一ax十x)=(eo-2ax+1) 27.53-3.02 ·(x一xo), (6分) 8 =3.06375,则a=y-x√≈3.61， 即y=(eo-2a.xo+1)x-(xo-1)eo+a.x6与 (9分) y=g(x)重合， 故经验回归方程为y=-0.11x十3.61.(10分) |e0-2axo+1=1, 则 整理得ax(x0一2) (ⅱ)证明：缺少数据前的决定系数R2=1一 -(x0-1)e0+a.x8=0, =0 2(y:-:)2 (9分) ,缺少数据后的决定系数R'2=1 若a=0,显然f(x)>g(x),不符合题意；若 2y:-y) x=0,由f(0)=1,g(0)=0可知二者不在x=0时 B 数学答案（五）第4页（共6页）】 ·数学· 参考答案及解析 相切，不符合题意，故x。=2, (11分) C的图象上不存在关于y轴对称的两点即： 于是e2=4a,a=4 e一x-1 2 y=1,当x≠0时，+-1十y 2 经验证0-符合题意家上a- 4· (12分) ≠1. (8分) ()证明：冷h(x)=f(x)-g(x)=e-e 令g(x)=e-x-1_e+x-1 2 2 =(e-）(e+）, ez-e-r-2x 2 由x>0可知e+eg>0, 2 (13分) 则g0)=0,g')=e+e-22ee-2 2 2 令F(x)=e-ex,则F'(x)=e一e. 0,故g(x)单调递增， (10分) 当x∈(0,1)时，F'(x)<0,F(x)单调递减；当 x∈(1，十∞)时，F'(x)>0,F(x)单调递增， 当x≠0时，g(x)≠0，故二x-1≠ 2 (15分) e *+x-1 放Fx)≥F)=0,即(e-受)(e+z）≥0，即 2 ,即当1+y=1时， 2 f(x)≥g(x). (17分) e+x-1+y2≠1，命题得证. (11分) 2 19.(1)解：由题意可得公共点的个数即为使方程 工+yy成立的解x,y)的组数 (3)证明：设A(x1y1),B(x2,y2), 2 (1分) 则一11十y=2一1十y=1,两式相 2 2 由题易得一x一1_x 2 ≤1，且解得的x有两个 4 减得-e2,1-2）+6十3)01-）=0， 2 互为相反数的y值满足条件。 (2分) (12分) e*-x-1 故所求公共点个数即为函数∫(x)= 2 由题得直线AB,OM斜率存在， 4的零点个数的两倍， (3分) 故1一y2 1 e1-e*2 x1一x22(y1+y2)2(x1-x2)(y1十y2)’ 则易得f0)=0f'x)=f'0)=0, 先证明e一e、 1+x2 >e2, ℃1一x2 (4分) 则f”(x)=e-1 不妨设x1>x,即证1-1.1 2 x1-x2 当x∈（一o∞，0）时，f"(x)<0,f'(x)单调递减； 令x1-x2=t,即证h(t)=e-1-tez>0 当x∈(0，+o∞)时，f”(x)>0,f'(x)单调递增， (t>0),h(0)=0, (13分) 故f'(x)≥f'(0)=0,故f(x)单调递增，(5分) 故0为f(x)的唯一零点，因此C与椭圆 由(1)可知n'e)=e-(1+台)e 十y2 =1的公共点个数为2. (6分) =e(e-1-2)≥0， (2)证明：易得e一x-1 十y2=e-x-1 + 2 2 故h(t)>h(0)=0(t>0), (一y)2,故C关于x轴对称； (7分) 当M在第一象限时，y1十y2>0,x1十x2>0, 数学答案（五）第5页（共6页） B 真题密卷 阶段质量监测（五） kB=当二2 1 e1-e2 x1-x22(y1+y2)2(x1-x2)(y1十y2) kB=二y2 x1一x2 1+2 1 e1-e2 + x1十x2 1 4(y1+y2) AkOM =20y1+y2)2(1-x2)y1+y2) x1+无2 故kAB·kOM<一43 1 1-e2 x1十x2 1 (14分) 2(y1+y2)1 4(y1+y2)4koM’ 当M在第四象限时，由对称性，作A'与A,B'与 故kAB·kOM>一 1 4； (16分) B关于x轴对称，中点为M',则M'在第一 当M在第二象限时，由对称性同理可得kAB· 象限， 1 则kA'B=一kAB,kOM=一kOM,同理可得kAB· koM 4,又OM斜率存在，M不在坐标轴上， koM=kAg·kom<-4: 1 故“直线OM的斜率与直线AB的斜率的乘积小 当M在第三象限时，y1十y2<0,x1十x2<0, 于一工”是“点M在y轴右侧”的充要条件。 (15分) (17分) B 数学答案（五）第6页（共6页）