阶段质量监测六-【衡水真题密卷】2026年高考数学阶段质量监测（B版 低难度）

密真 2025一2026学年度阶段质量监测 光题 数学（六） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={yy=x2-1,x∈A},则A∩B的真子集的个数为 A.1 B.3 C.7 D.15 2.已知复数x满足之(1+i)=一2i,则之的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,准线为l,过C上一点M作l的垂线，垂足为P,直 线PF与y轴交于点N,则∠MNF= () A.30° B.45° C.60° D.90° 4.在△ABC中，AC=2AD,点M在直线BD上，AM=xAB+AC,则x的值为() A-号 B.-3 c.3 D.3 1 5.曲线y=lnx十ax十二(a∈R)在点P(1,a十1)处的切线l被圆M:x2十y2-2x十6y T 15=0截得的弦长的最小值为 ( A.2 B.2√2 C.4 D.4√2 6.在△ABC中，若2sin2B+sin2C- 4sin(B+C)=0,则角C的最大值为 A.6 c 5π D.6 数学试题（六）第1页（共4页） 真题密卷· 7.若数列{an}满足a1=l,am=am-1十n(n≥2)，则称am为三角形数，{an}为三角形数数 班级 列，则下列结论错误的是 ( A.an= n(n+1) B21<2 2 k=1a 姓名 C.当n>2时，am可能是质数 D.9am+1仍是一个三角形数 8.已知函数f(x)=sim(ox+g)。>0,lg1<)满足f(-牙-z)=-fx)f(-z)月 得分 f,且)在（低，）上单调递增，则w的取值个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若(x2-mx-2)5=a0十a1x十a2x2十…十a10x10,且a0十a1十a2+…十a1o=1,则 () A.m=-2 B.a1+a2+a3+…+a1o=33 C.a2十a4+…十a10=-90 D.a1+2a2+3a3+…+10a10=20 10.已知圆台O1O2的母线与底面所成的角为60°，母线1的长度为2√3，上、下底面圆心分 别为O1,O2,半径分别为r1,r2且r2=2r1,AB,CD分别为上、下底面的一条直径，圆 台上、下底面的圆周均在球O的表面上，则 () A.圆台的体积为21π B.O01=2 C.球O的表面积为48π D.四面体ABCD体积的最大值为12 11.设函数f(c)=x+9 () 2 -+6ax+1,则 A.当a>0时，f(x)最多有4个零点 B.当a<0时，直线y=1与曲线y=f(x)相切 C.曲线y=f(x)关于点(0,1)中心对称 D.2[f(k)+f(-]=2m 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.机器人产业将是一个非常巨大的新兴产业，它伴随着人工智能产业和高端制造业的发 展，将是衡量一个国家竞争力是否强大的重要标志.从4名男科研人员和3名女科研人 员中任选4人到某机器人研发企业参观学习，则被选中的4人中男、女科研人员至少各 有1名的概率为 介段质量监测 数学试题（六）第2页（共4页） B 3.已知0<a<9<sna十sing2:cosa+cos月=皇，则tana归 4.已知双曲线C:,)31(@>0,b>0)的左、右焦点分别为E1,F2过F,的直线1与 C的左、右两支分别交于A,B两点，与C的两条渐近线分别交于M,N两点，且 AF1,AF2,BF2成等差数列，△ABF2的面积是△AF1F2面积的倍，若 MN △ABF2的周长为3(A+4)a,则AB 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=e2-（a-1)x-(a-1)2,a∈R. (1)当a=2时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于零，求a的取值范围. 16.(15分)已知数列a,的前n项和S。=m2+2m,数列亿.}的前m项积为2) (1)求{an}和{bn}的通项公式. 6 (2)记数列{abn}的前n项和为T,证明：2≤T.<5. 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PAD⊥平面 ABCD,BC=2AB=2,PA=PD=√5，PB=√6. (1)证明：AB⊥平面PAD. (2)已知点M在棱PC上，直线AM与平面PBC所成的角为O,求sin0的最大值. B 数学试题（六）第3页（共4页） 真题密卷 18.(17分)某新能源汽车公司共有3个不同的车间生产同一型号的动力电池，第1,2,3个 车间生产的产品合格率分别为96%，98%，92%，第1,2,3个车间的产能占比分别为 40%,α%，b%,将这3个车间生产的电池混放在一起，从中任取1块电池，是合格品的 概率为0.96. (1)求a,b; (2)如果取到的电池为合格品，计算其是第i(i=1,2,3)个车间生产的概率； (3)从混放在一起的电池中任取n(≥2)块，记其中恰有2块不合格品的概率为pm,求 当pm取得最大值时n的值. 19.17分)已知A1,A2分别为椭圆C,2+ a+62=1(a>b>0)的左、右顶点，F1,F2分别为 C的左、右焦点，F,F2=2C,直线x=-a为相应于焦点F1的准线，称为C的左准 线；直线x=Q为相应于焦点F,的准线，称为C的右准线，C上任意一点到焦点的距 离和它到相应准线的距离之比等于C的离心率e. (1)已知点P为C上任意一点，P到左准线的距离为d,且PF2,PF1,d成等比数 列，求C的离心率的取值范围， (2)过F2作倾斜角为0(0≠0)的直线l与C交于M,N两点，点M在第一象限. (i)点S在右准线上，且直线NS与x轴平行，证明：直线MS过定点， (i)直线A1M交右准线于点B,直线MA,与直线F,B交于点W,且WA, MW 1一e,求cos0(用e表示). 1 阶段质量监测 数学试题（六）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2025一2026学年度阶段质量监测数学（六） 一、选择题 1.B【解析】若x=-1,则y=0;若x=0,则y= a2+b2-c2_ 4a2+362 2ab 2ab 品+≥ /a.36 -1;若x=1,则y=0;若x=2,则y=3,所以 86 2a B={-1,0,3},则A∩B={-1,0},所以A∩B 的真子集有⑦，{0}，{-1}，共3个. 2,当且仅当8=36 86-2a,即a=236时等号成 2.B【得标】由题老得--a) 立，又C∈0，)，所以0<C≤晋，即角C的最大 -1-i,所以之的虚部为-1. 3.D【解析】设直线MP交y轴于点Q,O为坐标 值为后 原点，则Rt△PQN≌Rt△FON,所以N为线段 7.C【解析】因为am=am-1十n=am-2十(n-1)十n PF的中点，根据抛物线的定义可知MF|= =am-3十(n-2)+(n-1)十n=…=a1+2十… |MP|,所以MN⊥PF,即∠MNF=90°. 4.C【解析】因为AC=2AD,所以AM=xAB十 十(n一2)+(n一1)十n=2n22,故A正确， 号AC-ai+号A,因为M,B,D三点共线， 所以z十号1，即z=3 2 …+日)-小2 5.D【解标】令f(x)=lnx+ax+2,则f'(z) B正确；当n>2时，n(n十1)是连续两个自然数 +a-,因为f)=a+1)=2,所以 的乘积，其中偶数最小值为4，所以am为1个偶 数（最小为2）和1个大于1的奇数的乘积，故C l的方程为y-(a十1)=a(x-1),整理得y= ax+1,所以1经过定点D(0,1).圆M的方程可 错误；令9a.十1=9n(n+1)+1=9n+9n+2 2 2 化为(x-1)2+(y+3)2=25,即圆心M(1,-3), (3n+1)(3n+2) 半径r=5,因为|DM|2=(0-1)2+(1十3)2= 2 ,则9am十1是{am}中的第3n十 17<25,所以点D在圆M内，即1与圆M相交， 1项，故D正确. 则当且仅当l⊥MD时弦长最短，最小值为 2√r2-DMF=2√/25-17=4√2. 8,B【解析】由f(-3-z=-fa),得fx)的图 6.A【解析】因为A十B+C=π，所以B十C=π一A, 所以sin(B+C)=sinA,即2sin2B+-sinC--3 象关于点(-石0)中心对称，即a·(-)十9 4 sin2A=0.记△ABC的内角A,B,C的对边分别 mxm∈zD①，由f(-x)=fx),得fx) 为a,b,c,由正孩定理可得2b2+c2- 4a2=0,则 的图象关于直线x=牙对称，即a·十p=十 c2-子a-26,又由会弦定里可得osC 2:∈0②，由@-①，释。·受-m-nx+ 数学答案（六）第1页（共6页） B 真题密卷 阶段质量监测（六） 吾=x+受∈Z,所以w=2张十1，即@为奇数： 10.ACD【解析】因为r2一r1=2√3×cos60°=√3， 又r2=2r1,所以r1=√3，r2=2√3，则O1O2 因为Fx)在（侣）上单羽通增，所以。·高 =2x -8到V6=3,(+nt） p≥2kx-5k∈Z③，且w…行+p<2kx+受 XO1O2=21π，故A正确；设球O的半径为R,则 k∈Z国，国-③，可得w·百≤，所以0w<6,综上 (00+r2=R2, 1002+r=R2, 或 (O02+3)2+r1=R2 (3-00)2+r7=R2, m=1,35.当0=1时，9=否十k,k∈乙，因为 1002=0, 解得( 所以OO1=3,故B错误；球O的 R=2√3， 1g<受，所以p=音，故此时fx)=sim(+) 表面积S=4πR2=48π，故C正确；连接AO2, 当x∈（低）时+晋∈(），所以f BO2,则截面ABO2将四面体ABCD分成两部 在（织，）上单涧道增，满足题意；当山=3时， 分，且△AB0:的面积为定值2×AB×0,0,= 3√3，当且仅当C,D两点到平面ABO2的距离 =十kx,k∈Z,因为p<受，所以g不存在； 之和最大时，四面体的体积最大，此时CD⊥平 当a=5时，9-+长r,k∈Z.周为1g<经，所 丙AB0,所以0W-号×56am,×CD =12,故D正确. 以g=一哥，故此时fx)=sin(5x-看），当x∈ 1.BCD【解析】由f(z)=x+9a +6ax十1，得 x (层到时，5-晋∈（后），所以fx在 f'(x)=3x29a↓6a=3Cx42十3a） (低）上不单羽，不满足题意，故。=1，即。的 x>0.对于A,当a>0时，f(x)在(-∞， 取值个数为1. 一√a),(√a,+∞)上单调递增，在(-√a,0), 二、选择题 (0,√a)上单调递减，故f(x)的极大值为 9.ABD【解析】令x=1,则(-m-1)5=ao十a1十 f(-√a)=1-16aa,由a>0,知f(-√a)可为 a2十…+a1o=1,即m十1=-1，解得m=-2,故 正，可为负，也可为零，所以当x∈（一∞，0)时， A正确；令x=0,则(-2)5=a0,所以a0=一32， f(x)的零点可为0个或1个或2个，f(x)的极小 又a0十a1十a2+…十a1o=l,所以a1十a2十a3+ …十a10=33,故B正确；令x=-1,则a0-a1十 值为f(Wa)=1+16aa>0,所以当x∈(0，十o∞) a2-…+a10=-35=-243,又a0十a1十a2十 时，f(x)的零点个数为0，所以f(x)最多有2个零 点，故A错误；对于B,设切点坐标为(m,1),则 十a10=1,两式相加，得2(a0十a2十a4十…十a10) =-242,则a0十a2+a4+…十a10=-121,所以 f'm)=3(m2-a)m+3a）=0,所以m2=a m a2十a4+…十a1o=-121-a0=-89,故C错误； 令f(x)=(x2+2x-2)5=a0十a1x十a2x2+…+ 或m2=-3a,又因为f(m)=m3+9 -+6am+ m aox0,则f'(x)=5(x2+2x-2)4(2x十2)=a1十 1=1,所以m4+6am2+9a2=0,解得m2= 2a2x+3a3x2+…+10a10x°，令x=1,则a1+2a2 -3a,所以当且仅当m2=-3a时，f'(m)=0, +3a3+…+10a1o=f'(1)=5×1×4=20,故D f(m)=1同时成立，因为m≠0，所以m2=-3a 正确. >0,即a<0,所以当a<0时，直线y=1与曲线 B 数学答案（六）第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 y=f(x)恒相切，故B正确；对于C,f(x)十 同理在△ABF2中，由余弦定理得cos∠ABF2 fx)=x+8g+6a+1-x-9a x x -3n2头8725a,所以81a十4o-c 2X6a×7a 2X9aX7a 6ax+1=2,所以曲线y=f(x)关于点(0,1)中 36a2+49a2-25a 心对称，故C正确；对于D,由C可知，f(x)十 2X6aX7a ,整理得10a2=c2,所以a f(-x)=2,所以2f(k)+f(-k)]=2m,故 10,即4十6=10，所以。一3，即两渐近线方程为 a2 D正确. y=士3x,设直线1的倾斜角为a,则cosa= 三、填空题 1AF2+|F,F,l-AP_9a2+4c2-25a2 34 2AF1×F1F2 2X3aX2c 12,35【解析】记事件A=“被选中的4人中男、女 所以n。-雪即ame- √/10 科研人员至少各有1名”，则A=“被选中的4人 5 2,所以1的 中全是男科研人员”，所以P(A)=1一P(A)= 方程为y= 2(x+c), C434 1-C-35 y= ?(x+c)”得xM= ⑥ 13.气【解折】由题念得sna十2 n+如日 6+V6c, y=一3x, -号①，csia+2月+cos1g=号@，D √6 由 (x+c)得N= 6 -√6c, +②得2+2(cos acos B+sin asin)=3, 2 y=3x, 所以|MN=√+tana|xM-xN 即e0a一)=-子，又因为0<a<<,所以 2 /1+6 √6 c+、6 2W/15 2 6-√ 6十√6 5c,所 -元<&-B<0,则sin(a-B)= -1-wsa-=-5所以ma-8-复 2√15 MN 以AB 6a ×而 3 14.【解析】令1AP,1=m,R,F=2,因为 四、解答题 △ABF2的面积是△AF1F2面积的入倍，所以 15.解：(1)当a=2时，f(x)=e2-x-1 AB=入|AF1=Am,由双曲线的定义知 则f'(x)=e*-1, (1分) |AF2-AF1|=2a,所以|AF1,|AF2|, 令f'(x)=0,得x=0, (2分) |BF2|是公差为2a的等差数列，所以 所以当x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当 BF2=|AF1+4a=m+4a,因为△ABF2 x>0时，f'(x)>0,f(x)单调递增， (3分) 的周长为3(+4)a,故(m+2a)+(m+4a)+ 所以f(x)的单调递增区间为(0，十∞)，单调递 m=3(1+4)a,整理得（十2）(m-3a)=0,因 减区间为（一∞，0) (4分) 为（入+2）≠0，所以m=3a,则|AF1=3a, (2)因为f(x)=e*-(a-1)x-(a-1)2,所以 |AF2=5a,|BF2|=7a,AB|=|BF1|- f'(x)=e-(a-1), |AF1|=BF2|+2a-|AF1|=6a,在 当a≤1时，f'(x)>0,f(x)在R上单调递增， △BF1F2中，由余弦定理得cos∠F1BF2= 此时f(x)无极值； (6分) BF,2+|BF22-FF22=81a2+49a3-4c2 当a>1时，令f'(x)=e-(a-l)=0,得x= 2 BF X BF2 2X9a×7a ln(a-1), 数学答案（六）第3页（共6页） 真题密卷 阶段质量监测（六） 当x<ln(a-1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减； 因为T1-T.=6-2+）-6-2）= 当x>ln(a-l)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， (8分) 2n+3 2n+1 >0,所以Tm+1>Tm, 所以f(x)的极小值为f(n(a-1))=a-1-(a -1)·ln(a-1)-(a-1)2<0, 即数列{Tm}为递增数列， (13分) (10分) 因为a-1>0,所以ln(a-1)+a-2>0, 又因为20+5>0，所以T,≤T.<5,即号≤T 4g(a)=In(a-1)+a-2,a>1, <5. (15分) 则ga)-1+。吕>0，所以sa在 17.(1)证明：取AD的中点为Q,连接PQ, (1,十∞)上单调递增， 因为PA=PD,所以PQ⊥AD, (1分) 又因为g(2)=0,所以g(a)>0等价于a>2, 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平 (12分) 面ABCD=AD,PQC平面PAD, 所以a的取值范围是(2，十∞). (13分) 所以PQ⊥平面ABCD, (2分) 16.(1)解：当n≥2时，am=Sm-Sm-1=(n2十2n)- 因为ABC平面ABCD,所以PQ⊥AB,(3分) [(n-1)2+2(n-1)]=2n+1, (2分) 因为AP2+AB2=PB2,所以AB⊥AP,(5分) 又a1=S1=3,满足am=2n十1，故an=2n十1. 又PQ,APC平面PAD,PQ∩AP=P, (3分) 所以AB⊥平面PAD. (6分) 因为b1bb3…b-b.=（2》 1 ① (2)解：连接BQ,因为AD=BC=2,所以PQ= √PA2-AQ=2,则BQ=√PB2-PQ=√2， (n≥2)②， 所以AQ+AB2=QB2,即AB⊥AQ,故以A为 n(m十1_(m-1 由①②得bn= 1 2 2(n≥2)， 坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，过 (5分) 点A作与PQ平行的直线为之轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， (7分) 又6，=7满足6，一云，所以6，云 1 (6分) (2)证明：由(1)知a,b.=2n+1 2n 35 则工=十2十…+和+n圆， 2n-1十 2n T.-0+20+…+201+2+1 1 3,5 2n +2+量④，(8分) ③-@得，号工.=2+2×（分+公+…+2】 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),P(0,1,2), 则PC=(1,1,-2),BC=(0,2,0), 设M(a,b,c),PM=tPC(0≤t≤1)， 2m+13 2n+1 2+7=2+2X 1 2n+1 1 则(a,b-1,c-2)=t(1,1,-2), 2 解得a=t,b=t十1，c=2-2t, 52n+5 2 2n+1, 所以M(t,t+1,2-2t),则AM=(t,t+1,2-2t), (9分) 2m+5 则T=5- 2n (11分) 设n=(x,y,之)为平面PBC的一个法向量， B 数学答案（六）第4页（共6页）】 ·数学· 参考答案及解析 P元·n=0,x十y-2x=0, P(A3B)P(A3)P(BA3) 则 即 p(A3|B)= B.n=0,2y=0, P(B) P(B) 0.2×0.9223 取之=1，则y=0,x=2, 0.96 120 (12分) 所以平面PBC的一个法向量为n=(2,0,1), (3)从混放在一起的电池中任取n(n≥2)块，设 (12分) 不合格品的块数为X,则X~B(n,0.04),所以 sin -Icos(AM)AMn pm=p(X=2)=C%0.0420.96"-2 (14分) AM n |2t+2-2t 2 则p。-C0.049×0.961a+1、 ·-+5·-+ p.C0.042X0.96-g=n-iX0.96, 由+1 n-1 ×0.96≥1，得2≤n≤49； (14分) 由+1 n-iX0.96≤1，得n≥49， (16分) 所以当1=2时，sin0取得最大值2网 35 所以当pm取得最大值时，n=49或50.(17分) (15分) 18.解：设B=“任取一块电池为合格品”，A:=“电 19.(1)解：设P(xo,y0),由 PF d =e,得|PF= 池为第i个车间生产的(i=1,2,3)”, 则2=A1UA2UA3,且A1,A2,A3两两互斥. e+2）=a+… (1分) 根据题意得p(A1)=40%,p(A2)=a%, 因为PF1+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a- p(Ag)=b%,p(B|A1)=96%,p(BA2)= (atexo)=a-exo, (2分) 98%,p(B|A3)=92%. (2分) PF d 1 因为PP,-Pf-。,所以a-ex。=e(a (1)由全概率公式，得 十exo),解得x0= a(1-e) p(B)=p(A1)p(BA1)+p(A2)p(B|A2)+ (3分) e(1+e) p(A3)p(BAs) =40%×96%+a%×98%+b%×92%=0.96, 因为-a<x≤a,所以-a<1-) e(I+e)≤a, (4分) 即e2+2e-1≥0， (4分) 整理得98a十92b=5760①，又40%十a%十b% 又<0<e<1,解得e≥√2-1或e≤-√2-1（舍 =100%②， 去) 联立①②，解得a=40,b=20. (6分) 所以e的取值范围为[2-1,1). (5分) (2)“如果取到的电池为合格品，计算其是第i(i (2)(1)证明：设直线x=与工轴交于点T,直 =1,2,3)个车间生产的概率”，就是计算在B发 c 生的条件下，事件A:发生的概率. 线MS与x轴交于点R,过M作直线工=a的 P(A B)-P(A.B)_P(A)P(BIA) P(B) P(B) 垂线，垂足为Q, =0.4×0.962 F2RMR 0.965 (8分) 在△MNS中，NS MS ,所以|F2R|= (A:B)-P(B) P(A2B)P(A2)P(BA2) IMR|×|NSI P(B) MS (6分) =0.4×0.9849 0.96 120' (10分) TR 在△MQS中，MQ SR MS,所以|TR|= 数学答案（六）第5页（共6页） B 真题密卷 阶段质量监测（六） SRXMQ MS (7分) |Mf2×sin0+ 号BF,XMr,×a0-g 则 |F2R| IMR|×|NS |MF2|×|NS| sin 0 sin(-) (13分) TR SR X MQ NF2 X MQ' 则eBE,TA3y MF2 因为MQ NF2 -e,NS =e,所以 \FR=1, 所以a1+ecos)sine_ccos9sin0+sin(0-p）. TR b2 62 a十c (9分) (14分) /c2+a2 因为b2=a2一c2,所以a(1+ecos0)sinp= 即R为线段F,T的中点(2。，0小 ccos osin 0+(a-c)sin(0-), 故直线MS过定点. (10分) 即asin+ccos0sinp=ccos sin0+(a-c)· (ⅱ)解：设∠BF2T=p, sin(-g), 因为F,T1=a b2 化简得sinp=sin(0-p), (15分) 一c= c c 因为0∈(0，π)，所以0=29，即直线BF2平分 所以BF2|= F2T 62 ∠MF2T, (16分) cos ccos' (11分) MW MF2 62 MF2 由等面积得到 因为TF,T-ME,cos日eC WA 2 F2A2 a(1+ecos 0) 1 b2 所以MF2=a1+ecos) (12分) a2-c2 1 1+e 因为S△A,F2B=S△A1F2M十S△BF2M, a(1+ecos 0)Xa-c-l+ecos 0' 所以号A,Pa×B:Xmg=号AF× 1+e 1 所以1+ec030-。,解得cos0=一e.17分) B 数学答案（六）第6页（共6页）