阶段质量监测三-【衡水真题密卷】2026年高考数学阶段质量监测（B版 低难度）

2025一2026学年度阶段质量监测 卷题 数学（三）】 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.若(i十)x=1,则之= ( 1 A.2 号 D.1 2.圆C1:x2十y2=1与圆C2:(x-cos0)2+(y-sin0)2=4的位置关系为 A.外切 B.相交 C.内切 D.内含 3.在公差不为0的等差数列{am}中，a7=3a5,若a=0,则k= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.若直线y=1被双曲线C:x2一ay2=a的两条渐近线截得的线段长度为1，则a= () A吉 B c日 D.1 5.已知点A,B在圆C:x2+y2一4x=0上，若点A关于点B的对称点为P(一1,0)，则 AB= () A 3 B.2 C.2 6 D.2 6.已知圆锥、圆柱的底面半径均与球O的半径相等，若圆锥、圆柱、球O的表面积之比为 3:4：4,则它们的体积之比为 () A.3:4:4 B.2:3:4 C.1:√3：2 D.3:3:4 同学甲在课外活动时间练习投篮，已知甲每次投中的概率均为，第1次、第2次连续 次投中的概率为2，则他在第1次未投中的条件下，第2次投中的概率为 () 1 1 B.4 C.3 D.2 若圆M:z2牛(y-1)=4的外部不存在椭圆C:C2+y=1(a>D上的点，则C的长 长的最大值为 () A.√2 B.2√2 C.3 D.23 数学试题（三）第1页（共4页） 真题密卷·乃 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 班级 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.为了全面贯彻党的教育方针，落实“健康第一”的理念，某中学组织初二学生进行了一次 AI记数跳绳测试，以每分钟的跳绳个数作为测试成绩（单位：个）.从参加测试的学生中 姓名 随机抽取50名学生的测试成绩并进行分组（每组均为左闭右开的区间），得到的频率分 布直方图如图所示，则 ( ) 频率/组距 得分 0.0175 0.0075 0.0050 0.0025-- 80100120140160180200测试成绩/个 A.抽取的这50名学生的测试成绩的众数约为150 B.估计这次参加测试的学生的测试成绩的平均数为142 C.抽取的这50名学生的测试成绩的中位数约为145 D.估计这次参加测试的学生的测试成绩的80%分位数为160 10.已知函数f(x)=x2+z,则 A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为 [3 2,+∞ Cfx)在K间(-日o0)上单阔递蜡 D.f(x)>2的解集为(-∞，-1)U(1,+∞) y 1.已知双曲线C1:x-多=1(6>0)的左、右焦点分别为F1,F,抛物线C:y2=2px(力 >0)的焦点为F2,点P为C1,C2的一个公共点，PF1与C1的另一个交点为Q,若 PF1=7,△PF1F2为钝角三角形，记△PF1F2内切圆的圆心为H,则 A.p=4 B.C1的渐近线方程为x士√3y=O c.IQF,I- D.|HF2|=10 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a∈(0,2) sin atan a=cos2,cos a= y2 13.已知椭圆C:a十6=1(a>b>0)的左焦点为F,点A在C上，M为AF的中点，0为 坐标原点，若AF|=OM=b,则C的离心率为 介段质量监测 数学试题（三）第2页（共4页） B 14.已知连续型随机变量服从正态分布N(1,2),函数f(x)=P(≤x),则满足 +)十f(》+…+了出》>2025的正撞数n的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 如图，四边形ABCD的顶点均在半径为21的圆上，AC=7, √/21 14,∠ABC>∠ADC. (1)求cos∠ACB; (2)若BD平分∠ABC,求△BCD的面积. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC,CA⊥CB,E为AB的中点，点F 在棱AC上，AF=3FC,BF⊥PE. (1)证明：平面PCE⊥平面PBF. (2)若CA=2CB=2PC,求直线FE与平面PBF所成的角. 17.(15分)某市汽车管理部门为了解该市汽车用户使用新能源汽车与性别是否有关，随机 调查了该市100名汽车用户，记录了他们的性别及新能源汽车的使用情况，得到如下 的列联表： 新能源汽车的使用情况 性别 合计 使用 未使用 男 25 30 55 女 30 15 45 合计 55 45 100 B 数学试题（三）第3页（共4页） 真题密卷·【 (1)根据小概率值α=0.05的独立性检验，判断该市汽车用户使用新能源汽车与性别 是否有关联； (2)从调查的未使用新能源汽车的汽车用户中，按性别分层抽样，随机抽取6人做进一 步的问卷调查，再从这6人中随机选出2人进行新能源汽车免费驾驶体验，设这2 人中男性用户的人数为X,求X的分布列与数学期望， n(ad-bc)2 附：x=a+b)c+ia十c)6+d:其中n=a+b+c+d. 0.1 0.05 0.01 0.005 Ta 2.706 3.841 6.635 7.879 18.(17分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l:y=kx与C交于点A(异 于坐标原点)，当=1时，AF=5. (1)求C的方程. (2)若C的准线与x轴交于点M,与L交于点N,点B在C上，且NB∥x轴. (ⅰ)记直线MA,MB的斜率分别为k1,k2,证明：k1+k2为定值. (ⅱ)证明：直线AB过定点，并求出该定点坐标. 19.(17分)甲参加某公司的招聘面试，面试共有5道问答题，由考官逐一提问作答，累计答 对三道题或答错三道题，面试结束.已知甲答对每道题的概率均为2，且每道题答对与 否相互独立.记甲面试结束时答对题的个数为X. (1)求X的分布列与数学期望. (2)若离散型随机变量X和Y的取值相同，分布列分别为：P(X=x:)=p, P(Y=x)=q:,p:>0,q:>0,i=1,2,…,n,之p:=2q:=1,则称X与Y相似，其 i=1 i=1 度记为DX),且D(XIY)=2p:log影。：，已知Y~B (1)证明：X与Y相似，并求当力=2时，D(XY)的值. (ⅱ)求当D(X‖Y)取得最小值时，p的值. 阶段质量监测 数学试题（三）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2025一2026学年度阶段质量监测数学（三） 一、选择题 6.D【解析】设圆锥的底面半径为r,母线长为U1, 1 1.B【解析】由题意得之=中=一 1 圆柱的母线长为L2,由题意知圆柱的底面半径为 r,球O的半径为r,因为圆锥、圆柱、球O的表面 1+i 2 2i,所以1z= 积之比为3：4：4，所以（πr2十πrl1):(2πr2+ 2πrl2):4πr2=3:4:4,可得11=2r,l2=r,所 +(-号 以V专r原7- 33,V装=r2L2 2.C【解析】设C1与C2的半径分别为r1,r2,则r1 =1,r2=2,又由题意得|C1C2|=√cos20+sin0 =m,Ve=音，所以VV:V =1=r2一r1,所以C1与C2内切. 33:r3: 3 3.B【解析】设{amn}的公差为d,由a,=3a5,得a1 3r3=√3：3：4，即圈锥、圆柱、 +6d=3(a1+4d),所以a1+3d=0,即a4=0,所 球O的体积之比为√3：3：4. 以k=4. 7.D【解析】设甲第1次投中为事件A,第2次投中为 4B【解折1由短意知a>0,且点（分）在双南线 字件A,由题走得PA=PGB)-号，PCAB)-日， C的一条渐近线上，又C的渐近线方程为y= 1 ,所以，=1，解得a=子 因为PB)=PAB)+PcAB)=+PAB)- 3 a 2√a 1 5.A【解析】将x2+y2-4x=0化为(x-2)2+y =4,得圆心C(2,0),半径r=2,设AB的中点为 所以PAB)= 6,所以PBA)= P(AB)6 P(A) 12 M,连接CA,CM,则CM⊥AB,且CA=2.令 3 |AB|=m,|CM=d,则在Rt△PCM和 2,即甲在第1次未授中的条件下，第2次投中的 Rt△ACM中，分别由勾股定理得 概泰为 +d2=9, 8.B【解析】设P(s,t)(一1≤t≤1)为C上的动，点， 解得m= 又M(0,1),则由题意知PM2=52+(t-1)2= 2,即|AB=0 2 a2(1-t2)+(t-1)2≤4，t∈[-1,1]恒成立，即 32 (a2-1)t2+2t-a2+3≥0，t∈[-1,1]恒成立. 2 令f(t)-(a2-1)t2+2t-a2+3,因为a>1,所 以当-2≤-1，即1<a≤E时，f()在 /45 [-1,1]上单调递增，又因为f(-1)=0,所以 2 f)≥0，符合题意：当一a一>-1，即a>2 数学答案（三）第1页（共5页） B 真题密卷 阶段质量监测（三） 时，若要使f(t)≥0恒成立，则△=4一4(a2-1)· (0小上单羽道增，故C正确：因为（分） (3-a2)≤0恒成立，化简得(a2-2)2≤0，与 a>√2矛盾，故舍去，所以a的取值范围为 1十2>2，故D错误。 (1,√2]，故C的长轴长的最大值为2√2. 11.ACD【解析】因为点P在C上，|PF1=7,所以 二、选择题 |PF2=|PF1|-2=5,又点P在C2上，所以点P 9,ABD【解析】由频率分布直方图可知，抽取的这 5 50名学生的测试成绩的众救约为140十160 到C,准线的距离为5，所以cos∠PFF2=PF 150,故A正确；因为(0.0025+0.0050十a+ -号，在△P即，R中，由余孩定理得PF 0.0175十0.0075十0.0025)×20=1，解得a= |PF1I2+|F1F22-2|PF1I|F1F2|cos∠PF1F2,即 0.0150,所以估计这次参加测试的学生的测试成 25=4细十E,F-2X7XER,×,整理 绩的平均数为(90×0.0025+110×0.0050+ 130×0.0150+150×0.0175+170×0.0075+ 得|FF2|2-10|FF2|+24=0,解得|FF2|=4 190×0.0025)×20=142,故B正确；因为(0.0025 或|FF2=6,当|FF2|=6时，|FF22 +0.0050+0.0150)×20=0.45<0.5,(0.0025+ +|PF2|2>|PF1|2,△PF1F2的最大角∠PFF 0.0050+0.0150十0.0175)×20=0.8>0.5，所以 为锐角，不符合题意，所以F1F2=4,即p=4,故A 设抽取的这50名学生的测试成绩的中位数为x, 正确：南FR=4得6=('-1=3所 则(x-140)×0.0175=0.05,解得x≈143，故C 错误；因为(0.0075十0.0025)×20=0.2，所以估 以C1的渐近线方程为y=士3x,即√3x士y=0,故 计这次参加测试的学生的测试成绩的80%分位数 B错误；由cms∠PF,F,-号，得m∠PR,F26 5, 为160，故D正确. 10.BC【解析】由题意知，|x|≠0，即f(x)的定义域 所以mw=2红+2)，与- 2W6 一3=1联立消y, 为{xx≠0}，故A错误；当x>0时，f(x)=x2十 19 得17x2-32x-57=0,解得x1=3,x2=-17所以 一，所以当x∈ 26 IPQI=1+5) .,一-守所以 98 (o,)时，fe)0,f)单明递流：声x a=7智-9o,-0+2-c正 (沿+时，)>0，fx)单洞遂增，所 确；作HG⊥x轴于点G,由切线长相等得GF1| 以当x>0时，f(x)mn= 32 |GF2=2,又|GF1|+GF2|=4,解得GF2|=1, 设△PFF2内切圆的半径为T,S△P,F,= +∞时，f(x)>+∞，又f(x)=f(-x),所以 y f(x)是偶函数，所以f(x)的值域为 2(PF+IPF:1+IF,F:l)r=2 PFI. [B+发B医瑞：同为当女e(》时。 |F1Fz|sin∠PF1F2,即(7+5+4)r=7X4X 1-(}=86,解得r-,所以孤 f'(x)<0,所以fx)在区间(0，）上单调递 减，又因为f(x)是偶函数，所以f(x)在区间 √/TGF22+r2=/1+ 3_√10 2 2 ，故D正确 B 数学答案（三）第2页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 三、填空题 5√7 所以cos∠BAC= (4分) 12.号【解标】周为a∈0，），sin etan&=cos 14, 21 所以sina>0,cosa>0 sin2a_1十cosa,即 所以∠ACB=×+×得-2 14 7 cos a (6分) cosa十cos2a=2sina=2-2cos2a,整理得 (2由I痴∠ABC-,∠ADC=子， 3 cosa+cos a-2=(3cos a-2)(cos a++1)=0, 又BD平分∠ABC,所以∠CAD=∠CBD=3,所 2 以cosa= 3 以CD=AC=√7， (7分) BC 由正弦定理得 3.5【解标】设C的右焦点为F',连接AF,因为 n乙BAc- ,所以 BC _221 14 M,O分别为AF,FF'的中点，所以MO∥AF', BC=1. (9分) 且|AF'I=2b,又AF'|+|AF|=2b+b=2a, 在△BCD中，由余弦定理得CD2=BD2+BC 即3b=2a,所以9b2=9(a2-c2)=4a2,整理得 π -2BD·BCcos3,即7=BD2+1-BD, a=9,所以C的离心率e=C=5 c2_5 所以BD2一BD-6=0,解得BD=3或BD= Γa-3 -2(舍去)， (11分) 14.2025【解析】图为N1,2》,所以f()十 所以△BCD的面积S△，= 2BC·BDsin3 ()=1(是)+f(0)=1,令s 2×1X3×5_3v5 241 (13分) 16.(1)证明：因为PC⊥平面ABC,BFC平面ABC, (i)+(n)+(是)+中f》 所以PC⊥BF, (2分) 又BF⊥PE,PC∩PE=P,PC,PEC平面 则2s-()+( (2n+1)=2n十 PCE,所以BF⊥平面PCE, (4分) 又BFC平面PBF,所以平面PCE⊥平面PBF, (6分) ,解得s2n由题意知2>2025，所以2】 (2)解：因为PC⊥平面ABC,CA⊥CB,所以以 >4049 C为坐标原点，CA,CB,CP所在直线分别为x, ,又n∈N,所以满足题意的正整数n的最 y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 小值为2025. 四、解答题 AC 15.解：(1)由已知及正弦定理得 in∠ABC ? sin∠ABC 3,解得sin∠ABC= 2√21 2 (2分) 令CA=4, 则B(0,2,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,0,0), 因为∠ABC>∠ADC,∠ABC+∠ADC=π，所 故FB=(-1,2,0),FP=(-1,0,2),FE=(1,1,0), 以∠ABC- (8分) (3分) 设n=(x,y,之)为平面PBF的一个法向量，则 又sin∠BAC=y②T n·FB=0, 14∠BAC<交 -x+2y=0, 即 n.Fp=0,-x十2x=0, 数学答案（三）第3页（共5页） 真题密卷 阶段质量监测（三） 令之=1，则x=2,y=1,故n=(2,1,1). (11分) 又NB/:轴，所以B(货，)， (9分) 设直线FE与平面PBF所成的角为O, 又 FEn √3 一k 4k 4k 则sin0= 所以k1十k2= |FE1|n√1+I×√4+1+I 2 4 「k2 +14+1 2+4k2十4 所以直线FE与平面PBF所成的角为管 0,所以k1十k2为定值0. (11分) (15分) 17.解：(1)零假设H。:该市汽车用户使用新能源汽 1)当是 4,即2≠4时，直线AB的方程为 车与性别没有关联。 (1分) 计算得x2-10×30×30-25×15)2_4900 4十k y十k= 55×45×55×45 1089 4k2（x-4 ≈4.500>3.841=x0.5, (6分) k24 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，推断 整理得y= 4k H。不成立，即认为该市汽车用户使用新能源汽 4-2(x-1), 车与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 此时直线AB过定点(1,0)； (15分) 0.05. (8分) 当经-父即-4时，直线A5的方程为？ (2)由题意，按分层抽样抽取的6人中，男性用户 1,过点(1,0) (16分) 人数为6X304,女性用户人数为6X5 45 =2 综上，直线AB过定点(1,0). (17分) 由题意知X的所有可能取值为0,1,2，(10分) 19.(1)解：由题意得，X的所有可能取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=-P(X=1) C1 C2C48 (1分) C8-15 C2 P(X=2)=C85' P(X=0)= (13分) 》-8 所以X的分布列为 PX=-C()'=: X 0 2 P(X=2) P 15 1 层 c(分)°-0： (14分) Px-3)=()'+c(g)‘+()-, 1 (3分) 所以X的数学期望为E(X=0X5十1X8+ 所以X的分布列为 2x号- (15分) 0 1 2 3 18.(1)解：当=1时，l:y=x, 1 联立Px, 8 16 16 2 解得A(2,2), (2分) y2=2p.x, 因为AF=5,所以2+ 所以数学期望E(CX)=0X名+1×是+2×号 =5,解得力=2， 133 所以C的方程为y2=4x. (5分) +3×2=16 (5分) (2)证明：(i)由(1)知，M(-1,0), (6分) (2)(1)证明：因为X,Y的所有可能取值均为 联立化红得A(》 0,1,2,3,所以X与Y相似. (6分) y2=4x, y=x:得N(-1,一， 因为Y-B(,）,所以PY-)=C(分》A 联 (8分) x=-1, =0,1,2,3, (7分) B 数学答案（三） 第4页（共5页） ·数学· 参考答案及解析 3 则D(XlY)=8log 8 6 g[-3-e1-p门+0-4-lep1 a()' pyr]+高-4-epr1-p1+名(-1- 3 1 2 gep)=二8-61og2p1-p)].● (14分) e() 2 log, 令f(p)=p1(1-p)5,0<p<1, 1+是e+品e+4- 1 1 1 则f'(p)=11p10(1-p)5-5p1(1-p)4 =p10(1-p)4(11-16p), (15分) 5 即当p=2时，D(XY)=8 (10分) 所以当p∈(0,8》时，'p)>0,fp)单调递 (i)解：因为Y~B(3,p),所以P(Y=)= C5p(1-p)3-t,k=0,1,2,3, 增，当p∈（侣1）时，f'p)<0,fp)单词递 所以D(X‖Y)=81oga-p 3 +6 减，所以当力吕时，f(p)限得最大值，此时 D(XY)最小， 3 16 3 16 1 11 log(6og(log 即当D(X‖Y)取得最小值时，p=16 (17分) 数学答案（三）第5页（共5页） B