4.2.1 等差数列的概念（思维导图+3大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

本高中数学讲义聚焦等差数列的概念，系统梳理从定义（文字与符号语言）、通项公式（归纳、叠加、迭代法推导）到性质（等差中项、单调性等）的核心知识点，构建“概念-推导-应用”的学习支架，衔接数列基础，通过题型归纳实现知识深化。 资料亮点在于融合思维导图可视化知识结构，设计八种题型（含实际应用如海拔气温问题）及变式练习，培养数学眼光（观察现实问题）、数学思维（推理证明）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过举一反三查漏补缺，提升应用能力。

4．2．1 等差数列的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等差数列的定义 4 知识点二、等差数列的通项公式 4 知识点三、等差数列的性质 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：判断一个数列是否为等差数列 6 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 8 题型三：利用定义法证明等差数列 10 题型四：等差中项问题 12 题型五：实际应用问题 14 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 16 题型七：等差数列的性质 18 题型八：对称设项法的妙用 19 知识点一、等差数列的定义 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 知识点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， 所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况． 知识点三、等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 题型一：判断一个数列是否为等差数列 【例题1】（2025·高二·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【例题2】“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】必要性：若为等差数列，设其公差为，则， 故存在，使得，故满足必要性； 充分性：若存在，使得， 则，两式相减可得， 所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列， 如时，数列，故不满足充分性. 所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件， 故选：B 【方法技巧与总结】 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 【变式1】（2025·高二·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【解析】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 【变式2】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（    ） A．2020 B．2022 C．2023 D．2025 【答案】A 【解析】设该等差数列为，其公差为， 设13､31､58分别为该数列中的，且， 不妨设. 则，，， 所以，， 将两式相除可得，设，，则， 将分别代入，，可得， 则，其中， 所以. 选项A. ， 因为，，所以，所以本选项符合题意； 选项B. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项C. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 选项D. ，当不是的倍数时，不是正整数，所以本选项不一定是该数列中的项，因此不符合题意； 故选：A 【变式3】（2025·高二·吉林长春·期末）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】C 【解析】由题意可知，靠近左侧窗口的座位号形成以为首项，公差为的等差数列， 则，则各项均为奇数， 令，解得，不合乎题意； 靠近右侧窗口的座位号形成以为首项，公差为的等差数列， 则，则各项均为的倍数，令，可得， 故只有C选项合乎题意. 故选：C. 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 【例题3】已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若数列公差为，因为，所以， 又，解得，所以. 故选：C 【例题4】（2025·高二·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 【方法技巧与总结】 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【变式4】（2025·高二·宁夏·月考）若数列满足，，则（    ） A．23 B．21 C．19 D．17 【答案】D 【解析】∵，∴， 即数列是，的等差数列， ∴，∴. 故选：D. 【变式5】（2025·高二·江苏常州·月考）在数列中，点在直线上，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【解析】因为点在直线上， 所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：C. 【变式6】（2025·高二·浙江·月考）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 【答案】D 【解析】因为为等差数列，设公差为d， 所以，则， 又，联立解得， 所以. 故选：D 题型三：利用定义法证明等差数列 【例题5】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【解析】（1）依题意，，， 所以，， 所以，. （2）依题意，，， 所以， 所以是首项为，公差为3的等差数列， 所以， 所以． 【例题6】（2025·高二·江苏南通·月考）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【解析】（1）由题设，，. （2）证明：因为， 所以，即， 所以数列是首项，公差的等差数列. （3）由（2）得：， 所以. 【方法技巧与总结】 证明等差数列的方法 （1）定义法 或数列是等差数列． （2）等差中项法 数列为等差数列． （3）通项公式法 数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列． 【变式7】已知数列中，，．求证：是等差数列． 【解析】证明：∵，∴， ∴，又， ∴是以为首项，为公差的等差数列． 【变式8】已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【解析】证明：令，又，则有 ， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列 【变式9】（2025·高二·全国·课前预习）已知各项均为正数的数列的首项， 是数列的前项和，且满足 ．求证：是等差数列； 【解析】由已知可得，. 因为，所以， 即. 又， 所以数列是以2为首项，为公差的等差数列． 【变式10】（2025·高二·全国·课前预习）设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列； 【解析】数列的前n项和为，因为， 所以，即 所以 （为常数）， 所以数列是等差数列． 题型四：等差中项问题 【例题7】（2025·高二·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【解析】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 【例题8】（2025·高二·上海青浦·期末）与的等差中项为 . 【答案】2 【解析】与的等差中项为:. 故答案为：2. 【变式11】（2025·高二·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 【答案】7 【解析】由韦达定理得， 又数列是等差数列，故，所以，解得. 故答案为：7 【方法技巧与总结】 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项． 【变式12】（2025·高二·上海·期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为 . 【答案】1 【解析】由条件可知，，则. 故答案为：1 【变式13】（2025·高三·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 【答案】28 【解析】由题, ，， ,， ， ， . 故答案为：28 【变式14】（2025·高一·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 【答案】4 【解析】由题意有，又，， 所以. 故答案为：4. 题型五：实际应用问题 【例题9】（2025·高二·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】由题知崎角尖相对于山脚的高度是米， 故选：C. 【例题10】（2025·高三·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】D 【解析】由题意得：能被3除余2的数为2，5，8，11……， 故，， 被5除余3的数为3，8，13……，故，， 被7除余1的数为1，8，15……，故，， 由，，， 故，， 令，解得：， 因为，所以，故此数列的项数为20. 故选：D 【方法技巧与总结】 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【变式15】（2025·高二·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【解析】设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为，则立春当日日影长为，立夏当日日影长为，所以春分当日日影长为. 故选：D 【变式16】（2025·四川绵阳·三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【答案】B 【解析】设相邻两个节气晷长减少或增加的量为,则立冬到冬至增加,冬至到雨水减少4,冬至的晷长为,则,解得, 故选：B. 【变式17】（2025·河南郑州·模拟预测）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺 【答案】D 【解析】由题意得：为等差数列，公差为d，则，，则，解得：，则，故春分的日影长为12.5尺. 故选：D 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 【例题11】（2025·高二·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 【例题12】（2025·高二·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 【方法技巧与总结】 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算． 【变式18】（2025·高二·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 【变式19】（2025·高二·陕西渭南·月考）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【解析】依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 【变式20】（2025·高三·北京·月考）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 题型七：等差数列的性质 【例题13】（2025·高二·江苏南京·期中）已知为等差数列，且，则 . 【答案】2 【解析】方法一：设公差为，则，所以. 方法二：因为，所以. 故答案为： 【例题14】（2025·高二·北京·月考）已知数列为等差数列，，则 ． 【答案】 【解析】设公差为d，由题，. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【变式21】（2025·高二·江西抚州·月考）在等差数列中，，，则＝ 【答案】78 【解析】在等差数列中，， 则. 故答案为：. 【变式22】（2025·高二·海南海口·开学考试）已知等差数列，，，则 . 【答案】 【解析】在等差数列中，，可得. 故答案为：. 【变式23】（2025·高二·天津西青·开学考试）等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】20 【解析】因为数列为等差数列，又因为 ，即， 则 . 故答案为：20. 题型八：对称设项法的妙用 【例题15】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】解法一：设这四个数分别为a，b，c，d， 根据题意，得解得或 ∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 解法二：设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意， 得化简，得 解得或 ∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 解法三：设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d， 根据题意，得 化简，得解得 ∴这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 【例题16】四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数. 【解析】方法一：设这四个数为（公差为2d）， 依题意，，且， 解得， 又四个数成递增等差数列，所以， ∴，故所求的四个数为. 方法二：若设这四个数为（公差为d）， 依题意，，且， 把代入， 得，解得或. 又四个数成递增等差数列，所以， 所以，. 故所求的四个数为. 【方法技巧与总结】 等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 【变式24】（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【解析】（1）设这四个数分别为，，，，则 ， 又该数列是递增数列，所以，所以，， 所以此等差数列为或． （2）设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，， 则，解得或． 因为数列为递增数列，所以， 所以等差数列的通项公式为． 【变式25】三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 【解析】设这三个数依次为， 由题意可得，解得， 所以这三个数4，3，2. 【变式26】三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 【解析】设这三个数分别为a－d，a，a＋d. 由题意可得 解得或 ∴所求三个数为－2，2，6或6，2，－2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．2．1 等差数列的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、等差数列的定义 4 知识点二、等差数列的通项公式 4 知识点三、等差数列的性质 5 04 题型归纳，举一反三 6 题型一：判断一个数列是否为等差数列 6 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 7 题型三：利用定义法证明等差数列 7 题型四：等差中项问题 9 题型五：实际应用问题 9 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 10 题型七：等差数列的性质 11 题型八：对称设项法的妙用 12 知识点一、等差数列的定义 文字语言形式 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示． 符号语言形式 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 知识点诠释：定义中要求“同一个常数”，必须与无关． 等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． 知识点二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式 首相为，公差为的等差数列的通项公式为：， 推导过程： （1）归纳法： 根据等差数列定义可得：， 所以， ， ， …… 当n=1时，上式也成立 所以归纳得出等差数列的通项公式为：（）． （2）叠加法： 根据等差数列定义，有： ， ， ， … 把这个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得， 所以． （3）迭代法： 所以． 等差数列通项公式的推广 已知等差数列中，第项为，公差为，则． 证明：因为， 所以 所以 由上可知，等差数列的通项公式可以用数列中的任一项与公差来表示，公式．可以看成是时的特殊情况． 知识点三、等差数列的性质 等差数列中，公差为，则 ①若，且，则， 特别地，当时． ②下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． ③若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． ④仍是等差数列． ⑤数列（为非零常数）也是等差数列． 题型一：判断一个数列是否为等差数列 【例题1】（2025·高二·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题2】“存在，使得”是“为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 对于数列，若（，，为常数）或（，为常数），则此数列是等差数列，其中常数叫做等差数列的公差． 【变式1】（2025·高二·广西桂林·月考）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【变式2】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知一个无穷等差数列中有三项：13，31，58，则下列各数中一定是该数列中的一个项的是（    ） A．2020 B．2022 C．2023 D．2025 【变式3】（2025·高二·吉林长春·期末）两旅客坐高铁外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知高铁一等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合要求的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 【例题3】已知等差数列的公差为1，，则（    ） A． B． C． D． 【例题4】（2025·高二·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 等差数列通项公式的求法与应用技巧 （1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． （2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即，，，，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． （3）通项公式可变形为，可把看作自变量为的一次函数． 【变式4】（2025·高二·宁夏·月考）若数列满足，，则（    ） A．23 B．21 C．19 D．17 【变式5】（2025·高二·江苏常州·月考）在数列中，点在直线上，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【变式6】（2025·高二·浙江·月考）等差数列中，，，则（   ） A．35 B．40 C．55 D．53 题型三：利用定义法证明等差数列 【例题5】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）已知满足，且． (1)求，； (2)证明：数列是等差数列，并求的通项公式． 【例题6】（2025·高二·江苏南通·月考）已知数列满足，且. (1)求，； (2)证明：数列是等差数列； (3)求数列的通项公式. 【方法技巧与总结】 证明等差数列的方法 （1）定义法 或数列是等差数列． （2）等差中项法 数列为等差数列． （3）通项公式法 数列{an}的通项公式形如（，为常数）数列为等差数列． 【变式7】已知数列中，，．求证：是等差数列． 【变式8】已知数列满足．证明：数列是等差数列； 【变式9】（2025·高二·全国·课前预习）已知各项均为正数的数列的首项， 是数列的前项和，且满足 ．求证：是等差数列； 【变式10】（2025·高二·全国·课前预习）设数列的前n项和为，已知，，．证明：数列是等差数列； 题型四：等差中项问题 【例题7】（2025·高二·四川达州·月考）方程的两根的等差中项为 . 【例题8】（2025·高二·上海青浦·期末）与的等差中项为 . 【变式11】（2025·高二·云南·月考）已知数列是等差数列，是方程的两个实数根，则的值为 . 【方法技巧与总结】 若a，A，b成等差数列，则；反之，由也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项． 【变式12】（2025·高二·上海·期中）若等差数列的前三项依次为1，，3，则实数a的值为 . 【变式13】（2025·高三·上海·月考）在等差数列中，若，，则的值为 . 【变式14】（2025·高一·上海青浦·期末）已知等差数列满足，，则 ． 题型五：实际应用问题 【例题9】（2025·高二·河南南阳·期末）通常情况下，海拔每升高米气温就降低.已知南阳市的海拔最高点是老界岭的崎角尖.若在某天测得老界岭的山脚的气温是，崎角尖的气温是，则崎角尖相对于山脚的高度是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例题10】（2025·高三·辽宁·期末）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【方法技巧与总结】 （1）解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． （2）能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题，是数学建模的核心素养的体现． 【变式15】（2025·高二·陕西汉中·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满，芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，若立春当日日影长为尺，立夏当日日影长为尺，则春分当日日影长为（    ） A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺 【变式16】（2025·四川绵阳·三模）在2022年北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界．我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知雨水的晷长为9.5尺，立冬的晷长为10.5尺，则冬至所对的晷长为（    ） A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺 【变式17】（2025·河南郑州·模拟预测）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为（    ） A．9.5 尺 B．10.5 尺 C．11.5 尺 D．12.5 尺 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 【例题11】（2025·高二·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例题12】（2025·高二·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【方法技巧与总结】 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算． 【变式18】（2025·高二·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式19】（2025·高二·陕西渭南·月考）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【变式20】（2025·高三·北京·月考）已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：等差数列的性质 【例题13】（2025·高二·江苏南京·期中）已知为等差数列，且，则 . 【例题14】（2025·高二·北京·月考）已知数列为等差数列，，则 ． 【方法技巧与总结】 等差数列运算的两种常用思路 （1）基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定，，然后求其他量． （2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若，且，则． 【变式21】（2025·高二·江西抚州·月考）在等差数列中，，，则＝ 【变式22】（2025·高二·海南海口·开学考试）已知等差数列，，，则 . 【变式23】（2025·高二·天津西青·开学考试）等差数列中，若，则的值为 ． 题型八：对称设项法的妙用 【例题15】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【例题16】四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为，求这四个数. 【方法技巧与总结】 等差数列中对称设项法的应用 1、某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：，，公差为； 2、三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：，，，公差为； 3、四个数成等差数列且知其和，常设成，，，，公差为． 【变式24】（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列； （2）已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式． 【变式25】三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数. 【变式26】三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $