4．1 数列的概念（思维导图+5大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

本讲义聚焦数列的概念这一核心知识点，系统梳理从数列的定义、项与一般形式，到按项数和项的大小分类，再到通项公式与前n项和的关系，进而通过通项公式法、列表法等表示方法，最终建立数列与函数的联系，形成层层递进的学习支架。 资料融入思维导图直观呈现知识结构，助力学生用数学眼光抽象数列本质。通过8类题型的例题、变式及方法总结，培养数学思维的推理与运算能力，如结合剧场座位问题强化应用。课中辅助教师系统授课，课后便于学生查漏补缺，巩固知识盲点。

4．1 数列的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一、数列的概念 4 知识点二、数列的分类 4 知识点三、数列的通项公式与前n项和 4 知识点四、数列的表示方法 5 知识点五、数列与函数 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：数列的概念 7 题型二：根据数列的前几项求通项公式 7 题型三：利用数列的通项公式求某项 8 题型四：递推公式的简单应用 9 题型五：利用求 10 题型六：数列的单调性问题 12 题型七：数列的最值问题 13 题型八：数列的周期问题 14 知识点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 知识点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 知识点三、数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 知识点四、数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点五、数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上． 数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式． 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． （3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式． 题型一：数列的概念 【例题1】（2025·高二·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【例题2】（2025·高二·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【方法技巧与总结】 （1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． （2）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外． 【变式1】（2025·高二·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【变式3】若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 题型二：根据数列的前几项求通项公式 【例题3】已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【例题4】（2025·高二·山东临沂·月考）已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等． （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号． （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 【变式4】（2025·高二·江苏盐城·期中）数列，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5】（2025·高二·新疆·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（2025·高二·河南新乡·月考）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型三：利用数列的通项公式求某项 【例题5】如图，观察其中数的规律，第6行左起第4个数是 ． 1 2     4 3     5     7 6     8    10    12 9    11    13    15    17 … 【例题6】已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 【方法技巧与总结】 （1）利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． （2）判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 【变式7】分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的新学科，它的创立为解决众多传统数学领域的难题提供了全新的思路．按照分形的规律生成的一个树形图如图所示，则第10行的空心圆的个数是 ． 【变式8】（2025·高二·江苏常州·期中）若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第 项. 【变式9】63是数列3，8，15，24，35，…的第 项． 题型四：递推公式的简单应用 【例题7】若数列满足，，，求． 【例题8】根据数列的递推公式，写出它的前4项． (1) (2) 【方法技巧与总结】 递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项． 【变式10】某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第排与第排座位数有何关系？ (3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？ 【变式11】数列满足, （1）写出数列的前项； （2）由（1）写出数列的一个通项公式； 【变式12】（2025·高二·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 题型五：利用求 【例题9】（2025·高二·重庆·期中）已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 【例题10】已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 【方法技巧与总结】 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． 【变式13】（2025·高二·四川成都·期中）已知数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求. 【变式14】（2025·高二·陕西·月考）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【变式15】（2025·高二·湖北黄冈·月考）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 题型六：数列的单调性问题 【例题11】（2025·高三·山东·月考）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题12】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 1、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列； ⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． 【变式16】（2025·高二·广西桂林·月考）已知函数若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式17】（2025·高二·湖北孝感·期中）已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式18】（2025·高二·江西·月考）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型七：数列的最值问题 【例题13】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【例题14】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【方法技巧与总结】 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． 【变式19】（2025·高二·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式20】（2025·高二·全国·单元测试）已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 题型八：数列的周期问题 【例题15】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【例题16】（2025·高二·陕西咸阳·月考）若数列满足，月，则（    ） A． B．2 C． D． 【方法技巧与总结】 列举法 【变式21】（2025·高二·重庆·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式22】（2025·高二·福建莆田·期中）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【变式23】（2025·高二·陕西西安·期中）已知在数列中，，则（   ） A． B． C．2 D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．1 数列的概念 目录 01 题型归纳目录 3 02 思维导图 4 03 知识点梳理 5 知识点一、数列的概念 5 知识点二、数列的分类 5 知识点三、数列的通项公式与前n项和 5 知识点四、数列的表示方法 6 知识点五、数列与函数 6 04 题型归纳，举一反三 8 题型一：数列的概念 8 题型二：根据数列的前几项求通项公式 10 题型三：利用数列的通项公式求某项 12 题型四：递推公式的简单应用 13 题型五：利用求 15 题型六：数列的单调性问题 18 题型七：数列的最值问题 20 题型八：数列的周期问题 22 知识点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 知识点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 知识点三、数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． （3）数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项； ②检验某数是否是该数列中的一项． （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故． 知识点四、数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 知识点五、数列与函数 （1）数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上． 数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数，如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…； （2）数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式． 数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式就是相应函数的解析式． 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． （3）数列的图象是落在轴右侧的一群孤立的点 数列的图象是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立的点，这些点都落在函数的图象上．因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （4）跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式． 题型一：数列的概念 【例题1】（2025·高二·陕西榆林·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 【例题2】（2025·高二·江苏苏州·月考）下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【解析】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 【方法技巧与总结】 （1）判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断． （2）判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于（或均小于）后一项，不能有例外． 【变式1】（2025·高二·吉林四平·期中）以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 【变式2】下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【解析】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 【变式3】若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【解析】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 题型二：根据数列的前几项求通项公式 【例题3】已知，数列，，，…，的项数为（   ） A． B． C．m D． 【答案】B 【解析】可以发现其被开方数是首项为3，公差为2的等差数列. 根据等差数列通项公式（其中为首项，d为公差）， 这里，，则被开方数的通项公式为. 已知数列的最后一项为， 那么被开方数对应通项公式. 令， 解得. 所以数列，，，…，的项数为， 故选：B. 【例题4】（2025·高二·山东临沂·月考）已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 【方法技巧与总结】 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等． （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号． （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 【变式4】（2025·高二·江苏盐城·期中）数列，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A和C，令，分母显然无意义，排除， 对于B，令，得，错误， 对于D，分别令，得符合，正确， 故选：D 【变式5】（2025·高二·新疆·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， 由此得. 故选：B 【变式6】（2025·高二·河南新乡·月考）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列的符号依次为负、正、负、正，呈现出的规律； 分子依次为1，3，5，7，，是首项为1、公差为2的等差数列，通项为； 分母依次为1，4，9，16，，即，，，，通项为； 故该数列的通项公式为：. 故选：B. 题型三：利用数列的通项公式求某项 【例题5】如图，观察其中数的规律，第6行左起第4个数是 ． 1 2     4 3     5     7 6     8    10    12 9    11    13    15    17 … 【答案】20 【解析】由数阵的规律可以发现，它的行是按照奇数和偶数间隔排列的， 则第6行应该由偶数组成，且第6行的第1个数为14，则第4个数为20． 【例题6】已知数列：，，，，，，，，，，，则该数列的第17项 ． 【答案】/ 【解析】可以将数列分组如下：，，，，， 由项数，知第17项应该是第6组的第2个， 而第6组的第2个是，因此这个数列的第17项． 故答案为： 【方法技巧与总结】 （1）利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． （2）判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项． 【变式7】分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的新学科，它的创立为解决众多传统数学领域的难题提供了全新的思路．按照分形的规律生成的一个树形图如图所示，则第10行的空心圆的个数是 ． 【答案】21 【解析】构造数列表示空心圆的个数，其中表示第行的空心圆的个数， 由图可知，，，当时，，因此即为所求． 通过列举得到各行的空心圆的个数依次为，，，，，，，，，，，，，，所以． 故答案为：. 【变式8】（2025·高二·江苏常州·期中）若已知数列的通项公式是，其中.则是数列中的第 项. 【答案】2 【解析】令，解得或(舍去)， 所以是数列中的第项， 故答案为：2. 【变式9】63是数列3，8，15，24，35，…的第 项． 【答案】7 【解析】根据3，8，15，24，35，…归纳出其通项公式为：， 当时，， 所以63是数列3，8，15，24，35，…的第7项， 故答案为：7. 题型四：递推公式的简单应用 【例题7】若数列满足，，，求． 【解析】由题意可知：，，， ，． 【例题8】根据数列的递推公式，写出它的前4项． (1) (2) 【解析】（1）， ， ， ； （2），， ， . 【方法技巧与总结】 递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项． 【变式10】某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位． (1)写出前五排座位数． (2)第排与第排座位数有何关系？ (3)第排座位数与第排座位数能用等式表示吗？ 【解析】（1）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位， 所以前五排座位分别为：20，22，24，26，28； （2）由题意可知，后一排都比前一排多2个座位， 故第排与第排座位数的关系为：第排比第排多两个座位； （3）由（2）可知，能用等式表示第排座位数与第排座位数的关系， 即. 【变式11】数列满足, （1）写出数列的前项； （2）由（1）写出数列的一个通项公式； 【解析】（1）由已知可得，，，，. （2）由（1）可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…， 所以它的一个通项公式为. 【变式12】（2025·高二·江苏·课前预习）（1）若数列满足， ，求； （2）设数列{an}满足，写出这个数列的前5项. 【解析】（1）根据题意可得， ， ， ， ， ∴是周期为4的数列，于是. （2）根据题意，这个数列的前5项如下： ， 所以，， ， ， . 题型五：利用求 【例题9】（2025·高二·重庆·期中）已知数列的前项和为 (1)求的最小值，并求此时的值： (2)求出的通项公式 【解析】（1）由，， 故或时，最小为； （2）当时，， 当时，， 显然不满足上式，故. 【例题10】已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 【解析】（1）由数列的前项和的定义可知． （2）当时，；当时，不满足上式． 所以通项公式为 （3）当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. （4）由题意知，当时，， 两式相减可得， 则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 【方法技巧与总结】 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． 【变式13】（2025·高二·四川成都·期中）已知数列的前n项和为. (1)求的通项公式； (2)设，是数列的前n项和，求. 【解析】（1）中，令得， 当时，， 又适合上式，所以； （2）由（1）知：，   所以. 【变式14】（2025·高二·陕西·月考）已知数列的前项和记为，若点均在函数的图象上． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）由点均在函数的图象上，可得， 则，， ，. （2）由点均在函数的图象上，可得， 当时，可得； 当时，， 经检验，当时不成立， 所以数列的通项公式为. 【变式15】（2025·高二·湖北黄冈·月考）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【解析】（1）因为， 所以，又， 所以或时，取最小值时，最小值为； （2）因为， 所以，当时，， 所以， 当时，， 所以. 题型六：数列的单调性问题 【例题11】（2025·高三·山东·月考）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 【例题12】（2025·高二·湖北省直辖县级单位·期中）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题可知是递增数列，所以，即， 所以，故．因为，所以． 故选：C. 【方法技巧与总结】 1、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列； ⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． 【变式16】（2025·高二·广西桂林·月考）已知函数若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，由数列是递增数列， 得，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C 【变式17】（2025·高二·湖北孝感·期中）已知数列满足，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为恒成立，所以数列是递减数列， 又数列满足， 所以，，即， 即，解得. 故选：C. 【变式18】（2025·高二·江西·月考）已知数列是单调递减数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列是单调递减数列， 故，即 且，故. 故选：A 题型七：数列的最值问题 【例题13】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解析】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 【例题14】（2025·高二·四川成都·月考）已知数列的通项公式为，前项和为，则下列结论错误的是（    ） A．的最小项是，最大项是 B．当时，最小 C． D． 【答案】C 【解析】由题意有， 所以在单调递减数列，当时，，当时，， 又，所以的最小项是，最大项是，故A正确； ，当时，，所以当时，最小，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，，所以，故D正确. 故选：C. 【方法技巧与总结】 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． 【变式19】（2025·高二·江苏苏州·月考）数列的通项公式为满足：，则数列的最大项是第（   ）项． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】设数列的最大项为.则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：A. 【变式20】（2025·高二·全国·单元测试）已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 【答案】B 【解析】当为奇数时，，当为偶数时，， 要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可， 又， 而， 因此时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最小值为． 故选：B. 题型八：数列的周期问题 【例题15】（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】因为，， 所以， 因此可以判断该数列的周期为， ， 故选：D 【例题16】（2025·高二·陕西咸阳·月考）若数列满足，月，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】，， 因此有， 所以数列的周期为3，所以. 由，可得，， 即， 故选：A. 【方法技巧与总结】 列举法 【变式21】（2025·高二·重庆·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】由数列满足，，可得： ， ， ，， 故数列是周期为的周期数列，. 故选：A 【变式22】（2025·高二·福建莆田·期中）设数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】数列中，，且，则， ，因此数列是周期为4的数列， 所以. 故选：C 【变式23】（2025·高二·陕西西安·期中）已知在数列中，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由，则， 又，故，，， ，， 故数列以为周期，则. 故选：A. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $