4．1 数列的概念（8大题型）训练-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册）

4．1 数列的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：数列的概念 2 题型二：根据数列的前几项求通项公式 3 题型三：利用数列的通项公式求某项 4 题型四：递推公式的简单应用 4 题型五：利用求 5 题型六：数列的单调性问题 6 题型七：数列的最值问题 8 题型八：数列的周期问题 9 02 重难点拓展 11 题型一：数列的概念 1．（2025·高二·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 2．将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 3．（2025·高二·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【解析】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误. 故选：A. 题型二：根据数列的前几项求通项公式 4．（2025·高二·河北邯郸·月考）已知数列，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将数据代入各个选项中，验证可知， 该数列的一个通项公式为. 故选：D. 5．（2025·高二·贵州遵义·月考）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意分子为，所以分子通项为， 分母为，所以分母通项为， 又数列除第一项外，奇数项为正，偶数项为负，符号满足， 综上，． 故选：D． 6．（2025·高二·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 题型三：利用数列的通项公式求某项 7．（2025·高二·陕西西安·月考）已知数列的通项公式，则等于 . 【答案】288 【解析】由得，， 所以，. 故答案为：288. 8．（2025·高二·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为 ． 【答案】17 【解析】依题意，． 故答案为：17 9．（2025·高二·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 【答案】（答案不唯一，中的一个值） 【解析】记， 当时，即，显然恒成立，不满足要求； 当时，或， 若，则，所以恒成立，不满足要求； 若，此时，必然满足数列中存在负数项， 由上可知，的可取值的范围是，故可取， 故答案为：（答案不唯一，中的一个值）. 题型四：递推公式的简单应用 10．（2025·高二·甘肃临夏·月考）已知数列中，. （1）写出数列的前5项. （2）猜想数列的通项公式. 【解析】（1）由，可得： ，， ， . （2）猜想： 11．在数列中，，，求，并归纳出． 【解析】因为，， 所以，，，， 由，可归纳出. 12．已知数列满足，且，． (1)求的值； (2)127是数列的第几项？ 【解析】（1）由以及，得，所以 （2）， 所以127是数列的第7项 题型五：利用求 13．（2025·高二·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【解析】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 14．（2025·高二·辽宁·月考）已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【解析】（1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. （2）数列前6项和为. 15．（2025·高二·全国·课前预习）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 【解析】，当时，; 当时，. 由于不适合. 故. 题型六：数列的单调性问题 16．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为递增数列，所以， 因为，所以， 化简可得， 因为在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递减， 则数列递减，因为， 所以当时，，所以. 故选：A 17．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【解析】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 18．（2025·高二·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 【答案】B 【解析】数列中，，则， 即，所以数列为递减数列.故选：B 题型七：数列的最值问题 19．（2025·高二·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为，其对应的函数为二次函数， 开口向下，对称轴为，又， 所以或2时，取得最大值，故数列的最大值是. 故选：C. 20．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，令，得：， 解得：或，因此可知：； 又当时，，当时，，所以在时，取最小值：． 当时，，则该代数式对应函数对称轴为直线， 因为是中唯一的最小项，所以，且， 解得，且， 即． 故选：B 21．（2025·高二·黑龙江·期中）已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】设，，解得：， 当和时，，所以取得最小值时，. 故选：C 22．（2025·高二·辽宁·期中）已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故，，所以， 假设数列的第项最小，，， 则，故， 所以， 所以，即数列的前项中最小项是， 故选：D. 题型八：数列的周期问题 23．（2025·高二·山西·月考）已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 又，所以， 所以数列是以3为周期的数列， 故. 故选：C. 24．（2025·高二·重庆·期中）已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 【答案】D 【解析】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 25．（2025·高二·重庆渝北·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解析】因为，即，且， 则，，， 可知数列的一个周期为3，且， 所以. 故选：A. 1．（2025·高二·福建厦门·月考）若，则数列的前21项和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列的通项为，项的符号正负交替， 当为奇数时，；当为偶数时，. 将前21项分为前20项（10组）和第21项， 每组两项（第项与第项）的和为：， 前20项共10组，和为. 第21项为. 因此，前21项和为：. 故选：A 2．（2025·高三·福建福州·月考）已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【解析】因为， ， 所以. 所以. 故选：D 3．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D 4．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【解析】由，，则，， 所以， 所以数列是周期为3的周期数列，则. 故选：B. 5．（2025·高二·江苏苏州·期中）数列满足，（），则等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】由递推公式，，， 所以数列的周期为，所以， 故选：C. 6．（2025·高二·福建漳州·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，，， ，为常数列，，， 这与相矛盾，故假设不成立，故对于任意的都成立， ，， ，是首项为，公差为的等差数列， ，，. 故选：C. 7．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【解析】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 8．（多选题）（2025·高二·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【解析】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD 9．（2025·高二·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是 ． 【答案】 【解析】当时，， 当时， ， 当时，， 故， 故答案为： 10．（2025·高二·重庆·月考）古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如，可这样理假定有两个面包，要平均分给 5 个人，如果每人不够，每人分，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.按照此方法理解，可以分解为哪两个单分数的和？ ；按此规律，则 . 【答案】 【解析】有两个面包，要平均分给7个人，如果每人不够，每人分，余， 再将这分成7份，每人得，这样每人分得， 所以； 有两个面包，要平均分给个人，如果每人不够，每人分，余， 再将这分成份，每人得，这样每人分得， 所以； 故答案为：；. 11．（2025·高二·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 【答案】 【解析】因为数列中， ，； 所以，， ，， 与相同， 所以数列的周期为4 一个周期内的和为， 因为 所以； 故答案为：. 12．（2025·高二·天津·月考）已知数列的前n项和，则= ． 【答案】 【解析】当时，； 当时，. 又也满足，所以. 故答案为：. 13．（2025·高二·福建厦门·月考）下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第个图案中星星的个数是，由，，，，可推出 【答案】465 【解析】由题得，所以 ，，…， 将上述等式相加得， 所以. 故答案为：. 14．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 【答案】 【解析】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. 15．（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【解析】法一：因为数列的前项和， 当时，； 当时，. 不满足，因此，， 所以. 法二：因，则. 故答案为：. 16．（2025·高三·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，则 . 【答案】 【解析】当时，； 当时，， 所以， 代入得； . 故答案为： 17．（2025·高二·河南·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 【答案】 【解析】由，且，则，同理解得，， 由题意可得下表： 数列的最小正周期，由， 则． 故答案为： 18．（2025·高二·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 【答案】 【解析】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 19．（2025·高二·河南新乡·月考）在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 【答案】16 【解析】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. 20．（2025·高二·内蒙古通辽·月考）在数列中，，，且数列是等差数列，则 ． 【答案】/ 【解析】设数列的公差为d，因为，， 则，所以， 所以， 因此，解得. 故答案为：. 21．（2025·高二·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）， 则时，， 两式作差得， 又符合上式，故； （2）假设存在正整数，使成立，即， 化简得，得或，均不是正整数， 故不存在正整数，使成立. 22．（2025·高二·全国·单元测试）已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 【解析】（1）观察数列知，数列从第三项起，每一项是前两项的和，即递推关系为， 则，，， 所以， 所以 ， 即是该数列的第2026项； （2）证明：由（1）知，，所以 所以， 所以数列是常数列，所以，为定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．1 数列的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：数列的概念 2 题型二：根据数列的前几项求通项公式 2 题型三：利用数列的通项公式求某项 3 题型四：递推公式的简单应用 3 题型五：利用求 3 题型六：数列的单调性问题 4 题型七：数列的最值问题 4 题型八：数列的周期问题 5 02 重难点拓展 6 题型一：数列的概念 1．（2025·高二·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 2．将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 3．（2025·高二·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 题型二：根据数列的前几项求通项公式 4．（2025·高二·河北邯郸·月考）已知数列，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·贵州遵义·月考）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高二·吉林四平·月考）数列的一个通项公式为（ ） A． B． C． D． 题型三：利用数列的通项公式求某项 7．（2025·高二·陕西西安·月考）已知数列的通项公式，则等于 . 8．（2025·高二·河南南阳·开学考试）在数列中，若，则的值为 ． 9．（2025·高二·北京通州·期末）已知数列的通项公式是，使数列中存在负数项的一个t的值为 ． 题型四：递推公式的简单应用 10．（2025·高二·甘肃临夏·月考）已知数列中，. （1）写出数列的前5项. （2）猜想数列的通项公式. 11．在数列中，，，求，并归纳出． 12．已知数列满足，且，． (1)求的值； (2)127是数列的第几项？ 题型五：利用求 13．（2025·高二·广东梅州·期末）已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 14．（2025·高二·辽宁·月考）已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 15．（2025·高二·全国·课前预习）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式. 题型六：数列的单调性问题 16．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·高二·江苏苏州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 18．（2025·高二·福建莆田·月考）已知数列的通项公式为，则数列为（    ） A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 题型七：数列的最值问题 19．（2025·高二·江西景德镇·期末）已知数列的通项公式，则数列的最大值是（   ） A．3 B．2 C． D． 20．（2025·云南昭通·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是中唯一的最小项，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2025·高二·黑龙江·期中）已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 22．（2025·高二·辽宁·期中）已知数列的通项公式为，它的前项中最小项是（   ） A． B． C． D． 题型八：数列的周期问题 23．（2025·高二·山西·月考）已知数列中，，则（   ） A．3 B． C． D． 24．（2025·高二·重庆·期中）已知数列中，，，则（    ） A．1 B． C．－1 D．－2 25．（2025·高二·重庆渝北·期中）已知数列满足，，则（   ） A． B． C．1 D．3 1．（2025·高二·福建厦门·月考）若，则数列的前21项和（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·福建福州·月考）已知数列满足，对任意，有，则数列的前项和=（   ） A．0 B． C． D．2 3．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高二·甘肃兰州·期中）已知数列满足，，则（    ） A． B．2 C．3 D． 5．（2025·高二·江苏苏州·期中）数列满足，（），则等于（   ） A． B． C．2 D． 6．（2025·高二·福建漳州·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 8．（多选题）（2025·高二·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 9．（2025·高二·天津和平·月考）已知数列的前项和为，满足，则的通项公式是 ． 10．（2025·高二·重庆·月考）古代埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式.例如，可这样理假定有两个面包，要平均分给 5 个人，如果每人不够，每人分，余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得.按照此方法理解，可以分解为哪两个单分数的和？ ；按此规律，则 . 11．（2025·高二·天津·月考）已知数列中，a1＝1，，记Sn为{an}的前n项和，则 ． 12．（2025·高二·天津·月考）已知数列的前n项和，则= ． 13．（2025·高二·福建厦门·月考）下列给出的图形中，每个图案均由若干个星星组成，记第个图案中星星的个数是，由，，，，可推出 14．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 15．（2025·高二·陕西咸阳·月考）已知数列的前项和，则 ． 16．（2025·高三·黑龙江·期中）已知数列的前项和为，满足，则 . 17．（2025·高二·河南·期末）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积．已知是等积数列，，公积为4，则 ． 18．（2025·高二·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 19．（2025·高二·河南新乡·月考）在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 20．（2025·高二·内蒙古通辽·月考）在数列中，，，且数列是等差数列，则 ． 21．（2025·高二·江苏宿迁·期中）已知数列的前项和，. (1)求的通项公式； (2)是否存在正整数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 22．（2025·高二·全国·单元测试）已知数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…． (1)写出数列中，，的递推关系，并求是该数列中的第几项； (2)记是数列的前n项和，证明：为定值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $