专题03 利用基本不等式求最值题型及技巧全归纳（寒假复习讲义）高一数学人教A版

专题03 利用基本不等式求最值题型及技巧全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：基本不等式 1、基本不等式 （1）一般地,R,有≥，当且仅当时,等号成立. （2）特别地,当时,分别用代替上式中的,可得≥，当且仅当时,等号成立.通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式） 其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数，基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （3）重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是. 2、基本不等式的变形 （1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立. （2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立; 当时,≤,当且仅当时,等号成立. 实际上,当时,. ∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立. （3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立. （4）不等式链: ≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.） 其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 3、利用基本不等式求最值 设,则有 （1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值; （∵ R+,有≤,∴≤.） （2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值. （∵ R+,有≥,∴≥.） 4、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数; 二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足. 知识点2：柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 知识点3：权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 【题型01 直接法】 1．（25-26高一上·山东临沂·月考）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 2．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知，则的最大值是 ． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 6．（25-26高一上·青海海南·期中）已知，求的最大值为 ． 【题型02 配凑法】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 2．（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 4．若正实数，满足，则的最大值是 ． 【题型03 常规常数代换法】 1．若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 2．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 3．（24-25高一上·广东河源·月考）已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 4．已知正实数,满足,则最小值为 ． 5．（24-25高一上·河南开封·期中）已知正数m，n满足，则的最小值是 . 【题型04 变形常数代换法】 1．（25-26高一上·河南洛阳·期中）设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·新疆·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）若，且，则的最小值是 ． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，，则的最小值为 ． 6．（25-26高一上·福建宁德·月考）若，且，则的最小值为 . 【题型05 商式求最值】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 3．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 4．（25-26高一上·河北·期中）函数的值域为 ． 5．（25-26高一上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是 【题型06 消元法】 1．设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 3．已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 4．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 5．已知，，则的最小值为 ． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为 ． 【题型07 换元法】 1．（25-26高一上·天津河北·月考）若，，则的最小值为 ． 2．已知均为正实数，且，则的最小值为 ． 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，，则的取值范围为 ． 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考）若，，且，则的最大值为 ． 5．（25-26高一上·重庆·月考）已知a，b，，且，则的最小值为 . 【题型08 柯西不等式】 1．已知x2＋y2＝10，则3x＋4y的最大值为 ． 2．已知则的最大值为 3．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高一上·陕西西安·月考）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【题型09 权方和不等式】 1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 3．已知正数，，满足，则的最小值为 1．（25-26高一上·云南昭通·月考）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．（25-26高一上·安徽六安·期中）设正实数满足，则最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 7．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 10．（23-24高一上·福建泉州·月考）（多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·江苏常州·月考）（多选题）已知为正实数，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为-4 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选题）已知，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 13．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 14．已知，，.则的最小值是 . 15．若，则的最小值为 ． 16．若，，，，则的最小值为 ． 17．设为正实数，且，则的最小值为 . 18．若非零实数，满足，则的最大值为 . 19．（1）若，且，则的最小值为 ． （2）已知正实数满足，则的最小值为 ． 20．（25-26高一上·浙江·月考）已知，且满足，求的最小值为 . 21．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 22．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 23．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为 ． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 利用基本不等式求最值题型及技巧全归纳 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：基本不等式 1、基本不等式 （1）一般地,R,有≥，当且仅当时,等号成立. （2）特别地,当时,分别用代替上式中的,可得≥，当且仅当时,等号成立.通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式） 其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数，基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （3）重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是. 2、基本不等式的变形 （1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立. （2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立; 当时,≤,当且仅当时,等号成立. 实际上,当时,. ∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立. （3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立. （4）不等式链: ≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.） 其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 3、利用基本不等式求最值 设,则有 （1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值; （∵ R+,有≤,∴≤.） （2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值. （∵ R+,有≥,∴≥.） 4、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数; 二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足. 知识点2：柯西不等式 1、二维形式的柯西不等式 2、二维形式的柯西不等式的变式 3.扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了. 知识点3：权方和不等式 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 证明1： 要证 只需证 即证 故只要证 ，当且仅当时，等号成立 即，当且仅当时，等号成立. 证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 推广:2：若，则，当时，等号成立. 推广3：若，则，当时，等号成立. 【题型01 直接法】 1．（25-26高一上·山东临沂·月考）若，则的最小值为（    ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 2．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 3．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是． 4．（25-26高一上·上海普陀·期中）已知，则的最大值是 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是1. 故答案为：1 5．（24-25高一上·江苏连云港·期末）若，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 6．（25-26高一上·青海海南·期中）已知，求的最大值为 ． 【答案】 【分析】直接根据基本不等式及不等式性质可得. 【详解】因为，则，，， 当且仅当，即时取等号，故的最大值为． 故答案为：. 【题型02 配凑法】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以，故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7． 故选：D. 2．（25-26高一上·海南·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可. 【详解】由得，， 当且仅当即时，等号成立，故的最小值为． 故选：C. 3．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，则， 可得，即， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：C 4．若正实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求最大值. 【详解】因为正实数，满足， 可由基本不等式可得：， 当且仅当取等号， 所以的最大值是， 故答案为： 【题型03 常规常数代换法】 1．若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 2．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 3．（24-25高一上·广东河源·月考）已知0＜x＜1，则的最小值是（   ） A．16 B．25 C．27 D．34 【答案】B 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】由，得 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值25． 故选：B. 4．已知正实数,满足,则最小值为 ． 【答案】16 【分析】考查的是的妙用.乘后再结合基本不等式即可求解. 【详解】 , 所以当且仅当即时等号成立, 所以,的最小值为16. 故答案为:16. 5．（24-25高一上·河南开封·期中）已知正数m，n满足，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】由可得，展开利用基本不等式即可求解. 【详解】由，可得，， 当且仅当，即，因为正数m，n，所以， 又因为，即时等号成立，的最小值是. 故答案为：. 【题型04 变形常数代换法】 1．（25-26高一上·河南洛阳·期中）设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，再通过同号，和异号，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 当同号时，由，当且仅当时，取等号， 当异号时，由，当且仅当时，取等号， 综上的范围为， 故选：A 2．（25-26高一上·新疆·月考）若，，，则的最小值为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】 ，当且仅当，即时，等号成立． 故选：A． 3．（25-26高一上·山西临汾·月考）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】， 由得， 所以，当且仅当时，即时取到等号， 故，最小值为5， 故选：B 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）若，且，则的最小值是 ． 【答案】3. 【分析】利用代换1法，结合基本不等式来求最小值. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当时取等号， 故答案为：3. 5．（25-26高一上·湖南长沙·期中）若，，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】，，， 则， 当且仅当，时取到等号． 即的最小值为6， 故答案为：6 6．（25-26高一上·福建宁德·月考）若，且，则的最小值为 . 【答案】31 【分析】由“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为得， 所以 当且仅当且，即时取等号， 所以的最小值为， 故答案为：. 【题型05 商式求最值】 1．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 3．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 4．（25-26高一上·河北·期中）函数的值域为 ． 【答案】. 【分析】根据题意，化简得到，分和，两种情况讨论，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，可得， 当且仅当，即时取等号，， 综上可得，函数的值域为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 【题型06 消元法】 1．设 ,则的最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值. 【详解】由题意，所以， 得到， 当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为． 故选：A. 2．若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 3．已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】D 【分析】根据，变形为，然后由可得，再利用基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以， 所以， 当且仅当时取等号， ∴ 有最小值 故选：D. 4．已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意可得，再根据结合基本不等式即可得出答案. 【详解】解：因为，所以， 则， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 5．已知，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意可得，再由基本不等式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：． 6．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由已知变形可得，代入，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】因为，由可得，又，所以， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的最大值为， 故答案为： 【题型07 换元法】 1．（25-26高一上·天津河北·月考）若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令，则，然后多次利用基本不等式可得答案. 【详解】令，则， ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 2．已知均为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由可得，所以原式可化为①，令，利用基本不等式求出的范围，则①式可化为，再次利用基本不等式求出的范围即可得解.（注意两次应用基本不等式，等号成立的条件必须相同） 【详解】由可得，所以原式①. 令，当时，， 当且仅当，即时等号成立，所以. 所以①式可化为原式. 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立，所以， 所以的最小值为4. 故答案为：4 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】令则，，可得 .用表示，得到，令，化简后利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】令则，， 又则，解得 . ， 令，则，. 函数在上单调递增，所以，所以 故答案为： 4．（25-26高一上·江苏苏州·月考）若，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】不妨设，，可得出，，，由此得出，结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为，，且， 不妨设，，其中，，且有， 所以， 由可得，由可得， 所以 ， 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·重庆·月考）已知a，b，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式将目标最小值问题转化为求的最小值，再利用换元法及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，，当且仅当时取等号， 又，令，则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【题型08 柯西不等式】 1．已知x2＋y2＝10，则3x＋4y的最大值为 ． 【答案】5. 【解析】由二维柯西不等式即可得解. 【详解】解：∵(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2， 当且仅当3y＝4x时等号成立， ∴25×10≥(3x＋4y)2， 即 ∴(3x＋4y)max＝5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了柯西不等式，重点考查了柯西不等式的应用，属基础题. 2．已知则的最大值为 【答案】 【分析】三维柯西不等式的直接应用，凑形式即可. 【详解】由柯西不等式， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 4．（24-25高一上·陕西西安·月考）存在正数使得不等式成立，则的最大值是 . 【答案】3 【分析】运用柯西不等式计算即可. 【详解】解:由柯西不等式可知 由能成立. 故答案为：3. 【题型09 权方和不等式】 1．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为 . 【答案】 【详解】解法一：设， 可解得， 从而 ， 当且仅当时取等号. 故答案为：． 解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：， ， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：． 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立，则函数的最小值为 ． 【答案】49 【分析】根据题中给的不等式可求得结果. 【详解】因为正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当即时，等号成立，此时的最小值为49， 故答案为：49. 3．已知正数，，满足，则的最小值为 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 1．（25-26高一上·云南昭通·月考）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）3；（2）11 【分析】利用基本不等式对（1）（2）进行求解即可. 【详解】（1）， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为3 （2），， 则， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为11． 2．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“”的代换可得最值. 【详解】由已知，满足， 即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故选：A. 3．（25-26高一上·江苏连云港·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为. 故选：B. 4．（24-25高一上·云南昭通·月考）函数的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，，函数， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为2. 故选：A 5．（25-26高一上·安徽六安·期中）设正实数满足，则最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据“1”的变形技巧及基本不等式求解即可. 【详解】, 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B 6．已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 7．（25-26高一上·湖北黄石·期中）已知实数，满足，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】变形有，再利用乘“1”法即可得到最值. 【详解】因为，且，则，， 则， 当且仅当，且时，即时取等号， 故选：B． 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 9．（23-24高一上·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用权方和不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取得等号， 所以函数的最小值为18， 故选:D. 10．（23-24高一上·福建泉州·月考）（多选题）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式“，当且仅当时等号成立”逐一运算分析判断即可得解. 【详解】解：对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误； 对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确； 对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立， 所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确； 对于选项D，由，时等号成立，故D正确； 故选：BCD. 11．（25-26高一上·江苏常州·月考）（多选题）已知为正实数，，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为-4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式，结合基本不等式“1”的妙用逐项求解. 【详解】对于A，由，，得， 当且仅当时取等号，因此的最小值为1，A正确； 对于B，由，，得，则 ，当且仅当， 即时取等号，与矛盾，即上述等号不成立，B错误； 对于C，由，得， 当且仅当时取等号，C正确； 对于D，由，，得 ，当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）（多选题）已知，则（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A、C、D的真假，借助消元法与二次函数性质计算可判断B的真假. 【详解】对A：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：由，则，则， ， 故的最小值为，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即、时，等号成立， 故，故C错误； 对D：， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 13．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 【答案】16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可； 法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 14．已知，，.则的最小值是 . 【答案】 【分析】由基本不等式的乘“1”法可得. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 15．若，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由， 故 ，当且仅当时等号成立， 故最小值为4， 故答案为：4 16．若，，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。 【详解】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 17．设为正实数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，将所求代数式转化为关于的代数式，再结合基本不等式及1的代换求解即可. 【详解】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 18．若非零实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设出，，则，故，由基本不等式求出，得到. 【详解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 19．（1）若，且，则的最小值为 ． （2）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 27 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 20．（25-26高一上·浙江·月考）已知，且满足，求的最小值为 . 【答案】/0.4 【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可. 【详解】由题意得， 则由柯西不等式得， 可得，解得， 当且仅当时取等，此时， 可得的最小值为. 故答案为： 21．柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 22．若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 . 【答案】/ 【分析】运用柯西不等式进行求解即可. 【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得， 当且仅当，即时等号成立， 则k的最小值为. 故答案为： 23．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $