高二数学上学期期末模拟卷（北师大版选修一全部：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线+计数原理+概率统计）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修第一册第一章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】对于 ：斜率 ， 对于 ：，斜率 ， 因为，所以， 即：， 因此， 的方程为：，即， 两条平行直线之间的距离为： . 故选：A 2．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解即可. 【详解】如图，连接， 是的中点， ， ， ， ． 故选：B． 3．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件可得，进而求出双曲线的离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 由两条渐近线的夹角为，且， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：D. 4．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理，先排最后一关，然后再排第二、三关即可. 【详解】因为甲负责第一关，且最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡， 所以先从除甲之外的4人中选两人负责最后一关，共有种， 然后再将剩余2人分配到第二、三关，共有2种， 所以，满足条件的参赛方案有种. 故选：B 5．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点坐标得到向量坐标，利用数量积求出向量在上的投影，再利用勾股定理求得点到线的距离. 【详解】已知，，， 则，， 设向量与夹角为， 则在上的投影为， ，． 所以， 点到直线的距离，， 则． 故选：D． 6．已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】设，利用直线与圆有公共点列式求解. 【详解】方程，即表示以点为圆心，以1为半径的圆， 设，即，依题意，直线与圆有公共点， 则圆心到的距离小于或等于半径，由，解得， 所以的最小值为． 故选：A 7．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【详解】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故错误. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：. 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】设的内切圆与分别切于点，利用切线长定理可得，结合椭圆的的定义可得，进而求得，结合已知可得，可求得，进而求得椭圆的方程，利用三角代换可求得的最大值. 【详解】设的内切圆与分别切于点，如图所示： 则． 又因为，联立，可得， 又因为 ， 所以，所以， 因为的重心是三边中线的交点，所以在上， 由重心性质可得，因为，所以，解得， 所以，所以椭圆的方程为， 因为在椭圆上，所以， 所以，其中， 当，取最大值，最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，从而求得，进而求得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 B．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 C．若随机变量，且，则 D．若两个随机变量满足，且，则 【答案】BCD 【分析】根据相关系数、决定系数的意义、正态分布的对称性和性质、方差的公式等知识对选项逐一判断. 【详解】对于A，对于两个具有线性相关关系的变量，样本相关系数的取值范围是. 当时，变量正相关；当时，变量负相关； 相关性越强，越接近于1，而不只是接近于1，也可能是，所以A错误； 对于B，在回归分析中，决定系数，越大，意味着残差平方和越小， 说明模型对数据的拟合效果越好，所以B正确； 对于C，因为随机变量服从正态分布，且， 所以， 根据对称即可得到，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：BCD. 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A和B，通过赋值法，即可求解；对于C，利用二项展开式的通项公式，即可求解；对于D，对展开式两边求导，再赋值，即可求解. 【详解】对于A，令，得，所以A正确； 对于B，令，得，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以C正确， 对于D，对两边同时求导， 得， 令，得，所以D正确． 故选：ACD. 11．三支不同的曲线交抛物线于点，为坐标原点，为抛物线的焦点，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．记的面积为，若，则 D．记的面积为，若，则 【答案】AC 【分析】设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称，联立方程，利用韦达定理求得，进而可求得，结合焦半径公式即可判断AB；利用倾斜角以及二倍角公式求出，即可判断CD. 【详解】如图，设直线与抛物线的交于点，则与关于轴对称， 设，则， 联立，消得，则， 又，则， 对于A，若，故， 故，结合，则，故， 因此，故A正确， 对于B，，时， ，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则， 所以 ， 因为，所以，所以，故C正确. 对于D，因，所以，所以，故D错误； 故选：AC 【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有 把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 【答案】 【分析】根据，再利用题设条件，即可求出结果. 【详解】因为，又，， 所以我们至少有把握认为喜欢某种甜品与性别有关， 故答案为：. 13．一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则 . 【答案】 【分析】由题可知的可能取值为，分别计算其概率，进而可得的分布列，进而求 【详解】由题可知 的可能取值为，总的选取可能数为种， 表示四次都取到不同的球，有种，； 表示有1个球至少取出了2次，包含三种情况： ①该球取出了2次.先从4次中选出2次取出该球，再从剩下的3个球中选出2个球，使其在剩下的2次中排列,故有种； ②该球取出了3次.先从4次中选出3次取出该球，再从剩下的3个球中选出1个球，使其放在剩下的1次，故有种； ③该球取出了4次，有1种； 又因为从4个球中选出1个球有种，故； 表示有2个球各自出现了2次， 先从4个球中选出2个球，有种，再从4次中选出2次取出同一个球，有种，剩下一个球的位置会随之确定，因此共有种，故， 所以的分布列为 0 1 2 所以， 故答案为： 14．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，根据题意设，然后利用空间向量求出点到的最小距离，从而可求出点的坐标，进而可求出的长 【详解】如图以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ，， 则， 设，则， 因为‖，所以，得， 所以（），则， 设点到的距离为，则 ， 所以当时，取得最小值，此时的面积取得最小值， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线与方程可得，设点，则，根据点分别在直线上列方程组可得结果. （2）设，根据及线段中点在上列方程组可得结果. 【详解】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 16．(15分)某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频x（单位：步/s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：cm） 90 95 99 m 115 (1)若步频和步长近似为线性相关关系，当时，，，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程. 附：回归直线方程中， (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，根据表中数据，若得出y关于x的经验回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，求实数m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别求得，，且，得到，即可求得回归直线方程； （2）根据题意，列出方程，求得，结合，，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得，， 又由，，可得， 则，所以回归直线方程为. （2）解：由回归方程为，且计算出在样本点处的残差为， 可得，解得， 因为，， 可得，解得. 17．（15分）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到⊥，又⊥，从而得到线面垂直，根据得到答案； （2）作出辅助线，求出各边长，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式进行求解. 【详解】（1）因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （2）作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. 18．（17分）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． (1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； (2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 【答案】(1)分布列见解析， (2)，，，． (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可知X的可能取值为1，3，5，分别计算其概率，求出X的分布列和数学期望； （2）根据给定信息直接写出结果； （3）利用全概率公式求出和，再利用作商法结合不等式推理证明. 【详解】（1）X的可能取值为1，3，5 ； ； ． 所以X的分布列为 X 1 3 5 P ． （2），，，． （3）由题意可得 ． 所以． 当时，． ． 因为，所以． 19．（17分）动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． (1)曲线的方程； (2)若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①是定值，证明见解析；② 【分析】（1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）①当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；②设，的中点为， 直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【详解】（1）设点的坐标为，则 化简得，即曲线的方程为. （2）①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019选择性必修第一册第一章-第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 2．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 4．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 5．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 7．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 B．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 C．若随机变量，且，则 D．若两个随机变量满足，且，则 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．三支不同的曲线交抛物线于点，为坐标原点，为抛物线的焦点，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．记的面积为，若，则 D．记的面积为，若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有 把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 13．一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则 . 14．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 16．(15分)某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频x（单位：步/s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：cm） 90 95 99 m 115 (1)若步频和步长近似为线性相关关系，当时，，，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程. 附：回归直线方程中， (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，根据表中数据，若得出y关于x的经验回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，求实数m的值. 17．（15分）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（17分）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． (1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； (2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 19．（17分）动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． (1)曲线的方程； (2)若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D B D A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）【详解】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （6分） （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. （7分） 16．（15分）【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得，， 又由，，可得， 则，所以回归直线方程为. （7分） （2）解：由回归方程为，且计算出在样本点处的残差为， 可得，解得， 因为，， 可得，解得. （8分） 17．（15分）【详解】（1）因为⊥平面，平面， 所以⊥.又⊥，且，平面， 所以⊥平面. 因为，所以⊥平面； （4分） （2）作⊥，垂足为.则，又， 所以四边形是平行四边形，又⊥， 所以四边形是矩形，又四边形为等腰梯形， 且，，所以. 由（1）知⊥平面，又平面，所以⊥. 又，所以，在Rt中，. 在Rt中，. 以B为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示空间直角坐标系. 则， 所以，，，， （2分） 设平面的法向量为， 由，得， 解得，令，则，故， （3分） 设平面的法向量为， 由，得， 令得，， 可得， （3分） 因此. 故平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为. （3分） 18．（17分）【详解】（1）X的可能取值为1，3，5 ； ； ． 所以X的分布列为 X 1 3 5 P ． （5分） （2），，，． （3分） （3）由题意可得 ． 所以． 当时，． ． 因为，所以． （9分） 19．（17分） 【详解】（1）设点的坐标为，则 化简得，即曲线的方程为. （4分） （2）①（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. （4分） ②由题意知，当时，显然； 设，的中点为， 由， 由，得（i）， ，则， 所以，因为，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得（ii），将代入（i） 则，得：（iii），由（ii）（iii）得， 综上，实数的取值范围为. （9分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：北师大版2019必修第一册第一章~第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若直线与直线平行，则与之间的距离是（    ） A．3 B．1 C． D．4 2．如图，在四面体中，，，.点在上，且，为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 4．某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡.现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 5．在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（　　） A． B． C．0 D． 7．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，是椭圆上第一象限的一点，的重心和内心分别为M，N，且轴.又点是该椭圆上任一点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（   ） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则样本相关系数的值越接近于1 B．回归分析中，决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好 C．若随机变量，且，则 D．若两个随机变量满足，且，则 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．三支不同的曲线交抛物线于点，为坐标原点，为抛物线的焦点，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．记的面积为，若，则 D．记的面积为，若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，.在检验喜欢某种甜品与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到，则我们至少有 把握认为喜欢某种甜品与性别有关. 13．一个盒子中有4个球，分别标记为号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则 . 14．如图，长方体中，，，，为底面的中心，点为上的动点（包括端点），则当的面积最小时，线段的长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 16．（15分）某田径协会组织开展竞走的步长和步频之间关系的课题研究，得到相应的试验数据： 步频x（单位：步/s） 0.28 0.29 0.30 0.31 0.32 步长y（单位：cm） 90 95 99 m 115 (1)若步频和步长近似为线性相关关系，当时，，，根据表中数据，求出y关于x的回归直线方程. 附：回归直线方程中， (2)记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差，根据表中数据，若得出y关于x的经验回归方程为，且计算出在样本点处的残差为，求实数m的值. 17．（15分）如图，四边形与四边形均为等腰梯形，，，，，，，⊥平面，为上一点，且⊥，连接. (1)证明:⊥平面 ； (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 18．（17分）为缓解学生的压力，某中学组织学生开展了一项有趣的比赛．甲，乙两人参加比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜．假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响且没有平局． (1)若两人共进行5局比赛且，设两人所赢局数之差的绝对值为X．求X的分布列和数学期望； (2)若两人共进行局比赛且，记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”．事件B表示“甲最终获胜”，请写出，，，的值（直接写出结果即可）； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：当时，． 19．（17分）动点与定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，动点的轨迹构成的曲线记为． (1)曲线的方程； (2)若直线：（）与曲线相交于不同的两点、，点是曲线上的动点（异于点、）． ①当时，若直线，斜率均存在，判断是否为定值，并证明你的结论； ②当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $