专题06 概率与统计13大考点（高效培优期末专项训练）高二数学上学期北师大版

专题06 概率与统计 考点01 条件概率的性质 1 考点02 古典概型与条件概率 5 考点03 条件概率有关证明 7 考点04 全概率公式与贝叶斯公式 9 考点05 离散型随机变量的均值与方差 12 考点06 离散型随机变量分布列的性质 17 考点07 二项分布的均值与方差 20 考点08 二项分布中的最大概率 21 考点09 超几何分布的均值与方差 25 考点10 正态分布的性质与应用 27 考点11 相关系数与残差 33 考点12 线性与非线性回归方程 35 考点13 独立性检验 37 考点01 条件概率的性质 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 2．【多选题】（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 3．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则 ． 5．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 考点02 古典概型与条件概率 6．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 7．【多选题】（24-25高二下·福建福州·期末）一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 8．【多选题】（24-25高二下·河北石家庄·期末）将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（   ） A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C． D． 9．（24-25高二下·安徽合肥·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 10．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 考点03 条件概率有关证明 11．（23-24高二下·吉林·期末）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．． 13．（2023·浙江·二模）甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”． (1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率； (2)证明：． 14．（22-23高三上·湖北·月考）从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6. (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求. 15．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）如图，一个正八面体八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”． (1)请写出具体的样本空间； (2)请证明：； (3)连续抛掷次这个正八面体，记事件为第次抛掷这个正八面体事件发生，求连续抛掷次这个正八面体事件只发生次的概率． 考点04 全概率公式与贝叶斯公式 16．（24-25高二上·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 17．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 18．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为 ． 19．（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 20．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是 ． 考点05 离散型随机变量的均值与方差 21．（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则 ，数学期望 . 22．（24-25高二下·江西·期末）一个盒子中有4个球，分别标记为1~4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则 ． 23．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为 ，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则 ． 24．（25-26高二上·江西·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 25．（24-25高二下·四川资阳·期末）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 考点06 离散型随机变量分布列的性质 26．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 28．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）设随机变量的分布列为，则实数 ． 30．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 考点07 二项分布的均值与方差 31．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 32．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 34．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 35．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 考点08 二项分布中的最大概率 36．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 37．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 38．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 39．（24-25高二下·贵州安顺·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； (2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； (3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 40．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 考点09 超几何分布的均值与方差 41．（25-26高二上·江西·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 42．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 43．（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 44．（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 45．（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． (1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； (2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 考点10 正态分布的性质与应用 46．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 47．【多选题】（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 48．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 49．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量，且，则的展开式中项的系数是（   ） A． B．40 C． D．270 50．（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 考点11 相关系数与残差 51．（24-25高二下·山东聊城·期末）某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．相关系数r变大 B．决定系数变小 C．残差平方和变小 D．不变 52．【多选题】（24-25高二下·山西·期末）如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（   ） A．数据的残差平方和变大 B．数据的决定系数变大 C．解释变量与响应变量的线性相关程度变强 D．样本相关系数的绝对值更趋于0 53．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（    ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A．相关系数r的绝对值变小 B．相关变量具有负相关关系 C．拟合误差变大 D．解释变量与响应变量的相关性变强 54．【多选题】（2025·湖北黄冈·二模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．决定系数变大 B．相关系数变小 C．残差平方和变小 D．这些数据中的x的平均值变小，的平均值变大 55．（24-25高二上·吉林·期末）某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（   ） A． B． C．2cm D．3cm 考点12 线性与非线性回归方程 56．（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 57．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 58．（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 59．（24-25高二下·贵州毕节·期末）2024年1月24日，云南省统计局发布数据，2023年度云南省生产总值（GDP）为30021亿元，年度GDP首次突破3万亿元．以下是2020年至2024年云南省生产总值表． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代码x 1 2 3 4 5 生产总值y（亿元） 24555 27146 28954 30021 31534 (1)根据以上数据，在答题卡上画出散点图，并判断成对数据是否线性相关？ (2)建立生产总值y（亿元）关于年份代码x的经验回归方程（，精确到1），并预测2025年度云南省生产总值． 参考公式：． 60．（24-25高二下·宁夏银川·期末）由国家统计局提供的数据可知，2017年至2023年中国居民人均可支配收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 1.65 1.83 2.01 2.19 2.38 2.59 2.82 (1)求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）； (2)利用（1）中的回归方程，分析2017年至2023年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2025年中国居民人均可支配收入． 附注：参考数据：．参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 考点13 独立性检验 61．（24-25高二上·宁夏固原·期末）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 62．（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 63．（24-25高二下·河南信阳·期末）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 64．（24-25高二下·辽宁·期末）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 65．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位高考考完后的学生，将这位学生每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数； (2)假设高考考完后的学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件“抽到的学生是运动达人”，“抽到的学生是男生”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生. 附： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 概率与统计 考点01 条件概率的性质 1 考点02 古典概型与条件概率 5 考点03 条件概率有关证明 7 考点04 全概率公式与贝叶斯公式 9 考点05 离散型随机变量的均值与方差 12 考点06 离散型随机变量分布列的性质 17 考点07 二项分布的均值与方差 20 考点08 二项分布中的最大概率 21 考点09 超几何分布的均值与方差 25 考点10 正态分布的性质与应用 27 考点11 相关系数与残差 33 考点12 线性与非线性回归方程 35 考点13 独立性检验 37 考点01 条件概率的性质 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）随机事件、满足，，，下列说法正确的是（   ） A．事件A与事件独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可根据条件概率公式以及，再结合独立事件的判定条件来逐一分析选项. 【详解】对于选项A，因为，所以根据对立事件概率公式可得.又，所以.因此事件与事件不独立，选项A错误. 对于选项B，根据条件概率公式，已知，，将其代入公式可得，，选项B错误. 对于选项C，因为，且与互斥，所以.由选项B可知，又，则，选项C正确. 对于选项D，已知，根据对立事件概率公式可得.由选项B可知，所以，选项D错误. 故选：C. 2．【多选题】（24-25高二下·湖北武汉·期末）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 3．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C 4．（24-25高二下·上海·期末）已知两个随机事件，，若，，，则 ． 【答案】 【分析】由条件概率公式计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 5．（24-25高二上·辽宁·期末）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，再根据可得，结合求解即可. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 考点02 古典概型与条件概率 6．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某个袋子中装有大小形状完全相同的红球和白球各5个，小王从中不放回的逐一取球，在第一次取得白球的条件下，第二次取到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率. 【详解】在第一次取得白球的条件下，袋子中还有9个球，其中红球5个，白球4个， 所以第二次取到红球的概率是. 故选：A 7．【多选题】（24-25高二下·福建福州·期末）一口袋中有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则下列说法中正确的是（     ） A．事件，为对立事件 B． C．事件B，C为独立事件 D． 【答案】ABD 【分析】根据独立事件和互斥、对立事件的概念，判断事件之间的关系，通过古典概型概率公式和条件概率公式求事件概率. 【详解】对A，事件：第一次取出的是红球；事件：第一次取出的是白球，因为一次只取一个球，事件，，不可能同时发生且必有一个发生，所以为对立事件，A正确. 对B，取出的两球同色分为都是红色和都是白色，则，所以B正确. 对C，已知事件C：取出的两球中至少有一个红球，则对立事件为两个球没有红色，则概率，积事件为两个红色球，则,可知，所以C错误 对D，由题意知，积事件为第一次取白球，第二次取红球，则，根据条件概率公式可知，所以D正确. 故选：ABD. 8．【多选题】（24-25高二下·河北石家庄·期末）将3颗骰子各掷一次，记事件A为“三个点数都不相同”，事件B为“至少出现一个1点”，则下列说法中正确的是（   ） A．“至少出现一个1点”所包含的样本点数为 B．“三个点数都不相同”所包含的样本点数为 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用排除法结合分步乘法计算原理计算判断A；利用排列列式计算判断B；利用缩小空间的方法计算条件概率判断CD作答. 【详解】将3枚骰子各掷一次，三个点数都不同的事件含有的基本事件数为，B正确； 至少出现一个1点的事件含有的基本事件数为，A正确； 事件含有的基本事件数为，于是，，C正确，D错误. 故选：ABC 9．（24-25高二下·安徽合肥·期末）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则 . 【答案】/0.25 【分析】根据条件概率计算公式求解即可. 【详解】事件A：“取到的2个数之和为偶数”，则事件A包含的基本事件个数为， 又事件B：“取到的2个数均为偶数”，则事件A与事件B同时发生包含的基本事件个数为， 所以. 故答案为： 10．（24-25高二下·福建·期末）从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 考点03 条件概率有关证明 11．（23-24高二下·吉林·期末）甲､乙两位同学进行轮流投篮比赛，为了增加趣味性，设计了如下方案：若投中，自己得1分，对方得0分；若投不中，自己得0分，对方得1分.已知甲投篮投中的概率为，乙投篮投中的概率为.由甲先投篮，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多2分或进行完5轮投篮后，活动结束，得分多的一人获胜，且两人投篮投中与否相互独立. (1)在结束时甲获胜的条件下，求甲比乙多2分的概率. (2)已知在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率.设事件“改变比赛规则”，事件“乙获胜”，已知，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，则由题意可得甲与乙的比分为或或结束比赛，根据独立事件的概率公式求出每种情况的概率肉而可求出甲获胜的概率，再利用条件概率公式可求得答案； （2）由题意可得，利用条件概率公式可得，而，代入化简可证得结论. 【详解】（1）记甲投中为事件，乙投中为事件，设结束时甲获胜为事件，即2轮结束或4轮结束或5轮结束，即甲与乙的比分为或或结束比赛. 若甲与乙的比分为，则； 若甲与乙的比分为，则 若甲与乙的比分为，则 . 所以. 设结束时甲比乙多2分为事件，则， 所以， 即在结束时甲获胜的条件下，甲比乙多2分的概率为 （2）因为在改变比赛规则的条件下，乙获胜的概率大于在原规则的条件下乙获胜的概率， 所以，即. 因为，所以. 因为， 所以， 即得， 所以 即. 又因为， 所以. 因为， 所以，即得证. 12．（2023·黑龙江齐齐哈尔·一模）某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．． 【答案】(1)0.6 (2)分布列见解析，1.9 (3)证明见解析 【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解； （2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望； （3）用条件概率公式进行推理证明. 【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为， 所以． （2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数， 则X的所有可能取值为1和2， 所以， ， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望． （3）由题知，所以 所以， 所以， 即， 所以，即 13．（2023·浙江·二模）甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”． (1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知求出及甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率，再利用条件概率公式求事件A发生的条件下恰有5位同学成功的概率 （2）根据题设写出、，利用组合数的性质证明结论即可. 【详解】（1）由题设，甲乙学校分别有4个、3个学生参加活动， ， 而甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率为， 所以事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率. （2）由题设知：， ， 因为，，所以 14．（22-23高三上·湖北·月考）从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记表示事件“第次摸到红球”，，2，…，6. (1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； (2)记表示，，同时发生的概率，表示已知与都发生时发生的概率. （ⅰ）证明：； （ⅱ）求. 【答案】(1) (2)（ⅰ）详见解析，（ⅱ） 【分析】（1）由条件概率得公式计算即可求得. （2）（ⅰ）有条件公式即可证明；（ⅱ）根据条件概率公式逐项计算即可求解. 【详解】（1）， 所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率； （2）（ⅰ）因为， 又因为， 所以， 即. （ⅱ） ++ 15．（25-26高二上·湖北襄阳·月考）如图，一个正八面体八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为质数”． (1)请写出具体的样本空间； (2)请证明：； (3)连续抛掷次这个正八面体，记事件为第次抛掷这个正八面体事件发生，求连续抛掷次这个正八面体事件只发生次的概率． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意得到正八面体与地面接触的面上的数字，即可求解样本空间； （2）由题意求出事件所含的样本点，事件所含的样本点，事件所含的样本点，事件所含的样本点，利用古典概型概率公式求解即可证明； （3）结合对立事件概率公式，根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】（1）因为正八面体八个面分别标以数字到， 任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是，，，，，，，， 所以样本空间． （2）事件所含的样本点为：，事件所含的样本点为：， 事件所含的样本点为：， 故事件所含的样本点为：，所以， 又，所以， （3）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立， 记为第次抛掷这个正八面体发生事件，则， 所以事件只发生次的概率为： ． 考点04 全概率公式与贝叶斯公式 16．（24-25高二上·宁夏固原·期末）甲箱的产品中有6个正品和2个次品，乙箱的产品中有5个正品和2个次品. (1)从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率； (2)若先从甲箱中任取2个产品放入乙箱，再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由独立乘法公式、对立事件的概率即可求解； （2）令事件 “从甲箱中取出两个正品”，事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”，然后利用古典概型的概率公式求出对应的概率，再结合全概率公式可求得结果. 【详解】（1）从甲､乙箱中各随机取出1个产品，求其中至少有1个次品的概率为； （2）令事件“从乙箱中取出一个正品”，事件 “从甲箱中取出两个正品”， 事件 “从甲箱中取出一个正品、一个次品”，事件 “从甲箱中取出两个次品”， 则两两互斥，且， 则，，， 则 . 17．（24-25高二下·浙江杭州·期末）某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 18．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末）某学校有、两家餐厅，张同学连续三天午餐均在学校用餐，如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果某天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为．若张同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，则张同学第3天去餐厅用餐的概率为 ． 【答案】 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去，餐厅的概率，继而可求第3天去餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第天去餐厅，表示事件：第天去餐厅， 则， 则， 故， , 则 故答案为：. 19．（24-25高一下·江西宜春·期末）某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 . 【答案】 【分析】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，根据条件求出，，，，利用全概率公式，即可求解，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又. 故答案为：. 20．（24-25高二下·山东菏泽·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1．假设发送信号0和1是等可能的，则接收信号为1的概率是 ． 【答案】0.55 【分析】由条件概率和全概率公式计算. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ． 故选：0.55. 考点05 离散型随机变量的均值与方差 21．（24-25高二下·山东东营·期末）一个箱子里有10个除颜色外完全相同的小球，其中红色小球4个，黄色小球3个，蓝色小球2个，绿色小球1个，现从中有放回地抽取三次，记取出球的颜色种数为X，则 ，数学期望 . 【答案】 / / 【分析】①把四种情况对应概率相加即可 ②（方法一）用表示红色，黄色，蓝色，绿色小球被取到，分别求出各自对应概率及数学期望，最后相加即可 （方法二）分别列出的所有可能取值，分别计算出，，，再计算期望即可. 【详解】①：. ②：（方法一） 设，则服从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，，, 设，则也从两点分布，，， 设，则也从两点分布，，， ， （方法二）， ， ， . 故答案为： ； 22．（24-25高二下·江西·期末）一个盒子中有4个球，分别标记为1~4号，若每次取1个，有放回地取4次，记至少取出2次的球的个数为，则 ． 【答案】 【分析】由题知的可能取值为0,1,2，分别计算出概率，再计算期望即可. 【详解】由题知，每个球每次被取出的概率为，的可能取值为0,1,2， ， ， ， 所以. 故答案为：. 23．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为 ，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则 ． 【答案】 【分析】由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解. 【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 24．（25-26高二上·江西·期末）为迎接2025春节，商场举行有奖促销活动，活动当天消费每超过元含元，均可抽奖一次，抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有2个，白球有4个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案.方案一：从抽奖箱中，一次性摸出个球，若摸出个红球，则打折；若摸出个红球个白球，则打折；若没摸出红球，则不打折；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸取个球，连摸次，每摸到次红球，立减元. (1)若甲、乙消费均达到了元，抽奖一次且均选择抽奖方案一，试求甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率； (2)若丙消费恰好满元，试比较说明丙选择哪种方案更划算. 【答案】(1) (2)丙选择方案一更划算 【分析】（1）先求出选择方案一时每次摸出两个红球的概率，即为每人享受6折优惠的概率，再由独立事件的概率公式即可求解； （2）分别求出两种方案下丙需要支付的金额的分布列，进而得数学期望，通过比较两种方案下的数学期望，即可判断哪种方案更划算. 【详解】（1）由题意，设顾客享受到折优惠为事件，则， 所以甲乙两人中恰有一人享受折优惠的概率 . （2）若丙选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为，，. 则，，， 故的分布列为 所以（元）. 若丙选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为元，则， 因为，所以， 则(元). 因为，故丙选择方案一更划算. 25．（24-25高二下·四川资阳·期末）欲从A，B两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每次播放一个频道.已知A频道每次播放成功的概率为，B频道每次播放成功的概率为，且每次播放互不影响. 约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道； 约定2：从A频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3次均失败，结束测试. (1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率； (2)按照约定2， （i）两个频道共播放不超过4次时，求A频道成为优选频道的概率； （ii）测试结束时，求B频道播放次数的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）按照贝叶斯公式直接计算即可； （2）（i）按照播放次数分情况求解；（ii）写出的所有可能取值并计算所对应的概率，然后列出分布列，计算即可. 【详解】（1）设“任选一个频道播放，该频道是A频道”为事件，“任选一个频道播放，该频道是B频道”为事件， “任选一个频道播放一次，该频道播放成功”为事件， 所以，， 在播放一次就成功的条件下，A频道成为优选频道的概率为. （2）（i）播放1次A频道成为优选频道的概率为， 播放3次A频道成为优选频道的概率为， 所以按照约定2，两个频道共播放不超过4次时，A频道成为优选频道的概率为. （ii）的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望为. 考点06 离散型随机变量分布列的性质 26．（24-25高二下·河南驻马店·期末）已知随机变量等可能取值为（），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，结合计算可得. 【详解】依题意可得，， 所以， 解得. 故选：C. 27．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）设离散型随机变量的分布列如表，若随机变量，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【分析】根据分布列的性质，求得，再根据的关系可得，结合分布列即可求得结果. 【详解】由分布列性质可得：，解得； 因为，故. 故选：D. 28．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为1可求. 【详解】由分布列可知，解得. 故选：C. 29．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）设随机变量的分布列为，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据概率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】，即， 解得. 故答案为：1 30．（23-24高二下·青海西宁·期末）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，且，则 . 【答案】 【分析】利用两点分别的概率和性质结合给定条件求解即可. 【详解】因为X的分布列服从两点分布，所以， 因为， 所以 ∴，∴. 故答案为： 考点07 二项分布的均值与方差 31．（24-25高二下·宁夏银川·期末）2025年，某生物研究所为了庆祝在基因编辑技术研究方面取得的重大突破，准备举办一次有奖奖励活动，每位参与研究的科研人员都抽一次奖，规则如下：一个不透明的盒子中装有50个质地均匀且大小相同的小球，其中20个红球，30个白球，搅拌均匀后，抽奖人员从中随机抽取一个球，并有放回地连续抽取3次．研究所设计了两种奖励方案． 方案一：若抽到红球，则科研人员获得40元的奖金，若抽到白球，则获得10元的奖金． 方案二：若抽到红球，则科研人员获得60元的奖金，若抽到白球，则没有奖金． (1)若按方案一抽奖，求最终获得60元奖金的概率； (2)为了激励科研人员，让科研人员获得更多奖金，试通过比较两种抽奖方案最终获得奖金的数学期望，给出该研究所应选择哪种抽奖方案的建议? 【答案】(1) (2)选择第二种抽奖方案，理由见详解 【分析】（1）根据题意结合独立重复性实验的概率公式运算求解； （2）根据题意结合二项分布以及期望的性质分别求两种方案的期望值，比较大小分析判断. 【详解】（1）若选择方案一，则每一次摸到红球的概率为， 每一次摸到白球的概率为， 设“最终获得60元奖金”为事件，所以. （2）因为每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为， 设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，则，可得， 若按方案一抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 若按方案二抽奖，设最终获得奖金为元，则， 所以； 因为，所以应选择第二种抽奖方案. 32．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式、期望方差公式及期望方差的性质逐项计算判断. 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 33．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某位同学抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），将Ⅰ号朝上的面的点数记为，将Ⅱ号朝上的面的点数记为，设事件“为偶数”，事件“”． (1)判断事件与是否相互独立.若不相互独立，求；若相互独立，请说明理由； (2)若该同学连续抛掷这两枚骰子3次，设事件发生的次数为，求的分布列与均值． 【答案】(1)事件不相互独立， (2)分布列见解析，1 【分析】（1）计算，验证是否成立，即可判断事件与是否相互独立，利用条件概率公式求，最后利用对立事件即可求解； （2）先求，进而得，利用独立重复试验以及二项分布的数学期望即可求解. 【详解】（1）有序数对共有36种可能结果，其中事件“为偶数”共有18种可能结果，即， 事件，共10种可能结果，， 事件，共6种可能结果，即， 故，则事件不相互独立， 所以， ∴； （2）事件发生的概率为： （或者）， ∴， 所以， ， 的概率分布列为： 0 1 2 3 ， ∴的均值． 34．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． (1)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） (2)以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 【答案】(1)76.5 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值. （2）先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望. 【详解】（1）由题知，，解得． 设为样本数据的平均数，则， 故这组样本数据的平均数为． （2）设表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知， 随机变量，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量的数学期望． 35．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 (1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. (2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)①；②12次 【分析】（1）写出所有的可能取值，再计算出分布列，最后利用期望公式即可； （2）①利用组合数和独立事件的乘法公式即可； ②利用二项分布的期望公式得到不等式，解出即可. 【详解】（1）参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. （2）①小明1次挑战成功的概率为. ②小明在n轮挑战中挑战成功总次数服从二项分布，即， 由题意可得，因为，所以解得， 所以理论上小明至少需挑战12次. 考点08 二项分布中的最大概率 36．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 37．（24-25高二下·广东广州·期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响.每轮比赛共有两组题，每组都随机抽取两道题，先进行A组答题，只有A组的两道题均答对，方可进行B组答题，否则本轮答题结束.已知甲同学A组每道题答对的概率均为，B组每道题答对的概率均为，两组题至少答对3题才可获得一张奖券. (1)设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X，求X的分布列与数学期望； (2)若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，； (2),理由见解析. 【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式进行计算即可得分布列，再求期望即可； （2）利用获得奖券数是服从二项分布，利用二项分布概率公式来求最大概率即可. 【详解】（1）甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为X的可能取值有， 则 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 故； （2）由于两组题至少答对3题才可获得一张奖券， 则甲在一轮答题中获得一张奖券的概率为， 所以甲同学进行了8轮答题，获得的奖券数， 可得奖券数的概率为，， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有: ,化简得： ，解得， 又因为，所以， 即同学获得张奖券的概率最大. 38．（24-25高二下·山东聊城·期末）某游戏规则如下：参与者一开始在坐标原点处，通过掷一枚质地均匀的骰子决定如何移动，每掷一次骰子，参与者移动一次，一次移动一个单位长度，若得到的点数不大于2，则向右移动一次，并得2分；若点数大于2，则向上移动一次，并得1分．将每次得分的结果相加作为最终得分．已知甲同学参与了游戏，其移动n次后到达点，且最终得分为． (1)求的概率分布列； (2)若，游戏结束时甲同学到达哪个点的概率最大？ (3)求的数学期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析； (2)点 (3)，. 【分析】（1），可能值为0，1，2，3，由二项分布概率公式求得各概率后可得分布列； （2）时，设的概率最大，通过与1的大小比较可得晨大值； （3）根据二项分布的期望公式和方差公式求解. 【详解】（1）由题意可知，每次向右移动的概率是，向上移动的概率是， 为3次移动中向右移动的次数，其可能值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）时，设的概率最大， 则，， ， 所以当时，，当时，， 所以， 即时概率最大，所以游戏结束时甲同学到达点的概率最大； （3）由题意， 因为，所以，， 所以，. 39．（24-25高二下·贵州安顺·期末）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束． (1)若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率； (2)若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由； (3)设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了8局，试给出的估计值（表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． 【答案】(1) (2)采用五局三胜制甲获胜的概率更大，理由见解析 (3)10 【分析】（1）根据独立事件的概率计算公式进行计算. （2）根据题意，分别求出采用五局三胜制和三局两胜制甲最终获胜的概率，列式运算得解. （3）根据二项分布得，，记，分析的单调性，可得最大时，对应的值. 【详解】（1）设事件为“比赛采用三局两胜制乙获胜”． 因为每局比赛乙获胜的概率为， 所以． （2）在五局三胜制中甲获胜的概率． 在三局两胜制中甲获胜的概率． ． 当时，，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大． （3）根据二项分布得，可知． 令，则． 令，解得，当时，可得； 令，解得，当时，可得． 故当时，最大，即时，的值最大，所以的估计值为10． 40．（24-25高二下·河南信阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（    ） A．1.28 B．1.6 C．6.4 D．8 【答案】A 【分析】根据给定条件，列出不等式求出，再利用二项分布的期望公式计算得解. 【详解】，，， 若是唯一的最大值，则 所以 解得． 因为，， ，，． ． 故选：A． 考点09 超几何分布的均值与方差 41．（25-26高二上·江西·期末）袋中装有12个大小相同的球，其中红球2个，黄球3个，白球7个，从中随机取出3个球 (1)求取出的3个球中有2个白球的概率； (2)设X表示取到的红球个数，求X的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）应用超几何分布的概率公式求概率即可. （2）先分别应用超几何分布的概率公式求出对应概率，再写出分布列，再求数学期望即可. 【详解】（1）所求概率为 （2）X可能的取值为0，1，2. ， . 故X的分布列为 0 1 2 故. 42．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 43．（24-25高二下·福建福州·期末）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． (1)若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【详解】（1）由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 （2）（i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 44．（24-25高二下·福建福州·期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从甲、乙两家建筑公司选取一家，招标方案如下：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响． (1)求甲公司答对题数的分布列、期望及方差； (2)请从期望和方差的角度分析（无需再列分布列），甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？ 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲公司竞标成功的可能性更大 【分析】（1）设甲公司答对题数为随机变量可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，求得，； （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量可能取值为，利用独立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，求得，，结合，且，即可得到结论. 【详解】（1）由题意，设甲公司答对题数为随机变量，则的可能取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为： 可得，. （2）设乙公司能正确回答的题目数为随机变量，则的可能取值为， 则，， ，， 所以随机变量的分布列为： 所以， ， 由，且，所以甲公司竞标成功的可能性更大. 45．（24-25高二下·北京丰台·期末）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”． (1)从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率； (2)现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用古典概率求解即可； （2）利用超几何分布和期望的公式求解即可. 【详解】（1）设事件为 “从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”， 则． （2）由题意知，的可能取值为0，1， 的分布列如下表所示： 0 1 的均值为． 考点10 正态分布的性质与应用 46．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 47．【多选题】（24-25高二下·云南曲靖·期末）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴ ，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 48．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（   ） 参考数据：，，. A．790 B．2720 C．430 D．1360 【答案】C 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 49．（24-25高二下·甘肃白银·期末）若随机变量，且，则的展开式中项的系数是（   ） A． B．40 C． D．270 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质，求得，化简得到，结合二项展开式的通项，进而求得展开式中对应的系数，得到答案. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，解得， 所以， 又由的展开式的通项为， 所以多项式展开式中对应项为， 所以多项式展开式中对应的系数为. 故选：B. 50．（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可； （ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案. 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 方法一： ． 方法二 ：服从参数的超几何分布，故． （2）（ⅰ），， 所以，，，． 所以 ． （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 考点11 相关系数与残差 51．（24-25高二下·山东聊城·期末）某同学根据一组数据作出如图所示的散点图，并对这组数据进行回归分析后发现遗漏了点，增加点后再次进行回归分析，得到的结果和原来相比（    ） A．相关系数r变大 B．决定系数变小 C．残差平方和变小 D．不变 【答案】B 【分析】从图中分析得到加入点后，回归效果会变差，再由平均数，相关系数，决定系数，残差平方和及相关性的概念和性质作出判断即可. 【详解】增加点，从散点图中可以看出拟合效果变差； 越接近，相关程度越强，拟合效果越好，由于两个变量成正相关，所以相关系数变小；故A错误； 决定系数越接近，拟合效果越好，所以决定系数变小，故B正确； 残差平方和越小，拟合效果越好，所以残差平方和变大；故C错误； 增加点前的的平均数为，增加点后的的平均数为，所以变大，故D错误. 故选：B 52．【多选题】（24-25高二下·山西·期末）如图，某同学将搜集的六组成对数据绘制成散点图，若把图中的点去掉，对比原数据重新进行线性回归分析，则下列结论正确的是（   ） A．数据的残差平方和变大 B．数据的决定系数变大 C．解释变量与响应变量的线性相关程度变强 D．样本相关系数的绝对值更趋于0 【答案】BC 【分析】从图中可以看出点较其他点，偏离直线远，所以去掉点后，回归效果更好，再结合残差的定义、以及相关系数和决定系数的性质判断． 【详解】由题意， 从散点图中可知，样本数据的两变量正相关， 由于点较其他点偏离程度大，删除点后，回归效果更好，决定系数变大，故B正确，从而相关系数的绝对值更接近于1，所以D错误； 由于拟合效果更好，决定系数越接近于1，所以新样本的残差平方和变小，所以A错误；从而解释变量与响应变量相关性增强，所以C正确. 故选：BC. 53．（24-25高二下·上海浦东新·期末）某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（    ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A．相关系数r的绝对值变小 B．相关变量具有负相关关系 C．拟合误差变大 D．解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】D 【分析】观察图象，较其他的点偏离回归直线最大，去掉后，回归效果更好，结合相关系数、正负相关性、残差平方和以及相关性逐项分析判断. 【详解】观察图象知：较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强， 因此去掉后，相关系数的绝对值变大，A错误； 对于B，由表格数据可知越大，越大，所以相关变量具有正相关关系，B错误； 对于C，因为残差平方和越大，拟合效果越差，因此去掉后，残差平方和变小，拟合误差变小，C错误； 对于D，由选项A知，去掉后，相关系数的绝对值变大， 因此解释变量与响应变量的相关性变强，D正确. 故选：D 54．【多选题】（2025·湖北黄冈·二模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（    ） A．决定系数变大 B．相关系数变小 C．残差平方和变小 D．这些数据中的x的平均值变小，的平均值变大 【答案】AC 【分析】由图可知：点较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好.结合相关系数、决定系数、残差平方和以及点的横纵坐标平均值逐项分析判断. 【详解】由图可知：较其他的点偏离直线最大，所以去掉点后，回归效果更好. 对于A，决定系数越接近于1，拟合效果越好，所以去掉点后，决定系数变大，故A正确； 对于B，相关系数越接近于1，线性相关性越强，因为散点图是递增的趋势，所以去掉点后，相关系数变大，故B错误； 对于C，残差平方和变大，拟合效果越差，所以去掉点后，残差平方和变小，故C正确； 对于D，由图可知，点在所有点中，横坐标较小，纵坐标较大，所以去掉点后，x的平均值变大，的平均值变小，故D错误； 故选：AC. 55．（24-25高二上·吉林·期末）某地根据以往数据，得到当地16岁男性的身高与其父亲身高的经验回归方程为，当地人小王16岁时身高167cm，他父亲身高180cm，则小王身高的残差为（   ） A． B． C．2cm D．3cm 【答案】A 【分析】首先根据回归方程求小王身高的预测值，再计算残差. 【详解】当时，得，则（）， 所以小王身高的残差为. 故选：A 考点12 线性与非线性回归方程 56．（2023·江苏镇江·三模）经观测，长江中某鱼类的产卵数与温度有关，现将收集到的温度（单位：）和产卵数的10组观测数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量表. 360 54.5 1360 44 384 3 588 32 6430 表中，，. (1)根据散点图判断，，与哪一个适宜作为与之间的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程； (2)某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有5个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数学期望. 附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. 【答案】(1)适宜作为与之间的回归方程模型， (2)答案见解析，. 【分析】（1）根据散点图确定模型，代入数据计算即可； （2）确定随机变量取值，结合全概率公式计算概率，进而可求解； 【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以适宜作为与之间的回归方程模型. 令，则， ， ， 所以， 所以关于的回归方程为. （2）由题意设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为，则的可能取值为，，， 设“所取两个鱼卵来自第批”， 所以， 设“所取两个鱼卵有个‘死卵’”， 由全概率公式得 ， ， ， 所以取出“死卵”个数的分布列为 0 1 2 所以， 所以取出“死卵”个数的数学期望为. 57．（23-24高二下·广东广州·期末）近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模稳定增长，有关部门整理了2017—2022年中国夜间经济的数据，把市场发展规模记为（单位：万亿元），并把2017—2022年对应的年份代码依次记为，经分析，判断可用函数模型拟合与的关系（为参数）．令，计算得，，由最小二乘法得经验回归方程为，则的值为 ．为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值，若残差平方和，则决定系数 ． （参考公式：决定系数，参考数据：）； 【答案】 【分析】将两边同时取对数可得，结合所给经验回归方程求出，由所给参考数据求出，即可求出决定系数. 【详解】由，将两边同时取对数可得， 令，由最小二乘法得经验回归方程为， 所以， 又 ， 所以． 故答案为：；． 58．（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【分析】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【详解】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 59．（24-25高二下·贵州毕节·期末）2024年1月24日，云南省统计局发布数据，2023年度云南省生产总值（GDP）为30021亿元，年度GDP首次突破3万亿元．以下是2020年至2024年云南省生产总值表． 年份 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 年份代码x 1 2 3 4 5 生产总值y（亿元） 24555 27146 28954 30021 31534 (1)根据以上数据，在答题卡上画出散点图，并判断成对数据是否线性相关？ (2)建立生产总值y（亿元）关于年份代码x的经验回归方程（，精确到1），并预测2025年度云南省生产总值． 参考公式：． 【答案】(1)答案见解析，正线性相关关系 (2)，33490亿元． 【分析】（1）由题，作出散点图，根据散点图及线性相关的概念判断； （2）根据相关公式计算，可得回归方程，代入即可预测结果. 【详解】（1）画出成对数据的散点图，从散点图看生产总值y（亿元）与年份代码x的数据呈现出正线性相关关系，且相关程度很强. （2）， ， ， 所以. 所以生产总值关于年份代码的经验回归方程为. 当时，. 所以根据预测2025年云南省生产总值的估计值为33490亿元. 60．（24-25高二下·宁夏银川·期末）由国家统计局提供的数据可知，2017年至2023年中国居民人均可支配收入（单位：万元）的数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 人均可支配收入 1.65 1.83 2.01 2.19 2.38 2.59 2.82 (1)求关于的线性回归方程（系数精确到0.01）； (2)利用（1）中的回归方程，分析2017年至2023年中国居民人均可支配收入的变化情况，并预测2025年中国居民人均可支配收入． 附注：参考数据：．参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】(1) (2)3.16万元 【分析】（1）由题意求出，，，再代入公式即可求出答案； （2）由（1）中的回归直线方程的斜率可知2017年至2023年中国居民人均可支配收入逐年增加，再把代入方程即可求出答案． 【详解】（1）由题可知：，，， ∴ ， ， 故所求线性回归方程为； （2）由（1）中的回归方程知斜率可知，2017年至2023年中国居民人均可支配收入逐年增加； 令得：， 所以预测2025年中国居民人均可支配收入为3.16万元． 考点13 独立性检验 61．（24-25高二上·宁夏固原·期末）人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. (2)分布列见解析， 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出的可能取值为，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）的可能取值为. ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 62．（24-25高二下·西藏林芝·期末）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 【分析】（1）根据表格数据直接计算即可； （2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可. 【详解】（1）补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 63．（24-25高二下·河南信阳·期末）调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（    ）（附：） A．婴儿90%在白天出生 B．婴儿性别与出生时间无关联 C．有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联 D．婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1 【答案】D 【分析】求出并与比较即可求解. 【详解】因为， 依据小概率值的独立性检验， 所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1． 故选：D． 64．（24-25高二下·辽宁·期末）为了解是否喜欢羽毛球运动与性别的关系，某数学兴趣小组经统计得到如下数据，若要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则（    ） 性别 羽毛球 喜欢 不喜欢 女生 男生 50 100 附：，其中． A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】结合，只需，即可求得答案. 【详解】要使是否喜欢羽毛球运动与性别无关的可能性最大，则，所以， 所以． 故选：D 65．（24-25高二下·湖北武汉·期末）某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位高考考完后的学生，将这位学生每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数； (2)假设高考考完后的学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件“抽到的学生是运动达人”，“抽到的学生是男生”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生. 附： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.020，第80百分位数为60 (2)（i），；（ii）180位 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，通过计算各组得概率可判断第80百分位数在上，进而可得结果； （2）（i）利用条件概率和全概率公式求解；（ii）根据列联表计算，对照临界值表列式求解即可. 【详解】（1） 频率为，频率为，频率为，频率为， ，， 故第80百分位数在上，， 故估计第80百分位数为60. （2）依据（1）由频率分布直方图得：，， ， ， ，解得：， ， （ii）可计算得：，，，， 可得如下列联表：（其中） 合计 合计 所以， ，故有的把握认为运动达人与性别有关至少要调查180位学生． 33 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $