海南省文昌中学2025-2026学年高三上学期第三次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高三第三次月考答案 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B A A D C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ACD AB ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12． 13． 14．2 9 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．解： （1）由余弦定理可得：， …………1分 即， …………3分 …………5分 ； …………6分 （2）由正弦定理可得：， …………7分 则， …………9分 解得 …………10分 ∴△ABC的面积 . …………13分 16．解： （1）由题意得： ， …………1分 所以，则 ， …………2分 所以的标准方程为： …………4分 （2）由题意设 联立 ，消去 得， …………6分 则， …………7分 则， …………8分 可得，…………11分 又直线与轴的交点为 ，且，则， …12分 故， …………13分 整理得， …………14分 解得（负值舍去）. …………15分 17．解： （1）取中点，连接，则， …………1分 因为，则，， …………2分 由，，平面，则平面， …3分 由平面，则， …………4分 在中，， 则，故， …………5分 由，，，平面， 所以平面，平面，则平面平面. ……6分 （2） 由（1），可构建以为原点，直线分别为轴的空间直角坐标系， 所以，则 ， ····· …………8分 设是平面的一个法向量，则 ， …………10分 取，则， …………11分 所以与平面所成角的正弦值为 ， …………14分 所以PA与平面PCD所成角的余弦值. …………15分 18．解： （1）由，，解得， …………1分 所以；则， …………2分 由是和的等比中项，则，解得， …………3分 又由，所以，所以. …………4分 （2）由（1）可得， …………5分 则①， ②， …………6分 将两式相减得：， …………7分 化简得. …………9分 （3）若对于恒成立， 即对于恒成立， …………10分 化简得对于恒成立，令， 则，当时，； …………12分 所以当时， ， …………15分 所以当时，单调递减，当时，， …………16分 所以，所以. 故实数的取值范围为. …………17分 19．解： （1）当，时， …………1分 令，有恒成立， 则在上单调递增， …………2分 所以当时，，即， …………3分 故 …………4分 （2）当时，，， 当时，，所以在上单调递减， ……5分 因为， 所以由零点存在定理知在上有且仅有一个零点. ………6分 当时，令，则， 当时，有，所以在上单调递增， ………7分 又因为< 0, > 0，所以存在使得， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，故在上无零点，…8分 当时，，所以在上单调递增， 又< 0, > 0， 所以在上有且仅有一个零点. …………9分 综上所述：在上有且只有2个零点. …………10分 （3）设曲线与曲线的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，则， …………11分 因为，所以， 所以. …………12分 不妨设，则. 因为， 由“合一切线”的定义可知，. 所以 …………13分 由“合一切线”的定义可知，， 所以. …………14分 当时，取， 则 ，符合题意. …………16分 所以. …………17分 答案第1页，共2页 高三数学第三次月考题参考答案 第4页 （共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高三第三次月考试题 数 学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 3．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．设等比数列的前n项和为，已知，，则（     ） A．6 B．12 C．18 D．48 5．已知正四棱台的上、下底面面积分别为4和16，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（     ） A． B． C．56 D． 6．在中，内角A、B、C所对的边分别为、、，，，若，则（     ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（     ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列的前项和，则（     ） A． B． C．为中的最小项 D．数列是等差数列 10．如图，正方体的棱长为1，且分别为的中点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B． C．三棱锥的体积为 D．点A到平面的距离为 11．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（     ） A．函数有两个极值点 B． C．过引曲线的切线，有且仅有1条 D．若成等差数列，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分。 12．已知向量，，且，则= ． 13．已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且AP⊥平面ABC，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为 ． 14．定义在的增函数满足：，且，则 . 已知数列的前项和为，则使得成立的的最大值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知中，角的对边分别为，且满足. （1）求角； （2）若，求的面积. 16.（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率为 （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中， . （1）证明：平面平面； （2）求PA与平面PCD所成角的余弦值. 18.（本小题满分17分） 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项. （1）求和的通项公式； （2）对任意的正整数，设求数列的前项和. （3）若对于恒成立，求实数的取值范围. 19.（本小题满分17分） 已知函数. （1）当时，求证：时，； （2）当时，求在区间上的零点个数； （3）两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”. 若曲线与曲线存在两条互相垂直的“合一切线”，求的值. 高三数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $