海南省文昌中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

2025—2026学年度第一学期高二第二次月考答案 数 学 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B D A A B A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD BCD AD 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．50 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（1）设等差数列的公差为，则， …………2分 故， …………3分 所以. …………6分 （2）由，且， …………9分 所以， …………11分 故时取得最大，最大值为. …………13分 16.（1）由题知，，则， …………3分 椭圆的方程为. …………4分 （2）设直线方程为，点，， …………5分 由方程组 ，化简得：， …………7分 ，可得. …………9分 ， …………11分 ， 解得， …………14分 直线方程或. …………15分 17.（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以. …………5分 （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则， 设, …………7分 所以， 设为平面的法向量， 则由 可求得平面的一个法向量为．……9分 又平面的一个法向量为， …………10分 所以，解得． …………12分 又点C到平面的距离为，所以 …………13分 ， …………14分 所以三棱锥的体积为． …………15分 [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结， 则． ……7分 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角．……9分 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， …………13分 ．……15分 18.（1）因为函数， 所以， ……3分 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， ……4分 （2）由（1）可知， …………5分 所以 …………9分 （3）由（2）可知：， 所以由， …………10分 因为， 所以由， …………11分 设， 由， …………14分 由二次函数性质可知：当时，函数是减函数， ，， 于是有时，， 所以，，因此， 存在，使得成立，则有， …………16分 因此实数k的最大值. …………17分 19.（1）由，得， 为抛物线上位于第一象限内的一点， 设，，则，即， …………1分 由题知，，解得， …………3分 抛物线的方程为； …………4分 （2）由上可知，点的坐标为， 若直线的斜率不存在，则直线垂直于轴， P是与轴的交点，显然是的中点， 若直线的斜率存在，易知该直线斜率不为0， 可设直线的方程为， ……5分 联立 整理得， ……6分 设点，的坐标分别为，，则， …………7分 则，的坐标分别为，， 直线的方程为，于是点的坐标为， …………8分 ，，三点在同一直线上，， 是线段的中点； …………9分 （3）可设（）， …………10分 由上可得，， 由，得，解得， …………11分 点的坐标为，由题意得直线必不垂直于轴， 可设，联立 整理得， …………12分 其中恒成立， 设，， 由韦达定理，有，， …………13分 进而得， ， …………14分 ， 综上可得，直线，的斜率之积为定值. …………17分 试卷第1页，共3页 高二数学第二次月考题参考答案 第5页 （共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期高二第二次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。 第Ⅰ卷 （选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．经过两点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知等差数列中，，则的值是（ ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．在等比数列中，，则公比（ ） A．6 B．－1或6 C．3 D．－2或3 4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球 其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机揽出2个球，每次摸出一个球，设事件S＝“第一次摸到红球”，T＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”. 则下列说法错误的是（ ） A． B．R与G互斥但不对立 C． D．S与T相互独立 5．数列的前n项和，则（ ） A．70 B．120 C．40 D．14 6．若点为圆的弦AB的中点，则弦AB所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，若，且，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，是双曲线的左顶点，点P在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ） A．2 B． C．3 D．4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 9．已知曲线C：，判断下列结论的正确性：（ ） A．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 B．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 C．若m=n>0，则C是圆，其半径为n D．若m=0，n>0，则C是两条直线 10．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，为坐标原点，则（ ） A．的方程为 B．直线OM的倾斜角为 C． D．在点处的切线方程为 11．对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”． 已知数列的“匀称值”为，前n项和为，则下列关于数列的描述正确的有（ ） A．数列为等差数列 B．数列为递减数列 C． D．记，则数列有最大项 第Ⅱ卷 （非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．圆关于原点对称的圆的方程为 ． 13．已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P、Q在椭圆上且关于原点对称，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）已知在等差数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和，则当为何值时取得最大，并求出此最大值． 16.（本小题满分15分） 已知椭圆的离心率，一个焦点为. （1）求椭圆的方程； （2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，且，求直线的方程. 17.（本小题满分15分） 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在 棱上，，且二面角 的大小为，求三棱锥的体积. 18.（本小题满分17分） 已知函数，数列满足，， （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求； （3）对于（2）中的，若存在，使得成立，求实数k的最大值． 19.（本小题满分17分） 在直角坐标系中，设为抛物线：（）的焦点，为抛物线上位于第一象限内的点.当时，有. （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线的另一个交点为，点，在直线上的射影分别为点，，过点且与垂直的直线与直线相交于点，证明：是线段的中点； （3）设过定点的直线与抛物线交于A，B两点. 若，且A，B两点的横坐标均与点的横坐标不相等，试判断直线MA，MB的斜率之积是否为定值. 如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请求出其取值范围. 高二数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $