4.3　解直角三角形课件2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心知识点，课堂导入通过回顾直角三角形三边关系、锐角互余及边角关系，结合画图探究活动，引导学生发现已知元素需至少包含一边的条件，搭建起旧知与新知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究过程，分层设计例题覆盖“已知一边及一锐角”“已知两边”等类型，如例1规范已知锐角和直角边的求解步骤，培养学生推理能力与运算能力，练习题通过构造直角三角形渗透几何直观与模型意识，助力学生逐步掌握方法，也为教师提供系统教学资源。

4.3　解直角三角形 第4章　锐角三角函数 1 【学习目标】 1．理解解直角三角形的概念及直角三角形中五个元素之间的关系． 2．会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 3．渗透数形结合的数学思想，逐步培养分析问题、解决问题的能力． 【学习重点】 会综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 学习目标 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c. (1)Rt△ABC的三边之间有什么关系？ a2＋b2＝c2(勾股定理) (2)Rt△ABC的锐角之间有什么关系？ ∠A＋∠B＝90° (3)Rt△ABC的边和锐角之间有什么关系？ 情景导入 2．根据下列每一组条件，画直角三角形．你能画出多少个不同的直角三角形？ 然后与同伴所画图形进行交流比较： (1)斜边长为4cm，一条直角边长为3cm； (2)一个锐角40°，它的邻边长为3cm； (3)一个锐角40°，它的对边长为3cm； (4)一个锐角40°，斜边长为3cm； (5)一个锐角为40°，另一个锐角为50°. (1)个 (1)个 (1)个 (1)个 (无数)个 知识模块一 解直角三角形的概念、已知一边及一锐角解直角三角形 已知2个角不行. 已知2个元素，且至少有1个是边就可以了 在一个直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），只要知道其中的几个元素就可以求出其余的元素？ 在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5，求∠B，b，c B A B C c a b 还可以用勾股定理求c。 像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形 归纳 范例 解：∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°. ∵sinA＝ ， ∴BC＝AB·sinA＝5.25×sin40°≈3.37. ∵cosA＝ ， ∴AC＝AB·cosA＝5.25×cos40°≈4.02. 例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，AB＝5.25，解这个三角形(长度精确到0.01)． 范例 B A C 知识模块一 已知两边解直角三角形 范例 　 已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝6，b＝2 ，求∠A、∠B、c. 解：由于tanA＝ ，所以tanA＝ ＝ ， 则∠A＝60°，∠B＝90°－60°＝30°， 且有c＝2b＝2×2 ＝4 . 范例 已知在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝ － ，a＝ －1，求∠A、∠B、b. 解：由于 ＝ ＝sinA， 所以sinA＝ 由此可知，∠A＝45°，∠B＝90°－45°＝45°， 且有b＝a＝ －1. (1)三边之间的关系: a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）; (2)锐角之间的关系: ∠A＋ ∠ B = 90º ; (3)边角之间的关系: sinA＝ a c cosA＝ tanA＝ Ａ Ｃ Ｂ a b c 有三条边和三个角，其中有一个角为直角 b c a b 锐角三角函数 一个直角三角形有几个元素？它们之间有何关系？ 归纳 在Rt△ABC中, （1）根据∠A= 60°,斜边AB=30, 你能求出这三个角的其他元素吗？ A 在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,就可以求出其余三个元素. (其中至少有一个是边), 你发现了什么? B C ∠B AC BC ∠A ∠B AB 一角一边 两边 （2）根据AC= ，BC= , 你能求出这个三角形的其他元素吗？ 两角 （3）根∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗? 不能 三边之间的关系: a 2＋b 2＝c 2（勾股定理） 锐角之间的关系: ∠ A＋∠ B＝ 90º 边角之间的关系（锐角三角函数）: tan A＝ a b sinA＝ a c cosA＝ b c 解直角三角形 解直角三角形的依据 A C B a b c 归纳 方法与技巧： 构造直角三角形的两种常见三角形: (1)直接过顶点作底边上的高； (2)过顶点作底边延长线上的高 . A A B B C C D D 归纳 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 一、 选择题 1. 如图,在△ACB中,∠C=90°,sinB=.若AC=6,则BC的长为 (　　) A. 8 B. 12 C. 6 D. 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,∠DBC=∠A.若AC=4,cosA=,则BD的长为 (　　) A. B. C. D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,AD是△ABC的高,AB=4,∠BAD=60°,tan∠CAD=,则BC的长为 (　　) A. +1 B. 2+2 C. 2+1 D. +4 C 解析:∵ AD是△ABC的高,∴ ∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中, cos∠BAD=,sin∠BAD=,∴ cos60°=,sin60°=.∴ AD=2,BD= 2.在Rt△ADC中,tan∠CAD=,∴ =,解得CD=1.∴ BC=BD+ CD=2+1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. ★如图,在△ABC中,sinA=,AC=BC=5,D是AC上一点.若tan∠DBA=,则AD的长为 (　　) A. 2 B. C. D. 1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E.∵ sinA=,∴ ∠A=45°.∵ AC=BC, ∴ ∠A=∠ABC=45°.∴ 易得△ABC,△ADE是等腰直角三角形.∴ AB= AC=5.在Rt△ADE中,设AE=x,则DE=x,AD=x.在Rt△BED中,∵ tan∠DBE==,∴ BE=4x.∵ AE+BE=AB,∴ x+4x=5,解得x=.∴ AD=x==2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 二、 填空题 5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点D作AB的垂线交AC于点E.若AC=16,cosA=,则AE的长为　　　　.  　　　　　 　　　　　 6. (黔南中考)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD=8,连接 AC,AC⊥CD.若sin∠ACB=,则AD的长为　　　　.  10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 在△ABC中,∠A=45°,AB=4,BC=5,则△ABC的面积为 　　　　.  8. 如图,在△ABC中,∠A=30°,tanB=,BC=,则AB的长为　　　　.  2或14 3+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 三、 解答题 9.已知在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形. (1) ∠B=60°,a=4; (2) a=-1,b=3-; (3) ∠A=60°,c=2+. (1) ∠A=30°,b=4,c=8　 (2) ∠A=30°,∠B=60°,c=2-2　 (3) ∠B=30°,a=+,b= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB= 10,AD=6,tan∠ACB=1.求: (1) BC的长; (2) sin∠DAE的值. (1) ∵ AD⊥BC,AB=10,AD=6,∴ BD== =8.∵ tan∠ACB=1,∴ CD=AD=6.∴ BC=BD+CD=8+6=14　 (2) ∵ AE是BC边上的中线,∴ CE=BC=7.∴ DE=CE-CD=7-6=1.∵ AD⊥ BC,∴ AE===.∴ sin∠DAE=== 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 如图,在△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cos∠ABC =,BF为AD边上的中线.求: (1) AC的长; (1) ∵ AC⊥BD,∴ cos∠ABC==.又∵ BC=8, ∴ AB=10.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC= ==6　 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) tan∠FBD的值. (2) ∵ BF为AD边上的中线,∴ DF=DA.过点F作 FE⊥BD,垂足为E.∵ AC⊥BD,∴ AC∥FE.∴ 易 得△DEF∽△DCA.∴ ===.∴ DE=2,FE= 3.∴ CE=2.∴ tan∠FBD=== 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝. ＝ ＝＝， $