4.2　正　切 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数中的正切知识，涵盖正切概念、30°45°60°角正切值及计算器应用。通过提问直角三角形锐角确定时对边与邻边比值是否为常数导入，衔接相似三角形知识，以证明比值为常数为支架，引导学生理解正切定义。 其亮点在于以问题驱动和推理建构为核心，通过相似三角形证明培养数学思维（推理能力），构造特殊直角三角形推导正切值渗透数学眼光（抽象能力），结合梯子陡缓实例体现数学语言（应用意识）。学生能深化概念理解与推理能力，教师可借助结构化内容提升教学效率。

4.2　正　切 第4章　锐角三角函数 1 【学习目标】 1．掌握正切的概念，知道锐角三角函数的概念． 2．熟记30°、45°、60°角的正切值，会解决与之有关的数学问题． 3．会用计算器计算任意锐角的正切值，会由任意锐角的正切值求对应的锐角． 【学习重点】 正切的概念，30°、45°、60°角的正切值． 【学习难点】 会利用30°、45°、60°角的正切值解决有关的计算题。 学习目标 提问： 在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边(或邻边)与斜边的比值是一个常数．想一想：这个锐角的邻边与对边的比值是否也是一个常数呢？那么，你能设计一个方案来证明我们的猜想是否正确吗？ 情景导入 知识模块一 正切的概念 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α， ∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？ ∵ ∠A=∠D=α， ∠C=∠F=90° ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF ∴ 即BC·DF=AC·EF ∴ A B C E F D α α 自学互研 由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。 如图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α，即 对边 邻边 α 自学互研 归纳 1.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. 2.tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切.但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC.∠1的正切表示为:tan∠1. 3.tanA﹥0 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）. 4.tanA不表示“tan”乘以“A ”. 5.tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 归纳 (1)在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，α的对边与邻边的比值为一个_____． (2)在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的 ________，记作tanα，即tanα＝_____________ ． 常数 正切 (3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则tanA＝___，tanB＝___，tanA·tanB＝__． 1 自学互研 在直角三角形中如果有一个锐角等于α， 那么另一个锐角等于(90°－α)， 于是tanα·tan(90°－α)＝1． 归纳 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a＝12，b＝5，求∠A、∠B的正弦值、余弦值和正切值． 典例精析 如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°， ∠A=30°，于 是BC= AB， ∠B=60°. 知识模块二 tan30°， tan60°， tan45°的值 从而 AC²=AB²-BC²=(2BC) ²-BC²=3BC². 由此得出 因此 B C A 30° (1) (2)把tan30°、tan60°、tan45°按从大到小的顺序排列： tan60°>tan45°>tan30°. (3)你发现有什么规律吗？ 对于任意锐角α，都有tanα>0； 任意锐角α的正切值随角度的变大而相应变大． 2．锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数． 归纳 　计算： (1)sin30°＋cos30°·tan60°. (2)cos60°－3tan30°＋tan60°＋2sin245°. 典例精析 知识模块三 用计算器计算任意锐角的正切值 说一说tan 45°的值 tan45°=1 归纳 30°、45°、60°的三角函数值： α 30° 45° 60° sinα cosα tanα 1 对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值，我们也可用计算器来求。 例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键“tan” “25” ，显示结果为0.4663… 例如已知tan α=0.8391，依次按键“2ndf” “tan” “0.8391”,显示结果为40.000…，表示角α约等于40°。 如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角。 归纳 1．用计算器求锐角的正切值（精确到0.0001）： 　2．已知正切值，用计算器求相应的锐角 （精确到1′）． （１）tan21º 15′≈ （２）tan89º 27′≈ （３）tan5º 49′≈ 0.3889 104.1709 0.1019 （1）tanα＝1.2868，　则α= （2）tanα =108.5729，则α= 52º 9′ 89º 28′ 课堂练习 15 (1)用计算器求tan58°的值．(精确到0.0001) (2)已知tanα＝1.2868，求α的值．(精确到分) 典例精析 解：依次输入：“tan”、“58”，显示结果为1.6003….tan58°≈1.6003. 解：依次输入：“2ndf”(或“SHIFT”)、“tan”、“1.2868”，显示结果为52°9′. 从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sinα（或cos α，tan α）与它对应。并且我们还知道，当锐角α变化时，它的比值sin α（ cos α，tan α ）也随之变化。因此，我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数。 归纳 典例精析 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 归纳 正切 正切的概念：在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切 正弦的性质：α确定的情况下，tanα为定值，与三角形的大小无关 用计算器解决正切问题 课堂小结 20 一、 选择题 1. 如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则tanA的值为 (　　) A. B. C. D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 新情境·日常生活 如图,梯子AB和DE靠墙摆放,其中比较陡的梯子是 (　　) A. AB B. DE C. 一样陡 D. 无法比较 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=42°,BC=8,若用科学计算器求AC的长,则下列按键顺序正确的是 (　　) A. 8 ÷ sin 4 2 = B. 8 ÷ cos 4 2 = C. 8 ÷ tan 4 2 = D. 8 × tan 4 2 = D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 如图,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tanA的值为 (　　) A. B. C. 2 D. 2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB的延长线上,连接CD.若AB=2BD,tan∠BCD=,则的值为 (　　) A. 1 B. 2 C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. 若tan(α+10°)=1,则锐角α的度数为　　　　.  7. 若一个三角形三个内角度数的比为1∶2∶3,则这个三角形最小角的正 切值为　　　　.  8. 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则tanB的值为　　　　.  9. 新视角·新定义 如果三角形有一边上的中线的长等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”.若Rt△ABC是“好玩三角形”,且∠A= 90°,则tan∠ABC=　　　　. 20° 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题(共55分) 10. (12分)(教材P120习题4.2A组第3题变式)计算: (1) 2sin30°+4cos30°·tan60°-2cos245°; (2) sin245°+sin260°+cos60°·tan45°. (1) 6　 (2) + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. (1) 根据图①②③中的条件,分别求出∠A,∠B的正切值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 题图①:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,∴ tanA==,tanB== 　题图②:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=13,∴ BC== =12.∴ tanA==,tanB==　题图③:在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC=24,AB=25,∴ BC===7.∴ tanA==, tanB==　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 观察第(1)题的计算结果,你发现了什么?请写出你发现的结论. (2) 当∠A+∠B=90°时,tanA·tanB=1,即互余两角的正切值互为倒数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $