专题01 有理数（期末复习知识清单，11知识11题型5易错4方法）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学有理数专题知识清单系统涵盖有理数概念、运算及应用，通过11个知识清单梳理正数负数、数轴、相反数、绝对值等基础概念，构建从定义理解到混合运算的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型分类+方法总结”三维架构呈现，11类题型按难度梯度设计，如相反意义的量结合生活实例，绝对值最小值问题融入几何直观。特设易错点标注绝对值化简符号处理，方法清单含新定义问题转化策略，培养运算能力与推理意识，助力教师精准教学，学生自主复习高效。

专题01 有理数（11知识&11题型&5易错&4方法清单） 【清单01】有理数 1. 正数、负数的概念 定义 举例 摘要 正数 _________0的数 0.5，，+2 正数前面的“＋”号_________省略不写 负数 在正数前面加上“_________”的数 -0.5，，-2，-（+1） 负数前面的“-”号_________省略不写 2. 有理数及其相关概念 1）整数：正整数、0、负整数统称为整数. 2）分数：正分数、负分数统称为分数. 3）有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成_______形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 【清单02】数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的_______表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：_______、_______、_______，三者缺一不可. 数轴的画法：画数轴时，关键是要体现出数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示数，那么步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数. 【清单03】相反数 相反数的概念：只有_______的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 相反数的性质： 1）任何一个数有且只有_______相反数. 2）正数的相反数是_______；负数的相反数是_______；0的相反数仍是_______. 多重符号化简：进行多重符号化简时，首先要注意， 1）一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉， 2）其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“_______”， 当“-”的个数为奇数时，结果取“_______”，简称“_______”. 【清单04】绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的_______叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它_______；0绝对值是_______；负数的绝对值是它的_______，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【清单05】比较有理数的大小 【清单06】有理数运算（加法运算） 有理数加法运算法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值_______. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值_______的加数的符号，并用较大的绝对值_______较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为_______. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 实例： 有理数加法运算率： 【清单07】有理数运算（减法运算） 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______. 例如： 【清单08】有理数运算（乘法运算） 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得_______，异号得_______，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得_______. 示例： 【清单09】有理数运算（除法运算） 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的_______，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值_______. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【清单10】有理数的乘方 【清单11】有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【题型一】相反意义的量 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果米表示向东走千米，那么米表示（   ） A．向东走米 B．向西走米 C．向东走米 D．向西走米 3．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作 ． 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 【题型二】有数轴上的点表示有理数 1．（23-24六年级下·上海·期末）在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图写出数轴上点、点所表示的分数：： ，B： ． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）为数轴上一点，且距离原点个单位长度，一只蚂蚁从点出发，向右爬行了个单位长度到达点，则点表示的有理数是 ． 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别画出点、、所表示的数．点表示的数为的倒数；点表示的数为的相反数；点表示的数为绝对值等于的正数； 【题型三】求一个数的相反数或绝对值 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是 ． 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如果是的相反数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，那么 ． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是 ． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）一次式和的值互为相反数，则的值是 ． 【题型四】带有字母的绝对值化简问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）若，则 ． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）若，则的值为（   ） A．0或1 B．或 C． D． 3．（24-25六年级上·上海·期中）、、在数轴上的位置如图，化简： ． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【题型五】利用绝对值/乘方的非负性求解 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则 ． 2．（24-25六年级上·上海·月考）已知：，求的值． 3．（23-24七年级下·甘肃武威·开学考试）若，求的值． 【题型六】分类讨论问题 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）已知，且，求的值． 2．（24-25六年级上·上海·期中）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，，且，求的值． 【题型七】比较有理数的大小 1．（25-26六年级上·上海宝山·期中）已知四个有理数：、、、的相反数，其中最小的数是（    ） A． B． C． D．的相反数 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）比较大小： ．（填“”，“”或“”）． 4．（25-26六年级上·上海崇明·期中）比较大小： （填“”或“”号）． 【题型八】有理数加减法 1．（25-26六年级上·上海静安·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上划斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是（   ） A．564 B． C．742 D． 3．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，小华从家出发，途经图书馆到达学校要走1千米，那么从小华家到青少年活动中心比到图书馆近 千米． 4．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 5．（25-26六年级上·上海·期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度（单位：百米，规定上升为正，下降为负）为：，，，，． (1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少百米？ (2)若直升机A每上升1百米消耗0.5升燃油，每下降1百米消耗0.3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少百米？ 【题型九】有理数乘除法 1．（25-26六年级上·上海闵行·期中）小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是2，那么的正确结果应是 ． 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）计算：． 3．（24-25六年级上·上海·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (3)算一算：． 【题型十】有理数的乘方运算 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）与乘法运算的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各对数中，互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【题型十一】有理数的混合运算 1．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 4．（25-26六年级上·上海·期中）今年的“国庆+中秋”的8天假期中，某风景区10月1日的旅游人数为6.25万人，后面的7天与10月1日相比，每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（万人） (1)10月4日的旅客人数为________万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多________万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则假期八天的旅游总收入约为多少万元？ 5．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 6．（25-26六年级上·上海·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【题型一】有理数的相关概念 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）在，，，中，负数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是(        )． A．正整数可以分为素数和合数两类； B．正整数可以分为奇数和偶数两类； C．整数可以分为正整数和负整数两类； D．有理数可以分为正有理数和负有理数两类． 【题型二】有理数的分类 1．（25-26六年级上·上海·期中）在，，0.45，0，，中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（21-22六年级上·山东·课后作业）在数，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100这8个数中，有理数有 个． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 4．（24-25六年级上·山东泰安·期中）把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，0，，，，，，（每相邻两个2之间依次多一个6） (1)正整数集合{                                  …} (2)正分数集合{                                  …} (3)负分数集合{                                  …} (4)非正整数集合{                                  …} (5)非负有理数集合{                                  …} 【题型三】数轴上两点之间的距离 1．（25-26六年级上·上海静安·期中）点在数轴上，点表示的数为，两点之间的距离为，则点表示的数为 ． 2．（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【题型四】利用绝对值的代数意义求参 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么a的取值范围为 ． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·月考）若，则的取值范围是 ． 3．（22-23七年级下·福建福州·期末）如果，那么的取值范围是 ． 【题型五】有理数乘方运算法则 1．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)______；(2)______；(3)______；(4)______； (5)______；(6)______． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)． 【题型一】有理数运算有关的新定义问题 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义的新运 算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 1．（25-26六年级上·上海·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则 ． 2．（25-26六年级上·上海静安·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题：已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 4．（25-26六年级上·上海·月考）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 【题型二】有理数运算技巧 题目特征：有一些计算题，数字比较复杂，如果硬算，不但费时而且容易出错，甚至有些题目根本无法硬算.这样的题目就需要使用一些计算技巧，使运算变得简单. 1．（2025六年级上·上海·专题练习）用裂项法求和：．（写出解题过程） 2．（2025六年级上·上海·专题练习）用拆项法计算：． 3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 4．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 6．（25-26七年级上·山东青岛·月考）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【题型三】利用奇点偶段求绝对值和的最小值 1．（25-26六年级上·上海·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离__________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点､､是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点､､开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 3．（25-26六年级上·上海·期中）同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处？ 问题（2）：有台机床时，应设在何处？ 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【题型四】数轴与动点问题 解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 1．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 2．（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 4．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道、两数对应的点在数轴上的距离为，例如数轴上表示与2两点之间的距离可表示为，与两点之间的距离可表示为． 如图，点是数轴上的三点，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为． (1)如果动点在点、之间，那么_________． (2)若，那么动点表示的数是________． (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94？ 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（11知识&11题型&5易错&4方法清单） 【清单01】有理数 1. 正数、负数的概念 定义 举例 摘要 正数 大于0的数 0.5，，+2 正数前面的“＋”号可以省略不写 负数 在正数前面加上“-”（负号）的数 -0.5，，-2，-（+1） 负数前面的“-”号不可以省略不写 2. 有理数及其相关概念 1）整数：正整数、0、负整数统称为整数. 2）分数：正分数、负分数统称为分数. 3）有理数：整数和分数统称为有理数.（【实质】可以写成形式的数，其中m，n为整数且m≠0） 【清单02】数轴 数轴的定义：在数学中，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴. 数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可. 数轴的画法：画数轴时，关键是要体现出数轴的三要素:原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示数，那么步骤可归纳为:一画、二定、三选、四统一、五标数. 【清单03】相反数 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，我们称其中一个数是另一个数的相反数. 相反数的性质： 1）任何一个数有且只有一个相反数. 2）正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数仍是0. 多重符号化简：进行多重符号化简时，首先要注意， 1）一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉， 2）其次要看“-”的个数，当“-”的个数为偶数时，结果取“+”， 当“-”的个数为奇数时，结果取“-”，简称“奇负偶正”. 【清单04】绝对值 绝对值的定义：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|． 绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数，即绝对值的代数意义可以用式子表示为：. 【清单05】比较有理数的大小 【清单06】有理数运算（加法运算） 有理数加法运算法则： 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 3）互为相反数的两个数相加和为0. 4）一个数与0相加，仍得这个数. 实例： 有理数加法运算率： 【清单07】有理数运算（减法运算） 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 例如： 【清单08】有理数运算（乘法运算） 有理数乘法运算法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 2）0与任何数相乘都得0. 示例： 【清单09】有理数运算（除法运算） 有理数除法运算法则：1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b = a×（b≠0）. 2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 3）0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【清单10】有理数的乘方 【清单11】有理数混合运算 运算顺序：1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右依次进行； 3) 如果有括号，就先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号依次进行. 【题型一】相反意义的量 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 盈利记为正数，则亏损记为负数． 【详解】解：∵盈利元记作元， 盈利记为正，则亏损用负数表示， ∴亏损元记作元， 故选：B． 2．（25-26六年级上·上海闵行·期中）如果米表示向东走千米，那么米表示（   ） A．向东走米 B．向西走米 C．向东走米 D．向西走米 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负号表示相反方向的意义，即可求解． 【详解】解： 米表示向东走千米， 米表示向西走米， 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）规定：表示向右移动3记作，则表示向左移动4记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对，据此求解即可． 【详解】解：∵“正”和“负”相对， ∴表示向右移动3记作，则（←4）表示向左移动4记作． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海金山·期中）如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了用正负数来表示具有意义相反的两种量：把海平面作为标准，记为米，那么超出的就记为正，不足的就记为负，直接得出结论即可，正确理解正负数来表示具有意义相反的两种量是解题的关键． 【详解】解：如果珠穆朗玛峰高出海平面记作，那么某海沟低于海平面，记作， 故答案为：． 【题型二】有数轴上的点表示有理数 1．（23-24六年级下·上海·期末）在数轴上，位于和3之间的点表示的有理数有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数和数轴的知识，能够掌握有理数所指的数的范围是解题的关键．根据有理数的定义，结合数轴解答即可． 【详解】解：∵有理数包括整数和分数， ∴在和3之间的有理数有无数个，如，0，1，，等等． 故选：D． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如图写出数轴上点、点所表示的分数：： ，B： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴上点A和点B的位置即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A表示的是，点B表示的是， 故答案为：；． 3．（25-26六年级上·上海嘉定·期中）为数轴上一点，且距离原点个单位长度，一只蚂蚁从点出发，向右爬行了个单位长度到达点，则点表示的有理数是 ． 【答案】0或4/4或0 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，有理数的加法运算，解题的关键根据题意列出式子，再根据有理数的加法法则进行计算．根据点距离原点个单位，得到表示的数可以是或，根据平移性质，由“右加，左减”列出算式，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：为数轴上一点，且距离原点个单位长度， 表示的数可以是或， 当为时，向右爬行个单位长度到达点，点表示的数为； 当为时，向右爬行个单位长度到达点，点表示的数为； 故点表示的有理数是或． 故答案为：或． 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）在数轴上分别画出点、、所表示的数．点表示的数为的倒数；点表示的数为的相反数；点表示的数为绝对值等于的正数； 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴和相反数，倒数，绝对值的意义，根据题意得出点表示的数为，点表示的数为；点表示的数为，在数轴上表示出，即可求解． 【详解】解：点表示的数为的倒数；点表示的数为的相反数；点表示的数为绝对值等于的正数 ∴点表示的数为，点表示的数为；点表示的数为 如图所示， 【题型三】求一个数的相反数或绝对值 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）的相反数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了化简多重符号，相反数，先化简多重符号，再求其相反数． 【详解】的相反数是． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如果是的相反数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数和绝对值，特别注意：最大的负整数是，绝对值最小的数是0．根据相反数、绝对值的定义及性质进行分析．根据题意，分别求出a、b、c的值，然后计算它们的和． 【详解】解：，a是2的相反数， ． 是最大的负整数， ． 是绝对值最小的有理数， ． ． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）如果一个数的绝对值等于，那么这个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的性质，掌握一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它的相反数、0的绝对值是0是解题的关键． 根据绝对值的性质解答即可． 【详解】解：∵的绝对值是它本身，的绝对值是它的相反数， ∴绝对值等于的数是或． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海青浦·期末）一次式和的值互为相反数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，解一元一次方程， 先根据相反数的定义得，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【题型四】带有字母的绝对值化简问题 1．（24-25六年级上·上海·月考）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据的取值范围，判断绝对值内的代数式的符号，从而去掉绝对值符号． 【详解】解：∵， ∴，， 故，， ∴ ． 故答案为：． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）若，则的值为（   ） A．0或1 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的化简，代数式求值，根据已知易得，然后分两种情况：当时，则；当时，则，分别进行计算即可解答，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：， ， 分两种情况： 当时，则， 当时，则， 综上所述，的值为或， 故选：B． 3．（24-25六年级上·上海·期中）、、在数轴上的位置如图，化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值化简，合并同类项．根据数轴求得的符号，然后确定，，的符号，化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 所以，，，， ∴ ． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海·阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图所示，完成下列问题： (1)_____0；_____0．（填“”，“”，“”） (2)化简： (3)求的值． 【答案】(1)； (2)0 (3)0 【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴判断即可； （2）根据正负性去绝对值进行化简即可； （3）判断有理数的正负进行化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得：， 故，； （2）解：∵，，， ∴ ； （3）解：， ， ∴ ． 【题型五】利用绝对值/乘方的非负性求解 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“两个非负项的和为0，则每一项都为0的性质求出a、b的值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分都为零，从而求出a和b的值． 【详解】∵， ∴，， 解得， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海·月考）已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减中的化简求值，非负数的性质，先去括号，合并同类项，再由可得，进而求出，，再代入计算即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴，， ∴原式 ． 3．（23-24七年级下·甘肃武威·开学考试）若，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性，能利用非负性正确求出值是解答的关键．根据绝对值和偶次方的非负性求得的值，然后代入求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型六】分类讨论问题 1．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）已知，且，求的值． 【答案】7或1 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的加法运算，根据，结合绝对值的非负性，求出的值，再进行加法运算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 综上可知，的值为7或1． 2．（24-25六年级上·上海·期中）“分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用“分类讨论”的数学思想解答下面的问题．已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】先计算绝对值，结合，得到，计算即可． 本题考查了绝对值的计算，有理数的加减，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或；或， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 故的值为或． 3．（24-25六年级上·上海青浦·期中）若，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的意义，有理数的减法，根据已知得出，进而代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，则 ∴或 当时，， 当时， 【题型七】比较有理数的大小 1．（25-26六年级上·上海宝山·期中）已知四个有理数：、、、的相反数，其中最小的数是（    ） A． B． C． D．的相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值．先求出和的相反数，再根据正数大于0，0大于负数比较即可． 【详解】解：∵ ，的相反数是， ∴， ∴有理数、、、的相反数，其中最小的数是． 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，求一个数的绝对值，有理数比较大小，先计算出a、b、c的值，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，求解即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26六年级上·上海松江·期中）比较大小： ．（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了分数的运算． 先分别计算两个表达式的值，再比较两个负数的大小，绝对值大的反而小． 【详解】解：， ． ， 则． 即． 故答案为：． 4．（25-26六年级上·上海崇明·期中）比较大小： （填“”或“”号）． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，将两数化为小数进行比较是解题的关键． 先计算绝对值表达式和相反数表达式，得到两个正数，再比较大小． 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【题型八】有理数加减法 1．（25-26六年级上·上海静安·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法和减法运算，解题的关键是掌握有理数的加、减的运算法则． 分别对每个选项按照有理数加减运算法则进行计算，然后判断其正确性． 【详解】解：A、， A错误； B、， B正确； C、， C错误； D、， D错误． 故选：B． 2．（25-26六年级上·上海虹口·期中）如表，算筹是我国古代的计算工具，采用纵、横两种摆法表示数字，规则为“一纵十横，百立千僵”，即个位纵式、十位横式、百位纵式、千位横式，依此类推．古人在个位数字上划斜线表示该数为负数．例如：“”表示数字“”． 纵式 横式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 现有算筹“”和“”，将它们所表示的数求和，得到的数是（   ） A．564 B． C．742 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据题干信息列出算式，进行计算即可． 【详解】 解：根据题意得算筹“”和“”为：和， ∴， 故选：B． 3．（25-26六年级上·上海宝山·期中）如图，小华从家出发，途经图书馆到达学校要走1千米，那么从小华家到青少年活动中心比到图书馆近 千米． 【答案】 【分析】本题考查了分数加减法的应用，读懂题图获取信息是解题的关键．先从图中获取到小华家到青少年活动中心的距离，再求得小华家与图书馆的距离，两距离作差即可得解． 【详解】解：由图可知，小华家到青少年活动中心的距离为千米， 小华家与图书馆的距离为（千米）， 从小华家到青少年活动中心比到图书馆近（千米）． 故答案为： ． 4．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加减法混合运算．掌握有理数加减法的运算法则是解题的关键． 把小数变成分数，然后把正数合在一起计算，负数合在一起计算，最后再按减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 5．（25-26六年级上·上海·期中）某展会期间有非常精彩的直升机花式飞行表演．表演过程中一架直升机A起飞后的高度（单位：百米，规定上升为正，下降为负）为：，，，，． (1)当直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是多少百米？ (2)若直升机A每上升1百米消耗0.5升燃油，每下降1百米消耗0.3升燃油，求直升机A在这5个动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？ (3)若另一架直升机B在做花式飞行表演时，起飞后前四次的高度为：，，，．若要使直升机B在完成第5个动作后与直升机A完成5个动作后的高度相同，求直升机B的第5个动作是上升还是下降，上升或下降多少百米？ 【答案】(1)3.6百米 (2)4.36升 (3)下降，下降0.6百米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）求出所有数据的和，即可得出结果； （2）用上升总的耗油量加上下降总的耗油量进行求解即可； （3）用（1）中结果减去直升机B前四个的高度和，进行求解即可． 【详解】（1）解：（百米）； 答：直升机A完成上述五个表演动作后，直升机A的高度是3.6百米； （2）（升）； 答：一共消耗4.36升燃油； （3）（百米）； 故直升机B的第5个动作是下降，下降0.6百米 【题型九】有理数乘除法 1．（25-26六年级上·上海闵行·期中）小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是2，那么的正确结果应是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的除法和减法，根据题意得，再代入正确表达式 进行计算． 【详解】∵小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是2， ∴， ∴正确结果为． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 3．（24-25六年级上·上海·期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“的圈次方”，记作，读作“的圈次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”． (1)直接写出计算结果：________，________； (2)将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； (3)算一算：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及除方定义的运用． （）根据的圈次方定义计算可得； （）根据计算结果得出规律即可； （）根据有理数的混合运算顺序和运算法则及的圈次方的法则计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（）得： ． 【题型十】有理数的乘方运算 1．（25-26六年级上·上海虹口·期中）与乘法运算的结果相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．计算原式的结果为，再分别计算各选项的值，即可得出答案． 【详解】解：， A．，故A不符合题意； B．，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意． 故选：B． 2．（24-25六年级上·上海·期中）下列各对数中，互为相反数的是（） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查相反数的定义，有理数的乘方，掌握知识点是解题的关键． 根据相反数的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解:A．∵，， ∴与互为相反数，符合题意； B．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意； C．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意； D．∵，， ∴与不是相反数，不符合题意． 故选A． 3．（25-26六年级上·上海虹口·期中）观察下列等式：根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】7 【分析】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．由已知可得的尾数7，9，3，1循环，和为20，每周期个位数字之和的个位数字为0，余1，因此有507个完整周期，余数对应的个位数字为7．总和的个位数字为． 【详解】解：∵，，，，…… ∴的尾数7，9，3，1循环， ∴，每个周期个位数字之和的个位数字为0， ∵余1， ∴从到共507个完整周期，其和的个位数字为0，的个位数字与相同，为7， ∴的个位数字为． 故答案为：7． 【题型十一】有理数的混合运算 1．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 2．（24-25六年级上·上海·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算律，有理数的除法计算，有理数四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 3．（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 先计算乘方和括号里面的，再计算乘法，最后计算加减即可得解． 【详解】解：， 原式， ， ， ． 4．（25-26六年级上·上海·期中）今年的“国庆+中秋”的8天假期中，某风景区10月1日的旅游人数为6.25万人，后面的7天与10月1日相比，每天旅游人数变化如下表：（正数表示人数增加） 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化（万人） (1)10月4日的旅客人数为________万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多________万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为150万元，则假期八天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1)5.95 (2)3 (3)7200 【分析】本题考查了有理数加减法运算，熟练掌握有理数加减法运算法则是解题的关键． （1）从表上可知，10月4日的旅客比10月1日少0.3万人，据此进行计算即可； （2）用最多的一天的人数减去最少的一天的人数即可； （3）先计算假期八天超过6.25万人的人数变化和，再总人数乘以150即可． 【详解】（1）解：由10月4日的旅客比10月1日少0.3万人可得： （万人）， 故答案为：5.95． （2）解：由最多的一天的人数减去最少的一天的人数可得： （万人）， 故答案为：3． （3）解：（万人）， （万元）， 即假期八天的旅游总收入约为7200万元． 5．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4)16 (5) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算、加减法及乘除运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则可进行求解； （2）把除法化为乘法，再按顺序计算可进行求解； （3）逆用有理数乘法分配律可进行求解； （4）根据有理数乘法分配律可进行求解； （5）先算乘方和绝对值，然后再进行有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 6．（25-26六年级上·上海·期中）最近几年时间，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其对于我国来说，新能源汽车产量､销量都大幅增加．小海家新购置了一辆新能源汽车，他连续七天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的用正数表示，不足的用负数表示，刚好的记为0． 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 (1)小海家的新能源汽车这七天一共行驶了多少千米？ (2)小海家原汽油车每行驶需用汽油，汽油价格为6.8元/升，而此辆新能源汽车每行驶耗电量为15千瓦时，平均充电费用为每千瓦时1.1元．小海家换成新能源汽车后，这七天的行驶费用比原来节省多少元？ 【答案】(1) 小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； (2) 这七天的行驶费用比原来节省了元． 【分析】本题主要考查了正负数意义，以及有理数计算在实际问题中的应用，理解题意根据题目描述数量间的表达含义，进行有理数的四则运算，计算出问题中的目标量是解题关键， （1）理解正负数的表示含义，即正数表示多于标准的路程数，例如第五天路程表示为，即实际行驶了千米，负数表示少于标准的路程数，例如第一天路程表示为，即实际行驶了千米； （2）利用七天行驶的总路程数，求出每百千米的耗油和耗电量，然后，乘以对应的每升油价和每千瓦时电价，计算出汽油车与新能源汽车七天的行驶费用，最后相减即可计算出结果． 【详解】（1）解：（千米） 答：小海家的新能源汽车这七天一共行驶了千米； （2）设：汽油车和新能源车行驶七天的费用分别为和， 依据题意可知， （元） （元） 节省的费用为， （元） 答：这七天的行驶费用比原来节省了元． 【题型一】有理数的相关概念 1．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类、绝对值的性质、负数的范围以及有理数减法的性质． 需要根据基本概念逐一判断选项的正误． 【详解】∵ 有理数包括正有理数、负有理数和零，但选项A说“有理数分为正有理数和负有理数”，忽略了零， ∴ A错误； ∵ 负数的绝对值是它的相反数，是正数，而不是负数， ∴ B错误； ∵ 负数没有最小值（可无限减小），也没有最大值（负数中越接近零越大，但零不是负数）， ∴ C正确； ∵ 两个有理数的差可以是正数、负数或零，如， ∴ D错误． 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）在，，，中，负数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相反数、绝对值、乘方的运算，注意负数的奇次幂为负，绝对值的非负性． 计算每个式子的值，根据正负判断负数个数． 【详解】，为正数；，为负数；，为正数；，为负数． ∴负数有2个． 故选：C． 3．（25-26六年级上·上海黄浦·期中）关于“0”，下列说法错误的是（    ） A．是整数，也是有理数 B．既不是正数，也不是负数 C．是整数，也是自然数 D．既不是自然数，也不是有理数 【答案】D 【分析】本题考查了关于0的认识，0是整数，自然数，是有理数，但不是正数，也不是负数，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 0是整数，也是有理数，故原选项正确，不合题意； B. 0既不是正数，也不是负数，故原选项正确，不合题意； C. 0是整数，也是自然数故原选项正确，不合题意； D. 0既是自然数，也是有理数，故原选项错误，符合题意﹒ 故选：D 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列说法正确的是(        )． A．正整数可以分为素数和合数两类； B．正整数可以分为奇数和偶数两类； C．整数可以分为正整数和负整数两类； D．有理数可以分为正有理数和负有理数两类． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，需根据数字的性质判断分类是否完整，是否有遗漏． 【详解】解：∵正整数包括1，而1既不是素数也不是合数，∴A错误； ∵所有正整数要么是奇数，要么是偶数，无例外，∴B正确； ∵整数包括0，而0既不是正整数也不是负整数，∴C错误； ∵有理数包括0，而0既不是正有理数也不是负有理数，∴D错误． 因此，正确答案是B． 故选：B． 【题型二】有理数的分类 1．（25-26六年级上·上海·期中）在，，0.45，0，，中，非负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的乘方运算，根据非负数是大于或等于0的数，逐一进行判断即可． 【详解】解：，为非负数； ，不为非负数； ，为非负数； ，为非负数； ，不为非负数； ，不为非负数． 故非负数有3个． 故选：B． 2．（21-22六年级上·山东·课后作业）在数，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100这8个数中，有理数有 个． 【答案】6 【详解】【分析】根据有理数是整数、有限小数或无限循环小数，可得答案． 在，﹣0.4，0.2，3.14，0.1010010001…（每两个之间多一个0），120%，，100中，有理数有﹣0.4，0.2，3.14，120%，，100等6个． 故答案为：6． 3．（24-25六年级上·上海奉贤·期中）把这六个数分别填入相应的圈里． 【答案】见详解 【分析】本题考查了有理数的概念与分类，整数和分数统称为有理数，大于0的有理数为正有理数，自然数是指0和正整数，据此即可作答． 【详解】解：依题意，如图： 4．（24-25六年级上·山东泰安·期中）把下列各数填在相应的集合里： ，，，，，0，，，，，，（每相邻两个2之间依次多一个6） (1)正整数集合{                                  …} (2)正分数集合{                                  …} (3)负分数集合{                                  …} (4)非正整数集合{                                  …} (5)非负有理数集合{                                  …} 【答案】(1)， (2)，， (3)，， (4)0， (5)，，，，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． （1）根据有理数的分类，将正整数填入集合； （2）根据有理数的分类，将正分数填入集合； （3）根据有理数的分类，将负分数填入集合； （4）根据有理数的分类，将非正整数填入集合； （5）根据有理数的分类，将非负有理数填入集合； 【详解】（1）解：，， 正整数集合{，…}； （2）解：正分数集合{，，…}； （3）解：负分数集合{，，…}； （4）解：非正整数集合{0，…}； （5）解：非负有理数集合{，，，，0，…}． 【题型三】数轴上两点之间的距离 1．（25-26六年级上·上海静安·期中）点在数轴上，点表示的数为，两点之间的距离为，则点表示的数为 ． 【答案】或4 【分析】本题考查数轴上两点的距离． 根据数轴上两点间距离公式，点A与点B的距离等于两点坐标之差的绝对值，列出方程求解即可． 【详解】解：设点B表示的数为x，则点A与点B的距离为． 解得：或， 故点B表示的数为或4． 故答案为：或4． 2．（24-25六年级上·上海·期中）数轴上一点A向右移动2个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为3，则点A表示的数是 【答案】1或 【分析】本题考查数轴上点的平移，关键是掌握数轴上点的平移对应的数的变化规律左加右减． 先求出表示的数，再分类讨论，根据平移法则左加右减，即可求出表示的数． 【详解】解：∵到原点距离为3， ∴表示3或， 当表示3时， 把向左平移2个单位得， ∴此时，表示1， 当表示时， 把向左平移2个单位得， 此时，表示， 综上所述：表示1或． 故答案为：1或． 【题型四】利用绝对值的代数意义求参 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 根据绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，即一个数的绝对值等于它本身， ∴这个数是非负数，即， ∴， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·辽宁大连·月考）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质可得，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 3．（22-23七年级下·福建福州·期末）如果，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以，即可求解； 【详解】解：根据绝对值的意义得，， ； 故答案为：； 【点睛】本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键． 【题型五】有理数乘方运算法则 1．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______； (5)______； (6)______． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的乘，求多个相同因数的乘积的运算用乘方表示，例如：． 表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可； 表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可； 把转化成假分数，可得：原式，表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可； 把转化成分数，可得：原式，表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可； 表示把分子进行乘方计算，其他部分不变，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算即可； 首先把转化成，可得：原式，表示个相乘，再根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解： ， 故答案为：； （5）解： ， 故答案为：； （6）解： ， 故答案为：． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)49 (2)－216 (3) (4)－9 (5) (6) 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （3）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （4）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （5）根据有理数的乘方运算法则求解即可； （6）根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； 【题型一】有理数运算有关的新定义问题 解决新运算问题时，要正确理解新定义的算式含义.如果需要计算，那么将题目中定义的新运 算符号用其原始定义代入所求的式子，转化为熟知的运算;如果需要证明其性质，那么列出含有新定义运算符号的式子，然后转化为熟知的运算进行证明. 1．（25-26六年级上·上海·期中）为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，．根据这种运算，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查定义新运算．根据新定义运算规则，先计算内部，再代入外层运算． 【详解】解：； 由于，故； 则； 由于，故． 故答案为：0． 2．（25-26六年级上·上海静安·期中）定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题：已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的理解及有理数的计算，根据“隔一数对”的定义，两个连续的非零整数满足，因此每个项可转化为，求和后利用有理数的加减运算，中间项相互抵消，得到结果． 【详解】解：∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴对于任意非零整数，有， ∴ ∵， ∴原式， 故答案为：． 3．（24-25六年级上·上海普陀·期中）定义：对于数对，如果，那么称为“和积等数对”．如：因为，，所以，都是“和积等数对”．下列数对中，是“和积等数对”的是 ．（填序号） ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了“和积等数对”，有理数的加法和乘法，理解“和积等数对”的定义是解题的关键． 根据“和积等数对”的定义计算即可． 【详解】解∶ ①，是“和积等数对”； ②，不是“和积等数对”； ③，是“和积等数对”； 故答案为：①③． 4．（25-26六年级上·上海·月考）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 【答案】(1)1，3 (2)4 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1），，再根据新定义可得答案； （2）根据新定义可得，据此可得答案； （3）根据新定义可得，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【题型二】有理数运算技巧 题目特征：有一些计算题，数字比较复杂，如果硬算，不但费时而且容易出错，甚至有些题目根本无法硬算.这样的题目就需要使用一些计算技巧，使运算变得简单. 1．（2025六年级上·上海·专题练习）用裂项法求和：．（写出解题过程） 【答案】 【分析】本题考查了异分母分数的加减法以及裂项相消法求和，根据题意用裂项法进行求和，即，，进行计算即可得出结论； 【详解】解： ， ， ， ， ． 2．（2025六年级上·上海·专题练习）用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律，熟练掌握有理数的加法交换律及结合律是解题的关键．把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：原式 ． 3．（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【答案】(1)解法一和解法二都错误，原因见解析 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详解】（1）解：解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； （2）解：∵ ， ∴． 4．（25-26七年级上·安徽淮南·期中）我们知道，高斯在小时候通过巧妙方法计算出了的结果．裂项相消法是另一种常用的求和方法（如，求和时可抵消中间项）．请结合这两种思路，回答以下问题． 【基础求和，巩固高斯法】 （1）直接用高斯求和法“（首项末项）项数”计算下列各题． ①； ②（用含有的代数式表示，为正整数）； ③． 【变式求和，运用裂项相消法】 （2）计算的值． 【综合应用，关联计算】 （3）若，求的值． 【答案】（1）① 210；② ；③ ；（2）；（3）40 【分析】本题主要考查数字的变化规律，理解高斯求和法和裂项相消法是解题的关键． （1）①直接利用高斯求和法计算即可； ②直接利用高斯求和法计算即可； ③直接利用高斯求和法计算即可； （2）观察题中所给出的例子，直接利用裂项相消法计算即可； （3）先用高斯求和法计算，用裂项相消法计算，再将计算结果代入等式即可计算出的值． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③ ； （2） ； （3）， ， ∵， ∴， 解得． 5．（25-26七年级上·安徽芜湖·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键． 仿照题意的“倒数法”进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数： ， 故原式． 6．（25-26七年级上·山东青岛·月考）阅读下面一段： 计算． 观察发现，上式从第二项起，每项都是它前面一项的5倍，如果将上式各项都乘以5，所得新算式中除个别项外，其余与原式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算． 解：设，① 则，② ②①得，则． 上面计算用的方法称为“错位相减法”，如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．请根据以上信息，解决下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握错位相减法，是解题的关键： （1）利用错位相减法进行计算即可； （2）利用错位相减法进行计算即可． 【详解】（1）解：设，① 则，② ②①得，则． （2）设，① 则，② ①②得，则． 【题型三】利用奇点偶段求绝对值和的最小值 1．（25-26六年级上·上海·期中）【问题背景】我们知道的几何意义是：在数轴上数对应的点与原点的距离，这个结论可以推广为：表示在数轴上数，对应点之间的距离． 【问题解决】 （1）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点之间的距离__________． （2）如果点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，点与点之间的距离为，那么________． （3）若，则的最小值为________，此时正整数的值为________． 【关联运用】 （4）点､､是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点､､开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】（1）5；（2）或9；（3）3，1或2；（4）不会改变，值为5 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，或，计算求解即可； （3），表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和，由，即可求解； （4）由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为，则；，由题意知，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：5； （2）解：由题意知，或， 故答案为：或9； （3）解：，表示数轴上表示的点到数轴上表示和 2 的点之间的距离和， ∵， ∴当表示和 2 之间的点时，有最小值 3 ， ∴此时正整数的值为 1 或 2 ； 故答案为：3，1或2． （4）解：不变，理由如下： 由题意知，秒钟时，运动后的点表示的数分别为， ， 由题意知，， ∴的值不会随着时间的变化而改变，其值为5． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减等知识．熟练掌握数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，列代数式，整式的加减是解题的关键． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础： 我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示的点之间的距离；也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_____；式子的几何意义是__________； (2)根据绝对值的几何意义，当时，_____； (3)当时，此时整数所有可取的值之和为_____． (4)的最小值为_____，此时满足的条件是_____． 【答案】(1)，数轴上表示的点与表示的点之间的距离 (2)或 (3) (4)16；7 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解决问题的关键． （1）由题意直接求解即可得到答案； （2）由绝对值的几何意义得到方程求解即可得到答案； （3）分，，，和这几种情况，去绝对值，可推出取得最小值时x的取值范围，进而可得答案； （4）同（3）可得，当时，有最小值，最小值为，进而可推出当时，和能同时取得最小值，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）解：根据绝对值的几何意义，表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离是， ∴或； 故答案为：或； （3）解：当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 当时，， 则， 当时，， 则， ； 综上所述，的最小值是；此时满足的条件是； ∴当时，， ∴此时整数所有可取的值之和为； （4）解：同（3）可知，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴当，即时，有最小值，最小值为0， ∴当时，和能同时取得最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 故答案为：16；7． 3．（25-26六年级上·上海·期中）同学们都知道：表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为 ． (2)同理表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． (3)已知，求的最大值 和最小值 ． 【答案】(1) (2)、、、、 (3)， 【分析】本题主要考查了数轴上的两点距离计算，绝对值的几何意义，熟知绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两个距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可知当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，为3，当时，有最小值，为5，则可确定，，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且数和数之间的距离为， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，， ∴， ∴这样的整数有、、、、， 故答案为：、、、、； （3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， ∴当有理数所对应的点在和所对应的点的之间时，有最小值， ∴当时，有最小值，最小值为， 同理可得，当时，有最小值，最小值为， ∵， ∴和能取得最小值， ∴，， ∴当最小，最大时，有最小值，最小值为； 当最大，最小时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）先阅读下面材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小．要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： 如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于和的距离． 如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间处最合适，不难知道，如果直线上有4台机床，应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，应设在第3台位置． 问题（1）：如果直线上有7台机床，应在何处？ 问题（2）：有台机床时，应设在何处？ 【拓广应用】 （3）求的最小值． （4）求的最小值． 【答案】（1）应该在第四台位置；（2）当为奇数时，应该在第台位置；当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置；（3）；（4） 【分析】本题考查了图形的变化规律，涉及去绝对值、有理数混合运算等知识，理解题意，找出规律，分类求解即可得到答案．分类讨论是解题的关键． （1）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （2）由阅读材料，找准规律即可得到答案； （3）由阅读材料，找准规律，去绝对值即可得到答案； （4）由阅读材料，找准规律，得到当时，有最小值，将代入代数式，去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料可知，7是奇数，故应该在第四台位置； （2）由阅读材料可知： 当为奇数时，应该在第台位置； 当是偶数时，应该在第台和第1台之间的任何位置； （3）由题意，在直线上相当于有3台机器，则当在所对应的点时，即当时，有最小值， ； （4）解： ∵∴可以理解为：表示的点到一个1，两个，三个，…，直到2011个的距离之和， 共有： 个点． 设  ． ∵， 现在求 和 的值． 设 ，则 ， 可得 ． 且 ， 故 时， 的值最小．      ． 【题型四】数轴与动点问题 解题策略：数轴上的动点问题，以数轴为载体，考察的是数形结合思想. 解决数轴动点问题时，应该遵循“点、线、式”三步策略. 即:先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解. 注意:要检验解是否符合动点的运动时间范围. 1．（25-26六年级上·上海松江·期中）对于数轴上的三点，若其中一点到另一点的距离恰好是其到第三点距离的2倍，则称该点是另外两点的“倍距点”．例如，若数轴上点、、所表示的数分别为1、3、4，则点是点、的“倍距点”，如图所示： (1)在数轴上，若点表示的数为，点表示的数为3，数、1、7所对应的点分别为、、，则其中是点、的“倍距点”的是______． (2)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为秒（）．当点为点、的“倍距点”时，求的值． (3)在数轴上，点表示的数为，点表示的数为15，点为数轴上的一个动点，且点在点右侧．若点、、中恰好有一个点是另外两个点的“倍距点”，求此时点表示的数． 【答案】(1)，； (2)或或； (3)表示的数是25或35或55． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求出、、三点到点A和点B的距离，再根据“倍距点”的定义判断即可； （2）运动t秒后点P表示的数为，用含t的式子表示出的长，再分和两种情况，分别建立方程求解即可； （3）分三种情况：当点A是点B与点P的“倍距点”时，则，当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或，当点P是点A与点B的“倍距点”时，则，分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ，，，， ∴， ∴其中是点、的“倍距点”的是，； （2）解：由题意得，运动t秒后点P表示的数为， ∴，， 当时，则， ∴或， 解方程得，解方程得； 当时，则， ∴或， 解方程得（舍去），解方程得； 综上所述，或或； （3）解：设点P表示的数为x， 当点A是点B与点P的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 当点B是点A与点P的“倍距点”时，则或， ∴或， 解方程得，解方程得； 当点P是点A与点B的“倍距点”时，则， ∴， 解得； 综上所述，点P表示的数为25或35或55． 2．（25-26六年级上·上海普陀·月考）已知数轴上有、两点，分别表示有理数，，且，满足式子，动点（对应数，速度单位/秒）、（对应数，速度单位/秒）． (1)动点从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发，经过几秒、相遇？相遇点对应数为多少？ (2)已知点表示，若，求此时与的距离． (3)从出发向右运动，从出发向左运动，同时出发秒（），当时，沿数轴折叠使与重合，求折叠后的对应点（对应数的值）． 【答案】(1)经过3秒相遇，相遇点对应数为5 (2)4或 (3) 【分析】（1）先通过非负数性质求出、，再根据相遇时、的路程和等于、距离列方程求时间，进而求相遇点； （2）根据列绝对值方程，分情况解出对应的数，再计算与的距离； （3）先表示秒后、的位置，结合、表示、，根据列方程求，再求折叠点，进而得． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得，， ∴的距离：， 设经过秒、相遇，由题意得， 解得， 相遇点对应数：； （2）解：， 由，得， 当时，， 解得， 与的距离：； 当时，， 解得， 与的距离：； 当时：， 解得（舍去） 综上，与的距离为或． （3）解：秒后，对应数：，对应数：， ，， 由，得， 当时，， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， ， ∴或， 解得，（舍去）， 此时对应数：， 折叠点（、中点）：， 设对应数为，则， 解得． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题、绝对值与平方的非负性、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点间距离的表示方法，结合动点运动规律列方程求解是解题的关键． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题、两点间的距离、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，再用8减去点Q运动的路程即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，然后减去8即可解答； （3）分点Q向左运动还没到达原点时、点Q向右运动时且还没经过点A时、点Q向右运动时且经过点A后三种情况，分别求出的长、进而求得运动时间，再求得的长，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点Q到原点O的距离为6． （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点Q运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点Q到原点O的距离为2． （3）解：当点Q到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点Q向左运动还没到达原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴，则运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点Q向右运动且还没经过点A时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点Q向右运动，且经过点A后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴． 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 4．（24-25六年级上·上海·期中）我们知道、两数对应的点在数轴上的距离为，例如数轴上表示与2两点之间的距离可表示为，与两点之间的距离可表示为． 如图，点是数轴上的三点，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为． (1)如果动点在点、之间，那么_________． (2)若，那么动点表示的数是________． (3)若点表示的数是，现在有一蚂蚁从点出发，以每秒1个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，化简绝对值，一元一次方程的应用： （1）根据动点在点、之间化简绝对值即可得到答案； （2）分点C在点B左侧时，当点C在点A右侧时，两种情况先去绝对值，然后解方程即可得到答案；由（1）可知点在点、之间时不符合题意； （3）设当经过t秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94，则，再分当时，当时，当时，三种情况去绝对值解方程即可． 【详解】（1）解：∵动点在点、之间，点表示的数为3，点表示的数为，动点表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：当点C在点B左侧时， ∵， ∴， ∴； 当点C在点A右侧时， ∵， ∴， ∴； 由（1）可知点在点、之间时不符合题意； 综上所述，或， ∴点C表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：设当经过t秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94， 由题意得，， ∴， 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时， ∵， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得， ∴经过秒时，蚂蚁所在的点到点、点的距离之和是94． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $