专题02 直线的方程（期末压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题02直线的方程 目录 专题02 直线的方程 类型一、直线的倾斜角 类型二、倾斜角的取值范围 类型三、直线的方程 类型四、直线过定点问题 类型五、直线与坐标轴围成面积问题 类型六、直线相关最值、取值范围问题 类型七、两条直线位置关系求参数 类型八、两条直线位置关系直线方程 类型九、将军饮马问题 类型十、 点到直线距离最值问题 类型十一、两条平行线的距离问题 类型十二、直线对称问题 压轴专练 类型一、直线的倾斜角 直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k k=tanα>0 k=0 k=tanα<0 不存在 倾斜角α 锐角 0° 钝角 90° 图示 例1． (24-25高二上·河北保定四县一中·期末)已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果. 【详解】∵为直线的倾斜角， ∴直线斜率， ∴. 故选：A. 变式1-1．(24-25高二下·广东深圳人大附中深圳学校·期末)直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基本关系计算可得结果. 【详解】设直线，的倾斜角分别为，则,; 因此； 所以. 故选：C 变式1-2．(23-24高二上·山东枣庄薛城实验中学等校·)已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 变式1-3．(23-24高二上·陕西安康·期末)（多选）已知直线过点且与线段的延长线有公共点，若，，则直线的斜率的取值可以是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】ABC 【分析】先作出直线与线段的延长线，再结合图像观察即可得解. 【详解】由图像可知：要使直线与线段的延长线有公共点， 则， 又， 则直线的斜率的取值范围是. 故选：ABC. 类型二、倾斜角的取值范围 对直线倾斜角的理解 （1）由倾斜角定义可知倾斜角也是直线I向上的方向与x轴正方向所成的角 （2）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度. （3）平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等. （4）当直线的倾斜角90°时，其正切值等于直线的斜率k，即k=tan. 例2．(24-25高二上·河北石家庄辛集·期末)直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线 ， 因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 因为，所以，或. 故选：B. 变式2-1．(23-24高二上·山东威海·期末)已知点，，若直线与线段有公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图像，求斜率范围即可. 【详解】    若与线段有公共点，分析必过，且，，则. 故选：B 变式2-2．(23-24高二上·安徽亳州第十八中学·一模)已知两点，若直线过,且与线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，根据斜率公式即可求解. 【详解】因为直线恒过定点， 则， 结合图象可得： 若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为， 由斜率定义，可得直线倾斜角的取值范围为. 故选：D. 变式2-3．(22-23高二上·湖北武汉江岸区·期末)经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围． 【详解】解：如图， ，，， ，， 则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，， 又直线倾斜角的范围是：，且 直线l的倾斜角的范围为 ． 故答案为：． 类型三、直线的方程 例3．(24-25高二下·湖南永州第四中学·期末) （多选）已知点和则过点且与的距离相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分两种情况：过且与平行的直线，利用直线的点斜式方程，直接求解即可；直线过且经过中点，因为中点，所以直线方程：． 【详解】由题意，，不共线，所以存在两种情况： 直线过且与平行时，根据直线的点斜式方程可得：， 化简得：． 直线过且经过中点，因为中点， 所以直线方程：． 综上所述：直线方程为： 和． 故选:AD． 变式3-1．(24-25高二上·浙江杭州下沙区杭四吴山·期末) （多选）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 变式3-2．(22-23高二上·山东泰安·期末)设、是轴上的两点，点P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线PA的方程，确定出的倾斜角，利用且、在轴上，可得的倾斜角，求出的坐标，然后求出直线的方程． 【详解】解：由于直线的方程为，故其倾斜角为， 又，且、是轴上两点，故直线的倾斜角为， 又当时，，即， 直线的方程为，即． 故选：A． 变式3-3．(25-26高二上·陕西宝鸡凤翔区凤翔中学·)已知直线l过点． (1)从下面两个条件中任选一个，求直线l的方程． 条件①：直线l的倾斜角比直线的倾斜角大； 条件②：直线l的一个方向向量为． (2)若点在直线l上，且，求的取值范围． 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)所选条件见解析，； (2). 【分析】（1）根据所选条件，由倾斜角与斜率的关系或方向向量求，再应用点斜式写出直线方程； （2）根据的几何意义，数形结合法求其范围即可. 【详解】（1）选①：因为直线的斜率为，所以其倾斜角为， 则l的倾斜角为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即． 选②：由直线l的一个方向向量为，可知l的斜率， 所以l的方程为，即； （2）表示与点连线的斜率． 又是直线l在部分上的动点，作图如下： 则，直线AB的斜率不存在， 则，即的取值范围为. 类型四、直线过定点问题 例4．(24-25高二上·云南曲靖会泽县·期末) （多选）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确， 对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误； 对于C，又因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，在直角三角形中， 由勾股定理可得：， 所以，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ACD. 变式4-1．(24-25高二上·内蒙古赤峰宁城县高级中学等校联考·期末) （多选）下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．如果，那么直线不经过第四象限 C．已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 D．若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】将直线化为确定定点判断A；由，直线为判定B；注意直线过原点的情况判断C；根据平移得，整理后有即可判断D. 【详解】A：由，显然直线恒过，对； B：由，则， 而直线可化为，所以直线不经过第四象限，对； C：若直线过原点时，直线为，即，错； D：令原直线为，根据平移有， 所以与为同一直线， 所以，对. 故选：ABD 变式4-2．(23-24高二上·西藏拉萨那曲第四高级中学·期末)已知直线过定点． (1)求点的坐标； (2)若直线在轴和轴上的截距相等，求的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）利用直线求定点的方法直接列方程求解即可. （2）首先得出，然后根据截距相等列方程求解即可. 【详解】（1）直线， 则， 定点. （2）由直线在轴和轴上的截距相等，显然不为0（否则直线在坐标轴上的截距不相等，与题意矛盾）， 令，可得， 令，可得， 由直线在轴和轴上的截距相等，有，解得或2， 故或2． 变式4-3．(22-23高二上·广东深圳光明区·期末)已知直线，直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点． (1)证明：直线l过定点； (2)已知点，当最小时，求实数m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直线恒过定点的求法列出方程组，解之即可求解； （2）有（1），设直线方程为，可得，根据平面向量数量积的坐标表示和基本不等式中“1”的用法可得直线l的方程，即可求解. 【详解】（1）已知直线 ， 则， 由，解得， 即直线l过定点； （2）设直线的方程为， 则，又直线l过定点， 则，又点，则 ， 当且仅当即即时取等号， 所以直线l的方程为， 所以直线l过，即， 解得． 类型五、直线与坐标轴围成面积问题 例5．(24-25高二上·山东菏泽曹县第一中学·期末)过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 变式5-1．(23-24高二上·安徽五·期末)已知直线过点． (1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程； (2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可； （2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可. 【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 当直线不过原点时，设直线为， 将代入可得， 所以直线的方程为； 当直线过原点时，直线的斜率为， 所以直线的方程为即． 综上，直线的方程为或； （2）设直线的方程为， 所以，， 所以， 当且仅当时，，（舍）， 所以直线的方程为即． 变式5-2．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期末)已知直线． (1)若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． (2)若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【详解】（1）由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． （2）由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 变式5-3．(22-23高二上·北京中国人民大学附属中学·期末)已知直线 (1)若直线的倾斜角，求实数m的取值范围； (2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求面积的最小值及此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)最小值为2，直线l方程为：． 【分析】 （1）由直线的斜率和倾斜角的范围可得的不等式，解不等式可得； （2）由题意可得点和点，可得，由基本不等式求最值可得． 【详解】（1）解：由题意可知当时，倾斜角为，符合题意 当时，直线l的斜率 ∵倾斜角，∴． 故m的范围：． （2）解：在直线l中：令x＝0时，即，令y＝0时x＝m，即 由题意可知：得 即 当且仅当时取等号， 故最小值为2，此时直线l方程为：． 类型六、直线相关最值、取值范围问题 例6．(22-23高二下·河南济源英才学校·期末)已知第一象限的点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，又， ∴，当且仅当，即，时取等号． 故答案为：． 变式6-1．(23-24高二上·黑龙江佳木斯桦南县第一中学·期末)直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【分析】根据直线恒过定点的求法求出两直线恒过的定点，即的坐标，根据直线的方程计算得出两直线垂直，即，即可得出，即可根据基本不等式得出答案. 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 变式6-2．(21-22高二下·四川南充·期末)过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，将表示成a的函数，求出函数的值域的作答. 【详解】依题意，，直线l的方向向量，则有， 解得，因此，， 因当时，取最小值，则有， 所以的取值范围是. 故选：D 变式6-3．(23-24高二上·广东广州五校联考·期末)已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点， ，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 类型七、两条直线的位置关系求参数 一.判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在看斜率是否相等：①斜率相等时看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不相等时：两条直线平行. ②斜率不相等时，两条直线不平行. 二.1.若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件l1⊥l2A1A2+B1B2=0判断. 若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件l1⊥l2k1k2=-1判断. （3）若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断. 例7．(22-23高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 变式7-1．(24-25高二上·江苏扬州·期末) （多选）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【分析】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【详解】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 变式7-2．(24-25高二上·河南商丘·期末) （多选）已知直线：，：，点在上，点在上，则（    ） A．的最小值为 B．原点到的距离的最大值为 C．的充要条件为 D．的充要条件为或 【答案】BCD 【分析】利用直线过定点的求法判断B，利用直线一般方程下垂直与平行的条件判断CD，利用直线可能相交直接排除A，从而得解. 【详解】对于B，：可化为， 令，得，则过定点， 当垂直于定点与原点的连线时，原点到的距离最大， 最大距离为，故B正确； 对于C，的充要条件为，即，故C正确； 对于D，的充要条件为且，即或，故D正确. 对于A，因为直线：，：不一定平行， 当与相交时，两条直线上的点之间的最小距离为0，故A错误； 故选：BCD. 变式7-3．(23-24高二上·安徽马鞍山第二中学·期末) （多选）若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的值可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BD 【分析】由题意知三条直线中，有两条直线相互平行，讨论平行和平行，求解即可. 【详解】由题意可得，三条直线中，有两条直线相互平行， l1：的斜率为，l2：的斜率为， 所以不平行， 若平行，则，解得：， 若平行，则，解得：， 综上：实数a的值为或. 故选：BD. 类型八、两条直线的位置关系求直线方程 1.当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程． 2.当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx－Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程 例8．(24-25高二上·北京第二十中学·月考)已知直线与直线的交点为， (1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程： (2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）联立两直线方程解得交点坐标，再由垂直关系可得斜率，利用点斜式方程可得结果； （2）分别讨论截距是否为0，代入点坐标计算可得结果. 【详解】（1）联立，解得，即， 由与直线垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即； （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为， 因为，且，所以， 故此时直线的方程为； 综上可知，直线的方程为或. 变式8-1．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 变式8-2．(24-25高二上·河南开封·期末)中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得 【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且， 又，则， 则直线CD的方程为，即 故选：B 变式8-3．(23-24高二上·四川成都·期末) （多选）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，则下列说法正确的有（    ） A．过点且平行于的直线的方程为 B．直线的方程为 C．点的坐标为 D．边的垂直平分线的方程为 【答案】ABC 【分析】设过点且平行于的直线的方程为，再将点代入即可判断A；先求出的斜率，再根据点斜式即可判断B；联立直线的方程即可判断C；求出边的中点坐标及所求直线的斜率，再根据点斜式即可判断D. 【详解】对于A，设过点且平行于的直线的方程为， 则，解得， 所以过点且平行于的直线的方程为，故A正确； 对于B，由题意知，， ∵，∴， 所以直线的方程为，即，故B正确； 对于C，联立，解得， 所以点的坐标为，故C正确； 对于D，边的中点坐标为，， 所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的方程为，即，故D错误. 故选：ABC. 类型九、将军饮马问题 例9．(23-24高二上·四川成都·期末) （多选）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 变式9-1．(22-23高二上·辽宁五校（鞍山一中、大连二十四中等）·期末)我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.已知点在直线，点在直线上，且，结合上述观点，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以， 又， 当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 变式9-2．(23-24高二上·浙江浙大附中玉泉校区·期末)已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点到点的距离与点到点的距离和，过点作，垂足为，证明，由 求目标函数最小值. 【详解】由已知表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 所以， 过点作，垂足为， 因为直线的方程为，， 所以， 又直线与直线平行，， 所以，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，当且仅当三点共线时等号成立， 所以当点为线段与直线的交点时， 取最小值，最小值为， 因为过点与直线垂直的直线的方程为， 联立，可得， 所以点的坐标为，所以， 所以的最小值为， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于根据两点距离公式将目标函数转化为求线段的距离和问题，进一步结合图形将问题转化为两点之间的距离问题. 变式9-3．(22-23高二上·河北邯郸魏县第五中学·期末)已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解. 【详解】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值. 故选：C 类型十、点到直线距离最值问题 例10．(23-24高二上·湖北荆门·期末)若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为 . 【答案】 【分析】对已知变形为，然后转化为仅有三条直线满足和到直线（不过原点）的距离t相等，然后对进行分类讨论求解即可. 【详解】由已知得，，整理得， 看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离t相等； 由， （1）当，此时，易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线. （2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等， 注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d， ①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为， 此时，，符合； ②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为， 此时，，符合； 综上，满足题意的实数t为，，，它们的和为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查了点到直线距离公式的应用以及方程组解的个数问题解法，解题的关键是把问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线（不过原点）的距离t相等，属于难题. 变式10-1．(24-25高二下·湖南长沙雅礼中学·期末)实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 变式10-2．(24-25高二上·四川乐山普通高中·期末)点到直线（为任意实数）距离的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】法一：写出点到直线的距离的表达式，换元，利用对勾函数的性质即可求解；法二：利用几何法即可求出最值. 【详解】法一：点到直线的距离为， ， 令，当时，， 当时，，由对勾函数的性质可知， 所以，所以， 所以. 法二：易知直线过定点，则点到直线的距离最大值为定点到的距离，即. 故选：C. 变式10-3．(24-25高二上·广东湛江·期末)，，函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据两点间的距离及点到直线的距离公式构造点到点，点到直线的距离，由图可得解. 【详解】设点，和直线， ，到的距离分别为，，易知， 如图，    显然. 故答案为： 类型十一、两条平行线的距离问题 对两条平行直线之间的距离公式的理解 1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式. 2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等. 3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决. 例11．(24-25高二上·湖北部分州·期末)已知直线，若 ，则与之间的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据两直线平行的充要条件求出，利用两平行线间距离公式求解. 【详解】由，可得，解得， 所以直线，即， 所以与间的距离为. 故答案为：. 变式11-1．(22-23高二上·重庆第七中学校·期末) （多选）下列结论错误的是（    ） A．过点的直线的倾斜角为 B．若直线与直线垂直，则 C．直线与直线之间的距离是 D．已知，点在轴上，则的最小值是5 【答案】AC 【分析】求出直线倾斜角判断A；利用垂直关系求出a判断B；求出两条平行线间距离判断C；利用对称求出最小值判断D作答. 【详解】对于A，直线倾斜角，斜率，而，即，A不正确; 对于B，直线与直线垂直，则，解得，B正确； 对于C，直线与直线平行，它们间的距离，C不正确； 对于D，令点关于x轴的对称点为，连接交x轴于，P为x轴上任意点，连接，如图， 则，当且仅当点P为线段与x轴的交点时取等号， ，因此的最小值是5，D正确. 故选：AC 变式11-2．(23-24高二上·天津和平区·期末)设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可. 【详解】由直线可得， 所以直线与直线平行， 所以的最小值为直线与直线距离， 所以. 故选：C. 变式11-3．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知，，，均为实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】表示两点与之间的距离，表示两点与之间的距离，进而可得点的轨迹方程为两平行直线，可求最小值. 【详解】表示两点与之间的距离， 表示两点与之间的距离， 又点是直线上的动点，点是直线上的动点， 且直线与直线平行， 所以的最小值即为直线与直线之间的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键在于把两根式转化两点间的距离问题，进而可得的最小值即为直线与直线之间的距离，从而求解. 类型十二、直线对称问题 例12．(24-25高二上·广东深圳光明区·期末)已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可得三条直线互相平行，根据两平行的距离公式计算可得结果. 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 变式12-1．(24-25高二上·福建莆田第学五中·期末)已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设初始入射点设，确定入射点和反射点的坐标从而利用直线的点斜式方程得入射与反射直线，利用点在线段，，，上从而可得对应坐标范围，建立的不等关系，根据的范围得的取值范围即可. 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，涉及光线入射及反射问题，设关键的入射点坐标，利用直线方程的对称性、入射点及反射点的坐标关系，从而建立不等关系求解参数范围. 变式12-2．(23-24高二上·湖北荆门·期末)一条光线从射出与x轴相交于点，经x轴反射，交y轴于R，则光线从P到R所走的路程为 ． 【答案】 【分析】先求出关于x轴的对称点，再求出直线的方程，即可得点的坐标，即可得解. 【详解】关于x轴的对称点， 光线从射出与x轴相交于点， 则反射光线所在的直线经过点，Q， 则反射光线所在直线的方程为，化简得，得， 所以则光线从P到R所走的路程为． 故答案为：. 变式12-3．(25-26高二上·陕西咸阳实验中学·)已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 压轴专练 1．（多选）已知，，，且四边形是平行四边形，则下列说法正确的是（    ） A．直线的方程为 B．是直线的一个方向向量 C．边的垂直平分线与直线交于点 D．四边形的面积为3 【答案】ABC 【分析】由求出的坐标，进而求出直线方程判断A；由方向向量和斜率的关系判断B；求出边的垂直平分线方程，再解方程组判断C；求出平行四边形的面积判断D. 【详解】对于A，设，在中，，则， 解得，即，直线的方程为，即，A正确； 对于B，直线斜率，则是直线的一个方向向量，B正确； 对于C，BC的中点坐标为，直线斜率， 边BC的垂直平分线方程为，即，由，得点，C正确； 对于D，点到直线的距离，， 因此的面积为，D错误. 故选：ABC 2．(23-24高二上·湖南长沙宁乡·期末)已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 3．已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可． 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以 因为为菱形，所以，所以， 又，所以，整理得． （2）因为，，所以． 因为为菱形，所以，所以 因为，，所以中点坐标为， 所以 联立方程组， 解得，所以． 4．(24-25高二上·广东深圳光明区·期末)已知的顶点的坐标为，边所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求边所在的直线方程； (2)求点关于直线的对称点的坐标． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）联立直线与方程可得，设点，则，根据点分别在直线上列方程组可得结果. （2）设，根据及线段中点在上列方程组可得结果. 【详解】（1）由得，∴. 设点，则， ∴，解得，即 ∴，故直线的方程为，即. （2）设，则的中点坐标为，， ∴，解得：，故. 5．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 6．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末)已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，角的平分线所在直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据垂直直线的斜率关系由边上的高的方程求直线的斜率，再由点斜式求结论； （2）联立直线与直线的方程求点的坐标，求点关于的对称点的坐标，由此可得直线的斜率，利用点斜式求结论. 【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． （2）联立，解得，即． 设点关于直线对称的点为， 所以， 解得，即． 直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得． 7．(23-24高二上·四川凉山州·期末)已知直线． (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点. （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【详解】（1）直线，化为，当时，对任意实数，恒有， 所以直线过定点. （2）依题意，显然，直线交轴于点，交轴于点， 而点分别在轴的正半轴上，即，于是， 则的面积为， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，，直线的方程的方程为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02直线的方程 目录 专题02直线的方程 类型一、直线的倾斜角 类型二、倾斜角的取值范围 类型三、直线的方程 类型四、直线过定点问题 类型五、直线与坐标轴围成面积问题 类型六、直线相关最值、取值范围问题 类型七、两条直线位置关系求参数 类型八、两条直线位置关系直线方程 类型九、将军饮马问题 类型十、点到直线距离最值问题 类型十一、两条平行线的距离问题 类型十二、直线对称问题 压轴专练 典例详解 ≈类型一、直线的倾斜角 直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下： 斜率k k=tan a >0 k=0 k=tan a <0 不存在 倾斜角a 锐角 0 钝角 90° 图示 例1.(24-25高二上·河北保定四县 中.期末)已知a为直线y=2x一1的倾斜角，则c0s2a=i() 4.3 8.4 4 3 5 5 c. D. 5 变式1-1.(24-25高二下广东深圳人大附中深圳学校期末)直线l1,12的斜率分别为1,2,11,12夹角为0， 则sin20=d() 5 C. 3 D. 10 变式1-2.(23-24高二上山东枣庄薛城实验中学等校)已知直线1经过1,0，(2,3两点，直线1的斜率是 直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 变式1-3.(23-24高二上陕西安康期末)（多选）已知直线过点P-1,2且与线段AB的延长线有公共点， 1/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若A-2,-3,B3,0,则直线的斜率的取值可以是() B.0 1 C.4 D. 4 4 5 么类型二、倾斜角的取值范围 对直线倾斜角的理解 (1)由倾斜角定义可知倾斜角也是直线I向上的方向与x轴正方向所成的角 (2)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度 (3)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相 等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等 (4)当直线的倾斜角c≠90°时，其正切值等于直线的斜率k,即k=tanc. 例2.(24-25高二上河北石家庄辛集·期末)直线1：sin0·X一y+8=0(0参数，0∈R)的倾斜角的取值范 围是() A. π3π C. 4’4 变式2-1.(23-24高二上山东威海期末)已知点A(-2,4),B(-1,-3),若直线y=kx与线段AB有公共 点，则() A.k∈iUU B.k∈[-2,3] C.k∈iUi o.ke号 变式2-2.(23-24高二上·安徽毫州第十八中学.一模)已知两点A-1,5,B0,0,若直线 1:k+1x-2k-2y+2k-6=0过P2,2,且与线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围为() A.-1,1 π3π B.44 c. 144, 变式2-3.(22-23高二上湖北武汉江岸区期末)经过点P0,-1)作直线1，且直线1与连接点A1,-2, B2,1的线段总有公共点，则直线1的倾斜角α的取值范围是一· 类型三、直线的方程 例3.(24-25高二下.湖南永州第四中学期末)（多选）已知点A(-5,4)和B(3,2),则过点C(-1,2)且与 A,B的距离相等的直线方程为() A.X+4y-7=0 B.X-4y-7=0 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.y=-1x7 4x-4 D.X=-1 变式3-1.(24-25高二上·浙江杭州下沙区杭四吴山期末)（多选）下列说法正确的有() A.直线倾斜角越大，斜率越大 B.过点Px,y1,Qx2,y2的直线方程是X-X1=y-y X1-x2y1-y2 C.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 0。直线子背=1在y轴上的发距是-3 变式3-2.(22-23高二上山东泰安期末)设A、B是y轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA=PB,若 直线PA的方程为X-y+1=0,则直线PB的方程为() A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.2x+y-7=0 D.x+y-3=0 变式3-3.(25-26高二上·陕西宝鸡凤翔区凤翔中学)己知直线1过点1,2： (1)从下面两个条件中任选一个，求直线1的方程， 条件①：直线的倾斜角比直线3x-3y+1=0的倾斜角大1)/ 条件②：直线1的一个方向向量为à=1,1. 2若点MX,在直线1上，且x∈-2,1.求+2 的取值范围. 水-1 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 类型四、直线过定点问题 例4.(24-25高二上·云南曲靖会泽县·期末)（多选）己知过定点A的直线l1:x+y=0与过定点B的直线 l2:x-my-2m-2=0相交于点Pxo,yo,则下列选项正确的是() A.A0,0 B.B2,2 c.1⊥l2 D.PA·PB≤4 变式4-1.(24-25高二上·内蒙古赤峰宁城县高级中学等校联考期末)（多选）下列说法正确的是() A.直线l:mx+y+2-m=0恒过定点1，-2 B.如果AB<0,BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过第四象限 C.己知直线l过点P2,3,且在x,y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y-5=0 D.若直线沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该 2 直线的斜率为3 变式4-2.(23-24高二上·西藏拉萨那曲第四高级中学，期末)已知直线l:y=ax+2-a过定点P. 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求点P的坐标： (2)若直线l在x轴和y轴上的截距相等，求a的值， 变式4-3.(22-23高二上广东深圳光明区·期末)已知直线1：(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线1分 别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点. (1)证明：直线1过定点： (2)已知点P(-1,-2),当PA·PB最小时，求实数m的值. 类型五、直线与坐标轴围成面积问题 例5.(24-25高二上山东菏泽曹县第一中学.期末)过定点A的直线a+1x-y+2=0与过定点B的直线 x+a+1y-5a-2=0交于点P(P与A、B不重合)，则△PAB面积的最大值为() 9 3 A.4 B.2 C.2 0.2 变式5-1.(23-24高二上·安徽五期末)已知直线l过点1,2. (1)若直线l在y轴上的截距b、在x轴上的截距的a满足b=3a,求直线的方程； (2)若直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积最小时，求直线的 方程. 变式5-2.(24-25高二上宁夏石嘴山平罗中学.期末)已知直线l:y=k心一2k+1(k∈R): (1)若直线1不经过第二象限，求k的取值范围. 9 (2)若直线1与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△4OB的面积为二时(0为坐标原点)，求此时相 应的直线1的方程 变式5-3.(22-23高二上·北京中国人民大学附属中学.期末)已知直线：x+m-1y-m=0 (1)若直线的倾斜角a∈ Tπ 求实数m的取值范围： 4’2 (2)若直线I分别与x轴，y轴的正半轴交于A,B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线 l的方程。 类型六、直线相关最值、取值范围问题 例6,2223高三下河南济源英才学校期末已知第一象限的点P(Q,b)在直线x+2y-1=0上，则。+方的 最小值为 变式6-1.(23-24高二上·黑龙江佳木斯桦南县第一中学.期末)直线l1:x+m+1y-2m-2=0与直线 12:m+1x-y-2m-2=0相交于点P,对任意实数m,直线l1,l2分别恒过定点A,B,则PA+PB的 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 最大值为」 变式6-2.(21-22高二下.四川南充期末)过坐标原点O作直线1：(a+2x+1-ay-6=0的垂线，垂足为 Hs,t,则s2+t2的取值范围是() A.0,2V2 B.0,2只2 c.0,8 D.0,8 变式6-3.(23-24高二上广东广州五校联考期末)已知直线过点P1,2且与x轴、y轴分别交于 Aa,0,B(0,ba>0,b>0两点，O为坐标原点，则OA+2OB的最小值为 类型七、两条直线的位置关系求参数 一.判断两条直线是否平行的步骤： 看斜率： 1.斜率都不存在一看横截距：*Expression is faulty*横截距相等时：两条直线重合* Expression is faulty*横截距不相等时：两条直线平行 2.斜率存在一看斜率是否相等：*Expression is faulty*斜率相等时一看纵截距：* Expression is faulty*)纵截距相等：两条直线重合，2)纵截距不相等时：两条直线平行， *Expression is faulty*斜率不相等时，两条直线不平行. 二.1.若所给的直线方程都是一般式方程，则运用条件11⊥12一A1A2+B1B2=0判断. 若所给的直线方程都是斜截式方程，则运用条件11⊥12一k1k2=-1判断. (3)若所给的直线方程不是以上两种情形，则把直线方程化为一般式再判断： 例7.(22-23高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学期末)已知直线l1:ax+y-1=0, l2:a-2x-ay+1=0,则“a=-2”是“l1ll2”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 变式7-1.(24-25高二上江苏扬州期末)（多选）已知直线l1:Qx-y+1=0,l2:x-ay+1=0,下列选项 正确的有() A.若a=0,则l斜率不存在 B.若l1不经过第三象限，则a≤0 c.若l1⊥12，则a=0或-1 D.若a=1,则l1l2 变式7-2.(24-25高二上河南商丘·期末)（多选）已知直线l1:ax+y-1=0,l2:2x+(a-1y-a-1=0, 点P在L上，点Q在2上，则() A.PQ的最小值为5 B.原点到l2的距离的最大值为2 C山前充要条作为=号 D.l,/(l2的充要条件为a=2或a=-1 变式7-3.(23-24高二上·安徽马鞍山第二中学期末)（多选)若三条直线1：2x-y+1=0,12: x+y-1=0,l:2x+ay+a-2=0有2个公共点，则实数a的值可以为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型八、两条直线的位置关系求直线方程 1.当所求直线与已知直线Ax十By十C=0平行时，可设所求直线为Ax+By十入=0（入为参数，且 入≠C),再结合其他条件求出入，即得所求直线方程. 2.当所求直线与已知直线Ax十By十C=0垂直时，可设所求直线为Bx一Ay十入=O(x为参数)，再结合其 他条件求出入，即得所求直线方程 例8.(24-25高二上.北京第二十中学.月考)已知直线x+2y-3=0与直线3x-y-2=0的交点为P, (1)直线l1经过P,且与直线：3x+4y+1=0垂直，求直线l1的方程： (2)直线2经过P,且在两坐标轴上的截距相等，求直线l2的方程， 变式8-1.(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学期末)已知直线1过直线x一2y=0与直线 x+y+3=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行，则直线1的方程为() A.3x+y+7=0 B.3x+y-7=0 C.3X+y+3=0 D.3X+y-3=0 变式8-2.(24-25高二上河南开封期末)△ABC中，A-5,0,B3,2,C点在y轴上，若AB边上的中线 CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为() A.X+4y+3=0 B.4x+y+3=0 C.x-4y+5=0 D.4x-y+5=0 变式8-3.(23-24高二上·四川成都期末)（多选）已知△ABC的顶点A5,1,边AB上的中线CM所在直线 方程为2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,则下列说法正确的有() A.过点A且平行于CM的直线的方程为2x-y一9=0 B.直线AC的方程为2x+y-11=0 C.点C的坐标为4,3 D.边AC的垂直平分线的方程为X-2y-1=0 类型九、将军饮马问题 例9.(23-24高二上·四川成都期末)（多选）己知O为坐标原点，A3,1,P为x轴上一动点，Q为直线L: y=x上一动点，则() A.△APQ周长的最小值为42 B.AP+AQ的最小值为1+V2 c.AP+PQ的最小值为22 D.V2AP+OP的最小值为4 变式91.(22-23高二上辽宁五校（鞍山一中、大连二十四中等）·期末)我国著名数学家华罗庚曾说“数缺 形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”事实上，很多代数问题可以都转化为 几何问题加以解决，列如，与V(x-a)2+(y-b)相关的代数问题，可以转化为点x,y与点a,b之间的距 离的几何问题.已知点Mx1,y1在直线l1:y=X+2,点Nx2,y2在直线l2:y=x上，且MN⊥l1,结合上述 6/9 ©学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 观点，x+y,-4+x2-5+y,的最小值为() A.72 8.112 c.41-V2 2 D.5 变式9-2.(23-24高二上浙江浙大附中玉泉校区.期末)已知点Mx1,y1在直线l1y=x+2,点Nx2,y2在 直线L2:y=x上，且MN⊥1，x+y,-4?+x2-5+y的最小值为() A.72 8.112 2 c.V41-V2 D.5 变式9-3.(22-23高二上河北邯郸魏县第五中学期末)已知直线11：x-y+2=0,12:x-y-2=0,直线l3 垂直于l1,I2,且垂足分别为A,B,若C(-4,0),D(4,O),则就CAV+(ABV+(BDV的最小值为 () A.V10+2V2B.8+2 c.29V10+22 D.8 类型十、点到直线距离最值问题 例10.(23-24高二上·湖北荆门期末)若恰有三组不全为0的实数对（α，b)满足关系式 ia+b+3ViV5a-3b+3V元ta+b2,则实数t的所有可能取值的和为 变式10-1.(24-25高二下湖南长沙雅礼中学.期末)实数a,b满足a+b+1=0,则a2-2a+b2的最小值为 () A.2 B.1 C.0 D.-1 变式10-2.(24-25高二上四川乐山普通高中期末)点(0，-1)到直线λx-y+入=0（入为任意实数）距离的 最大值为() A.2 B.1 c.V2 D.2 2 变式10-3.2425高上东湛江期末Vx,y∈R,函数fx,y=x-1+y-4+3x+4y-5的 最小值为 类型十一、两条平行线的距离问题 对两条平行直线之间的距离公式的理解 1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式. 2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x,y的系数对应相等 3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决. 例11.(24-25高二上湖北部分州期末)已知直线L1:x+y-1=0,l2:2x+k-1y+3=0,k∈R,若l1‖12 则1与l2之间的距离为 7/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式11-1.(22-23高二上，重庆第七中学校，期末)（多选）下列结论错误的是（) A.过点A1,3,B一3,1的直线的倾斜角为30 B.若直线2X-3y+6=0与直线ax+y+2=0垂直，则a=3 C.直线x+2y-4=0与直线2x+4y+1=0之间的距离是5 D.已知A2,3,B-1,1,点P在x轴上，则PA+PB的最小值是5 变式11-2.(23-24高二上·天津和平区·期末)设点P,Q分别为直线3x+4y-7=0与直线6x+8y+3=0上 的任意一点，则PQ的最小值为() A.1 B.2 c品 变式11-3.(24-25高二上江苏扬州期末)已知m,n,p,q均为实数，则 m-p2+n-p-12+m-q2+n-q-3的最小值为() A.1 B.2 c.3 D.2 类型十二、直线对称问题 例12.(24-25高二上广东深圳光明区·期末)已知直线L1:x-2y+1=0与直线l2:x-2y+2=0关于直线 1:2x-4y+C=0对称，则C的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 变式12-1.(24-25高二上福建莆田第学五中.期末)已知点00,0，A0,1,B1,1,C1,0,平面上仅在 线段OA,AB,BC所在位置分别放置一个双面镜.现有一道光束沿向量3=1，mm>0的方向从线段OC 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在BC,AB,OA各反射一次后从线段OC上某点射出，则m的 取值范围是() 2 引 c层2 层引 变式12-2.(23-24高二上湖北荆门期末)一条光线从P(6,4)射出与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射，交 y轴于R,则光线从P到R所走的路程为 变式12-3.(25-26高二上陕西咸阳实验中学)已知一束光线通过点A-3,5，,经直线：3x-4y+4=0反射. 如果反射光线通过点B2,15,则反射光线所在直线的方程是一. 8/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 1.(多选)己知A2,2,B1,0,C3,一2，且四边形ABCD是平行四边形，则下列说法正确的是 () A.直线AD的方程为x+y-4=0 B.V=1,2是直线CD的一个方向向量 边BC的垂直平分线与直线AD交于点()， D.四边形ABCD的面积为3 2.(23-24高二上湖南长沙宁乡，期末)已知直线l1:X-2y+3=0与直线l2:2X+3y-8=0的交点为M. (1)求过点M且与直线L3:x+3y+1=0垂直的直线方程： (2)求过点M且与直线l4:3x+4y-5=0平行的直线方程. 3.已知菱形ABCD中，A-4,3,C2,-3,BC边所在直线过点P3,1,求： (1)AD边所在直线的方程； (2)点D的坐标. 4.(24-25高二上·广东深圳光明区·期末)已知△ABC的顶点A的坐标为0,0，边BC所在的直线方程为 x-y-2=0,边AC上的中线BM所在的直线方程为x+y-2=0. (1)求边AC所在的直线方程； (2)求点B关于直线AC的对称点B的坐标， 5.(24-25高二上江苏南通海门期末)已知点A4,0,B0,4,直线l:mx-y+1-m=0m∈R. (1)若1与线段AB有交点，直接写出m的取值范围： (2)若m>0,设1与直线AB及x轴分别交于C,D两点，求△ACD面积的最小值， 6.(24-25高二上，甘肃定西八校·期末)已知△ABC的顶点B(一1,0)，AB边上的高所在直线l1的方程为 x+2y-9=0,角A的平分线所在直线l2的方程为3x+y-7=0. (1)求直线AB的方程： (2)求直线AC的方程. 7.(23-24高二上四川凉山州期末)已知直线1：kx-y+1-2k=0(k∈R). (1)求证：直线经过一个定点； (2)若直线l交x轴的正半轴于点A,交y轴的正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积为S,求S的最 小值及此时直线的方程. 9/9