专题03 圆的方程与位置关系（期末压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

专题03圆的方程与位置关系 目录 专题03圆的方程与位置关系 类型一、圆的方程问题 类型二、圆的对称问题 类型三、定点到圆上点距离最值问题 类型四、点与圆位置关系 类型五、直线与圆位置关系求参数 类型六、圆与圆位置关系求参数 类型七、直线与圆位置关系求距离最值 类型八、两圆公共弦问题 类型九、轨迹问题 类型十、切线长、切点弦问题 压轴专练 类型一、圆的方程问题 圆的标准方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设————设所求圆的方程为（x- a）²+（y-b）²=r²； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r； ④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程. 例1．(24-25高二上·广东阳江高新区·期末)已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．(24-25高二上·新疆博尔塔拉蒙古博乐高级中学（华中师大一附中博乐分校）等校·期末)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．(23-24高二下·河南焦作·期末)平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．(24-25高二上·江西九江·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 类型二、圆的对称问题 例2．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 变式2-1．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知点O是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则当取到最小值时，为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 变式2-2．(23-24高二上·广西玉林·期末)若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 变式2-3．(23-24高二上·江苏无锡第一中学·期末)已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 类型三、定点到圆上点距离最值问题 圆上的点到直线距离最值: （1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r （2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离 （3）判断位置关系 例3．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)已知实数满足关系：，则的最小值 ． 变式3-1．(24-25高二上·云南保山·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 变式3-2．(24-25高二上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．(24-25高二上·福建三明·期末)已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 类型四、点与圆位置关系 例4．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式4-1．(23-24高二下·山东青岛青岛第九中学·期末)“”是“过点有两条直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式4-2．(23-24高二上·陕西西安区县联考·期末)已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 类型五、直线与圆位置关系求参数 一.直线与圆相交的性质， 如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则 点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距； CD⊥l; | 二.直线与圆相切的性质 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则 （1）CP⊥l； （2）点C到直线l的距离d=|CP|=r； （3）切点P在直线l上，也在圆上. 例5（多选）已知直线，点为上一点，则（    ） A．直线与相离 B．点到直线距离的最小值为 C．与关于直线对称的圆的方程为 D．平行于且与相切的两条直线方程为和 变式5-1．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为 ． 变式5-2．(24-25高二下·云南普洱第一中学·期末) （多选）已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 变式5-3．(24-25高二上·广东六中，二中，实，广雅，执信六校·期末)已知在平面直角坐标系中. (1)若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； (2)若，求的最小值； (3)判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 类型六、圆与圆的位置关系求参数 圆与圆的位置关系求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 例6．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式6-1．(24-25高二上·广东肇庆·期末) （多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 变式6-2．(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知实数满足等式，若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是 . 变式6-3．(24-25高二上·安徽巢湖第二中学·期末)年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ．    类型七、直线与圆的位置关系求距离最值 例7．(24-25高二上·浙江绍兴上虞区·期末) （多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 变式7-1．(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 变式7-2．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末) （多选）已知圆，直线，下列结论正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个 C．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为 D．已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为 变式7-3．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型八、两圆公共弦问题 两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 补充说明： ①若与相切，则表示其中一条公切线方程； ②若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 例8．(24-25高二上·广东深圳深圳大学附属中学·期末)已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ． 变式8-1．(24-25高二上·吉林长春吉大附中实验学校·期末) （多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为1 C．切线长的最小值为1 D．直线恒过定点 变式8-2．(23-24高二上·福建宁德·期末) （多选）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、则（    ） A．为圆上一动点，则最小值为 B．的最大值为 C．直线恒过定点 D．若圆平分圆的周长，则 变式8-3．(23-24高二上·湖北部分县区级示范高中温德克英协作体·期末)已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 类型九、轨迹问题 例9．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为 ． 变式9-2．(23-24高二上·重庆缙云联盟·期末)在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 变式9-3．(24-25高二上·广东深圳致理中学等校·期末)已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 类型十、切线长、切点弦问题 例10．(23-24高二上·浙江临平萧山联考·期末)已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 变式10-1．(24-25高二上·河北邢台·期末)在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．(24-25高二上·江苏常州·期末)动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 变式10-3．(23-24高二上·山东青岛即墨区·) （多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 压轴专练 1．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 2．(23-24高二上·山东济南·期末)已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 3．(23-24高二上·河北保定·期末)已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 4．已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点． (1)当经过圆心时，求直线的方程；（写一般式） (2)当直线的倾斜角为时，求弦的长． 5．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 6．(24-25高二上·广西钦州·期末)已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 7．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03圆的方程与位置关系 目录 专题03圆的方程与位置关系 类型一、圆的方程问题 类型二、圆的对称问题 类型三、定点到圆上点距离最值问题 类型四、点与圆位置关系 类型五、直线与圆位置关系求参数 类型六、圆与圆位置关系求参数 类型七、直线与圆位置关系求距离最值 类型八、两圆公共弦问题 类型九、轨迹问题 类型十、切线长、切点弦问题 压轴专练 类型一、圆的方程问题 圆的标准方程的两种求法 （1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程. （2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是： ①设————设所求圆的方程为（x- a）²+（y-b）²=r²； ②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r； ④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程. 例1．(24-25高二上·广东阳江高新区·期末)已知两个不同的圆，均过定点，且圆，均与轴、轴相切，则圆与圆的半径之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按点的位置分不在坐标轴与在坐标轴上两种情况讨论，结合圆的标准方程，点在圆上，以及方程根的情况综合分析的值即可. 【详解】当点在第一象限时，圆，的方程为的形式， 代入点的坐标，可得关于的方程， 圆，的半径，是该方程的两个不同实根， 所以 ，同理，当点在第二、三、四象限时也可得． 当点在轴上时，， 此时圆，的圆心分别位于第一、二象限（或第三、四象限），两圆在点处相切， 且，满足． 同理，当点在轴上时，，同样满足． 故选：C. 【点睛】结论点睛：圆的标准方程为，其中圆心为，半径为. 变式1-1．(24-25高二上·新疆博尔塔拉蒙古博乐高级中学（华中师大一附中博乐分校）等校·期末)由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论分别取正数或负数，得到曲线方程，即可得到曲线所围成的图形，求出其中一种情况的图形的面积，由对称性即可求出整体图形的面积. 【详解】当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆，如图， 同理可得，当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 当时，曲线方程为， 即是圆心为，半径的圆， 所以曲线围成的图形如图： 所以图象的面积为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，分类讨论的正负情况，从而分析得曲线所表示图形，由此得解. 变式1-2．(23-24高二下·河南焦作·期末)平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】    由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 变式1-3．(24-25高二上·江西九江·期末)在平面直角坐标系中，已知，，，的外接圆为圆，直线与圆相交于两点． (1)求圆的标准方程； (2)设直线的倾斜角分别为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用待定系数法，求出圆的一般方程，再转化成标准方程，即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，数形结合求得，再利用倍角公式，即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 则解得 所以圆的一般方程为，故圆的标准方程为. （2）如图，点到直线的距离， 又圆的半径，所以， 所以. 类型二、圆的对称问题 例2．(24-25高二下·甘肃兰州西北师范大学附属中学·期末)若圆上存在无数对点关于直线对称，则直线一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标，再根据圆上存在无数对点关于直线对称，得出直线一定过圆心，进而得到直线定过的点. 【详解】圆的标准方程为，圆心为． 由题意可得，直线一定过圆心． 故选：A 变式2-1．(24-25高二上·辽宁大连大连育明高级中学·期末)已知点O是坐标原点，点是圆上的动点，点在直线上，则当取到最小值时，为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】先求点关于直线对称的点为，结合圆的性质可得，再结合几何性质即可得,根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 又因为，当且仅当三点共线时，等号成立， 综上所述：当且仅当时，的最小值为6. 此时 故选：D 变式2-2．(23-24高二上·广西玉林·期末)若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可. 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 变式2-3．(23-24高二上·江苏无锡第一中学·期末)已知圆，圆，，分别是圆，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】先求出圆心关于直线的对称点坐标，再结合圆的几何性质求解即可． 【详解】圆，圆心，半径为1， 圆，圆心，半径为2， 设关于直线的对称点为，设， 则，解得， ， ， 则的最小值为10． 故答案为：10． 类型三、定点到圆上点距离最值问题 圆上的点到直线距离最值: （1）把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r （2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离 （3）判断位置关系 例3．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，数形结合可得答案. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 变式3-1．(24-25高二上·云南保山·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】 化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 变式3-2．(24-25高二上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值. 【详解】设为圆上任意一点， 因为，，所以，， 所以，所以， 表示点到点的距离， 又的圆心到点的距离为， 又圆的半径为， 所以到点的距离的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 变式3-3．(24-25高二上·福建三明·期末)已知点是坐标原点，点是圆上的动点，当动点在直线上运动时，的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出原点关于直线的对称点的坐标，可得出，进而可得出，再结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】圆的圆心为，半径为，如下图所示： 设原点关于直线的对称点为， 而直线的斜率为，且线段的中点在直线上， 由题意可得，解得，即点， 由对称性可得， 所以，， 当且仅当、分别为线段与圆、直线的交点时， 上述不等式中的两个等号同时成立，故取最小值. 故选：B. 类型四、点与圆位置关系 例4．(24-25高二上·湖北鄂南高级中学·期末)点可以向圆引两条切线，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程表示圆及点在圆外构造不等式求解即可； 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：， 解得：， 又在圆外，所以，得：， 所以k的取值范围为， 故选：C 变式4-1．(23-24高二下·山东青岛青岛第九中学·期末)“”是“过点有两条直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由已知点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案. 【详解】由题意，点在圆外，则有， ，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件. 故选：B 变式4-2．(23-24高二上·陕西西安区县联考·期末)已知圆心为的圆经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)已知在圆C外，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的标准方程为：，代入，，求解即可； （2）因为在圆C外，所以，代入求解即可. 【详解】（1）解：设圆的标准方程为：， 代入，， 得，解得：， 所以圆的标准方程为：； （2）解：因为在圆C外， 所以， 又因为，， 所以， 解得或， 所以的取值范围为：. 类型五、直线与圆位置关系求参数 一.直线与圆相交的性质， 如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则 点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距； CD⊥l; | 二.直线与圆相切的性质 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则 （1）CP⊥l； （2）点C到直线l的距离d=|CP|=r； （3）切点P在直线l上，也在圆上. 例5（多选）已知直线，点为上一点，则（    ） A．直线与相离 B．点到直线距离的最小值为 C．与关于直线对称的圆的方程为 D．平行于且与相切的两条直线方程为和 【答案】AC 【分析】由已知可得圆心，半径，根据圆心到直线的距离公式即可判断；根据圆上的点到直线的距离的最小值的求解方法即可判断；先求圆心关于直线的对称点，可得对称后圆的方程，即可判断；设平行于且与相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，即可判断. 【详解】因为， 所以圆心，半径， 对于，圆心到直线的距离为：， 所以直线与相离，故正确； 对于，因为点到直线距离的最小值为，故错误； 对于，设圆心关于直线对称点为， 则，解得， 所以与关于直线对称的圆的方程为，故正确； 对于，设平行于且与相切的直线方程为， 所以，解得或， 所以平行于且与相切的两条直线方程为和，故错误. 故选：. 变式5-1．(25-26高二上·云南“美美与共”民族中学联盟·)已知直线不全为0与直线不全为0分别与圆交于与，则四边形的面积取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据直线的方程可知且都过定点，记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理可得，求出后，分类讨论可得出四边形的面积取值范围． 【详解】因为且都过点，可得点在圆内， 又圆的圆心，半径． 记圆心到的距离分别为，根据圆的垂径定理， 得， 根据几何性质得，而当或，即有一条过圆心时，四边形面积最小为， 当时，得， 当且仅当时，四边形面积最大为． 故答案为：． 变式5-2．(24-25高二下·云南普洱第一中学·期末) （多选）已知直线，其中，点是直线上的一个动点.圆，其中，点是圆上的一个动点.则下列说法中正确的是（    ） A．当，时，圆心到直线的距离为 B．当，时，是坐标原点，则的最小值为 C．当时，不存在，使圆与直线相离 D．存在，使对任意的，圆与直线均相切 【答案】ACD 【分析】利用圆心到直线的距离判断A，作点O关于直线的对称点，结合点与圆的位置关系利用几何法求解最小值判断B，求出圆心到直线的距离，利用辅助角公式化简并利用正弦函数的性质求得，与半径比较即可判断C，举例法当时，求出圆心到直线的距离等于半径，即可判断D. 【详解】对于AB，当，时，直线即， 圆即，圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为，故A正确； 如图作点O关于直线的对称点，设，则， 解得，所以，则， 所以的最小值为，故B错误； 当时，圆即， 圆心，半径为， 圆心到直线的距离为， ，其中， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以任意的，， 故当时，任意的，使圆与直线相交，故C正确； 当时，圆即， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为， 故当时，对任意的，圆与直线均相切，故D正确. 故选：ACD 变式5-3．(24-25高二上·广东六中，二中，实，广雅，执信六校·期末)已知在平面直角坐标系中. (1)若圆与轴，轴及线段都相切，用表示圆的半径； (2)若，求的最小值； (3)判断以下两个命题的真假并说明理由. 命题1：若两个直角三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个直角三角形相似； 命题2：若两个三角形的面积比等于周长比的平方，则这两个三角形相似. 【答案】(1)答案见解析 (2)10 (3)命题1正确，命题2错误，理由见解析 【分析】（1）利用等面积法求出半径，或者求切线长； （2）利用旁切圆的性质求半径； （3）用内切圆，旁切圆的性质和焦半径公式进行分析. 【详解】（1）圆内切于，所以,可得， 圆旁切于，设圆心，直线，所以， 左右平方化简得出，所以，所以； （2）方法一：设的旁切圆的圆心为，由（1）可知， 因为，所以恒过点，点恒在圆外或圆上，所以， 即，解得或（舍），所以的最小值为10. 方法二：设， 因为，，可设，， 因为 ，则，， ，， ， ，解得或， 由知，，，舍去， 因此，即的最小值为10. （3）命题1正确，命题2错误. 对于命题1涉及三角形面积与内切圆半径联系起来， 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为， 记的面积为，周长为，内切圆半径为，旁切圆半径为， ，，又， 若即， 两圆心均在上，且直线为与的公切线， 与相似（此时）， 设，则 得：，， ，代入①得： ，， ，， ，， 同时除得，， （舍）或， ，，因为， 的值由比值确定，但两个对应的三角形是相似的. 对于命题2：点在椭圆上，焦点的周长，面积， 点在椭圆上，焦点的周长，面积，满足， 由焦半径公式计算得到，， ，， 与三边无论如何都不能成比例，所以与不相似. 类型六、圆与圆的位置关系求参数 圆与圆的位置关系求解策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． 例6．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知点，若圆上存在点，使得为坐标原点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，由得，即点在以为圆心，半径为的圆上，又点在圆上，得圆与圆有公共点，利用圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】设点，又，由， 所以，化简得， 所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又点在圆上， 所以圆与圆有公共点， 所以，即， 所以，即， 又，，所以的解集为， 由， 所以， 故选：B. 变式6-1．(24-25高二上·广东肇庆·期末) （多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 【答案】AD 【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得的取值范围，即可判断AB；当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C；当直线平分圆的周长时, 直线过点，设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D. 【详解】如图示：、，    根据直角三角形的等面积方法可得，， 因为，，即， 故，故A正确，B错误； 当直线与圆相切时，由题意可知的斜率存在， 故设的方程为，则有 ，即， 即或， 设原点到直线的距离为，则， 当时， ；当时，，故C错误； 当直线平分圆的周长时，即直线过点, 则直线斜率存在，设直线方程为，即 ， 则 ，即，则， 故原点到直线的距离为,则 ，故D正确. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 变式6-2．(24-25高二上·安徽蚌埠·期末)已知实数满足等式，若存在实数满足不等式，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先由不等式配方后，将其理解为圆及其内部，结合圆，由题意两圆有公共点，根据两圆位置关系的判定方法即可求得参数的取值范围. 【详解】由配方得：， 它表示的平面区域是圆及其内部. 设， 依题意圆与圆有公共点，故， 即， 整理得：，解得. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题主要考查两圆位置关系的应用，属于难题. 解题的关键是正确理解题意中等式与不等式之间的关系，需将二元二次不等式配方后理解为一个圆和内部构成的平面区域，结合另一个二元二次方程，说明两圆有公共点，从而得解. 变式6-3．(24-25高二上·安徽巢湖第二中学·期末)年是中国传统的农历“鼠年”，有人用个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：  是圆的圆心，圆过坐标原点；点均在轴上，圆与圆的半径都等于，圆、圆均与圆外切．已知直线过点设该直线的斜率为，若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于，则 ．    【答案】 【分析】利用圆、圆均与圆外切，分别求出圆、圆的方程，直线的方程为，由圆的弦长公式建立方程组，求解即得. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为3. 设圆的标准方程为，圆心为，半径为 因为圆与圆外切，所以，解得， 根据对称性得圆、圆的标准方程分别为，. 直线过点，且与三个圆都相交， 设直线的方程为，且存在，则三个圆心到该直线的距离分别为： ， 依题意，， 可得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 求出三个圆的圆心和半径，设出直线的方程，利用弦长相等，结合点到直线距离公式和弦长公式列等式求. 类型七、直线与圆的位置关系求距离最值 例7．(24-25高二上·浙江绍兴上虞区·期末) （多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ） A．曲线与直线有3个公共点； B．的最大值为4 C．曲线所围成的图形的面积为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A，联立，根据解的个数即可判断；对于B，作出曲线的图形，令，则，确定该直线与相切时直线与轴的截距最大，利用直线与圆的位置关系计算即可判断；对于C，求出一个弓形的面，则可求出曲线所围成的图形的面积，即可判断；对于D，确定可表示为曲线上的点与定点的距离的平方，利用两点距公式计算即可判断. 【详解】对于A，由，得， 所以，即， 解得或，所以或或， 即曲线与直线有3个公共点，故A正确； 对于B，， 如图所示： 由图可知，所在圆的圆心为，半径为2，. 令，则，即， 如图，当该直线与相切时，直线与轴的截距最大， 由，得，解得，即的最大值为4，故B正确； 对于C，由选项B知，曲线所围成的图形的面积为四个全等弓形的面积之和， 设弓形的面积为， 在中，， 所以， 所以扇形的面积， ，所以， 所以曲线所围成的图形的面积为，故C错误； 对于D，可表示为曲线上的点与定点的距离的平方， 由图可知，最大距离为定点到圆心的距离与半径之和， 即， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD 【点睛】难点点睛：本题的难点是对C选项的判断，求出一个弓形的面积. 变式7-1．(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值， 此时的方程为：，即， 联立，解得，即， 所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆， 两圆的方程相减即为直线的方程：. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 变式7-2．(24-25高二上·甘肃定西八校·期末) （多选）已知圆，直线，下列结论正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则 B．若，则圆上到直线的距离为的点恰有2个 C．若圆上存在点，直线上存在点，使得，则的取值范围为 D．已知，，为圆上异于的一点，若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】由直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，列方程求判断A，求时圆心到直线的距离，由此判断B，在直线与圆的不同位置关系下，转化条件列不等式求的范围，判断C，设，利用表示，结合余弦函数及二次函数性质求的最值，判断D. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相切，所以，解得 ，A错误． 当时，圆心到直线的距离，， 故圆上到直线的距离为的点恰有个，B正确． 当直线与圆相交或相切时，满足圆上存在点，直线上存在点，使得． 当直线与圆相离时，与圆相切时，最大， 要满足题意，只需，即， ，解得，C正确． 根据圆的对称性，不妨令在轴右侧， 设的中点为且，． 要使最大，只需保证在轴上方，即，如下图， ． 当时，与轴垂直时，取最大值，为，D正确． 故选：BCD. 变式7-3．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点，因， 由可得：， 化简得，即， 依题意，直线与圆有公共点， 故圆心到直线的距离， 即，化简得，解得：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查动点的轨迹方程的求法与应用，属于较难题.解题的关键有二：其一，要会利用所给等式通过设点，求出其轨迹方程；其二，正确理解轨迹方程表示的几何意义，学会等价转化解题. 类型八、两圆公共弦问题 两圆公共弦所在直线方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 补充说明： ①若与相切，则表示其中一条公切线方程； ②若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 例8．(24-25高二上·广东深圳深圳大学附属中学·期末)已知圆，圆，两圆交于，两点，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，证明两圆相交，求两圆的公共弦方程，再求面积的的解析式，令，可得，判断函数的单调性，结合单调性求最小值. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 所以，，， ， 故， 所以圆与圆相交， 将方程与方程相减可得， 所以直线的方程为， 因为到直线的距离， 所以， 又到直线的距离， 所以面积， 令，则，， 所以，， 设，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，函数取最小值， 故当时，取最小值， 所以当，即时，面积取最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于先求出公共弦的方程，结合弦长公式点到直线的距离公式求出的面积的表达式，再结合换元法，结合函数单调性求最值. 变式8-1．(24-25高二上·吉林长春吉大附中实验学校·期末) （多选）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为1 C．切线长的最小值为1 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【分析】对于A，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；对于B，由圆的性质，切线长，当最小时，有最小值，即可求解；对于C，四边形的面积为，即可求解；对于D，由题可知在以为直径的圆上，利用两圆方程求得直线的方程，即可求解. 【详解】对于A，因为圆，所以圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为， 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于C，由圆的性质，切线长， 当最小时，有最小值，此时，即， 则，故C正确； 对于B，四边形的面积为：， 因为，故四边形的面积为1，故B正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线， 所以，则在以为直径的圆上，又， ，即， 又圆，即， 上述两式相减，得直线的方程为，即， 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是分析得在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 变式8-2．(23-24高二上·福建宁德·期末) （多选）已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为、则（    ） A．为圆上一动点，则最小值为 B．的最大值为 C．直线恒过定点 D．若圆平分圆的周长，则 【答案】AD 【分析】求出圆心到直线的距离，结合圆的几何性质可求出的最小值，可判断A选项；求出的最大值，可得出的最大值，可判断B选项；求出直线的方程，可求出该直线所过定点的坐标，可判断C选项；求出圆、圆的公共弦所在直线的方程，分析可知，圆心在公共弦所在直线上，可判断D选项. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 对于A选项，圆心到直线的距离为， 所以，若为圆上一动点，则最小值为，A对； 对于B选项，如下图所示：    连接、，则，，由切线长定理可得， 因为，，，则， 所以，，且， 由图可知，为锐角，则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为，B错； 对于C选项，设点，则， ， 所以，以点为圆心，为半径的圆的方程为， 即， 将圆的方程与圆的方程作差可得， 即，即， 整理可得，由可得， 所以，直线直线恒过定点，C错； 对于D选项，若圆平分圆的周长， 将圆、圆的方程作差可得， 则圆心在直线上，即，可得，D对. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：求圆的切点弦所在直线的方法如下： （1）求出两切线与圆的切点坐标，利用两点式方程可得出切点弦所在直线的方程； （2）写出两圆在切点（在圆上）处的切线方程，将两切点的公共点代入两切线方程，通过说明两切点的坐标满足某直线方程，可得出切点弦方程； （3）写出圆外一点为圆心，以圆外一点到切点的距离为半径的圆的方程，将两圆方程作差可得出切点弦所在直线的方程. 变式8-3．(23-24高二上·湖北部分县区级示范高中温德克英协作体·期末)已知直线与直线相交于点，其轨迹记为曲线，曲线的方程为，点，分别在曲线，上运动，点在直线上，若直线经过点，且与两曲线，的公共弦所在的直线垂直，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意首先得，，取点关于直线的对称点为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】 由题意即，即， 所以， 注意到点不满足和， 所以化简得， 又， 两式相减得公共弦方程为， 所以直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点为， 所以，解得， 所以 ， 当且仅当点与与直线的交点重合时，等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：关键是取点关于直线的对称点为，由此即可顺利得解. 类型九、轨迹问题 例9．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，：，：，此时交点为； 当时，由直线：，斜率为， 由直线：，斜率为，， 又：，直线恒过， ：，直线恒过， 若为，的交点，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点、点； 综合以上两种情况，点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为，即， 又，，易知，在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， ， ， 又， ， 如图，当且仅当，，三点共线，且位于，之间时，等号成立， 即的最小值为. 故选： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 变式9-1．(24-25高二上·陕西榆林八校联考·期末)已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理及直角三角形斜边中线的性质得，设，可得点N在圆上，数形结合可知当直线MN与圆相切时，取得最大值，利用勾股定理计算可得结果. 【详解】由题意得，，圆半径为. ∵，，∴点在圆内. 如图1，连接CN，CA，则. ∵点N是线段AB的中点，∴， ∵，∴，即． 设，则，整理得， ∴点N在圆上，圆心，圆半径为. 如图2，当直线MN与圆相切时，取得最大值， 此时，． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用几何性质求出点的轨迹方程，数形结合求切线长即可得到结果. 变式9-2．(23-24高二上·重庆缙云联盟·期末)在平面直角坐标系中，为原点，已知，设动点满足，动点满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题意可得点在圆内部和圆周上，点的轨迹是以的直径的圆，延长交圆于点，设的中点为，的中点为，则，易得，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案. 【详解】因为，设动点满足， 所以点在圆内部和圆周上， 因为动点满足， 所以点的轨迹是以的直径的圆， 如图，延长交圆于点，设的中点为，的中点为， 则， 若点在圆上时，两点重合，两点重合， 若点在圆内时，则， 所以，当且仅当点在圆上时，取等号， 则，当且仅当三点共线时，取等号， 因为，当且仅当重合时，取等号， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，此时， 所以，当且仅当三点共线且点在圆与轴的交点处时，取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆的轨迹问题及动圆上的点到定点的距离的最值问题，考查了转化思想，难度较大 变式9-3．(24-25高二上·广东深圳致理中学等校·期末)已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率； (3)判断是否存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设出圆心，由得到方程，求出，得到圆心，进而求出半径，得到圆的标准方程； （2）设，则，设出切线方程，由到切线的距离为1得到方程，又，化简得到，解得，代入切线方程，化简得到，根据到的距离得到或，联立，求出，舍去不合要求的解，求出，故的斜率为； （3）设的方程为，由直线与两圆的位置关系得到不等式，求出，由垂径定理和，解得或，均不满足要求，故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【详解】（1）设圆的圆心为，由得 ，解得， 故圆心为，半径为， 故圆的标准方程为； （2）设，则， 显然过点的切线斜率存在， 过点的切线方程设为， 圆心到切线的距离为1，即， 即， 又，故，即，解得， 故，即，即， 圆心到的距离为2，即， 故或，解得或， 若，联立，解得，与矛盾，舍去， 若，联立，解得或0（舍去）， 故，所以， 故的斜率为； （3）不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且，理由如下： 设的方程为， 由题意得，圆心到的距离，解得， 圆心到的距离，解得， 故， 由垂径定理得， 解得或，均不满足要求， 故不存在斜率为1的直线与圆交于点P，Q，与圆交于点M，N，且. 【点睛】过圆上一点的切线方程为：， 过圆外一点的切点弦方程为：. 类型十、切线长、切点弦问题 例10．(23-24高二上·浙江临平萧山联考·期末)已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由圆的几何性质可知，， 因为，，，所以，， 所以，，则， 设，则为的中点， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，当取最小值时，取最小值，由，可得， 所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值， 则，因为，解得. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种： （1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解； （2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解. 变式10-1．(24-25高二上·河北邢台·期末)在平面直角坐标系中，直线与分别切于点，与轴分别交于点.若的周长为，则满足题意的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过切线长定理转化边长可得的周长为，利用两点间距离公式可得点坐标. 【详解】如图，连接，则. 由题意得，圆心，圆与轴相切于点. ∵与分别切于点，∴， ∴的周长为： ， ∴，即， 代入选项可得点的坐标为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用切线长定理转化边长，借助勾股定理建立关于的等量关系，代入选项可求出点坐标. 变式10-2．(24-25高二上·江苏常州·期末)动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解. 【详解】圆的几何性质可知，， 四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点P的轨迹. 变式10-3．(23-24高二上·山东青岛即墨区·) （多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为，半径为 B．切线 C．直线的方程为 D． 【答案】AC 【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得. 【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为， 故A项正确；    如图，点 为圆的两条切线, 切点分别为. 对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误； 对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：， 由圆心到直线的距离，解得：， 取，则切线方程为代入整理得：， 解得：，代入可得：，即得：， 因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确； 对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则， 于是，.故D项错误. 故选：AC. 【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题. 解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得. 压轴专练 1．(24-25高二上·江西上饶·期末)已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. 2．(23-24高二上·山东济南·期末)已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 3．(23-24高二上·河北保定·期末)已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)89 【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可； （2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论. 【详解】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 4．已知圆内有一点，过点作直线交圆于、两点． (1)当经过圆心时，求直线的方程；（写一般式） (2)当直线的倾斜角为时，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用圆的标准方程得出圆心和半径，利用两点求出斜率，根据点斜式求出直线方程； （2）先利用倾斜角求出直线斜率，进而运用点斜式求出直线方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出． 【详解】（1）圆的标准方程为， 圆心为，半径， 直线过点、，直线的斜率， 直线的方程为，即． （2） 当直线的倾斜角为时，斜率， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，圆的半径为， 弦的长为：． 5．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，再结合圆心特点以及圆所过点即可解出圆的方程； （2）首先求出到的距离为，再分直线斜率不存在和存在讨论即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆的圆心在直线上，所以． 因为圆过， 代入圆C方程 解得 故圆的标准方程为． （2）设到的距离为，由，解得 当直线斜率不存在时，，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 则圆心到直线的距离为，解得， 直线方程为 综上，直线方程为或 6．(24-25高二上·广西钦州·期末)已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程； (2)经过点作直线与圆相切，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，带入A、B点的坐标以及将圆心带入直线方程构成方程组，解方程组可得答案； （2）分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式即可求得切线l的方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由，得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 7．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $