专题6.4.2 用样本估计总体的离散程度（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

本讲义聚焦用样本估计总体的离散程度，系统梳理极差（基础波动范围）、方差（数据与均值偏离的精确度量）、标准差（单位一致的离散程度指标）的概念与计算，构建从简单到精确的递进式学习支架，帮助学生理解统计量意义及样本估计总体的思想。 资料特色在于知识点与题型深度融合，通过即学即练（如样本极差计算）和变式题（分层抽样总体方差估计）培养数学思维，结合成绩稳定性比较等实际问题体现数学语言表达现实世界，课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固提升。

专题6.4.2 用样本估计总体的离散程度 教学目标 1.理解极差、方差、标准差的概念，掌握三者的计算公式及相互关系. 2.能够根据样本数据计算极差、方差、标准差，并能利用这些统计量分析样本数据的离散程度. 3.理解用样本离散程度估计总体离散程度的统计思想，会用样本的极差、方差、标准差估计总体的离散程度. 教学重难点 1.重点： （1）极差、方差、标准差的概念及计算公式. （2）运用样本的极差、方差、标准差估计总体的离散程度. （3）理解离散程度的统计意义—— 离散程度越大，样本数据的波动越大；离散程度越小，样本数据的波动越小. 2.难点： （1）方差概念的理解：方差公式的推导逻辑，以及方差反映数据波动程度的原理. （2）区分 “用样本估计总体” 与 “直接计算总体离散程度” 的差异，理解抽样的代表性对估计结果的影响. （3）实际问题中，根据数据特点选择合适的离散程度统计量（极差、方差、标准差）进行分析和推断. 知识点01 极差 1.极值：一组数据的最大值和最小值统称作极值. 2.极差：一组数据中最大值与最小值的差.也称全距，用R表示. 3.极差的特点： （1）计算简单，直观反映数据的波动范围. （2）缺点：只受极端值影响，忽略了中间数据的分布情况，代表性较弱. 【即学即练】（25-26高二上·四川成都·月考）样本数据1，2，4，5，8的极差为 . 知识点02 方差 1.总体方差（方差）：（1）定义：设y1 ,y2 ,…,yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则.称为总体方差 （2）总体方差σ2的意义： ①刻画总体中个体向总体均值μ集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向 μ集中得越好； ②刻画总体中个体的稳定或波动程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小；方差越大，表明个体与均值μ的距离越远，离散程度越高，整体波动越大. 2. 样本方差：（1）定义：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据用表示这n个数据的均值，则：称为这n个数据的样本方差（也简称为方差）. （2）样本方差的意义： ①刻画样本数据相对于样本均值集中或离散的程度. ②样本方差依赖于样本的选取，带有随机性；若样本是随机抽取的，当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计. 【即学即练】（25-26高三上·山西·月考）若样本数据，，，，的平均数为，则该样本的方差为 . 知识点03 标准差 标准差：（1）定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差.总体标准差 若σ2是总体方差，则称σ为总体标准差； 若s2是样本方差，则称s为样本标准差. 样本标准差计算公式： （2）标准差的特点： ①标准差的值同样非负，单位与原数据的单位一致，实际应用更广泛； ②标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据越集中、稳定. ③标准差与方差的变化趋势一致，二者都能反映数据的波动情况. 【即学即练】（24-25高一下·四川达州·期末）衡量数据离散程度还可以使用变异系数（标准差与平均数的比值，一般来说变异系数越大，其离散程度的测度值越大，反之越小）．下表总结了标准差与变异系数的适用场景．某次考试后，甲班平均分80分，标准差9分；乙班平均分100分，标准差10分．则 场景 使用标准差 使用变异系数 数据单位相同，均值相近 直接比较绝对波动 不必要 数据单位不同 无法直接比较 消除单位差异，比较相对波动 均值差异大 可能误导 标准化后比较相对波动 A．甲班成绩相对更稳定 B．乙班成绩相对更稳定 C．甲、乙两班成绩一样稳定 D．不确定 题型01 极差的计算等问题 【典例1】（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·广东茂名·期中）采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．图中前三个数据的平均值为49.9% B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大 C．图中PMI指数的极差为3.8% D．2023年PMI指数的众数为49.0 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·安徽·期中）在庆祝抗日战争胜利周年的演讲比赛中，共有位评委分别给出某选手的原始评分（假设各位评委打分均不相同），评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分.个有效评分与个原始评分相比，可能变化的数字特征是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【变式1-3】（24-25高一上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 题型02 计算几个数据的方差、标准差 【典例2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 . 【变式2-1】（25-26高三上·河南·期中）数据的方差为（    ） A．4 B．8 C．2.4 D．9 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（    ） A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.5 【变式2-3】（24-25高二上·四川广安·期末）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 题型03根据极差、方差、标准差求参数 【典例3】（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【变式3-1】（2025·湖北十堰·模拟预测）若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（   ） A．112分 B．113分 C．115分 D．119分 【变式3-3】（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 题型04 各数据同时加减同一数对方差的影响 【典例4】（多选）（24-25高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ）． A．数据的上四分位数是 B．已知样本数据，，…，的平均数为，则数据，，…，，与原数据的极差、平均数都相同 C．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 D．甲组数据的方差为，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙组 【变式4-1】（多选）（24-25高三下·河南开封·月考）已知点与点关于点对称，若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 【变式4-2】（多选）（25-26高二上·黑龙江·月考）某班50个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数据，则（    ） A．新数据与原数据的平均数相同 B．新数据与原数据的方差相同 C．新数据与原数据的中位数相同 D．新数据与原数据的极差相同 【变式4-3】（25-26高二上·广东江门·月考）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则 ． 题型05 各数据同时乘除同一数对方差的影响 【典例5】（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【变式5-1】（25-26高二上·广东中山·月考）下列命题中是假命题的是（ ） A．一组数据的平均数、众数、中位数相同 B．有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【变式5-2】（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 【变式5-3】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（   ） A． B． C． D． 题型06 用方差、标准差说明数据的波动程度 【典例6】（24-25高一下·福建泉州·期末）某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 (1)求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 【变式6-1】（多选）（24-25高一下·四川资阳·期末）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C．甲队比乙队技术水平更稳定 D．乙队很少不失球 【变式6-2】（多选）（24-25高一下·广东汕头·期末）在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少不失球 【变式6-3】（多选）（25-26高二上·江苏南京·月考）甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，根据这7天的数据，则下列说法正确的是（    ） A．乙城市日均气温的极差为 B．乙城市日均气温的众数为 C．甲城市日均气温的中位数与平均数相等 D．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 题型07 估计总体的方差、标准差 【典例7】（2025·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·湖北·月考）某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（   ） A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5 【变式7-2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 . 【变式7-3】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为 小时，方差为 ； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 题型08 数字特征的综合问题 【典例8】（25-26高二上·四川绵阳·月考）已知一个样本，样本容量为，平均数为，标准差为，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-1】（2025·全国·模拟预测）为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2．则该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是（   ） A．总体平均数为3.4本，总体方差为3.24 B．总体平均数为3.5本，总体方差为3.04 C．总体平均数为3.4本，总体方差为3.04 D．总体平均数为3.5本，总体方差为3.24 【变式8-2】（2024·河北·模拟预测）某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】（2025高一·湖南·专题练习）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（25-26高二上·广东·月考）已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．5，3 D．4，12 2．（24-25高一下·吉林·期末）下列叙述中，错误的是（    ） A．样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 B．数据的标准差比较小时，数据比较分散 C．数据的极差反映了数据的集中程度 D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 3．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 4．（25-26高三上·上海·期中）现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（    ） A．平均数变大 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 5．（25-26高三上·山西·月考）某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示. 体重 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100名男员工的体重的中位数大于 B．这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20% C．这100名男员工的体重的极差介于至之间 D．这100名男员工的体重的平均值介于至之间 6．（25-26高二上·北京海淀·月考）两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 9 7 8 5 4 9 10 7 4 乙 8 5 7 8 7 6 10 6 7 7 用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的平均数，用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的标准差，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高二上·四川成都·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C．如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 8．（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知样本数据，（）（），则（    ） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10．（2025·广东·模拟预测）两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．（24-25高一下·北京·开学考试）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 日 日 日 日 日 日 日 甲地 乙地 记这天甲地每天最低气温的标准差为；记这天乙地每天最低气温的标准差为．根据上述信息，若，则值可以为 ．（写出一个符合题意答案即可） 13．（2025·山东·三模）已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 14．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 四、解答题 15．（2025·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 16.（2025高一上·全国·专题练习）某市场监管系统市场主体数据分析大赛中，由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组，给参赛选手打分．打分均采用100分制，下面是三组评委对选手小明的打分： 小组A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86 小组B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90 小组C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94 (1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值； (2)你能依据（1）的度量值判断小组A，B与C中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ (3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为，，媒体评审得分的平均数和方差分别为，，大众评审得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，求该选手最终得分的方差． 17.（24-25高一下·福建厦门·月考）给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． (1)证明：; (2)证明：的最小值为； (3)求当取最小值时，的取值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.4.2 用样本估计总体的离散程度 教学目标 1.理解极差、方差、标准差的概念，掌握三者的计算公式及相互关系. 2.能够根据样本数据计算极差、方差、标准差，并能利用这些统计量分析样本数据的离散程度. 3.理解用样本离散程度估计总体离散程度的统计思想，会用样本的极差、方差、标准差估计总体的离散程度. 教学重难点 1.重点： （1）极差、方差、标准差的概念及计算公式. （2）运用样本的极差、方差、标准差估计总体的离散程度. （3）理解离散程度的统计意义—— 离散程度越大，样本数据的波动越大；离散程度越小，样本数据的波动越小. 2.难点： （1）方差概念的理解：方差公式的推导逻辑，以及方差反映数据波动程度的原理. （2）区分 “用样本估计总体” 与 “直接计算总体离散程度” 的差异，理解抽样的代表性对估计结果的影响. （3）实际问题中，根据数据特点选择合适的离散程度统计量（极差、方差、标准差）进行分析和推断. 知识点01 极差 1.极值：一组数据的最大值和最小值统称作极值. 2.极差：一组数据中最大值与最小值的差.也称全距，用R表示. 3.极差的特点： （1）计算简单，直观反映数据的波动范围. （2）缺点：只受极端值影响，忽略了中间数据的分布情况，代表性较弱. 【即学即练】（25-26高二上·四川成都·月考）样本数据1，2，4，5，8的极差为 . 【答案】7 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用极差的定义最大值减去最小值即可得到极差. 【详解】由极差的定义得到样本数据1，2，4，5，8的极差为 . 故答案为：7 知识点02 方差 1.总体方差（方差）：（1）定义：设y1 ,y2 ,…,yN是总体的全部个体，μ是总体均值，则.称为总体方差 （2）总体方差σ2的意义： ①刻画总体中个体向总体均值μ集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值μ的距离越近，个体向 μ集中得越好； ②刻画总体中个体的稳定或波动程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小；方差越大，表明个体与均值μ的距离越远，离散程度越高，整体波动越大. 2. 样本方差：（1）定义：若从总体中随机抽样，获得n个观测数据用表示这n个数据的均值，则：称为这n个数据的样本方差（也简称为方差）. （2）样本方差的意义： ①刻画样本数据相对于样本均值集中或离散的程度. ②样本方差依赖于样本的选取，带有随机性；若样本是随机抽取的，当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计. 【即学即练】（25-26高三上·山西·月考）若样本数据，，，，的平均数为，则该样本的方差为 . 【答案】/ 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数公式求出，再由方差公式即可求得答案. 【详解】因为样本数据的平均数为，则，解得， 所以方差. 故答案为：. 知识点03 标准差 标准差：（1）定义：方差的算术平方根叫做这组数据的标准差.总体标准差 若σ2是总体方差，则称σ为总体标准差； 若s2是样本方差，则称s为样本标准差. 样本标准差计算公式： （2）标准差的特点： ①标准差的值同样非负，单位与原数据的单位一致，实际应用更广泛； ②标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据越集中、稳定. ③标准差与方差的变化趋势一致，二者都能反映数据的波动情况. 【即学即练】（24-25高一下·四川达州·期末）衡量数据离散程度还可以使用变异系数（标准差与平均数的比值，一般来说变异系数越大，其离散程度的测度值越大，反之越小）．下表总结了标准差与变异系数的适用场景．某次考试后，甲班平均分80分，标准差9分；乙班平均分100分，标准差10分．则 场景 使用标准差 使用变异系数 数据单位相同，均值相近 直接比较绝对波动 不必要 数据单位不同 无法直接比较 消除单位差异，比较相对波动 均值差异大 可能误导 标准化后比较相对波动 A．甲班成绩相对更稳定 B．乙班成绩相对更稳定 C．甲、乙两班成绩一样稳定 D．不确定 【答案】B 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、统计新定义 【分析】根据变异系数的定义，分别求得甲乙两班的变异系数，即可得出判断． 【详解】由题可知，两班均值差异大，使用标准差可能误导，故使用变异系数， 甲班变异系数为，乙班变异系数为， 所以乙班成绩相对更稳定， 故选：B． 题型01 极差的计算等问题 【典例1】（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知甲、乙两名同学在高一的6次数学周测的成绩统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲的中位数高于乙的中位数 B．若甲、乙两组数据的平均数分别为，则 C．甲成绩的极差大于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】C 【知识点】用中位数的代表意义解决实际问题、众数、平均数、中位数的比较、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】根据甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图，根据中位数，平均数，极差和数据的波动性，逐项分析判断，即可求解. 【详解】由甲、乙两名同学在高一年级的6次数学周测的成绩统计的折线图， 对于A中，由统计的折线图知，甲同学的中位数大于，乙同学的中位数小于， 所以甲的中位数高于乙的中位数，所以A正确； 对于B中，由统计的折线图知，甲同学只有第2次的周测成绩低于乙同学， 其他次的周测成绩都高于乙同学，可得，所以B正确； 对于C中，因为极差为样本数据的最大值与最小值的差， 由统计的折线图知，甲同学的周测成绩的极差小于乙同学周测成绩的极差，所以C不正确； 对于D中，由统计的折线图知，甲同学周测成绩的波动性小于乙同学成绩的波动性， 所以甲同学的周测成绩比乙同学的周测成绩更稳定，所以D正确. 故选：C. 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·广东茂名·期中）采购经理指数（PMI）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用.2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（    ）    A．图中前三个数据的平均值为49.9% B．2023年四个季度的PMI指数中，第一季度方差最大 C．图中PMI指数的极差为3.8% D．2023年PMI指数的众数为49.0 【答案】ABD 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】经计算可得前三个数据的平均值为，由方差的实际意义可知B正确；根据极差的公式计算可得C错误；根据众数的概念判断D即可. 【详解】对于A，前三个数据为，，，所以前三个数据的平均值为，故A选项正确； 对于B，从表中数据可以看出2023年四个季度的PMI指数中，第一季度的波动性最大，稳定性最差，所以方差最大，故B选项正确； 对于C，图中PMI指数的最大值为%，最小值为%，故极差为%，C选项错误； 对于D，2023年PMI指数中，49.0出现两次，其他的出现一次，故2023年PMI指数的众数为49.0,故D选项正确. 故选：ABD 【变式1-2】（多选）（25-26高二上·安徽·期中）在庆祝抗日战争胜利周年的演讲比赛中，共有位评委分别给出某选手的原始评分（假设各位评委打分均不相同），评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分.个有效评分与个原始评分相比，可能变化的数字特征是（    ） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差 【答案】BCD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】设位评委评分按从小到大排列为，结合中位数、平均数、方差、极差的概念逐项判断即可. 【详解】设位评委评分按从小到大排列为， 去掉一个最高分和最低分后，剩余， 原始中位数为，去掉最低分和最高分后，中位数仍为，则中位数不变； 原始平均数，后来平均数， 平均数受极端值影响较大，所以与不一定相同，则平均数可能改变； 原始方差为， 新数据的方差为， 方差受极端值影响较大，所以与不一定相同，则方差可能改变； 原极差为，新极差为， 因为，则，又因为，由不等式的性质可得，则极差可能改变. 故选：BCD. 【变式1-3】（24-25高一上·广西柳州·期中）为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级进行问卷调查，得到这个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为（具体数据丢失）但已知这个数据的方差为，平均数为的最小值（其中，）且这个数互不相同，则其最大值为 ，数据的极差为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【分析】先得到平均数为，然后使用方差的定义推出数据的值，即可得到答案. 【详解】对，，有. 且当时，有，所以的平均数为. 由于这个数据的方差为，故. 由于这个数据两两不同，所以只可能有. 从而，这就得到最大数据为，极差为. 故答案为：，. 题型02 计算几个数据的方差、标准差 【典例2】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某学校有男生800人，女生600人.为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4.若男､女样本量按比例分配，则可估计总体方差为 . 【答案】1.92 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】先求出总体平均数，然后代入分层抽样方差公式计算即可. 【详解】由题意，总体的平均数为小时， 根据分层随机抽样的性质， 可得总体的方差为：. 故答案为：1.92 【变式2-1】（25-26高三上·河南·期中）数据的方差为（    ） A．4 B．8 C．2.4 D．9 【答案】B 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用方差的定义直接求解即可. 【详解】数据的平均数为， 所以数据的方差为. 故选：B 【变式2-2】（25-26高二上·安徽·月考）某班男生､女生人数之比为，对该班同学每周运动时间（单位：时）进行调查，得知男生每周运动时间的平均数为，方差为，女生每周运动时间的平均数为，方差为，则该班全体同学每周运动时间的方差为（    ） A．5.2 B．5.3 C．5.4 D．5.5 【答案】C 【知识点】平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、估计总体的方差、标准差 【分析】根据整体方差的计算公式即可求解. 【详解】该班全体同学每周运动时间的平均数为， 方差为， 故选：C 【变式2-3】（24-25高二上·四川广安·期末）某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，样本中有39名女员工，女员工的平均体重为50kg，标准差为6；有21名男员工，男员工的平均体重为70kg，标准差为4．则样本中所有员工的体重的方差为 ． 【答案】 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意先求平均数，再结合分层抽样的方差公式计算样本的方差. 【详解】依题意样本中所有员工的体重的平均值为， 则样本中所有员工的体重的方差， 所以样本中所有员工的体重的方差为. 故答案为： 题型03根据极差、方差、标准差求参数 【典例3】（2025高一上·全国·专题练习）设样本数据，，…，的平均数为，标准差为s，若样本数据，，…，的平均数比标准差少3，则的最大值为（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】求二次函数的值域或最值、求已知指数型函数的最值、平均数的和差倍分性质、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据平均数与标准差的性质，结合已知条件可得，然后根据二次函数与指数函数的性质求解最大值． 【详解】样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 则样本数据，，…，的平均数为，标准差为， 依题意有，得． 由，知在上单调递增， 当时，取到最小值， 所以， 即当时，取得最大值4． 故选：C． 【变式3-1】（2025·湖北十堰·模拟预测）若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】根据方差、标准差求参数 【分析】由题意得到删除的数为5，再利用方差公式求解. 【详解】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意，得， 删除一个数后的方差为：， 得，即． 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·云南曲靖·月考）一数学学习小组有5名同学，他们的历次数学考试成绩都比较稳定，且每次测试5人成绩的方差均为6左右.某次数学测试他们中的甲同学因故没能参加考试，其余四位同学的数学成绩分别为111分，114分，117分，118分.如果甲同学参加这次考试，利用以往的经验（方差为6）估计其成绩为（   ） A．112分 B．113分 C．115分 D．119分 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、根据方差、标准差求参数 【分析】根据题意，设甲的分数为，求得五位同学本次考试成绩的平均数，然后再由方差的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设甲的分数为， 则这五位同学本次考试成绩的平均数为：， 所以这五位同学本次考试成绩的方差为： ，解得， 所以甲的分数为. 故选：C 【变式3-3】（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为：  . 故选：B 题型04 各数据同时加减同一数对方差的影响 【典例4】（多选）（24-25高一下·吉林·期末）下列说法正确的是（    ）． A．数据的上四分位数是 B．已知样本数据，，…，的平均数为，则数据，，…，，与原数据的极差、平均数都相同 C．将总体划分为两层，通过分层抽样，得到样本数为的两层样本，其样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 D．甲组数据的方差为，乙组数据为，则这两组数据中较稳定的是乙组 【答案】ABC 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】根据上四分位数、平均数、极差、分层抽样的总体方差以及方差的意义，需要分别对每个选项进行分析判断. 【详解】对于A，，所以上四分位数为，A正确． 对于B，原数据的平均数为， 当添加后，新数据的和为，共有数据， 因此新数据平均数为，即平均数不变， 因新加入数据为介于数据最大值与最小值之间，所以不影响新数据极差，故极差不变，B正确． 对于C，因为总体平均数为， 所以总体方差为，C正确． 对于D，乙组数据的平均数为， 方差为， 所以这两组数据中较稳定的是甲组，D错误． 故选：ABC. 【变式4-1】（多选）（24-25高三下·河南开封·月考）已知点与点关于点对称，若，的平均数为，中位数为，方差为，极差为，则这组数满足（    ） A．平均数为 B．中位数为 C．方差为 D．极差为 【答案】ACD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】首先由条件确定，，再结合平均数，中位数，方差，极差公式，即可分别判断． 【详解】由条件可知，，，， 对于A，由题意可知，数据的平均数为，所以数据的平均数为，故A正确； 对于B，设数据按从小到大排列，中位数为，则数据按从小到大排列为，中位数为，故B错误； 对于C，由，且数据的方差为，所以数据的方差为，故C正确； 对于D，结合B分析知，数据的极差为，故D正确， 故选：ACD． 【变式4-2】（多选）（25-26高二上·黑龙江·月考）某班50个同学的数学成绩构成一组数据，这组数据的每个数依次减去它们的平均数，得到另一组新数据，则（    ） A．新数据与原数据的平均数相同 B．新数据与原数据的方差相同 C．新数据与原数据的中位数相同 D．新数据与原数据的极差相同 【答案】BD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据平均数、方差、中位数、极差的定义逐一判断即可. 【详解】设50个同学的数学成绩构成一组数据（原）数据：， 它们的平均数为（由实际意义可知），方差为， 得到的新数据为：，它们的平均数为，A错误； 新数据的方差：，B正确； 因为，所以新数据与原数据的中位数相差，C错误； 新数据与原数据的极差相同，D正确. 故选：BD 【变式4-3】（25-26高二上·广东江门·月考）已知某7个数的平均数为3，方差为，现又加入一个新数据3，此时这8个数的平均数为，方差为．则 ． 【答案】4 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数与方差得，进而根据方差公式计算即可. 【详解】设七个数分别为，所以，， 当加入一个新数据3时，此时这8个数的平均数为， 所以，这8个数的方差，解得， 所以，某七个数据的方差. 故答案为： 题型05 各数据同时乘除同一数对方差的影响 【典例5】（多选）（24-25高一下·陕西西安·期末）已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 【变式5-1】（25-26高二上·广东中山·月考）下列命题中是假命题的是（ ） A．一组数据的平均数、众数、中位数相同 B．有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】分别计算A选项中这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断A选项；由分层抽样公式求样本容量判断B选项；计算乙组数据平均数，然后计算方差并与甲组数据比较得到结论判断C选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断D选项. 【详解】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A为真命题； 对于B：设样本容量为，则，解得，故B为真命题； 对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C为假命题； 对于D：，则，故数据的标准差为16，故D为真命题； 故选：C. 【变式5-2】（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据平均数和方差的公式进行求解即可. 【详解】因为数据的平均数为5， 所以，解得， 所以数据的平均数为； 因为数据的方差为16， 所以， 化简得， 可以看出数据的方差为4. 故选：C. 【变式5-3】（多选）（2024·广东深圳·模拟预测）一组数据的平均值为5，方差为2，极差为7，中位数为6，记，的平均值为，方差为，极差为，中位数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据平均值、方差、极差、中位数的定义及性质可得. 【详解】由题意可得，，，，. 故选：AD 题型06 用方差、标准差说明数据的波动程度 【典例6】（24-25高一下·福建泉州·期末）某企业拟从甲、乙两家工厂中选择一家作为供货商，现从两家工厂生产的产品中各抽取100件，并测量其质量指标值（指标值越大，代表质量越高），测量结果统计如下： 质量指标值分组 频数 40 60 平均数 63 83 方差 6 16 乙工厂 (1)求的值，并估计甲工厂产品质量指标值的样本平均数和样本方差（频率分布直方图中，同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)结合统计学知识为该企业推荐一家供货商． 【答案】(1)，样本平均数75，样本方差129； (2)建议选择乙工厂生产的产品. 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率之和为1，可计算出，再利用平均数和方差公式计算即可； （2）利用公式计算出乙工厂生产的产品质量指标平均数和方差，与甲工厂生产的产品质量指标数据比较大小，即可得出结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以甲工厂生产的产品质量指标平均数为 ， 方差为. （2）乙工厂生产的产品质量指标平均数为， 方差为， 所以， 以样本估计总体，甲、乙两家工厂产品的质量指标平均数相当，但乙工厂生产的产品质量指标值方差比较小，产品质量比较稳定， 故建议选择乙工厂生产的产品． 【变式6-1】（多选）（24-25高一下·四川资阳·期末）某地区举行了足球联赛，联赛结束后的数据显示：甲队每场比赛平均失球数是1.6，各场比赛失球个数的标准差为1.2；乙队每场比赛平均失球数是2.3，各场比赛失球个数的标准差是0.5，下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好 C．甲队比乙队技术水平更稳定 D．乙队很少不失球 【答案】ABD 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】利用平均数估计数据的平均水平，方差估计数据的稳定性，用来解释实际情况. 【详解】因为甲队每场比赛平均失球数是1.6小于乙队每场比赛平均失球数是2.3， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 甲队各场比赛失球个数的标准差为1.2大于乙队各场比赛失球个数的标准差是0.5， 所以乙队比甲队技术水平更稳定，故C错误； 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故B正确； 虽然乙队每场比赛平均失球数是2.3，算是较大的数，而各场比赛失球个数的标准差是0.5，由于标准差很小，方差是更小，说明每场失球数都集中在2.3附近，所以认为乙队很少不失球是正确的，故D正确； 故选：ABD. 【变式6-2】（多选）（24-25高一下·广东汕头·期末）在某年的中国足球超级联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；乙队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4．下列说法中正确的是（   ） A．平均说来甲队比乙队防守技术好 B．甲队比乙队技术水平更稳定 C．甲队有时表现很差，有时表现又非常好 D．乙队很少不失球 【答案】ACD 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】平均数反映数据的集中趋势，标准差反映数据的离散程度（波动大小），通过分析两队的平均失球数和失球个数的标准差来判断各选项的正确性. 【详解】对于A,由甲队每场比赛平均失球数是1.5,乙队每场比赛平均失球数是2.1, 说明甲队每场比赛平均失球数比乙队每场比赛平均失球数少， 所以平均说来甲队比乙队防守技术好，故A正确； 对于B、C,甲队全年比赛失球个数的标准差为1.1， 乙队全年失球个数的标准差是0.4， 说明甲队全年比赛失球个数的标准差较大， 所以甲队的表现时好时坏，起伏较大，故B错误，C正确； 对于D，乙队的平均失球数多，全年失球个数的标准差很小， 说明乙队的表现较稳定，经常失球,故D正确. 故选：ACD 【变式6-3】（多选）（25-26高二上·江苏南京·月考）甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如下图，根据这7天的数据，则下列说法正确的是（    ） A．乙城市日均气温的极差为 B．乙城市日均气温的众数为 C．甲城市日均气温的中位数与平均数相等 D．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定 【答案】BC 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】根据极差的定义，可判定A错误；根据众数的定义，可判断B正确；根据中位数和平均数的求法，可判定C正确；根据数据的波动性，可判定D不正确. 【详解】由甲､乙两城市某月初连续7天的日均气温数据统计图表， 对于A，乙城市的最高气温为，最低气温为，所以乙城市日均气温的极差为，所以A错误； 对于B，由乙城市的日均气温的数据为， 根据众数的定义，可得数据的众数为，所以B正确； 对于C，由甲城市的日均气温的数据为：， 从小到大排列为，根据中位数的定义，数据的中位数为， 根据平均数的计算公式，可得数据的平均数为， 所以日均气温数据的中位数与平均数相等，所以C正确； 对于D，数据的稳定可通过方差来衡量，方差越小数据波动越稳定，观察图形可知，甲城市日均气温波动比乙城市大，所以乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，所以D错误. 故选：BC. 题型07 估计总体的方差、标准差 【典例7】（2025·重庆·模拟预测）某动漫社团为了调查本校学生对新上映电影的喜好程度， 对该校学生进行了满意度调查， 其中男生共调查了 600 人，女生共调查了 400 人，男生平均给分 4 分，方差为 1 ，女生平均给分 3 分，方差也为 1 . 则调研对象总体方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据分层平均数求出总体平均数，然后根据分层方差和总体方差的关系求解可得. 【详解】记男生平均给分为，方差为，女生平均给分为，方差为， 则， 所以总体平均数， 所以总体方差为. 故选：D 【变式7-1】（25-26高二上·湖北·月考）某校中秋节举行诗歌朗诵比赛，共有6名评委，选手甲得分的平均分和方差分别为84和17，若去掉最高分90和最低分78后，选手甲得分的方差变为（   ） A．6.5 B．7.5 C．8.5 D．9.5 【答案】B 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、估计总体的方差、标准差 【分析】根据平均数与方差的概念与性质，结合总体与样本之间的方差性质即可得结论. 【详解】不妨记剔除数据的平均数为，方差为，剩余四个得分的平均数为，方差为， 则，，， 由总体数据的方差的性质得，则. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·湖北武汉·期末）湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是 . 【答案】18 【知识点】根据方差、标准差求参数 【分析】计算各校人数，标记平均值和方差，确定，，计算得到答案. 【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为， 三所学校共有数学强基学生48人， 甲校的数学强基小组人数24； 乙校的数学强基小组人数为16； 丙校的数学强基小组人数8， 把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把所有学生的平均分记为，方差记为． 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得，即，解得， ， 即，解得. 故答案为：18. 【变式7-3】（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）据统计某市学生的男女生人数比为，为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比用分层抽样的方法抽取样本．根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，方差为2，女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，方差为1.9，则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为 小时，方差为 ； 参考公式：分层抽样中，假设第一层有m个数，平均数为，方差为；第二层有y个数，平均数为，方差为．则样本方差． 【答案】 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】对于平均数，根据分层抽样中各层人数比例与各层平数来计算总体平均数； 对于方差，利用给定的分层抽样方差公式进行计算. 【详解】该市学生的男女生人数比为，设男生人数为，女生人数为， 男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时，故个男生睡眠时长为小时； 女生每天睡眠时长的平均数为6.8小时，故个女生睡眠时长为小时， 则该市学生每天睡眠时长的平均数为（小时）； 由题干可得，，，，，， 代入公式得， . 故答案为：；. 题型08 数字特征的综合问题 【典例8】（25-26高二上·四川绵阳·月考）已知一个样本，样本容量为，平均数为，标准差为，现从样本中去掉一个数据，此时样本的平均数为，方差为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据平均数及方差公式直接计算即可. 【详解】设样本的个数据分别为，，，， 不妨设， 由已知得，， 即，， 所以去掉一个数据后， ， 故选：D. 【变式8-1】（2025·全国·模拟预测）为了解某学校学生每周阅读课外书籍的数量，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法.现抽取高一学生20人，其每周阅读课外书籍数量的均值为4本，方差为4；抽取高二学生30人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为2．则该学校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总体均值和方差分别是（   ） A．总体平均数为3.4本，总体方差为3.24 B．总体平均数为3.5本，总体方差为3.04 C．总体平均数为3.4本，总体方差为3.04 D．总体平均数为3.5本，总体方差为3.24 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、估计总体的方差、标准差 【分析】由条件结合分层抽样的平均数公式和方差公式由各层的平均数，方差求总体的平均数和方差即可判断. 【详解】高一学生人数，均值，方差． 高二学生人数，均值，方差． 所以总体均值． 总体方差． 故选：C. 【变式8-2】（2024·河北·模拟预测）某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据平均数求参数、根据方差、标准差求参数 【分析】设五个点数为，由平均数，方差计算公式可分析出，5个点数不可能全为2，然后通过列举可得答案. 【详解】不妨设五个点数为，由题意平均数为2，方差为0.4， 知. 可知五次的点数中最大点数不可能为4，5，6. 五个点也不可能都是2，则五个点数情况可能是3，3，2，1，1，其方差为 ，不合题意. 若五个点数情况为3，2，2，2，1，其方差为 ，符合题意，其众数为2. 故选：B. 【变式8-3】（2025高一·湖南·专题练习）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】计算几个数的平均数、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】利用均值的性质判断A，利用方差的性质判断B，再结合题意和均值，方差的定义计算判断C，D即可. 【详解】对于A，因为，所以，化简得，故A正确， 对于B，因为，所以由方差的性质得，故B错误， 对于C，由题意得， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确， 对于D，由方差的性质得，则， 由题意得 ，故D正确. 故选：B 一、单选题 1．（25-26高二上·广东·月考）已知数据的平均数为2，方差为3，那么数据的平均数和方差分别为（    ） A．2，3 B．7，6 C．5，3 D．4，12 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、各数据同时加减同一数对方差的影响 【分析】根据平均数和方差的性质可得. 【详解】由平均数和方差的性质可知，数据的平均数为， 方差为. 故选：C 2．（24-25高一下·吉林·期末）下列叙述中，错误的是（    ） A．样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响 B．数据的标准差比较小时，数据比较分散 C．数据的极差反映了数据的集中程度 D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变 【答案】B 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A,样本数据的中位数可能不受少数几个极端值的影响，故A正确； 对于B，数据的标准差比较小时，数据比较集中，故B错误； 对于C,数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确； 对于D,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确。 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知样本数据的平均数为，方差为，若样本数据的平均数为，方差为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【知识点】计算几个数的平均数、根据平均数求参数、平均数的和差倍分性质、根据方差、标准差求参数 【分析】由平均数和方差的运算性质即可求解. 【详解】由方差的性质，得的方差为，故， 解得．由，可知. 由平均数的性质，得的平均数为， 故，解得. 故选：A． 4．（25-26高三上·上海·期中）现有个不同的数据，其平均数为．若在这个数据中加入一个新的数据，则形成的一组新数据一定满足（    ） A．平均数变大 B．中位数不变 C．极差变小 D．方差变小 【答案】D 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据均值、极差、中位数、方差的定义判断． 【详解】加入一个数据后的平均数，所以平均数不变，A错误； 中位数是中间的一个数，因不知道原始数据，所以无法判断中位数，B错误； 因为数据的最大值和最小值不变，所以极差不变，C错误； 设原来的方差为，加入一个数据后的方差为， 则，D正确. 故选：D 5．（25-26高三上·山西·月考）某单位100名男员工的体重（单位：）（体重均在内）经测量整理如下表所示. 体重 频数 15 35 32 15 3 根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100名男员工的体重的中位数大于 B．这100名男员工中体重不低于的员工占比超过20% C．这100名男员工的体重的极差介于至之间 D．这100名男员工的体重的平均值介于至之间 【答案】D 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据表格数据结合中位数、频率、极差、平均值逐项分析即可得结论. 【详解】若将体重从低到高排，用表示， 则，，当时，中位数是65.5，故A错误； 100名男员工中，体重不低于的有18人，占比18%，故B错误； 极差，故C错误； 每组员工体重都取最低值时，平均值为， 每组员工体重都取最高时，平均值低于，故D正确. 故选：D. 6．（25-26高二上·北京海淀·月考）两位射击运动员在射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 9 7 8 5 4 9 10 7 4 乙 8 5 7 8 7 6 10 6 7 7 用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的平均数，用，分别表示甲､乙两名运动员10次射击成绩的标准差，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】运用平均数和标准差的公式进行计算并比较即可. 【详解】， ， ， ， 显然，. 故选：C 7．（25-26高二上·四川成都·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C．如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】C 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】由分层抽样公式求样本容量判断A选项；分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断B选项；根据方差和极差的定义判断C选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断D选项. 【详解】对于A：设样本容量为，则，解得，故A为真命题； 对于B：平均数为，众数为3，中位数为，故B为真命题； 对于C：如果一组数据的方差为零，则这组数据中的每个数据都相等，所以这组数据的极差一定为零，故C为假命题. 对于D：，则， 故数据的标准差为16，故D为真命题. 故选：C 8．（25-26高二上·上海松江·期中）某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】将天数据从小到大排序为：，对于①，由平均数为3得，又极差为2，则，可推导，与平均值矛盾；对于②，根据中位数，纵数推导即可；对于③，根据题意可推导第天超过10即可判断；对于④，根据均值方差推导即可判断． 【详解】设“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是， 第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确； 故选：C． 二、多选题 9．（25-26高三上·广西南宁·月考）已知样本数据，（）（），则（    ） A．若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B．若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C．若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D．若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】ACD 【知识点】计算几个数的众数、平均数的和差倍分性质、各数据同时加减同一数对方差的影响、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据中，最大值为，最小值为，则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确： 对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确， 故选：ACD． 10．（2025·广东·模拟预测）两组数据和，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（   ） A．的平均数为 B．的方差为 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据题意结合平均数的定义判断AC；对于BD：举反例说明即可. 【详解】由题意可知：，，即，， 对于选项A：因为， 所以的平均数为，故A正确； 对于选项C：若， 则，即，故C正确； 对于选项BD：例如两组数据分别为和， 则，，，， 数据的平均数为，方差为，故B错误； 且满足，，但，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高一下·北京·开学考试）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 日 日 日 日 日 日 日 甲地 乙地 记这天甲地每天最低气温的标准差为；记这天乙地每天最低气温的标准差为．根据上述信息，若，则值可以为 ．（写出一个符合题意答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【分析】借助平均数与方差定义，先计算出两地每天最低气温的平均数后再计算其方差即可得. 【详解】， ， ， 则 ， 化简得，解得或， 故值可以为或. 故答案为：.（答案不唯一） 13．（2025·山东·三模）已知一组样本数据：3，7，，，13，16，其中，，该组样本的中位数为10.5.若要使该组样本的方差最小，则的值为 . 【答案】31.5 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据中位数、平均数、方差的定义求解即可. 【详解】由于样本共有6个数据，且最中间的两个数为，， 由题意可得，，即， 则样本平均数为， 则样本的方差为， 要使该组样本的方差最小，只需最小即可， 而， 则时，最小，此时， 则. 故答案为：31.5. 14．（25-26高二上·四川成都·月考）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取样本中所有员工体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30.若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为 . 【答案】63 【知识点】根据方差、标准差求参数 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为： . 故答案为：63. 四、解答题 15．（2025·上海徐汇·一模）某校高三年级学生参加了一次时政知识竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从所有答卷中随机抽取份作为样本进行统计，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：、、、得到如图所示的频率分布直方图． (1)求实数的值；若年级准备选取分及以上的学生进入下一轮竞赛，已知该校高三年级有名学生，估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； (2)王老师抽取了名参加竞赛的学生，他们的分数为：、、、、．已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这个分数，求剩余个分数的平均数与方差． 【答案】(1)；人 (2)平均数为，方差为 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为，可求得的值；结合频率分布直方图可计算得出该校高三年级参加下一轮竞赛的人数； （2）利用平均数和方差公式可求得剩余个分数的平均数与方差. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为， 即，解得， 分及以上的学生所占的比例为， 故估计该校高三年级参加下一轮竞赛的人数为人. （2）不妨设，，根据题意可得， 故剩余个分数的平均数为， 因为原数据的方差为， 所以， 故剩余个分数的方差为. 16.（2025高一上·全国·专题练习）某市场监管系统市场主体数据分析大赛中，由10名专业评审、10名媒体评审和10名大众评审各组成一个评委小组，给参赛选手打分．打分均采用100分制，下面是三组评委对选手小明的打分： 小组A 85 91 87 93 88 84 97 94 95 86 小组B 84 87 92 96 89 95 92 91 94 90 小组C 95 89 95 96 97 93 92 90 89 94 (1)选择一个可以度量每一组评委打分相似性的量，并对每组评委的打分计算度量值； (2)你能依据（1）的度量值判断小组A，B与C中哪一个更像是由专业人士组成的吗？ (3)已知选手小华专业评审得分的平均数和方差分别为，，媒体评审得分的平均数和方差分别为，，大众评审得分的平均数和方差分别为，，将这30名评审的平均分作为最终得分，求该选手最终得分的方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)C组评委更像是由专业人士组成的 (3)16 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、用方差、标准差说明数据的波动程度 【分析】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高，根据方差公式计算出各组的方差即可. （2）利用（1）的结论，方差最小的即为结果. （3）根据给定条件，利用分层抽样的平均数公式及方差公式列式计算得解.. 【详解】（1）可以用方差来度量每一组评委打分的相似性，方差越小，相似程度越高. 小组的平均数， 小组的方差 ； 小组B的平均数， 小组B的方差 ； 小组C的平均数， 小组C的方差 . （2）由于专业评委给分更符合专业规则，相似程度应该高，即方差小，因而C组评委更像是专业人士组成的. （3）小华的得分分. 方差 . 17.（24-25高一下·福建厦门·月考）给定样本数据，记样本均值为，定义：为样本数据到实数的偏差平方和，为样本数据到实数的距离和． (1)证明：; (2)证明：的最小值为； (3)求当取最小值时，的取值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【分析】（1）化简，结合平均数的定义，即可得证； （2）化简，结合二次函数的性质，即可得证； （2）由数据，当为偶数时，设为数据的中位数，得到，化简，分和，两种情况讨论，化简得到，即可得到答案. 【详解】（1）由 . （2）由 ，其中为常数， 所以当时，函数取得最小值. （3）解：因为数据， 当为偶数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 任取实数，当时， 若，则 ； 若，则存在，使得， 则 ， 所以， 同理可证：当时，满足； 当为奇数时，设为数据的中位数，则， 由 （其中为常数）， 同理可证：， 综上可得：当为偶数时，时，取得最小值； 当为奇数时，时，取得最小值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $