6.4.2超几何分布（教学课件）数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦超几何分布，通过回顾二项分布（有放回抽样）引入，以“不放回抽样是否服从二项分布”为追问，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生从实例中抽象概念、推导分布列及均值公式。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过产品抽样、摸球模型等实例，发展数学抽象与建模素养，对比超几何与二项分布的区别联系培养逻辑推理能力。课堂小结结构化呈现知识，典例与练习结合强化应用，助力学生提升模型识别能力，也为教师提供清晰教学路径。

6.4.2超几何分布 第六章 概率 北师大版2019选择性必修第一册·高二 学 习 目 标 1 2 3 理解超几何分布的概念，明确其“不放回抽样”的应用场景. 掌握超几何分布的分布列公式，能计算对应概率、分布列与均值. 区分超几何分布与二项分布的适用场景，提升数学建模素养. 旧知回顾 在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 二项分布的均值与方差若X~B(n，p)，则有E(X)=np,D(X)=np(1-p). 问题2：如何求二项分布的均值与方差？ 问题1：什么是二项分布？ 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) 实例1：已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中有放回的任取3件，用X表示取得次品的件数，试写出X的分布列. 新知探究 解 若采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率均为,且各次抽样的结果相互独立， 因此，X服从二项分布，即X~B(3,)， 所以，P(X=k)=，k=0,1,2,3 故X的分布列为： P(X=k) 实例1：已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中有放回的任取3件，用X表示取得次品的件数，试写出X的分布列. 新知探究 采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率相同,且各次抽样结果相互独立， 随机变量(抽取到的次品个数)X服从二项分布. 追问：如果采用不放回抽样，那么抽取的 4 件产品中次品数 X 是否也服从二项分布？ 对于不放回抽样的随机试验，每次抽样都是一个伯努利试验，但每次抽取不是同一个试验，且各次抽取的结果也不相互独立，所以不是n重伯努利试验，即随机变量(抽取到的次品个数)X不服从二项分布. 实例2：已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得次品的件数，试写出X的分布列. 新知探究 解 从这10件产品中随机抽取3件，共有种取法,每一种取法都是等可能的， 分析 从这10件产品中随机抽取3件，每件产品被抽到的可能性相等，满足古典概型的有限性和等可能性，可用古典概型公式计算概率. . , , , X的可能取值为0,1,2,3. 实例2：已知在10件产品中有4件次品，现从这10件产品中任取3件，用X表示取得次品的件数，试写出X的分布列. 新知探究 事实上，当X=k(k=0,1,2,3)时，表示“任取的3件产品中恰有k件次品”,即从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出(3-k)件，共有种取法，故事件{X=k}的概率为 . 因此，随机变量X的分布列为 P(X=k) 新知探究 追问1：考虑抽取的顺序和不考虑抽取的顺序，对分布列有影响么？ 考虑摸出次品的顺序，样本空间样本点数：. . 3件产品中有k件次品的结果数：. 故考虑顺序与不考虑顺序结果相同. 追问2：根据上面的研究过程，能将上面的概率模型一般化，并给出分布列吗？ 模型描述一：一批产品有N件，有M件次品，N−M件合格品，不放回的随机抽取n件产品，设X表示抽取的n件产品中的次品数，求X的分布列. 模型描述二： 袋子中有大小相同的N个球，有M个红球，N−M个白球，不放回的随机抽取n个球，设X表示抽取的n个球中的红球数，求X的分布列. 旧知回顾 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 新知探究 探究1：超几何分布 追问：公式中的k可以取的最小值是0吗？请举例说明. 其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+. k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},不一定是0. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布. 如，有100件产品，其中有20件次品，从中任取85件产品，此时，至少要取到5件次品，而不是0件. 旧知回顾 即时训练：下列问题哪些可用超几何分布模型求解？标出模型中的 N、M、n. 新知探究 (1)从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. (3)一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列. (2)一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. (1)超几何分布，N=50,M=1,n=5； (3)有放回：二项分布； (2)超几何分布，N=30,M=3,n=10； 不放回：超几何分布，N=100,M=40,n=20. 旧知回顾 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 新知探究 探究1：超几何分布 其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布. 超几何分布的三个特征: ①总体中含有两类不同的个体; ②不放回抽样;③随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量. 重 划 点 例1 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛： 典例分析  (1)求所选3人都是男生的概率； 解 依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，共有种选法，且每一种选法都是等可能的. (3)求所选3人中至少有1名女生的概率； (2)求所选3人中恰有1名女生的概率； (4)依题意知X服从参数为6,2,3的超几何分布，其分布列为 (3)所选3人中至少有1名女生的概率为. (2)所选3人中恰有1名女生的概率为 (1)所选3人都是男生的概率为 ， (4)设所选3人中女生的人数为X,求X的分布列及EX. 典例分析 如表: P 根据均值的定义，可知 EX=0+1+2=1. 追问1：服从超几何分布的随机变量的均值是什么呢？ 猜想：当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时，其均值为EX= . 验证： , , 因为 所以 . 拓展：超几何分布的方差： . 典例分析 追问2：你能说说超几何分布与二项分布的区别与联系吗？ 同一个摸球模型 摸球方式 的分布 放回摸球 不放回摸球 一般而言，n，， 超几何分布的方差更小 超几何分布近似二项分布 二项分布B(n,p) 超几何分布H(N,M,n,) np =np np(1-p) np(1-p) 课堂练习 1.下列随机变量X是否服从超几何分布?如果服从超几何分布,其参数N,M,n分别是多少? (1)从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中取出10张牌,用X表示取出的黑桃的张数. (2)在相同的条件下扔4次均匀的骰子,用X表示向上的点数是偶数的次数. 课堂练习 2.已知某社区的10位选民中有5位支持候选人甲，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2位支持候选人甲的概率. 3.从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列； (2)求X的均值. 课堂练习 1.下列随机变量X是否服从超几何分布?如果服从超几何分布,其参数N,M,n分别是多少? (1)从一副扑克牌(去掉大、小王,共52张)中取出10张牌,用X表示取出的黑桃的张数. (2)在相同的条件下扔4次均匀的骰子,用X表示向上的点数是偶数的次数. 课堂练习 解 (1)依题意X服从参数N=52，M=13，n=10的超几何分布， (2)依题意X服从参数n = 4，p = 的二项分布. 课堂练习 课堂练习 2.已知某社区的10位选民中有5位支持候选人甲，现随机采访他们中间的4位，求其中至少有2位支持候选人甲的概率. 解 根据超几何分布的概率计算公式，根据已知条件，即可求得结果. 设4人中支持候选人甲的人数为X,则X服从超几何分布， 则其中至少有2位支持候选人甲的概率为 课堂练习 3.从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数. (1)求X的分布列； (2)求X的均值. 课堂练习 解 (1)由题意知X服从超几何分布，其中N=7,M=3,n=3, 则 . 当=0时， 当=1时， 当=2时， 当=3时， 综上，所得分布列表如下： 3 P (2)由均值公式： =0 或根据超几何分布均值公式： = 课堂小结 基本知识： 超几何分布： 分布列： 基本方法： 基本思想： 均值公式： 识别超几何分布： 判断抽样方式为 “不放回”，且关注 “某类元素的抽取数量”； 模型化思想 特殊与一般思想 适用于不放回抽样； EX = 基础作业： 课本习题6-4A组第2，6题 拓展练习： 课本习题6-4；B组第4题 布置作业 感谢聆听! $