5.10圆锥的侧面积同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

· 5.10 圆锥的侧面积 · 知识梳理 1. 关键概念： · 母线（l）：圆锥顶点到底面圆周上任意一点的线段长度； · 底面半径（r）：圆锥底面圆的半径； · 高（h）：圆锥顶点到底面圆心的距离，三者满足勾股定理：l² = r² + h²。 1. 侧面展开图性质： · 圆锥侧面展开是一个扇形，扇形的半径 = 圆锥母线（l）； · 扇形的弧长 = 圆锥底面圆的周长（2πr）。 1. 核心公式： · 侧面积（S侧）：S侧 = πrl（推导：扇形面积 = 1/2×弧长×半径 = 1/2×2πr×l）； · 全面积（S全）：S全 = 侧面积 + 底面圆面积 = πrl + πr²。 1. 扇形与圆锥的关联： · 若扇形圆心角为n°，半径为l（即圆锥母线），则扇形弧长 = nπl/180； · 由弧长 = 底面周长，可得nπl/180 = 2πr，可用于互求n、l、r。 · 同步训练 一、单选题 1．已知圆锥的母线长为5，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（   ） A． B． C． D． 2．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的侧面展开图的弧长为，圆心角为，则此圆锥的母线长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）． A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定 5．小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图及相关数据（单位：）如图所示，则所需铁皮的面积（接缝面积忽略不计）为（    ） A． B． C． D． 6．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径R是5，则该圆锥的底面圆半径是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．用如图1的半径为的扇形纸板做成图2的圆锥形帽子（忽略接缝），已知帽子的底面周长为，则扇形纸板的面积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是 ． 9．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是 m． 10．如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 ． 11．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是 ． 三、解答题 12．已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的面积： (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高h是多少? 13．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 14．图中的冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图１），制作这种外包装需要用如图２所示的等腰三角形材料，其中，，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合，圆锥底面圆的直径为． (1)求图1中圆锥的母线的长． (2)求加工材料剩余部分（图2中阴影部分）的面积．（结果保留π） 15．如图，在一张四边形的纸片中，，，，以点为圆心，为半径的圆分别与交于点． (1)求证：与相切； (2)若用剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，能否从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面？ 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据题意，圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆的半径后乘以即可． 本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式． 【详解】解：根据题意，圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆的半径后乘以， 故， 故选：C. 2．D 【分析】本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角． 【详解】解：∵圆锥全面积，其中，， ∴ 即 ∴ ∴ 设侧面展开图的圆心角为，则弧长 ∵弧长等于底面周长 ∴ ∴ 故侧面展开图的圆心角为， 故选D． 3．B 【分析】本题主要考查了圆锥、弧长公式等知识点，掌握圆锥的侧面展开图是扇形，其弧长等于圆锥底面的周长以及弧长公式是解题的关键． 由题意可知扇形的弧长为，然后将已知条件代入弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为． ∵ 扇形弧长，其中 ，， ∴ ，解得：． 故选B． 4．A 【分析】本题主要考查了圆锥的高的定义及测量方法，解答本题的关键是掌握圆锥高的含义．从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，根据圆锥高的含义结合圆锥高的测量方法进行解答即可． 【详解】解：如图， 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高， 图中小军斜着测量得到的是圆锥的母线长度，量出长度是厘米， 所以圆锥实际的高小于厘米， 故选：． 5．B 【分析】本题主要考查了圆锥的三视图、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和母线长是解题的关键． 由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，圆锥母线长为， ∴圆锥侧面积． 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；由题意易得该扇形的弧长为，然后根据圆的周长公式可进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的弧长为， 根据圆锥侧面展开图的特征可知：扇形弧长即为圆锥底面圆的周长，所以该圆锥底面圆的半径为； 故选A． 7．D 【分析】从图中可以看出帽子的底面圆周长就是扇形的弧长，根据此求出扇形的面积． 本题主要考查了扇形的面积公式．即，熟记相关的公式是解题的关键． 【详解】解：扇形面积， 故选：D． 8． 【分析】该题考查了勾股定理和圆锥侧面积公式，根据勾股定理先求出圆锥母线长．再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面周长，即圆锥侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的侧面积． 故答案为：． 9．/ 【分析】本题考查了与圆有关的计算、勾股定理、圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 先利用等腰直角三角形的性质得到，设圆锥的底面圆的半径为，利用弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：由题意，，，， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为， 根据题意得， 解得， 即圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 10． 【分析】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，勾股定理。解题的关键是熟知圆的相关公式． 先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理 即可求出圆锥的高． 【详解】解：依题意，圆心角为，半径为的扇形的弧长为 ∴圆锥的底面半径为， 故圆锥的高为， 故答案为： 11． 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 12．(1) (2)这个圆锥的高是 【分析】此题考查了扇形面积、弧长公式和勾股定理等知识，熟练掌握相关公式是关键． （1）利用扇形面积公式计算即可； （2）求出扇形所对的弧长和圆锥底面圆的半径，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解∵扇形的圆心角为，半径为， ∴． （2）扇形所对的弧长为． 设圆锥底面圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∴这个圆锥的高是． 13．(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 14．(1) (2) 【分析】本题考查圆锥与扇形的关系，扇形弧长公式，等腰直角三角形的性质，掌握“圆锥底面圆周长=扇形弧长”是解题关键． （1）利用“圆锥底面圆周长=扇形弧长”，结合扇形圆心角，代入弧长公式求出母线AE 的长． （2）先求等腰直角三角形的面积，再求扇形的面积，用三角形面积减去扇形面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：根据题意，圆锥底面圆周长与长度一致， 故， 可得， 即． （2）由条件可得， 故． 15．(1)证明见解析； (2)能，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形的内切圆性质，圆的切线性质，圆锥的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求出，即可证明； （2）根据扇形的弧长求出圆锥的底面圆的半径为，作的内切圆，证明四边形是平行四边形，从而得到是等腰直角三角形，设圆的半径为，再利用 ，求出，由于，可以判断出可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 【详解】（1）证明：过点作于点，如图： ， ， ， ， ∵圆的半径为2， ∴点在圆上， ， ∴与相切； （2）解：可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面，理由如下： ∵， ∴四边形是等腰梯形， ∵， ∴， ∴， ∴扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为，则， ， 过点作的切线，交于点，交于点，连接，则，，如图： 在中，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 作的内切圆，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ， 是等腰直角三角形， ， 设圆的半径为， ， ， 解得：， ， ∴可以从剪下的两块余料中选取一块，剪出一个圆作为这个圆锥的底面． 学科网（北京）股份有限公司 $