专题11 含参数的一元一次方程（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义通过框架图系统梳理含参数一元一次方程知识体系，涵盖基本概念、解法步骤和易错点，明确一元一次方程定义的关键条件，解法中强调参数视为已知数及系数化为1的条件，突出忽略系数不为0等易错点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于8大题型分类突破，如利用方程解相同求参数题型，通过“解已知方程-代入另一个方程”步骤培养推理意识，典例与练习结合，基础题巩固方法，综合题提升能力，助力不同学生掌握，教师可据此实施精准复习教学。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题11 含参数的一元一次方程（8大基本题型） 题型1：利用一元一次方程的定义求参数 题型2：利用方程的解求参数 题型3：利用两个方程的解相同求参数 题型4：含参方程解的关系问题 题型5：含参方程的整数解问题 题型6：含参方程的错解问题 题型7：含参方程的解的个数问题 题型8：含参方程的特殊定义问题 一、一元一次方程的基本概念 1． 定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数为1（次）的整式方程，称为一元一次方程。 标准形式：（，a、b为常数）。 关键条件：整式方程（分母不含未知数）；一个未知数；未知数次数为1；一次项系数（若a＝0，则方程变为b＝0，不再是一元一次方程）。 2． 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解。 核心逻辑：将解代入方程，左右两边结果一致。 二、含参数一元一次方程的解法 含参数的一元一次方程（如，a或b为参数），其解法与普通一元一次方程一致，需遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，但需注意： 1. 参数视为已知数：解方程时，将参数当作常数处理，仅在最后根据条件限制参数取值； 2. 系数化为1的条件：若参数为一次项系数（如），需保证（），否则方程无解或有无穷多解。 三、含参数一元一次方程的易错点 1. 忽略一次项系数不为0； 2. 解的关系理解错误：如解互为相反数时，易将解的符号搞反； 3. 解的个数讨论不全面：如忽略a＝0时的无解或无穷多解情况。 【题型1】利用一元一次方程的定义求参数 核心考点：一元一次方程的定义（只含1个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 核心思路：根据定义列出关于参数的方程，求解并验证。 1. 题型特征：题目明确“关于x的方程是一元一次方程”，求参数（如m、n）的值。 2. 解题步骤： (1) 列条件：根据一元一次方程的定义，列出两个条件：未知数的次数为1；一次项系数不为0。 (2) 解方程； (3) 验证 3. 注意事项 (1) 若方程形式为，需同时满足系数不为0（）和b为整式（常数项无未知数）。 (2) 若方程含分母（如），需先化为整式方程，再判断。 【题型2】利用方程的解求参数 核心考点：方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值）。 核心思路：将解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程，求解。 1. 题型特征：题目给出方程的解（如），求参数（如a、b）的值。 2. 解题步骤 (1) 代入解 (2) 解方程 (3) 验证。 3. 注意事项 (1) 若解是分数或负数，代入时需注意符号。 (2) 若方程含多个参数，需代入所有未知数，解方程组。 【题型3】利用两个方程的解相同求参数 核心考点：同解方程的定义（两个方程的解完全一致）。 核心思路：先解已知方程，得到解的表达式，再代入另一个方程求参数。 1. 题型特征：题目说“方程A与方程B的解相同”，求参数（如a、b）。 2. 解题步骤 (1) 解已知方程 (2) 代入另一个方程 (3) 解方程 (4) 验证 3. 注意事项​ (1) 若解含参数，代入另一个方程时需保持表达式不变 (2) 若两个方程都含参数，需联立方程求解 【题型4】含参方程解的关系问题 核心考点：利用两个方程解的关系（同解、互为相反数、互为倒数、和差关系等），通过代换建立关于参数的方程，求解参数值。 核心思路：分别求出两个方程的解（用参数表示）；根据解的关系列出等式；解等式求参数；验证参数的合理性（如分母不为0、解为整数等）。 1. 解的相反数问题 (1) 题型特征：已知两个方程的解互为相反数，求参数值。 (2) 解题步骤： 1 解第一个方程得解； 2 第二个方程的解为； 3 将代入第二个方程，解关于参数的方程。 2. 解的和差关系问题 (1) 题型特征：已知两个方程的解之和或差为某个数，求参数值。 (2) 解题步骤： 1 解两个方程得解、 2 根据和差关系列等式（如、） 3 解等式求参数。 【题型5】含参方程的整数解问题 核心考点：整数解的条件（解为整数，参数为整数）。 核心思路：将方程化为“参数×未知数＝常数”的形式，利用整除性求参数。 1. 题型特征：题目要求“方程的解为正整数/整数”，求整数参数（如k、m）。 2. 解题步骤 (1) 整理方程：将方程化为的形式 (2) 解未知数。 (3) 利用整数解条件验证 3. 注意事项 (1) 若解为“非负整数”（包括0），需考虑的情况 (2) 若参数在分母，需先化为整式方程，再求整数解。 【题型6】含参方程的错解问题 核心考点：错误解题过程中的参数推导（如去分母漏乘、符号错误）。 核心思路：还原错误过程，代入错误解求参数，再正确解方程。 1. 题型特征：题目说“小明解方程时，去分母漏乘了某一项，得到错误解，求参数a的值及正确解”。 2. 解题步骤 (1) 还原错误过程 (2) 代入错误解 (3) 求参数 (4) 正确解方程 3. 注意事项 (1) 错误类型包括：去分母漏乘、符号错误、移项未变号等，需准确还原错误过程。 (2) 求参数后，务必重新解原方程，避免受错误过程影响。 【题型7】含参方程的解的个数问题 核心考点：根据方程中参数的取值，讨论方程解的个数（唯一解、无解、无数解）。 核心思路：将方程化为最简形式（a、b为常数），根据a和b的取值判断解的个数：当时，方程有唯一解；当且时，方程有无数解（任意实数均为解）；当且时，方程无解（矛盾式）。 1. 唯一解问题 (1) 题型特征：求参数取值范围，使方程有唯一解。 (2) 解题步骤： 1 将方程化为最简形式； 2 令，解关于参数的不等式。 2. 无解问题 (1) 题型特征：求参数取值，使方程无解。 (2) 解题步骤： 1 将方程化为最简形式； 2 令且，解关于参数的方程。 3. 无数解问题​ (1) 题型特征：求参数取值，使方程有无数解。 (2) 解题步骤： 1 将方程化为最简形式； 2 令且，解关于参数的方程。 【题型8】含参方程的特殊定义问题 核心考点：新定义的“运算规则”或“方程类型”（如“美好方程”“反对方程”）。 核心思路：严格按照新定义的规则，转化为常规含参方程求解。 1. 题型特征：题目定义新概，求参数或解。 2. 解题步骤 (1) 解两个方程 (2) 应用新定义 (3) 解方程 (4) 验证 3. 注意事项 (1) 新定义问题需逐字理解规则，避免误解。 (2) 若新定义涉及多个步骤，需分步处理，避免遗漏。 【题型1】利用一元一次方程的定义求参数 【典例1】若是关于的一元一次方程，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握“一元一次方程中未知数的最高次数为1”是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，确定未知数的次数，从而列方程求解m的值． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元一次方程， ∴ ， 解得． 故选：B． 【练习1】已知方程是关于x的一元一次方程，则方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义， 由一元一次方程的定义，可知未知数的最高次数为1，因此指数部分，解得，代入原方程求解即可． 【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程， 所以． 解得． 将,代入原方程，得 ，即， 解得． 故答案为：． 【练习2】已知方程是关于x的一元一次方程，则k的值为______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数必须为1，且系数不为0，由此求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的定义，得， 解得， 代入原方程，得， 符合一元一次方程的定义． 故答案为：1． 【练习3】已知方程是关于的一元一次方程，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了判断是否是一元一次方程，解题关键是掌握一元一次方程的定义并能运用来求解． 根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，且系数不为0． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 解得：或． 当时，一次项的系数为， 方程变为， 不是关于x的一元一次方程，故不符合； 当时，一次项的系数， 且指数，符合定义． 故答案为：． 【题型2】利用方程的解求参数 【典例1】小红在解关于的一元一次方程时，把等号左边的系数不小心沾上了墨水，已知方程的解为，则等号左边的系数为（    ） A．2 B．4 C．－4 D．－2 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，设“■”处的系数为，把代入方程，解方程即可． 【详解】解：设被墨水遮盖的系数为 ， 则原方程为. 是方程的解， 代入得： 即 故选B． 【练习1】若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，求代数式的值，将代入方程得到的值，再整体代入代数式计算即可．利用整体代入的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 即代数式的值是． 故选：C． 【练习2】已知是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解、代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．根据题意将代入得出，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：是关于x的一元一次方程的解， ，即， ， 故答案为：． 【练习3】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了整体的数学思想，把关于y的一元一次方程中看作关于x的一元一次方程中的x，即可得到，即可求出﹒本题也可以把代入方程，求出，再解方程即可﹒ 【详解】解：解法1∵关于的一元一次方程的解为，关于y的一元一次方程为， ∴， ∴﹒ 解法2：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴关于y的一元一次方程为， 解得 故答案为：. 【题型3】利用两个方程的解相同求参数 【典例1】已知关于的一元一次方程和的解相同． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义及其解法，求解代数式的值． （1）由方程的解相同可得，进一步求解即可． （2）把代入，再计算即可． 【详解】（1）解：由，得， 由，得， 因为关于的一元一次方程和的解相同， 所以， 解得． （2）解：当时，原式． 【练习1】关于x的方程与的解相同，则m的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法步骤，理解方程的解的意义是解答的关键． 先求得方程的解，再代入方程中求解即可． 【详解】解：解方程得， ∵方程与的解相同， ∴将代入方程中，得， 解得. 故选：B． 【练习2】若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查同解方程，先解方程 得到 的值，再代入方程 求解 ． 【详解】∵ 方程 ， ∴ 展开得 ， ∴ 移项得 ， ∴ ， ∵ 两方程解相同， ∴ 将 代入 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 的值为 ， 故选 C． 【练习3】已知是常数，如果关于的方程的解与关于的方程的解相同． (1)求的值； (2)若多项式与多项式互为相反数，求多项式的值． 【答案】(1)3 (2)15 【分析】本题考查了一元一次方程的解与解一元一次方程，求代数式的值，相反数的意义等知识，掌握这些知识是关键； （1）求出方程的解，代入方程中，即可求得m的值； （2）由（1）所求m的值、多项式与多项式互为相反数，可求得n的值，从而可求解． 【详解】（1）解：解得：， 把代入方程中，得， 解得：； （2）解：因为多项式与多项式互为相反数，且， ∴，即， 解得：， ∴． 【题型4】含参方程解的关系问题 【典例1】如果方程和方程的解互为相反数，那么的值为（   ） A． B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先分别求出两个方程的解，第一个方程直接求解，第二个方程去分母后求解，再根据解互为相反数列出关于a的方程求解． 本题考查了解一元一次方程，方程的解，相反数，熟练掌握解方程，相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程 ， ∴． 由， 去分母，得， 去括号，得， 移项得：， 解得． ∵ 两方程的解互为相反数， ∴ ， 即， ∴ ． 故选：A． 【练习1】已知关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的绝对值为（    ） A．－26 B．26 C．14 D．－14 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，相反数，绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．先解方程 得的值，根据解互为相反数，得第二个方程的解，代入求，再求的绝对值 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∵ 两个方程的解互为相反数， ∴ 方程 的解为 将 代入： ∴ ∴ ∴ ∴ ． 故选：B． 【练习2】已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)它的解与关于的方程的解互为相反数，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程等知识，熟练掌握一元一次方程的解法和定义是解题关键． （1）根据一元一次方程的定义可得，且，据此解答即可得； （2）先根据（1）可得方程为，解方程可得，则可得关于的方程的解为，再将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴， 解得． （2）解：由（1）可知，方程为，即， 解得， ∵已知方程的解与关于的方程的解互为相反数， ∴关于的方程的解为， ∴， 解得． 【练习3】运算能力  我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”．例如：的解为，且2，则方程是“差解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1)判断是否是“差解方程”． (2)若关于的一元一次方程是“差解方程”，求的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解，理解差解方程的定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义判断即可； （2）先求出方程的解，再根据差解方程的定义得出，即可求出的值． 【详解】（1）解：，两边同时除以3，得． 因为，所以是“差解方程”． （2），两边同时除以5，得． 因为关于的一元一次方程是“差解方程”， 所以，即， 两边同时减，得，两边同时除以4，得． 【题型5】含参方程的整数解问题 【典例1】（1）如果关于x，y的多项式与多项式的差与x的取值无关，求的值； （2）若关于x的方程的解为整数，求所有满足条件的整数a的和． 【答案】（1）；（2）8 【分析】本题主要考查整式的加减运算及一元一次方程的解法，熟练掌握整式的加减运算及一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先得出两个多项式的差，然后再根据“取值与x无关”可进行求解； （2）先得出方程的解，然后问题可求解． 【详解】解：（1）由题意得： ； ∵与x的取值无关， ∴， 解得， ∴； （2）解方程得：， ∵方程的解为整数， ∴或或或， 即或1或3或7， ∴它们的和为． 【练习1】已知关于x的一元一次方程（其中m为常数）， (1)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的乘以6，最终解的，求这个方程正确的解． (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将代入，求出m的值，然后代入求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出，再根据已知得的值可能为，，1，2，进而即可得出m的值． 【详解】（1）解：根据题意，将代入， 得， 解得， 将代入， 得， 解得； （2） 去分母：， 去括号：， 移项、合并同类项：， 系数化为1：， 该方程的解为整数，且m为整数， 的值可能为，，1，2， m的值可能为：0，1，3，4． 【练习2】若关于的方程的解是正整数，且关于的多项式是二次三项式，那么所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，方程的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解方程得到的表达式，由解为正整数确定的可能值；再根据多项式为二次三项式的条件筛选的值，最后求满足条件的整数的和． 【详解】解：， 两边乘以得：， 即， ∴， ∵解是正整数， ∴，且为整数， ∴为负整数，且整除4， ∵4的正因数为， ∴可能为， ∵多项式是二次三项式， ∴二次项系数，且一次项系数， 解得：，， 结合方程解的条件，的可能值中排除（因二次项系数为零），排除（但，均不为）， ∴满足条件的为和， ∴其和为， 故答案为：． 【练习3】阅读与理解：对一个关于的多项式求导数，多项式中的导数等于，常数项的导数为0．已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式；若，要求的导出多项式，先化简，则的导出多项式．根据以上材料，回答问题： (1)若，则它的导出多项式___________ (2)设是的导出多项式． ①若，求关于的方程的解； ②已知是关于的二次多项式，且关于的方程的解为整数，求正整数的值． 【答案】(1)； (2) ① ； ② 或 ． 【分析】本题主要考查了新定义、一元一次方程的解法，解决本题的关键是读懂题意，根据新定义求出一个多项式的导出多项式． 根据新定义的规则求出的导出多项式即可； 先求出的导出多项式为，再根据方程得到，解一元一次方程求出的值，即为方程的解； 根据是关于的二次多项式，可知，求出的导出多项式，即可得到关于的一元一次方程，解方程可得，根据方程的解为整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）解：的导出多项式为， 故答案为：； （2）解：， 的导出多项式为， ， ， 解得：； 解：是关于的二次多项式， ， ， 的导出多项式是， ， ， 整理可得：， ， 方程的解为正整数， 或． 【题型6】含参方程的错解问题 【典例1】佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据题意得是方程的解，再将代入即可得出根的值． 【详解】解：去分母过程中忘记给右边的乘以6得到： ，则是该方程的解， ∴将代入中得， 故选：D． 【练习1】小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解； 【详解】解：由题意得：方程的为， 将代入方程得：， 解得： ∴原方程为， 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类项：， 化系数为： 【练习2】小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 【练习3】小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】， 【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解． 【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为， ∴， 解得， 则原方程为：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得． 【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键． 【题型7】含参方程的解的个数问题 【典例1】如果关于x的方程有唯一解，那么实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的解，根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有解， ∴， ∴； 故选：D． 【练习1】在不同的条件下，关于x的方程解的情况如下：（1）当时，方程有唯一解；（2）当，时，方程有无数解；（3）当，时，方程无解．请根据以上知识解决下列问题：已知关于x的方程无解，则m的值是（　　） A．3 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程，理解方程的解是解答的关键． 将方程化为标准形式，根据无解的条件且，求解的值． 【详解】解：∵原方程为， 移项得， 合并同类项得， ∴方程化为标准形式，其中，． ∵方程无解需满足且， ∴，解得， 此时，满足条件． ∴的值为3． 故选：A 【练习2】阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下： （1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答： 已知关于x的方程无解，则a的值是__________． 【答案】1 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，将方程整理得：，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：将方程整理得：， ∵关于x的方程无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【练习3】若关于x的方程与均无解，求代数式的值． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的解的情况求参数，代数式求值，先根据方程与均无解，求出m，n的值，再将m，n代入式子求解即可 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以，． 解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 因为方程无解， 所以， 所以， 所以 【题型8】含参方程的特殊定义问题 【典例1】定义：是不为1的数，我们把称为的差倒数，如的差倒数，若一个数的差倒数是7，那么这个数是________． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的应用，正确列出方程是解本题的关键． 设这个数是x，根据定义称为的差倒数列方程求解即可． 【详解】解：设这个数是x，由题意，得 ， 解得． 故答案为：． 【练习1】新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”．如方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若两个“友好方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及新定义“友好方程”的应用，熟练掌握一元一次方程的解法、理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求解方程的解，根据“友好方程”的定义，得到方程的解是其相反数，代入该方程求解． （2）根据“友好方程”的定义，另一个解为，结合两个解的差为，分两种情况列方程求解． 【详解】（1）解：解得， ∵关于的方程与方程是“友好方程”， ∴方程的解为． 将代入得， 解得； （2）解：∵两个方程是“友好方程”， ∴另一个解为． 分两种情况： ①当时，解得； ②当时，解得； 综上，或． 【练习2】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为美好方程．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． 先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义将关于y的方程变形，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ， 解得：， 方程与是“美好方程”， ， ， 可化为：， ， ， 故答案为：． 【练习3】已知两个正整数和各个数位上的数字均不为，若它们的位数相同且对应数位上的数字之和为，称这两个数互为“和谐数”．例如：和互为“和谐数”，与 互为“和谐数”．若的“和谐数”为，记为的“和谐差”， 例如； 的“和谐数”为，“和谐差”为． (1)的“和谐差” _； (2)已知两位数的个位数字比十位数字大，且它的“和谐数”等于它的 倍，求这个两位数的“和谐差” ； (3)已知某三位数 (其中，， 且， 为整数) ， 若它的“和谐差” 能被整除，求出这个三位数 所有可能的数值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的“和谐数”，再求出“和谐差”即可； （2）设数的十位数字为，则个位数字为，得出，，再根据它的“和谐数”等于它的倍求出，结果即可求得； （3）先求出“和谐差”，化简后根据题目要求罗列出可能结果． 【详解】（1）解：∵的“和谐数”为， ∴； 故答案为：； （2）解：设数的十位数字为，则个位数字为， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴的“和谐数”， ∴， ∵其中，， 且，为整数， ∴， ∵ 能被整除， ∴是正整数， ∴或或或， ∴三位数所有可能的数值为：． 【点睛】本题考查了新定义计算，整式加减的应用，绝对值意义，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握定义． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题11含参数的一元一次方程（8大基本题型) 专题概览 题型1：利用一元一次方程的定义求参数 题型2：利用方程的解求参数 题型3：利用两个方程的解相同求参数 题型4：含参方程解的关系问题 题型5：含参方程的整数解问题 题型6：含参方程的错解问题 题型7：含参方程的解的个数问题 题型8：含参方程的特殊定义问题 核心知识点总结 一、一元一次方程的基本概念 1.定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数为1（次）的整式方程，称为一元一次方程。 标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数)。 关键条件：整式方程（分母不含未知数）；一个未知数；未知数次数为1；一次项系数a≠0（若a=0, 则方程变为b=0,不再是一元一次方程)。 2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解。 核心逻辑：将解代入方程，左右两边结果一致。 二、含参数一元一次方程的解法 含参数的一元一次方程（如ax+b=0,a或b为参数），其解法与普通一元一次方程一致，需遵循去分 母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，但需注意： 1.参数视为己知数：解方程时，将参数当作常数处理，仅在最后根据条件限制参数取值； 2.系数化为1的条件：若参数为一次项系数（如ar=b),需保证(a≠0），否则方程无解或有无 穷多解。 三、含参数一元一次方程的易错点 1.忽略一次项系数不为0： / 函学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2. 解的关系理解错误：如解互为相反数时，易将解的符号搞反； 3.解的个数讨论不全面：如忽略a=0时的无解或无穷多解情况。 题型归纳 【题型1】利用一元一次方程的定义求参数 核心考点：一元一次方程的定义（只含1个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 核心思路：根据定义列出关于参数的方程，求解并验证。 1. 题型特征：题目明确“关于x的方程是一元一次方程”，求参数（如m、n)的值。 2.解题步骤： (1)列条件：根据一元一次方程的定义，列出两个条件：未知数的次数为1；一次项系数不为0。 (2)解方程； (3)验证 3. 注意事项 (1)若方程形式为ax+b=0,需同时满足系数不为0(a≠0)和b为整式（常数项无未知数）。 (②)若方程含分母（如1+2=0），需先化为整式方程，再判断。 【题型2】利用方程的解求参数 核心考点：方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值）。 核心思路：将解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程，求解。 1. 题型特征：题目给出方程的解（如x=1),求参数（如α、b)的值。 解题步骤 (1)代入解 (2) 解方程 (3)验证。 3. 注意事项 (1)若解是分数或负数，代入时需注意符号。 (2)若方程含多个参数，需代入所有未知数，解方程组。 【题型3】利用两个方程的解相同求参数 核心考点：同解方程的定义（两个方程的解完全一致）。 核心思路：先解已知方程，得到解的表达式，再代入另一个方程求参数。 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1. 题型特征：题目说“方程A与方程B的解相同”，求参数（如α、b)。 2. 解题步骤 (1)解已知方程 (2) 代入另一个方程 (3)解方程 (4)验证 3. 注意事项 (①)若解含参数，代入另一个方程时需保持表达式不变 (2)若两个方程都含参数，需联立方程求解 【题型4】含参方程解的关系问题 核心考点：利用两个方程解的关系（同解、互为相反数、互为倒数、和差关系等），通过代换建立 关于参数的方程，求解参数值。 核心思路：分别求出两个方程的解（用参数表示）；根据解的关系列出等式；解等式求参数；验证 参数的合理性（如分母不为0、解为整数等）。 1.解的相反数问题 (1)题型特征：已知两个方程的解互为相反数，求参数值。 (2)解题步骤： ①解第一个方程得解x=a; ② 第二个方程的解为x=-a; ③ 将x=-a代入第二个方程，解关于参数的方程。 2.解的和差关系问题 ()题型特征：已知两个方程的解之和或差为某个数，求参数值。 (2) 解题步骤： ① 解两个方程得解x=a、x2=b ② 根据和差关系列等式（如x+x2=c、x-x2=d) ③解等式求参数。 【题型5】含参方程的整数解问题 核心考点：整数解的条件（解为整数，参数为整数）。 核心思路：将方程化为“参数×未知数=常数”的形式，利用整除性求参数。 1.题型特征：题目要求“方程的解为正整数/整数”，求整数参数（如k、m)。 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2. 解题步骤 (1) 整理方程：将方程化为ax=b的形式 (2)解未知数。 (3)利用整数解条件验证 3. 注意事项 (1)若解为“非负整数”（包括0），需考虑x=0的情况 (2)若参数在分母，需先化为整式方程，再求整数解。 【题型6】含参方程的错解问题 核心考点：错误解题过程中的参数推导（如去分母漏乘、符号错误）。 核心思路：还原错误过程，代入错误解求参数，再正确解方程。 1.题型特征：题目说“小明解方程时，去分母漏乘了某一项，得到错误解x=2,求参数α的值及正 确解”。 2. 解题步骠 (1) 还原错误过程 (2)代入错误解 (3)求参数 (④)正确解方程 3. 注意事项 (1)错误类型包括：去分母漏乘、符号错误、移项未变号等，需准确还原错误过程。 (②)求参数后，务必重新解原方程，避免受错误过程影响。 【题型7】含参方程的解的个数问题 核心考点：根据方程中参数的取值，讨论方程解的个数（唯一解、无解、无数解）。 核心思路：将方程化为最简形式ar=b(a、b为常数)，根据a和b的取值判断解的个数：当 4≠0时，方程有唯一解x=。,当a=0且b=0时，方程有无数解（任意实数均为解）；当a=0且b≠0 时，方程无解（矛盾式）。 1.唯一解问题 (1)题型特征：求参数取值范围，使方程有唯一解。 (2)解题步骤： ①将方程化为最简形式ax=b; 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ② 令a≠0，解关于参数的不等式。 2. 无解问题 (1)题型特征：求参数取值，使方程无解。 (2)解题步骤： ①将方程化为最简形式ax=b; @ 令a=0且b≠0，解关于参数的方程。 3.无数解问题 (①)题型特征：求参数取值，使方程有无数解。 (2)解题步骤： ① 将方程化为最简形式ax=b; ② 令a=0且b=0,解关于参数的方程。 【题型8】含参方程的特殊定义问题 核心考点：新定义的“运算规则”或“方程类型”（如“美好方程”“反对方程”）。 核心思路：严格按照新定义的规则，转化为常规含参方程求解。 1.题型特征：题目定义新概，求参数或解。 2. 解题步骤 (1) 解两个方程 (2) 应用新定义 (3)解方程 (4)验证 3. 注意事项 (1) 新定义问题需逐字理解规则，避免误解。 (2) 若新定义涉及多个步骤，需分步处理，避免遗漏。 配套练习 【题型1】利用一元一次方程的定义求参数 【典例1】若xm-2=0是关于x的一元一次方程，则m的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 【练习1】已知方程x2+k=0是关于x的一元一次方程，则方程的解为 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【练习2】己知方程x2+k=0是关于x的一元一次方程，则k的值为 【练习3】已知方程(k-3)x-2+8=0是关于x的一元一次方程，则k的值是 【题型2】利用方程的解求参数 【典例1】小红在解关于x的一元一次方程■x+2=3x-4时，把等号左边x的系数不小心沾上了墨水， 已知方程的解为x=-6,则等号左边x的系数为() A.2 B.4 C.-4 D.-2 【练习1】若x=3是关于x的一元一次方程ax+b=4的解，则代数式(3a+b)2+3(3a+b)-1的值是() A.18 B.19 C.27 D.28 【练习2】已知x=2是关于x的一元一次方程ax+b+3=0(a≠0)的解，则代数式6a+3b+7的值为 【练习3】已知关于x的一元一次方程2025+3=2+b的解为x=2,则关于y的一元一次方程 2025y+1+3=2(y+1)+b的解为 1 【题型3】利用两个方程的解相同求参数 【典例1】已知关于x的一元一次方程4x+2m=3x+1和3x+2m=6x+1的解相同. (1)求m的值； (2)求代数式(1-4m)-m的值. 【练习1】关于x的方程3x+6x=-3与2mx+3m=-1的解相同，则m的值为() A月 B. c D 【练习2】若方程3(x-1)=2(x+1)的解与关于x的方程6-2k=2(x-1的解相同，则k的值为() 8 B. 9 C.-1 D 【练习3】已知m是常数，如果关于x的方程2x-1=5的解与关于x的方程5m二”+)=2的解相同. 123 (1)求m的值； (2)若多项式m+2n与多项式m-n互为相反数，求多项式3m-n的值. 【题型4】含参方程解的关系问题 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例1】如果方程3x=3和方程a+x_a+2x-1的解互为相反数，那么a的值为《) 2 3 A.-7 B.5 C.6 D.7 【练习1】已知关于x的两个一元一次方程2x+1=5与2红中m=-5x-)的解互为相反数，则m的绝对 2 值为() A.-26 B.26 C.14 D.-14 【练习2】已知关于x的方程(k-1)x2-(k-1)x-3=-7是一元一次方程. (I)求k的值： (2它的解与关于x的方程2-1_x4“=2的解互为相反数，求a的值. 5 3 【练习3】运算能力我们规定，若关于x的一元一次方程ax=b的解为x=b-a,则称该方程为“差解方 程”.例如：2x=4的解为x=2,且2=4-2，则方程2x=4是“差解方程” 请根据上述规定解答下列问题： (1)判断3x=4.5是否是“差解方程”. (2)若关于x的一元一次方程5x=5m+5是“差解方程”，求m的值. 【题型5】含参方程的整数解问题 【典例1】(1)如果关于x,y的多项式3x2+ax-2y+5与多项式2bx2-4x+2y+1的差与x的取值无关， 求a+b的值； (2)若关于x的方程2x-1-=3x+1-1的解为整数，求所有满足条件的整数a的和。 2 【练习1】已知关于x的一元一次方程m-3=8(其中m为常数)， 6 3 (I)佳佳同学在解这个方程时，去分母时忘记给左边的-3乘以6，最终解的x=1,求这个方程正确的解。 (2)若该方程的解为整数，且m为整数，求m的值. 【铁习2】若关于的方影“之。-的解是正整数，且关于y的多项式0+4广-9y-1无=次三项式， 那么所有满足条件的整数a的值之和是· 【练习3】阅读与理解：对一个关于x的多项式求导数，多项式中x"的导数等于x-,常数项的导数为 0.已知ax2+bx+c是关于x的多项式，记为P(x).我们规定：P(x的导出多项式为2ax+b,记为 Q(x).例如：若P(x)=3x2-2x+1,则P(x的导出多项式0(x=2×3x-2=6x-2;若 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P(x)=4x3-3x2+2(2x-1),要求P(x)的导出多项式，先化简P(x)=4x3-3x2+4x-2,则P(x)的导出 多项式0(x=3×4x2-2×3x+4=12x2-6x+4.根据以上材料，回答问题： (1)若P(x)=x2-4x+3,则它的导出多项式Q(x)= (2)设Q(x)是P(x)的导出多项式 ①若P(x)=4x2+3(x-5),求关于x的方程Q(x=3的解； ②已知P(x)=(a-1)x2-8x+7是关于x的二次多项式，且关于x的方程Q(x)=-2x的解为整数，求正整 数a的值. 【题型6】含参方程的错解问题 【典例1】佳佳同学在解关于x的方程2+5_+m-3时，去分母过程中忘记给右边的-3乘以6，最终 3 6 解得方程为x=2,则m的值为() A.-7 B.-6 C.7 D.19 【练习1】小明在解方程少1_+口-1去分母时，方程右边的-1漏乘了12，因而求得方程的解为 34 y=3,请你帮助小明求出a的值，并正确解出原方程. 【练习2】小林在解方程8x一口_3x,-3去分母时，方程右边的-3忘记乘8，因而得到方程的错解 4 8 x=2,你能由此判断出Q的值吗？如果能，请求出方程正确的解. 【练习3】小明是七年级(2)班的学生，他在对方程_+a-1去分母时由于粗心，方程右边的 32 -1没有乘6而得到错解x=4,你能由此判断出α的值吗？如果能，请求出方程正确的解. 【题型7】含参方程的解的个数问题 【典例1】如果关于x的方程a-3)x=2023有唯一解，那么实数a的取值范围是() A.a<3 B.a=3 C.a>3 D.a≠3 【练习1】在不同的条件下，关于x的方程ax=b解的情况如下：(1)当a≠0时，方程有唯一解x=b (2)当a=0,b=0时，方程有无数解；(3)当a=0,b≠0时，方程无解.请根据以上知识解决下列 问题：已知关于x的方程？x=x-2无解，则m的值是() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.3 B.0 C.-3 D.-6 【练习2】阅读：关于x的方程ax=b在不同的条件下解的情况如下： (1)当a≠0时，有唯一解x= a :(2)当a=0,b=0时有无数个解；(3)当a=0,b≠0时无解.请 你根据以上知识作答： 已知关于x的方程a=(。 -二(x-6)无解，则a的值是 3 26 【练习3】若关于x的方程2m-3 2 背n与m士若均无解，求代数式6m+4n-2m-a+ -r= 3 4 6 的值. 【题型8】含参方程的特殊定义问题 【典例1】定义：a是不为1的数，我们把， 。称为销差倒数，知的差倒数 【练习1】新定义阅读理解题 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“友好方程”.如方程2x=4和3x+6=0 为“友好方程”。 (1)若关于x的方程4x+2(m+1=0与方程3(x-3)=x+1是“友好方程”，求m的值； (2)若两个“友好方程的两个解的差为10，其中一个解为n,求的值. 【练习2】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方 程2x-1=3和x+1=0为美好方程.若关于x的方程 2024x+1=0与，1 x-1=3x+k是“美好方程”，则 2024 关于y的方程少+3列-1=3y++9的解是 【练习3】已知两个正整数m和n各个数位上的数字均不为O,若它们的位数相同且对应数位上的数字 之和为10，称这两个数互为“和谐数”.例如：3和7互为“和谐数”，129与981互为“和谐数”.若m的“和 谐数”为n,记P(m)=m-n为m的“和谐差”，例如；81的“和谐数”为29，“和谐差”为 P(81=|81-29=52. (1)73的和谐差”P(73)=一： (②已知两位数m的个位数字比十位数字大2，且它的和谐数停于它的倍，求这个两位数的和谐 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 差”P(m; (3)已知某三位数6ab=6×100+ax10+bx1(其中1≤a≤9,1≤b≤9，且a,b为整数)，若它的“和 谐差”P(6ab能被17整除，求出这个三位数6ab所有可能的数值.