精品解析：海南省澄迈县澄迈中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

澄迈中学高一年级第二次月考数学科试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. . 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 8. 已知，对任意，，都有，那么实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必经过点__________. 13. 函数是定义在上的奇函数．当时，，则___________． 14. 已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 设集合U=R，； （1）求：，； （2）设集合，若，求a的取值范围． 17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 18. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给出证明； （3）判断函数在上的单调性，并解不等式： 19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 澄迈中学高一年级第二次月考数学科试题 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 2. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用指数幂运算法则得到答案. 【详解】 故选： 【点睛】本题考查了指数幂的运算，属于简单题. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】解：因为在上单调递增，且连续， 又，，即， 所以在上存在唯一零点. 故选：C 4. 已知，则函数的最小值是（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得最小值． 【详解】∵，∴， 当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是6． 故选：B． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的范围，再比较大小即可. 【详解】因为，所以；，；，；所以. 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数的零点，判断选项. 【详解】函数的定义域为，，所以是偶函数，故排除C，，得，所以函数有2个零点，排除BD. 故选：A 7. 若，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】由完全平方公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：B. 8. 已知，对任意，，都有，那么实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得在上单调递减，在区间都是减函数，且左段的最低点不低于右段的最高点,得到关于a的不等式组，即可求出a的取值范围. 【详解】任意，，不妨设， ， 在上单调递减， 解得，， 的取值范围是. 故选:D 【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及到二次函数的单调性和对数函数的单调性，要注意分段函数各段有相同的单调性合并后也具有相同单调性的限制条件，是解这类题容易忽略的点，属于中档题. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算计算并判断A，C，D，应用指数运算计算并判断B. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项正确； 对于D：，D选项正确； 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】由同一函数的定义域和对应法则相同判断A，由抽象函数的定义域求法判断B，解分式及一元二次不等式求集合判断C，由二次函数、指数函数的性质及复合函数单调性判断D. 【详解】A：由的定义域为R，的定义域为，不是同一函数，错， B：由的定义域为，对于有，则定义域为，对， C：由，则， 由，则，显然，错， D：由，在上单调递减，在上单调递增， 而在定义域上单调递增，故的单调递增区间为，对. 故选：BD 11. 已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（ ） A. B. 成立的充要条件是 C. 若，则 D. ，使得 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可． 【详解】定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数； ②，当时，都有，则函数在上是增函数； ③． 对于A，成立，故A错误； 对于B，因， 解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或 可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的图象必经过点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质令，求出，再代入计算即可. 【详解】函数且，令，解得， 所以， 所以数且的图象必经过点. 故答案为：. 13. 函数是定义在上的奇函数．当时，，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求函数值即可. 【详解】，， 因为为奇函数，所以. 故答案为：2 14. 已知函数，若方程有三个根，则 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，数形结合得解. 【详解】函数的图象如图所示： 若方程 有三个根， 则与的图象有3个交点， 由图象可得，解得， 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】利用指数及对数的运算性质直接计算即可. 【详解】（1）原式；（2）原式. 【点睛】本题主要考查指数及对数的运算性质的应用，属基础题. 16. 设集合U=R，； （1）求：，； （2）设集合，若，求a的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）首先解指数不等式和对数不等式得集合A，B，然后由集合运算法则计算； （2）求出，由是的子集，按是否为空集分类讨论． 【详解】（1）， ， ，，， （2）， （i） 时，； （ii）时， ，解得. 综上：． 【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系．掌握集合的运算法则是解题关键，在解决集合包含关系时，要注意空集是任何集合的子集，因此可能要分类讨论． 17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数，为自然对数的底数），根据如图提供的信息： （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； （2）为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.（参考数据：） 【答案】（1）； （2）1.5小时. 【解析】 【分析】（1）根据题图及图象所过的点，结合给定模型求函数关系式； （2）经分析有，结合指数函数单调性及指对数关系求范围，即可得结论. 【小问1详解】 由图，直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，则， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为. 【小问2详解】 因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 则，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过1.5小时，学生才能回到教室. 18. 已知函数. （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给出证明； （3）判断函数在上的单调性，并解不等式： 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 由（1）可知定义域关于原点对称， 对任意的，有， 所以函数为奇函数. （3）函数在上单调递增；. 【解析】 【分析】（1）解不等式即可得答案； （2）根据函数奇偶性的定义，结合对数运算法则得即可判断； （3）根据复合函数单调性判断，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【小问1详解】 由，解得或， 所以函数的定义域为. 【小问2详解】 函数为奇函数.证明略； 【小问3详解】 ， 由于函数在上单调递减，在上单调递减， 故根据复合函数单调性，函数在单调递增. 由； 所以， 所以，整理得，即. 所以不等式：得解集为. 19. 已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． （1）求a，b的值； （2）求不等式的解集； （3）设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【小问1详解】 由题意知，，即，解得： 所以， 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 【小问3详解】 由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $