3.6 第2课时　平面直角坐标系中的位似变换 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕平面直角坐标系中的位似变换展开，通过情景导入回顾位似图形的定义、判断方法及画法，以“位似能否用坐标关系表示”的问题衔接旧知，引导学生逐步探究坐标系中位似变换的坐标规律，搭建从图形位似到坐标表达的学习支架。 其亮点在于通过合作探究（如线段AB缩小、△ABC放大的坐标变化观察）引导学生归纳位似比与坐标比的关系，培养数学眼光和推理意识。结合练一练、典例精析强化应用，课堂小结系统梳理知识，帮助学生直观理解坐标规律，提升几何直观与应用能力，也为教师提供结构化教学流程和丰富实例，提高教学效率。

3.6　位　似 第3章　图形的相似 第2课时　平面直角坐标系中的位似变换 1 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ， 这个交点叫作 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 . 2. 如何判断两个图形是不是位似图形? 位似图形 位似中心 位似比 平行或者在一条直线上 情景导入 2 3. 画位似图形的一般步骤有哪些？ 4. 基本模型： 我们知道，在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转 (中心对称). 那么，位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？ 1. 在平面直角坐标系中，有两点 A (6，3)，B (6，0)． 以原点 O 为位似中心，相似比为 ，把线段 AB 缩 小，观察对应点之间坐标的变化. 合作探究 平面直角坐标系中的位似变换 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' A" B" O 如图，把 AB 缩小后 A，B 的对应点为 A′ ( ， )， B' ( ， )； A" ( ， )， B" ( ， ). 2 1 2 0 －2 －1 －2 0 2. △ABC 三个顶点坐标分别为 A (2，3)，B (2，1)，C (5，2)，以点 O 为位似中心，位似比为 2，将 △ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化. 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 B' A' C' A" B" C" O 如上图，把 △ABC 放大后 A，B，C 的对应点为 A' ( ， )，B' ( ， )，C' ( ， )； A" ( ， )，B" ( ， )，C" ( ， ). 4 6 4 2 10 4 －4 －6 －4 －2 －10 －4 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其位似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 数学上可以证明，一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形. 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k. 归纳： 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)，B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) 练一练 D x y A B C D 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 1 : 3 典例精析 例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2. 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). A′ B′ 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形. 还有其他画法吗？自己试一试. 提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即 (－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心，画出四边形 OABC 的位似图形，使它与四边形 OABC 的位似比是 2 : 3. 练一练 16 O C 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点 O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 2 4 6 4 6 B' －2 －4 －4 x y A B A' C' 17 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. O C 2 4 6 4 6 B″ －2 －4 －4 x y A B A″ C″ 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在右图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 平面直角坐标系中的图形变换 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 例2 如图，在平面直角坐标系中，已知□OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0) A (3，0)，B (4，2)，C (1，2)，以坐标原点 O 为位似中心，将 □OABC 放大为原图形的 3 倍. O 2 4 6 4 6 －2 －4 －4 x y A B 2 8 10 C －2 －6 －8 －10 －8 B' A' C' A" B" C" 方法一，将□OABC的各点坐标分别乘3，得O(0，0)，A'(9，0)，B'(12，6)，C'(3，6)，依次连接点O，A'，B'，C'，则四边形OA'B'C'即为所求，如图. O 将图中的 △ABC 做下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化． (1) 沿 y 轴正向平移 3 个单位长度； (2) 关于 x 轴对称； (3) 以 C 为位似中心， 将 △ABC 放大 1.5 倍； (4) 以 C 为中心，将 △ABC 顺时针旋转 180°． 练一练 x y A B C 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 课堂小结 一、 选择题 1.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为 (　　) A. (-4,8) B. (8,-4) C. (-8,4) D. (4,-8) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中心,在第三象限内得到与△OAB的位似比为的位似图形△OCD,则点C的坐标为 (　) A. (-1,-1) B. C. D. (-2,-1) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC与矩形OA'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点B的坐标为(8,4).若AA'=2,则CC'的长为 (　　) A. 3 B. 4 C. 4.5 D. 6 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 二、 填空题 4. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△ODE是位似图形,则它们位似中心的坐标是　　　　.  　　 　　　 　　　　　 5. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形,点A,B,E在x轴上.若点A,B的横坐标分别为1, ,则EF的长为　　　　.  (4,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.如图,△AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0), O(0,0),B(3,6),以点O为位似中心,将△AOB缩小为原来的,则点B的对应点B'的坐标是　　　 　　　. (2,4)或(-2,-4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 三、 解答题 7.如图,正方形A1A2B1C1,A2A3B2C2,…,AnAn+1BnCn按图中位置依次摆放.点C1,C2,C3,…,Cn在直线y=x上,点A1的坐标为(1,0). (1) 写出正方形A1A2B1C1,A2A3B2C2,…,AnAn+1BnCn的位似中心的坐标; (2) 求正方形A4A5B4C4四个顶点的坐标. (1) (0,0)　 (2) ∵ 点C1,C2,C3,…,Cn在直线y=x上,点A1的坐标为 (1,0),∴ 易得OA1=A1C1=1,OA2=A2C2=2,OA3=A3C3= 4,OA4=A4C4=8,OA5=A5C5=16.∴ A4(8,0),A5(16,0),B4(16,8),C4(8,8) 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 如图,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别为O(0,0),A(2,1),B(1,-2). (1) 以原点O为位似中心,在y轴的左侧画出△OAB的一个位似图形△OA1B1,使△OA1B1与△OAB的相似比为2; (1) 如图,△OA1B1即为所求　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 画出将△OAB向右平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度后得到的△O2A2B2; (3) 请你根据做出的图形判断:△OA1B1与△O2A2B2　　　　(填“是”或“不是”)位似图形. (2) 如图,△O2A2B2即为所求 是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $