4.3.1 等比数列的概念（第二课时）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等比数列常用性质及实际问题模型建立，通过预习问题（如已知等比数列求项、公比，产量增长计算）回顾定义与通项公式，衔接第一课时知识，搭建从基础到性质探究的学习支架。 此资料以核心素养为导向，通过合作探究让学生类比推导等比数列性质，结合复利计算、企业产值增长等实例培养逻辑推理与数学建模能力，拓展作业引导学生用数学眼光观察生活，助力学生深化理解，也为教师提供可操作的素养培养路径。

人教A版选择性必修二教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 《4.3.1等比数列的概念（第二课时）》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求 1. 掌握等比数列的通项公式及常用性质，能运用性质解决相关问题. 1. 能将实际问题转化为等比数列模型，体会数学建模思想在解决实际问题中的应用. 1. 通过对等比数列性质的探究，提升逻辑推理和数学运算素养. 课标分析 本节课是等比数列概念的延伸，课标要求学生在掌握等比数列基本概念和通项公式的基础上，进一步探究其常用性质，核心在于培养学生运用数学知识分析和解决问题的能力.实际问题转化为等比数列模型的要求，体现了数学与现实生活的联系，强调数学的应用价值；性质探究则注重学生逻辑推理能力的发展，符合高中数学核心素养的培养目标，为后续学习数列求和、数列与不等式等知识奠定基础. 2、 教材分析 “等比数列的概念（第二课时）”是人教A版选择性必修二第四章的核心内容，承接第一课时等比数列的定义和通项公式，是对数列知识体系的进一步完善.本节课的重点是等比数列的常用性质及实际应用，通过探究性质、建立数学模型，不仅能深化学生对等比数列本质的理解，还能让学生体会方程思想、建模思想和转化思想在数学中的应用.同时，本节课所涉及的复利问题、增长率问题等实际场景，能让学生感受到数学的实用性，激发学生学习数学的兴趣，对提升学生的数学核心素养具有重要意义. 3、 学情分析 学生在第一课时已经学习了等比数列的定义和通项公式，初步掌握了判断一个数列是否为等比数列的方法，具备了一定的数列知识基础和简单的推理能力.但等比数列的常用性质较为抽象，学生在理解性质的推导过程、灵活运用性质解决问题方面可能存在困难.此外，将实际问题转化为等比数列模型时，学生容易混淆“本金” “利率” “本利和”等概念，难以准确梳理变量之间的关系.不过，高中学生具备一定的自主探究和合作交流能力，教师可通过实例引导、问题驱动等方式，帮助学生突破难点，深化理解. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过对实际问题的分析，抽象出等比数列模型，理解等比数列常用性质的本质，提升从具体到抽象的思维能力. 1. 逻辑推理素养：经历等比数列常用性质的推导过程，能运用性质进行合理推理，培养逻辑推理和论证能力. 1. 数学运算素养：熟练运用等比数列的通项公式和常用性质进行相关计算，提高运算的准确性和效率，养成严谨的运算习惯. 1. 数学建模素养：能将复利、增长率等实际问题转化为等比数列数学模型，运用数列知识解决问题，提升数学建模意识和实践能力. 1. 直观想象素养：借助列表、图像等直观手段分析等比数列的变化规律，增强利用直观形象思考数学问题的能力. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：等比数列的常用性质，实际问题中等比数列模型的建立与求解. 1. 难点：等比数列常用性质的灵活运用，实际问题中数量关系的梳理与模型转化. 六、教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： · 已知等比数列中，，，则___（答案：）. · 若等比数列满足，，则公比___（答案：，解析：由，得，故）. · 某种产品的产量每年增长20%，若第一年的产量为，则第三年的产量为___（答案：，解析：第二年产量为，第三年为）. 1. 请学生依次回答问题，对回答正确的学生给予肯定，对错误的学生引导其结合通项公式和定义分析错误原因，及时纠正. 环节二：引入课题 1. 请学生回顾等比数列的核心知识，随机提问： · 等比数列的定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比），即（）. · 等比数列的通项公式：（为首项，为公比，，）. 1. 对学生的回答进行点评和补充，强调通项公式中各量的含义，为探究等比数列的性质及实际应用做好铺垫. 环节三：合作探究 1. 等比数列的常用性质（7分钟）： 提出问题：类比等差数列的性质，结合等比数列的定义和通项公式，探究等比数列可能具有哪些性质？ 引导学生分组讨论，通过具体例子推导性质，教师巡视指导，最后汇总总结： · 性质1：若，且，则；特别地，当时，（举例：等比数列，，，满足）. · 性质2：若是等比数列，公比为，则数列（为非零常数）、也是等比数列，公比分别为、（举例：等比数列，，公比为；，公比为）. · 性质3：若是等比数列，公比为，则（）（推导：由，，两式相除得，故）. 1. 实际问题中的等比数列模型（8分钟）： 呈现复利问题：某人将10000元存入银行，年利率为5%，按复利计算（即每年的利息计入下一年的本金），求第年的本利和. 引导学生分析： · 本金：初始存入的10000元，即第一年年初本金元. · 利率：. · 第一年本利和：. · 第二年本利和：. · 第三年本利和：. · 由此归纳第年本利和：，可知是首项为，公比为的等比数列. 进一步拓展：生活中还有哪些问题可以转化为等比数列模型？（如增长率问题、降价问题等），强调将实际问题转化为数学模型的关键是梳理变量之间的递推关系，判断是否满足等比数列的定义. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟）： · 例1：已知等比数列中，，，求. 答案：，解析：方法一，由通项公式，得，解得，，则；方法二，由性质3，. · 例2：在等比数列中，，则___. 答案：，解析：由性质1，，故. 让学生独立完成，教师巡视，对解题速度较慢的学生进行针对性指导，完成后集体订正. 1. 综合练习（7分钟）： · 例3：某企业2023年的产值为1000万元，计划从2024年起，每年的产值比上一年增长10%，则该企业2026年的产值是多少万元？（精确到0.1万元） 答案：万元，解析：2023年产值为万元，2024年为，2025年为，2026年为万元. · 例4：已知等比数列的各项均为正数，且，求的值. 答案：，解析：由性质1，，，原式可化为，即，又因为各项均为正数，故. · 例5：判断下列说法是否正确（多选）： A. 若等比数列中，，，则公比（正确，由，得）； B. 若是等比数列，则，，一定是等比数列（错误，若公比，则，不能构成等比数列）； C. 若，且，则（正确，性质1的特殊情况）； D. 等比数列中，，则（正确，由性质1，，故）. 答案：ACD. 讲解时注重展示解题思路，强调性质的应用条件和实际问题的建模步骤，帮助学生掌握解题方法. 小试牛刀： 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容，包括等比数列的常用性质、实际问题中等比数列模型的建立与求解，以及用到的方程思想、建模思想和转化思想. 1. 教师进行补充完善，强调等比数列性质的灵活运用关键在于准确识别条件，实际问题建模的核心是梳理数量关系，帮助学生构建完整的知识体系. 环节六：布置作业 1. 布置作业： · 书面作业：完成课本第34页练习第1、3、5题；完成课时训练相关习题，巩固等比数列性质及实际应用. · 拓展作业：调查生活中一个可以用等比数列模型解决的实际问题（如物价上涨、人口增长等），写出问题分析过程和求解步骤. 1. 预习引导：预习等比数列的前项和公式，思考前项和公式的推导方法，为下一节课学习做好准备. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过温故知新、合作探究、学以致用等环节，引导学生探究等比数列的常用性质和实际应用.教学中注重通过实例和问题驱动，激发学生的学习兴趣，培养学生的逻辑推理和数学建模素养.但在实际教学中，部分学生对性质的灵活运用仍存在困难，尤其是在复杂题目中难以快速识别可用性质；在实际问题建模时，对关键概念的理解不够透彻.后续教学中，应增加针对性练习，强化性质应用训练，同时多选取贴近生活的实例，帮助学生更好地掌握建模方法，关注学生的思维过程，及时发现并解决学生的问题，不断提升教学效果. 学科网（北京）股份有限公司 已知数列 的前 项和 ，求证：数列 是等比数列. 在数列 中，若 ，且 （ ），证明：数列 是等比数列. 已知各项都为正数的数列 满足 ， . (1)求 ， ； (2)证明 是等比数列，并求 的通项公式. 某工厂今年1月的生产总值为 万元，如果计划从今年2月起，每月生产总值比上一个月增长 ，那么到明年8月底该厂的生产总值为多少万元？ $