3.2　平行线分线段成比例 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”，通过情景导入猜测特殊情况，引导学生动手度量、平移直线探究比例关系，搭建从特殊到一般的学习支架，帮助理解定理及推论的形成过程。 其亮点是融合动手操作与逻辑推理，通过度量、平移培养几何直观（数学眼光），例题变式训练发展推理意识（数学思维），规范归纳与分层练习助力数学语言表达。学生能主动探究抽象定理，教师可直接用于教学，提升效率。

3.2　平行线分线段成比例 第3章　图形的相似 1 学习目标 【学习目标】 1．掌握平行线等分线段定理及推论，认识它的变式图形． 2．熟练掌握任意等分线段的方法． 3．培养化归的思想，认识“特殊——一般——特殊”的认识事物的方法． 【学习重点】 平行线等分线段定理． 【学习难点】 平行线分线段成比例定理及其灵活运用。 情景导入 猜测：若两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等． 自学互研 知识模块一 平行线分线段成比例 a b c 自学互研 a b c 自学互研 自学互研 a b c 由此可以得到： 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等. 归纳 如图，任意两条直线 l1，l2 ，再画三条与 l1，l2 相 交的直线 a，b，c .分别度量 l1，l2 被直线 a，b，c 截得的线段 AB，BC ，A1B1，B1C1 的长度. 与 相等吗？ 任意平移直线 c，再度量 AB，BC ，A1B1，B1C1 的长度， 与 也相等吗？ 自学互研 e a b c f d e a b c f d e a b c f d 例题探究 例1. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，求BF的长． 解：∵直线a∥b∥c，∴ ＝ . 又∵AC＝4，CE＝6，BD＝3， ∴ ＝ ，即DF＝4.5. ∴BF＝BD＋DF＝3＋4.5＝7.5. 由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 我们把以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 归纳 例题探究 【变例】　如图，已知DC∥EF∥GH∥AB，CB＝30，且DE∶EG∶GA＝1∶2∶3，求CF，FH，BH的长． 解：∵DC∥EF∥GH∥AB， ∴CF∶FH∶BH＝DE∶EG∶GA＝1∶2∶3. 又CB＝CF＋FH＋BH＝30， ∴CF＝5，FH＝10，BH＝15. 知识模块二 平行线分线段成比例 自学互研 如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC ，则 和 成立吗？为什么？ 如上图，过点 A 作直线 MN， 使 MN∥DE ， ∵DE∥BC ，∴MN∥DE∥BC. 同时还可以得到 因此 AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， 由此得到以下结论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例. 归纳 自学互研 如图，已知 AA1∥BB1∥CC1 ，AB=2，BC=3，A1B1=1.5，求 B1C1 的长. 解 ： 由平行线分线段成比例可知， 例题探究 课堂小结 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例 ◑基本事实 平行线分线段成比例 一、 选择题 1. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在AB上,EF∥AD交CD于点F.若AE∶BE=1∶2,DF=3,则FC的长为 (　　) A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是 (　　) A. B. C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶4,那么CF∶CB等于 (　　) A. 4∶3 B. 4∶7 C. 3∶4 D. 3∶7 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC分别交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF分别交l1,l2, l3于点D,E,F,AC与DF相交于点H,则下列式子不正确的是 (　　) A. = B. = C. = D. = D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图,AC∥BD,AD与BC交于点E,过点E作EF∥BD,交线段AB于点F,则下列各式错误的是 (　　) A. = B. = C. +=1 D. = D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 如图所示为一架梯子的示意图,其中AA1∥BB1∥CC1∥DD1,且AB=BC=CD.为使其更稳固,在点A,D1间加绑一条安全绳(线段AD1),AD1分别交BB1,CC1于点E,F,量得AE=0.4m,则AD1=　　　　m.  1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图,在梯形ABCD中,DC∥EF∥AB,AC交EF于点G.若AE=2ED,CF= 2cm,AG=5cm,则BC=　　　　cm,CG=　　　　cm.  8. 如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=4cm,则线段 BC=　　　　cm. 2.5 6 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. ★如图,在△ABC中,D为BC上一点,且BD∶CD=2∶3,E为 AD的中点,连接BE并延长,交AC于点F,则=　　　　. 解析:如图,过点D作DT∥BF交AC于点T.∵ E为AD的中点,∴ AE=DE.∵ EF∥DT,∴ 易得AF=FT.∵ DT∥BF,∴ ==.∴ ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 如图,直线l1,l2,l3分别截直线l4于点A,B, C,截直线l5于点D,E,F,且l1∥l2∥l3. (1) 若AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长; (2) 若DE∶EF=2∶3,AC=25,求AB的长. (1) ∵ l1∥l2∥l3,∴ =.∵ AB=3,BC=6,DE=4,∴ =. ∴ EF=8　 (2) ∵ l1∥l2∥l3,∴ =.∵ DE∶EF=2∶3,AC=25,∴ =. ∴ AB=10 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 如图,l1∥l2∥l3,AB=3,AD=2,DE =4,EF=7.5,求BC,BE的长. ∵ l1∥l2∥l3,∴ ==,即==.∴ BC=6,BF=BE. ∴ EF=BF+BE=BE+BE=7.5.∴ BE=5 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？ B C A1 B1 C1 如图,已知直线a∥b∥c．直线l1，l2被直线a,b,c截得的线段分别为AB, BC和A1B1，B1C1，且AB=BC， l1 l2 A B C A1 B1 C1 过点B作直线l3//l2，分别与直线a,c相交于点A2，C2，由于 a//b//c，l3//l2，因此由 “夹在两平行线间的 平行线段相等”可知 A2B=A1B1， BC2=B1C1. A2 C2 l3 l1 l2 A B C A1 B1 C1 在△BAA2和△BCC2中： ∠ABA2=∠CBC2，BA=BC， ∠BAA2=∠BCC2， 因此△BAA2≌△BCC2. 从而BA2=BC2, 所以A1B1=B1C1. A2 C2 l1 l2 A B C A1 B1 C1 证明：假设 ，则把线段AB二等分，分点D.过点D作直线d∥a，交l2于点D1．如图： 把线段BC三等分． 三等分点为E，F，分 别过点E，F作直线 e∥a，f∥a，分别交 l2于点E1,F1. D E F D1 E1 F1 l1 l2 A B C A1 B1 C1 由已知 ,得 . 由于AD=DB= AB，BE=EF=FC= BC， 因此AD=DB=BE=EF=FC. 由于a // d// b/ / e// f// c， 因此A1O1=D1B1=B1E1=E1F1=F1C1. 从而 . D E F D1 E1 F1 l1 l2 A B C A1 B1 C1 类似地,可以证明,若 (其中k为无理数), ,从而 = . 我们还可以得到 , , . D E F D1 E1 F1 l1 l2 A $