3.1.2 成比例线段课件2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦比例线段教学，核心内容包括线段的比、成比例线段及黄金分割。课堂导入通过主持人站位、人体适宜温度等生活实例引出黄金分割，再从方格纸中三角形边长比值入手建立线段的比概念，进而学习成比例线段的判断，最后通过方程推导黄金分割比，形成从生活到数学、从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境激活数学眼光，如用舞台站位、体温比例让学生感受数学与现实的联系。通过问题驱动和范例讲解培养数学思维，如成比例线段判断中对比比值、黄金分割推导中列方程求解，强化推理能力。课堂小结系统梳理要点，练习题结合比例尺、人体美学等实际问题，帮助学生用数学语言表达现实，既提升学生应用意识，也为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

第2课时　成比例线段 第3章　图形的相似 3.1　比例线段 1 学习目标 【学习目标】 1．了解线段的比的概念，并会求线段的比值． 2．了解成比例线段的意义，并会判断四条线段是否成比例． 3．了解黄金分割的定义、探索黄金分割比． 【学习重点】 线段的比的概念和成比例线段的意义． 【学习难点】 探索黄金分割比。 情景导入 1．有经验的主持人一般站在舞台上的哪个位置？是正中央吗？ 2．人为什么在环境气温22℃～23℃下感到最适宜？ 答：有经验的主持人会站在舞台的黄金分割点，最自然得体． 答：人的正常体温是36℃～37℃， 而36℃×0.618＝22.248℃，37℃×0.618＝22.866℃，正好为22℃～23℃. 如图3-1， 在方格纸上（设小方格边长为单位1）有△ABC 和△A′B′C′， 它们的顶点都在格点上. 试求出线段AB，BC，AC， A′B′， B′C′， A′C′的长度， 并计算AB与A′B′， BC与B′C′， AC 与A′C′的长度的比值. 新课引入 自学互研 知识模块一 两条线段的比 一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB， A′B′的长度分别为ｍ，ｎ， 那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比(ratio)， 记作 ，或 AB ∶ A′B′＝ m ∶ n . 如果 的比值为ｋ，那么上述式子也可写成 或 AB ＝ ｋ·A′B′ . 在四条线段中， 如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比， 那么这四条线段叫作成比例线段， 简称为比例线段. 自学互研 如果选用同一单位长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝______，或写成 ＝____． 自学互研 范例 m∶n 归纳 在同一单位下，两条线段长度的比叫作这两条线段的比． 【例1】　A、B两地的实际距离为3000m，画在图上的距离A′B′＝6cm.求图上距离与实际距离的比． 范例 解：∵AB＝3000m＝300000cm， ∴图上距离与实际距离的比是 A′B′∶AB＝6∶300000＝1∶5000. 已知线段 a，b，c，d 的长度分别为0.8 cm，2 cm，1.2 cm，3 cm，问 a，b，c，d 是比例线段吗？ ∴ ，即 a，b，c，d 是比例线段. 解： 自学互研 知识模块二 成比例线段 例1.已知a，b，c，d四条线段，a＝5cm，b＝4cm， c＝10cm，d＝8cm，则这四条线段成比例吗？请说明理由． 自学互研 范例 解：这四条线段成比例线段． 归纳 一般地，在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段． 范例 例2 已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例． (1)a＝16cm，b＝8cm，c＝5cm，d＝10cm； (2)a＝8cm，b＝5cm，c＝6cm，d＝10cm. (2)由已知得ab≠cd，ac≠bd，ad≠bc，所以a、b、c、d四条线段不成比例． 古希腊数学家、天文学家欧多克塞斯(Eudoxus，约前400—约前347)曾经提出一个问题： 能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段CB与较长线段AC的比等于线段AC与原线段AB的比？ 即，使得 成立？ 知识模块三 黄金分割 如果这能做到的话，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫作线段AB的黄金分割点，较长线段 AC 与原线段 AB 的比叫作黄金分割比. 自学互研 归纳 如图，设线段AB的长度为1个单位，AC的长度为x个单位，则CB的长度为(1-x)个单位. ① 根据①式，列出方程： ② 由于x≠0，因此方程②两边同乘以x，得1 –x = x2 ， 即 x2+x-1=0. ③ 自学互研 因此， . 解得 （舍去）. 所以我们一定可以把一条线段黄金分割， 黄金分割比为 ，它约等于0.618 自学互研 自学互研 范例 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，即 _____＝______ ，叫作线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长的线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比． 黄金分割比为 ＝ ≈0.618． 归纳 自学互研 　 例1.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士的身高为1.65米，身体躯干(脚底到肚脐的高度)为1.00米，那么她应选择约多高的高跟鞋看起来更美．(精确到十分位) 解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm， 则 ＝0.618. 解得：x≈5.2cm. 故她应该选择约5.2cm的高跟鞋看起来更美． 比例线段 两条线段的比： 比例线段 ①长度单位统一； ②与单位无关，本身没有单位； ③两条线段有顺序要求. ①概念：项、比例内项、比例外项； ②四条线段有顺序要求； ③特别地：比例中项. 课堂小结 课堂小结 黄金分割 点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比. 一条线段有两个黄金分割点 黄金比：较长线段：原线段 = 定义 一、 选择题 1. 已知线段a=5cm,b=2dm,则的值为 (　　) A. B. C. D. 4 2. 下列各组线段的长度能成比例的是 (　　) A. 3cm,6cm,8cm,9cm B. 3cm,5cm,6cm,9cm C. 3cm,6cm,7cm,9cm D. 3cm,6cm,9cm,18cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 3. 在比例尺为1∶500000的工程图上,某地铁二号线全长约为6.76cm,它的实际长度约为 (　　) A. 3.38km B. 338km C. 33.8km D. 0.338km 4. 已知C是线段AB的延长线上一点,且AB∶BC=3∶2,则AC∶AB等于 (　　) A. 3∶2 B. 5∶3 C. 5∶2 D. 3∶5 C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 如图,已知线段AB,按以下步骤作图:① 过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;② 以点C为圆心,BC长为半径画弧,交AC于点D;③ 以点A为圆心,AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为 (　　) A. B. C. -1 D. -2 A 第5题 解析:令AB的长为2a,则BC=AB=a.在Rt△ABC中, AC==a.∵ CD=CB,AE=AD,∴ AE= (-1)a.∴ AE=AB.∴ m的值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. 已知a,b,c,d是成比例线段,其中a=1cm,b=4cm,c=2cm,则d=　　　.  7. 在比例尺是1∶8的图纸上,甲、乙两个圆的直径比是2∶3,那么甲、乙两个圆的实际的直径比是　　　　.  8. 新情境·日常生活 (教材P67习题3.1A组第4题变式)在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择　　　　cm的高跟鞋穿上看起来更美 (精确到十分位).  8cm 2∶3 7.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知三条线段的长分别是cm,2cm,cm,请你再添一条线段使它们能构成比例线段,则满足这样条件的线段的长是 　　　　　　 　　.  10. ★(山西中考)黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如 图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已 知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边MN,PQ上,且AB ∥NP,“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处,且 =,若NP=2cm,则BC的长为　　　　cm(结果保留根号). cm或cm或2cm (-1) 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题( 11. 书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊艺术.如图,一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m.装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是am,bm,cm,dm.若装裱后边AB与AD的长之比是16∶10,且a=b, c=d,c=2a,求四周边衬的宽度. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意,得AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m.∵ a=b,c=d,c=2a,∴ AB=(1.2+ c+d)m=(1.2+4a)m,AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m.∵ 边AB与AD的长之比是16∶10,∴ (1.2+4a)∶(0.8+2a)=16∶10.∴ a=0.1.∴ b=0.1,c=d=0.2.∴ 上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m,0.1m,0.2m,0.2m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵＝＝，＝＝，∴＝＝. 解：(1)＝2，＝2，则＝，所以a、b、c、d成比例． $