2.2 第5课时　因式分解法 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的解法——因式分解法”，通过情景导入回顾一元二次方程一般形式及因式分解方法，结合多项式因式分解例题搭建学习支架，衔接旧知与新知，引导学生逐步理解解法原理。 其亮点在于以“降次”化归思想为主线，通过“右化零，左分解，两因式，各求解”歌诀简化步骤，培养学生数学思维（推理意识、运算能力）与数学语言表达（模型意识）。结合提公因式、平方差、十字相乘法等实例及“隔根方程”拓展题，分层递进，助力学生发展抽象能力与创新意识，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

第5课时　因式分解法 2.2　一元二次方程的解法 第2章　一元二次方程 1 学习目标 【学习目标】 1．理解因式分解法的基本原理，会用因式分解法解一元二次方程． 2．理解一元二次方程与一元一次方程的联系，体会“降次”化归的思想方法． 3．进一步提高学生分析问题、解决问题的能力． 【学习重点】 掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤． 情景导入 回顾： 1．一元二次方程的一般形式是：________________． ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 2．因式分解常用的方法有哪些？将下列多项式因式分解． x2－2x＝________， 2x(x－2)＋(x－2)＝____________． x(x－2) (2x＋1)(x－2) 直接开平方法 配方法 公式法 自学互研 知识模块一 探究因式分解法的一般步骤 (1)若p·q＝0，则_______或_______； p＝0 q＝0 (2)若x(x－2)＝0，则________或_________， 解得x1＝___，x2＝____； x＝0 x－2＝0 0 2 (3)若(2x＋1)(x－2)＝0，则_________或________，解得x1＝_____，x2＝_____． 2x＋1＝0 x－2＝0 － 2 利用因式分解来解一元二次方程的方法叫因式分解法．因式分解法解一元二次方程的基本思路是降次，也就是将一元二次方程转化为两个一元一次方程． 归纳 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 范例 用因式分解法解下列方程： (1) x(x－5)＝3x； 解：原方程可化为x2－8x＝0. 把方程左边因式分解， 得x(x－8)＝0， 由此得：x＝0或x－8＝0. 解得：x1＝0，x2＝8. (2)2x(5x－1)＝3(5x－1) 解：原方程可化为 2x(5x－1)－3(5x－1)＝0. 把方程左边因式分解， 得(5x－1)(2x－3)＝0， 由此得： 5x－1＝0或2x－3＝0. 解得：x1＝ ，x2＝ . (3)(35－2x)2－900＝0. 解：原方程可化为 (35－2x)2－302＝0. 把方程左边因式分解，得 (35－2x＋30)(35－2x－30)＝0， 由此得： 62－2x＝0或5－2x＝0. 解得：x1＝32.5，x2＝2.5. 知识模块二 用因式分解法解一元二次方程 范例 　用因式分解法解方程． (1)x2－5x＋6＝0； 解：配方得x2－5x＋ － ＋6＝0 － ＝0, ∴ ＝0, ∴x－2＝0或x－3＝0, ∴x1＝2，x2＝3. (2)x2－10x＋24＝0. 解：配方得x2－10x＋52－52＋24＝0， (x－5)2－1＝0， (x－5＋1)(x－5－1)＝0， (x－4)(x－6)＝0， ∴x－4＝0或x－6＝0， ∴x1＝4，x2＝6. 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解因式法. 提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.” 课堂小结 因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程. (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”, 鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程. 课堂小结 课堂小结 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 将方程左边因式分解，右边=0. 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 一、 选择题 1.一元二次方程x2-2x=0的解是 (　　) A. x1=3,x2=1 B. x1=2,x2=0 C. x1=3,x2=-2 D. x1=-2,x2=-1 2. 将(2x-1)2=10x-5转化为两个一元一次方程,这两个方程是 (　　) A. 2x-1=0,2x+1=-5 B. 2x+1=5,2x-1=0 C. 2x-1=0,2x-1=5 D. 2x+1=0,2x-1=-5 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 14 3. 下列方程不适于用因式分解法求解的是 (　　) A. x2-(2x-1)2=0 B. x(x+8)=8 C. 2x(3-x)=x-3 D. 5x2=4x 4. 方程(x+)(x-)=5(x-1)的根是 (　　) A. x=5 B. x=0 C. x1=0,x2=-5 D. x1=0,x2=5 5. 等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为 (　　) A. 17或13 B. 13或21 C. 17 D. 13 B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题 6. 一元二次方程4x2=9x的根是　　 　　.  7. 一元二次方程(2x-5)2-(x+4)2=0的解为　　 　　.  8. 小华在解方程x2+2x=7(x+2)时,只得出一个根是x=7,则被他漏掉的一个根是x=　　　　.  9. 若代数式x+2的值与代数式x(x+2)的值相等,则x的值为　　　　.  x1=0,x2= x1=,x2=9 -2 -2或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. ★某矩形的长为a,宽为b,且(a+b)(a+b+2)=24,则矩形的周长为　　　. 8 解析:设a+b=x,x>0,根据已知,得x(x+2)=24,化为一般形式,得x2+2x-24=0, ∴ (x-4)(x+6)=0.∴ x-4=0或x+6=0,解得x=4或x=-6(舍去).∴ 矩形的周长为2(a+b)=2x=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题 11. 用因式分解法解下列方程: (1) (滨州中考)x2-4x=0; (2) (2x-3)2-x2=0; (3) 3(x-1)2=2x-2; (4) (安徽中考)x2-2x=3. (1) x1=0,x2=4　 (2) x1=3,x2=1　 (3) x1=1,x2=　 (4) x1=3,x2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 小颖、小明、小亮在解方程x2=3x时,解法各不相同. 小颖:由方程x2=3x,得x2-3x=0,因此x=,解得x1=0,x2=3. 小明:方程x2=3x两边同时约去x,解得x=3. 小亮:由方程x2=3x,得x2-3x=0,即x(x-3)=0.∴ x=0或x-3=0.∴ x1=0,x2=3. (1) 简要分析一下三位同学的解法是否正确.如果正确,他们分别运用了哪种解一元二次方程的方法;如果错误,错误的原因是什么? (1) 小颖和小亮的解法正确,小明的解法错误　小颖运用了公式法, 小亮运用了因式分解法　小明的错误是方程两边约去x,x可能为 0,不符合等式的基本性质2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 请你选择一种你熟练的方法解一元二次方程4x(2x+1)=3(2x+1). (2) 方法不唯一,如4x(2x+1)=3(2x+1),4x(2x+1)-3(2x+1)=0,(2x+1)(4x-3)=0, 2x+1=0或4x-3=0,解得x1=-,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.多项式乘法:(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b).如分解因式:x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3). (1) 尝试分解因式:x2+6x+8=(x+　　　　)(x+　　　　);  (2) 请用上述方法解方程:x2-3x-4=0. 2 4 (2) ∵ x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)×1=0,∴ (x-4)(x+1)=0,解得x1=-1,x2=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 若关于x的方程x2+bx+c=0有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,则称这样的方程是“隔根方程”.例如:方程x2+ 2x=0的两个根是x1=0,x2=-2,则方程x2+2x=0是“隔根方程”. (1) 方程x2-x-20=0是“隔根方程”吗?请说明理由. (2) 若关于x的方程x2+mx+m-1=0是“隔根方程”,求m的值. (1) 不是　理由:∵ x2-x-20=0,即(x-5)(x+4)=0,∴ x1=5,x2=-4.∵ 5-(-4)=9≠2, ∴ 方程x2-x-20=0不是“隔根方程”.　 (2) ∵ x2+mx+m-1=0,即(x+1)[x+(m-1)]=0,∴ x1=-1,x2=1-m.∵ 关于 x的方程x2+mx+m-1=0是“隔根方程”,∴ |1-m-(-1)|=2,解得m=0或 m=4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $