2.2.3因式分解法 同步练习 2024—2025学年湘教版数学九年级上册

九　因式分解法 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 1．(2024·永州期中)方程x2＝5x的解是( ) A．x1＝－5，x2＝0 B．x1＝5，x2＝0 C．x＝5 D．x＝0 2．方程(x－2)2＝x－2的解是( ) A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1 C．x＝2 D．x＝3 3．(2024·长沙期末)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( ) A．x＝2 B．x＝3 C．x＝－1或x＝2 D．x＝－1或x＝3 4．(2023·镇江中考)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__ __． 5．若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__ __． 6．阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案． 解方程x2＋2x＝3x＋6. 解：x(x＋2)＝3(x＋2)， 两边同时除以x＋2，得：x＝3. 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 7．(2024·北京质检)用配方法解方程x2＋6x－1＝0，正确的是( ) A．(x－3)2＝8 B．(x＋3)2＝8 C．(x－3)2＝10 D．(x＋3)2＝10 8．方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，m＝__ __． 9．分别用因式分解法、配方法、公式法解方程 x2＋4x－5＝0. 10．(2023·聊城中考)关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为( ) A．2或4 B．0或4 C．－2或0 D．－2或2 11．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( ) A．2或－1 B．0或1 C．2 D．－1 【加固训练】 　 　使分式的值等于零的x是( ) A．6 B．－1或6 C．－1 D．－6 12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为( ) A．2 B．4 C．8 D．2或4 13．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，－x}＝x2－2的解为__ __． 14．(2023·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程 3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框： 小敏： 两边同除以(x－3)， 得3＝x－3， 则x＝6. 小霞： 移项，得 3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式， 得(x－3)(3－x－3)＝0. 则x－3＝0 或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0. 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 15．(2024·青岛质检)解方程． (1)x2－2x－4＝0(用配方法)； (2)2x2＋3x－1＝0(用公式法)； (3)3x＋6＝(x＋2)2； (4)9(x＋1)2＝4(2x－1)2. (选做) 16．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4. 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 请你按照上述解题思想解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九　因式分解法 知识点1　用因式分解法解一元二次方程 1．(2024·永州期中)方程x2＝5x的解是(B) A．x1＝－5，x2＝0 B．x1＝5，x2＝0 C．x＝5 D．x＝0 【解析】由原方程移项，得x2－5x＝0， ∴x(x－5)＝0， ∴x＝0或x－5＝0， 解得x1＝0，x2＝5. 2．方程(x－2)2＝x－2的解是(A) A．x1＝2，x2＝3 B．x1＝2，x2＝1 C．x＝2 D．x＝3 【解析】由原方程移项，得(x－2)2－(x－2)＝0， ∴(x－2)(x－2－1)＝0， ∴x－2＝0或x－3＝0， 解得，x1＝2，x2＝3. 3．(2024·长沙期末)方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是(D) A．x＝2 B．x＝3 C．x＝－1或x＝2 D．x＝－1或x＝3 【解析】由原方程移项，得 (x＋1)(x－2)－(x＋1)＝0， ∴(x＋1)(x－2－1)＝0， ∴x＋1＝0或x－3＝0， 解得，x＝－1，或x＝3. 4．(2023·镇江中考)一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__x1＝0，x2＝－1__． 【解析】方程x(x＋1)＝0，可得x＝0或x＋1＝0，解得x1＝0，x2＝－1. 5．若一元二次方程x2－mx＋n＝0的两个根为－3和4，则x2－mx＋n因式分解的结果为__(x＋3)(x－4)__． 【解析】根据因式分解法解方程可以得到x2－mx＋n＝(x＋3)(x－4). 6．阅读下题的解题过程，请判断其是否正确，若有错误，请写出正确的答案． 解方程x2＋2x＝3x＋6. 解：x(x＋2)＝3(x＋2)， 两边同时除以x＋2，得：x＝3. 【解析】因为不能判断x＋2是否为0，所以方程两边不能同时除以x＋2. 正确得解题过程为x(x＋2)＝3(x＋2)， x(x＋2)－3(x＋2)＝0，∴(x－3)(x＋2)＝0， 解得x1＝3，x2＝－2. 知识点2　选择合适的方法解一元二次方程 7．(2024·北京质检)用配方法解方程x2＋6x－1＝0，正确的是(D) A．(x－3)2＝8 B．(x＋3)2＝8 C．(x－3)2＝10 D．(x＋3)2＝10 【解析】x2＋6x－1＝0，x2＋6x＝1， x2＋6x＋9＝1＋9，(x＋3)2＝10. 8．方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，m＝__－1__． 【解析】解方程x2－2x－3＝0得：x1＝3，x2＝－1， 解方程(x－m)(x－3)＝0得：x1＝m，x2＝3， ∵方程(x－m)(x－3)＝0和方程x2－2x－3＝0同解，∴m＝－1. 9．分别用因式分解法、配方法、公式法解方程 x2＋4x－5＝0. 【解析】方法一：(因式分解法)(x－1)(x＋5)＝0，x－1＝0或x＋5＝0，∴x1＝1，x2＝－5. 方法二：(配方法)x2＋4x＝5， x2＋4x＋4＝5＋4，(x＋2)2＝9， x＋2＝3或x＋2＝－3，∴x1＝1，x2＝－5. 方法三：(公式法) 这里a＝1，b＝4，c＝－5， b2－4ac＝16＋20＝36，x＝， ∴x1＝1，x2＝－5. 10．(2023·聊城中考)关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k值为(B) A．2或4 B．0或4 C．－2或0 D．－2或2 【解析】把x＝－2代入方程x2＋4kx＋2k2＝4得4－8k＋2k2＝4， 整理得k2－4k＝0，解得k1＝0，k2＝4， 即k的值为0或4. 11．如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为(C) A．2或－1 B．0或1 C．2 D．－1 【解析】x2－x－1＝(x＋1)0， x2－x－2＝0，(x－2)(x＋1)＝0， 所以x＝2或x＝－1(舍去). 【加固训练】 　 　使分式的值等于零的x是(A) A．6 B．－1或6 C．－1 D．－6 【解析】分式的值等于零， ∴x2－5x－6＝0，∴(x－6)(x＋1)＝0， ∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1. ∵x＋1≠0，∴x＝6. 12．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2－6x＋8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为(A) A．2 B．4 C．8 D．2或4 【解析】x2－6x＋8＝0，(x－4)(x－2)＝0解得：x＝4或x＝2， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2. 13．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，－x}＝x2－2的解为__2或－2__． 【解析】当x>－x，即x>0时，方程为x＝x2－2， 解得：x1＝－1，x2＝2，∴x＝2， 当x<－x，即x<0时，方程为－x＝x2－2， 解得x1＝1，x2＝－2，∴x＝－2. 14．(2023·嘉兴中考)小敏与小霞两位同学解方程 3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框： 小敏： 两边同除以(x－3)， 得3＝x－3， 则x＝6. 小霞： 移项，得 3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式， 得(x－3)(3－x－3)＝0. 则x－3＝0 或3－x－3＝0， 解得x1＝3，x2＝0. 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【解析】小敏：×；小霞：×. 正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0， 提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0. 则x－3＝0或3－x＋3＝0， 解得，x1＝3，x2＝6. 15．(2024·青岛质检)解方程． (1)x2－2x－4＝0(用配方法)； (2)2x2＋3x－1＝0(用公式法)； (3)3x＋6＝(x＋2)2； (4)9(x＋1)2＝4(2x－1)2. 【解析】(1)方程整理得：x2－2x＝4， 配方得：x2－2x＋1＝5，即(x－1)2＝5， 开方得：x－1＝±， 解得，x1＝1＋，x2＝1－； (2)这里a＝2，b＝3，c＝－1， ∵b2－4ac＝9＋8＝17>0，∴x＝， 解得，x1＝，x2＝； (3)方程整理得：3(x＋2)－(x＋2)2＝0， 因式分解得：(x＋2)[3－(x＋2)]＝0， 所以x＋2＝0或3－(x＋2)＝0， 解得，x1＝－2，x2＝1； (4)方程移项得：9(x＋1)2－4(2x－1)2＝0， 因式分解得：[3(x＋1)＋2(2x－1)][3(x＋1)－2(2x－1)]＝0， 所以3(x＋1)＋2(2x－1)＝0或3(x＋1)－2(2x－1)＝0，解得，x1＝－，x2＝5. (选做) 16．阅读下面的材料，回答问题： 解方程x4－5x2＋4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4. 当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1； 当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2； ∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2. 请你按照上述解题思想解方程(x2＋x)2－4(x2＋x)－12＝0. 【解析】设y＝x2＋x，则由原方程， 得y2－4y－12＝0， 整理，得(y－6)(y＋2)＝0， 解得，y＝6或y＝－2， 当y＝6时，x2＋x＝6，即(x＋3)(x－2)＝0， 解得，x1＝－3，x2＝2. 当y＝－2时，x2＋x＝－2，即x2＋x＋2＝0，该方程无实数解． 综上所述，该方程的解为x1＝－3，x2＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$