2.2 第4课时　公 式 法 课件 2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，系统涵盖求根公式推导与应用。课堂导入通过回顾配方法解具体方程，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生用配方法推导一元二次方程一般形式的求根公式，衔接前后知识形成完整脉络。 其亮点在于以推理能力和符号意识为核心，通过“具体回顾—一般推导—例题示范—步骤归纳”逻辑落实数学思维培养。推导过程呈现完整配方步骤，例题覆盖判别式正、零及需化一般形式等情况，规范“一化二定三求四判五代”步骤，结合多样化练习。学生能发展抽象与运算能力，教师可借助结构化内容实现高效教学。

第4课时　公 式 法 2.2　一元二次方程的解法 第2章　一元二次方程 1 学习目标 【学习目标】 1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力． 2．能熟练运用公式法解一元二次方程． 3．通过探索运用公式法解一元二次方程的过程，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想． 【学习重点】 能熟练用公式法解一元二次方程． 情景导入 回顾： 用配方法解一元二次方程2x2－7x＋3＝0. 解：原方程可化为x2－ x＋ ＝0. ∴x－ ＝± . ∴x1＝3，x2＝ . 自学互研 知识模块一 推导一元二次方程的求根公式 用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，探究求根公式： 因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________． x2＋ x＋ ＝0 把方程的左边配方，得____________________， 即_________－______＝0. (若b2－4ac≥0，请继续完成) 原方程可化为 ＝ 由此得出：x＋ ＝ 或x＋ ＝－ x＝ 或x＝ . (若b2－4ac<0，则此方程无解)． 由上可得，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)在b2－4ac≥0的条件下，它的根为：x＝ (其中b2－4ac≥0)，通常把这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．用这个公式直接解一元二次方程的方法叫公式法． 归纳 知识模块二 用公式法解一元二次方程 例1 解方程： （1）x2-x-2=0 解：这里 a=1, b= -1, c= -2. ∵ b 2 - 4a c =(-1)2 - 4×1×(-2)=9﹥0, 即：x1=2, x2= -1. （2）解方程：x2-2x=1 解：移项，得 x2-2x-1=0 这里 a=1, b= -2, c= -1. ∵ b 2 - 4a c =(-1)2 - 4×1×(-1)=8﹥0, 因此，原方程的根为： (3)x(x－6)＋18＝9. 解：将方程化为一般形式， 得x2－6x＋9＝0. 因此a＝1，b＝－6，c＝9， b2－4ac＝(－6)2－4×1×9＝0， ∴x＝ ＝ ＝3， ∴x1＝x2＝3. 例2 解方程：9x2+12x+4=0 自学互研 解：这里a=9,b=12,c=4 因而 b2-4ac=122-4×9×4=0 所以 因此，原方程的根为 归纳 用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把方程写成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)形式，确定a，b，c的值，求出b2－4ac的值； ②若b2－4ac≥0，则代入公式求解．若b2－4ac<0，则原方程无解． 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算）. 根的判别式b2-4ac 务必将方程化为一般形式 课堂小结 一、 选择题 1. 用公式法解方程x2+4x=2,其中求得b2-4ac的值是 (　　) A. 16 B. ±4 C. 32 D. 64 2. 关于x的一元二次方程x2-2x-c=0能用公式法求解的前提是 (　　) A. c=1 B. c≥1 C. c≥-1 D. c≤-1 3. 已知x=是用公式法解一元二次方程得到的一个根,则满 足要求的方程是 (　　) A. 2x2-2x-1=0 B. 2x2-2x+1=0 C. 2x2+2x+1=0 D. 2x2+2x-1=0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C D 4. 用公式法解方程2x2+5x-1=0,所得解正确的是 (　　) A. x= B. x= C. x= D. x= 5. 方程2x2-6x+3=0较小的根为p,方程2x2-2x-1=0较大的根为q,则p+q的值为 (　　) A. 3 B. 2 C. 1 D. 2 A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 二、 填空题 6. x2-x+=0的根为　　　　　　.  7. 若a2+5ab-b2=0(a,b均不为0),则的值为　　　　.  8. 在计算正数a的平方时,某同学误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,那么正数a的值应该为　　　　.  9. 数形结合思想 如图,点A在数轴的负半轴,点B在数轴的正半轴,且点A对 应的数是2x-1,点B对应的数是x2+x,已知AB=5,则x的值为　　　　. x1=x2= 　 1+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. ★ 新视角·新定义 小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)进入其中,会得到一个新的实数a2-2b+3.若将实数对(x,-3x)放入其中,得到一个新数为5,则x=　　 　　. -3± 解析:根据题意,得x2+6x+3=5,即x2+6x-2=0.∵ a=1,b=6,c=-2,∴ b2-4ac=36-4×1×(-2)=44>0.∴ x==-3±. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三、 解答题 11. 嘉嘉解一元二次方程2x2-x-1=0的过程如下. 解:2x2-x-1=0,① a=2,b=1,c=1,② b2-4ac=22-4=0,③ 方程有两个相等的实数根x1=x2=-=-.④ (1) 嘉嘉解方程的方法是　　　　;他的求解过程从第　　　　步(填序 号)开始出现错误.  公式法 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 请你写出这个方程正确的解题步骤,并求出方程的根. (2) 2x2-x-1=0,a=2,b=-1,c=-1,b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9>0,∴ x= =.∴ x1=1,x2=- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 用公式法解下列方程: (1) 2x2-7x+7=0; (2) 4x(x-2)=1; (3) 4x2+4x-1=-10-8x; (4) 3x2+5(2x+1)=0; (1) 原方程没有实数根　 (2) x1=,x2=　 (3) x1=x2=-　 (4) x1=,x2=　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (5) (2x-)(2x+)=x; (6) (2x+1)(4x-2)=(2x-1)2+1. (5) x1=,x2=　 (6) x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. ★(13分)已知a,b,c均为实数,且++(c+3)2=0,求关于x的方程ax2+bx+c=0的根. ∵ +|b+1|+(c+3)2=0,∴ 解得∴ 一元二次方程为2x2-x-3=0,解得 x1=,x2=-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ＝ x2＋x＋－＋ . $