4.3.1 等比数列的概念（第二课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等比数列概念、通项公式及性质，通过预习检查（如相邻项乘积的等比数列判断、正方形面积计算）巩固旧知，再回顾通项公式搭建学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合复利计算等实际问题培养数学建模能力，通过对数数列等差性质推导强化逻辑推理，用表格系统呈现等比数列性质。这既助学生用数学眼光观察现实、用思维分析问题，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

4.3.1等比数列的概念（第二课时） 人教A版选择性必修二第四章 数列 检查预习 人教A版选择性必修二第四章 数列 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列的通项公式吗？ 引入课题 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 对实际问题抽象、简化 梳理出变量之间的关系 将复利问题转化为相应的等比数列模型 用数学模型解释现实生活中的种种现象和规律 用数学方法解决它 确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子 引入课题 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 等比数列的常用性质: 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）. 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 合作探究 人教A版选择性必修二第四章 数列 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 学以致用 人教A版选择性必修二第四章 数列 方程思想 等比数列有关计算问题 建模思想 将实际问题转化为数学问题，并加以解决. 转化思想 等比数列中， 已知， 则. 课堂小结 人教A版选择性必修二第四章 数列 18 2. 完成对应的课时训练并预习下一课时内容. 1.课本第34页练习第1、3、5题； 布置作业 人教A版选择性必修二第四章 数列 引入课题 人教A版选择性必修二第四章 数列 例4 用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率 的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到 元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季度算的利息不少于（1）中按月结算的利息（精确到 ）？ 分析： 复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为 元，每期的利率为 ，则从第一期开始，各期的本利和 ， ， 构成等比数列. 解： （1）这笔钱存 个月以后的本利和组成一个数列 ，则 是等比数列，首项 ，公比 ，所以 所以，12个月后的利息为 （元）. 例4 用10000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率 的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到 元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季度算的利息不少于（1）中按月结算的利息（精确到 ）？ （2）设季度利率为 ，这笔钱存 个季度以后的本利和组成一个数列 ，则 也是一个等比数列，首项 ，公比为 ，于是 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元. 解不等式 ，得 所以，当季度利率不小于 时，按季度算的利息不少于按月结算的利息. 例5 已知数列 的首项 . （1）若 为等差数列，公差 ，证明数列 为等比数列； （2）若 为等比数列，公比 ，证明数列 为等差数列. 分析： 根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明. 证明： （1）由 ， ，得 的通项公式为 设 ，则 又 所以， 是以27为首项，9为公比的等比数列. 例5 已知数列 的首项 . （1）若 为等差数列，公差 ，证明数列 为等比数列； （2）若 为等比数列，公比 ，证明数列 为等差数列. （2）由 ， ，得 两边取以3为底的对数，得 所以 又 所以， 是首项为1，公差为 的等差数列. 性质 内容 性质1 若 为等比数列，且 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ；若 ，则 性质2 若 ， （项数相同）是等比数列，则 ， ， ， ， 仍是等比数列 性质3 若数列 为等比数列，则 仍是等比数列，且公比为 证明：若在等比数列 中， 且 ，则 . 证明:设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则通项公式为： 则 所以 又因为 ，得 ，故： 即 ，得证. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为 . 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 ，产品合格率比前一个月增加 ，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析： 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列 ， ，则各月不合格品的数量构成数列 . 由题意可知，数列 是等比数列， 是等差数列. 由于数列 既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为 . 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 ，产品合格率比前一个月增加 ，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 解： 设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列 ， . 由题意，知 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为 . 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品. 1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高 ，产品合格率比前一个月增加 ，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 观察发现，数列 先递增，在第6项以后递减， 所以只要设法证明当 时， 递减， 且 即可. 由 得 所以，当 时， 递减. 又 所以，当 时， . 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内. 已知数列 的前 项和 ，求证：数列 是等比数列. 在数列 中，若 ，且 （ ），证明：数列 是等比数列. 已知各项都为正数的数列 满足 ， . (1)求 ， ； (2)证明 是等比数列，并求 的通项公式. 某工厂今年1月的生产总值为 万元，如果计划从今年2月起，每月生产总值比上一个月增长 ，那么到明年8月底该厂的生产总值为多少万元？ $