2.3　一元二次方程根的判别式课件2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根的判别式，系统讲解Δ=b²-4ac与根的关系，通过回顾求根公式及不同判别式的解方程例题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于通过配方法推导判别式培养抽象能力和推理意识，例题分层设计（判断根的情况、求字母取值范围、结合三角形边长综合题）并融入中考题，体现应用意识。课堂小结清晰，助力学生系统掌握知识，教师可利用丰富素材提升教学效率。

2.3　一元二次方程根的判别式 第2章　一元二次方程 1 学习目标 【学习目标】 1．理解一元二次方程的根的判别式，掌握b2－4ac与一元二次方程根之间的关系． 2．不解方程，会利用根的判别式，判断一元二次方程的根的情况． 3．通过根的判别式的学习，培养学生观察、归纳的能力，感受分类讨论的数学思想． 【学习重点】 会利用一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程根的情况． 情景导入 回顾： 1．一元二次方程的求根公式是 ________________________． x＝ (b2－4ac≥0) 2．用公式法解下列方程： (1)2x2＋x－1＝0； 解：∵b2－4ac＝12－4×2×(－1)＝9, ∴x1＝ ，x2＝－1 (2)x2－2x＋3＝0； 解：∵b2－4ac＝0， ∴x1＝x2＝ . (3)2x2－2x＋1＝0. 解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝－4， ∴此方程无解． 自学互研 用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) . 解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 . 配方，得 x2 + x +( )2 -( )2 - = 0, 移项，得 （x + ）2 = 问题：接下来能用直接开平方解吗？ 知识模块一 一元二次方程的根的判别式 什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ （x + ）2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 . 当 b2– 4ac＞0 时, x1= , x2= 当 b2– 4ac=0 时, x1=x2= 当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根), 所以原方程没有实数根. 两个不相等实数根 两个相等实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac. > 0 = 0 < 0 ≥ 0 自学互研 知识模块二 利用根的判别式求字母的值或取值范围 例:不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1). 解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根． （2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0, ∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0. ∴方程有两个相等的实数根． (3) 7y=5(y2+1). 运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先将方程化为一般形式，确定a，b，c的值，再计算b2－4ac的值，从而确定根的情况． 归纳 范例 例2　已知方程的根的情况，求字母的值(或取值范围)． (1)m取什么值时，关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？ 解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(m－2)＝12－4m. 又∵方程有两个相等的实数根． ∴b2－4ac＝0， 即12－4m＝0. 解得m＝3. (2)已知关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 解：∵b2－4ac＝22－4×1×(－k)＝4＋4k， 又∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac>0， 即4＋4k>0， 解得k>－1. 课堂小结 根的判别式：b2-4ac 判别式大于0，方程有两个不相等的实数根 判别式小于0，方程没有实根 判别式等于0，方程有两个相等的实根 一、 选择题 1. 一元二次方程x2-5x+2=0根的判别式的值是 (　　) A. 33 B. 23 C. 17 D. 2. 下列一元二次方程中,没有实数根的是 (　　) A. x2-2x=0 B. x2+4x-1=0 C. 2x2-5x+1=0 D. 2x2-4x+5=0 3.若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c的值为 (　　) A. -16 B. -4 C. 4 D. 16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 14 C 4. 若关于x的方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是 (　　) A. m<- B. m>- C. m<-4 D. m>-4 5. (自贡中考)关于x的方程x2+mx-2=0根的情况是 (　　) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. 已知关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,则-()2的化简结果是 (　　) A. -1 B. 1 C. -1-2k D. 2k-3 A 解析:∵ 关于x的方程x2-(2k-2)x+k2-1=0有两个实数根,∴ Δ=[-(2k-2)]2-4× 1×(k2-1)≥0,整理,得-8k+8≥0.∴ k≤1.∴ k-1≤0,2-k>0.∴ -()2 =-(k-1)-(2-k)=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、 填空题 7. 若一元二次方程x2-2x+c=0没有实数根,则实数c的取值范围是　　　　.  8. 若关于x的一元二次方程(m-3)x2+x+1=0有两个不相等的实数根,则m的最大整数值为　　　　.  9.关于x的一元二次方程(a+1)x2+bx+1=0有两个相等的实数根,则代数式8a-2b2+6的值是　　　　.  10.在△ABC中,BC=2,AB=2,AC=b,且关于x的方程x2-4x+b=0有两个相等的实数根,则AC边上的中线长为　　　　. c>1 2 -2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、 解答题 11. 不解方程,判断下列方程的根的情况: (1) 2x2+3x-4=0; (2) 3x2+2=2x; (3) 2(x+2)2-(8-x)=0; (4) (2y-3)2+(3y-2)2=0. (1) 方程有两个不相等的实数根　 (2) 方程有两个相等的实数根　 (3) 方程有两个不相等的实数根　 (4) 方程没有实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1) 当k=1时,求相应的x的值; (2) 求证:无论k取何实数,方程总有实数根. (1) 当k=1时,原方程为x2-3x+2=0,解得x1=2,x2=1　 (2) Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2.∵ (k-2)2≥0,∴ Δ≥0.∴ 无论k取何实数,方程总有实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不相等的实数根. (1) 求m的取值范围; (2) 化简:÷·. (1) 根据题意,得Δ=(-2)2-4(4-m)>0,解得m>3　 (2) ∵ m>3,∴ m-3>0.∴ ·=··=-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 已知关于x的一元二次方程(b-c)x2-2ax+(b+c) =0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长. (1) 如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由; (2) 如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由. (1) △ABC为等腰三角形　理由:∵ x=1是关于x的一元二次方程(b-c)x2-2ax+(b+c)=0的根,∴ (b-c)-2a+(b+c)=0.∴ a=b.∵ b-c≠0,∴ b≠c.∴ △ABC为等腰三角形.　 (2) △ABC为直角三角形　理由:∵ 方程有两个相等的实数根, ∴ (-2a)2-4(b-c)(b+c)=0.∴ a2+c2=b2.∴ △ABC为直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴ x＝＝ ∴ x＝＝. $