专题2.3 一元二次方程根的判别式（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题2.3 一元二次方程根的判别式（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 判断不含参方程根的情况】 1 【题型2 判断含参方程根的情况】 3 【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】 5 【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】 6 【题型5 根的判别式联系代数的应用】 9 【题型6 根的判别式融汇函数的应用】 11 【题型7 根的判别式综合几何的应用】 14 知识点 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【题型1 判断不含参方程根的情况】 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式1-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，分别计算四个方程的根的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况即可． 【详解】解：A.， 方程有两个不相等的实数根，符合题意； B. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C. ， 方程没有实数根，不符合题意； D. ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A． 【变式1-2】（2025·云南临沧·三模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系式解题的关键． 先把一元二次方程化为一般式，然后利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【变式1-3】（2025·河北唐山·二模）已知整式． (1)化简； (2)若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【答案】(1)； (2)此方程有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查的是整式的加减运算，根据根的判别式判断方程根的情况； （1）去括号，合并同类项即可； （2）由题意可得，再利用根的判别式判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：当时，． ； 此方程有两个不相等的实数根． 【题型2 判断含参方程根的情况】 【例2】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了点的坐标特征、一元二次方程根的判别式，由点在第四象限，得出，，从而可得，再由一元二次方程根的判别式计算即可得解． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，， ∴，, ∴， ∴关于的方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式2-1】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【变式2-2】（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【变式2-3】关于x的方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据方程的系数及根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可得出，即Δ＞0，再由“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”，即可得出关于x的方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵a＝1，b＝1，c＝， ∴． ∵， ∴，即Δ＞0， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出是解题的关键． 【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】 【例3】等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为 【答案】10 【详解】解：当a=2或b=2时，把x=2代入x2-6x+n-1=0得4-12+n-1=0，解得n=9，此时方程的根为2和4，而2+2=4，故舍去； 当a=b时，△=（-6）2-4×（n-1）=0，解得n=10， 所以n为10． 点睛：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得，从而可得m应该小于的最小值，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】原方程可化为， 当该方程总有两个不相等的实数根时， 则其根的判别式， 解得， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数取何值，不等式恒成立， 小于的最小值， 由偶次方的非负性得：， ， 的最小值为1， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式等知识点，正确将问题转化为无论实数取何值，不等式恒成立是解题关键． 【变式3-2】（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程根的判别式，先根据新运算列出一元二次方程，再根据方程有个相等的实数根得，据此列出关于的方程解答即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-3】（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，一次函数的图像与性质．先利用一元二次方程根的判别式的意义得到，然后根据一次函数的性质解决问题． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 函数过第一、二、四象限，不经过第三象限 故答案为：三． 【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】 【例4】（2025·云南·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母，应注意二次项系数不为这个隐含条件． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得：或， 又， 或． 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出k的取值范围即可得出答案． 此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴k的取值范围是且． 【变式4-2】（2025·山东济南·二模）若关于x的方程有解，则a的值不可能是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，一元二次方程根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于a的不等式是解此题的关键． 根据方程有解得出当或且，求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：当时，则，方程有解，故A选项不符合题意； 当且，即， 解得： ∴且，∴a可以为2、4，不可能为6， 故B、C选项不符合题意，D选项符合题意； 故选：D． 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且实数，，互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式的意义得到，然后可得实数，，之间的关系．解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ∴， 即， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 【题型5 根的判别式联系代数的应用】 【例5】（22-23八年级下·安徽·期末）若实数a，b满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由实数a，b满足得到关于b的一元二次方程，由根的判别式且，得到不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵实数a，b满足， ∴关于b的一元二次方程中， 且， 即且， ∴或， 解得， 即a的取值范围是． 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元一次不等式组的解法等知识，由根的判别式且得到不等式组是解题的关键． 【变式5-1】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是 ． 【答案】a＞﹣1且a≠﹣且a≠且a≠﹣ 【详解】试题解析： 即有 又 所以b,c可作为一元二次方程③的两个不相等实数根， 故 解得a>−1. 若当a=b时，那么a也是方程③的解， 即或 解得, 或 当a=b=c时， 解得 (舍去)， 所以a的取值范围为且且且 故答案为且 且且 【变式5-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足：．求的最小值 【答案】6 【分析】用分类讨论的思想，解决问题即可． 【详解】解：不妨设a是a，b，c中的最大者，即，，由题设知， 且，， 于是b，c是一元二次方程的两实根， ∴，即， 所以． 又当，时，满足题意． 故a，b，c中最大者的最小值为4． 因为，所以a，b，c为全大于0或一正二负． ①若a，b，c均大于0，a，b，c中的最大者不小于4，这与矛盾． ②若a，b，c为或一正二负， 不妨设，，，则， ∵， 故， 当，时，满足题设条件且使得不等式等号成立． 故的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查绝对值，一元二次方程等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，题目比较难，属于竞赛题目． 【变式5-3】（2023·福建·模拟预测）已知实数x、y满足，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】设，则，代入，得到关于x的方程，根据题意此方程有解，利用根的判别式即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴，整理得， 由题意得，， 整理得，解得， ∴或，即或， ∴的取值范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是消去y得到关于x的方程，利用根的判别式求解． 【题型6 根的判别式融汇函数的应用】 【例6】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根的判别式可得或，则点的坐标为或，再得出点在直线上，从而可得当与两条直线垂直时，的值最小，然后利用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可得． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等实数根， ∴这个方程根的判别式为， ∴， ∴或，即或， ∵点的坐标为， ∴或， ∴点在直线或直线上， ∵点在直线下方， ∴点在直线上， ∵点在直线上，且直线与直线平行， ∴当与两条直线垂直时，的值最小， 如图，过点作两条直线的垂线，垂直分别为点，则即为所求， 设直线交轴于点，交轴于点， 当时，，解得，即， 当时，，即， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程根的判别式、平行线间的距离、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确确定点的位置是解题关键． 【变式6-1】（2025·安徽合肥·三模）直线与的图象有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，根据题意联立与，得出，求解即可． 【详解】解：联立与，则，整理得：， ∵直线与的图象有两个不同的交点， 则， 解得：或， 故答案为：或． 【变式6-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【答案】0或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征和一元二次方程根的判别式，设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，根据“积和点”定义可得，再由唯一一个“积和点”可知关于a的方程只有一个解，一元二次方程的根判别式等于0即可求解． 【详解】解：设直线上所有的点中唯一一个“积和点”为点，依题意得：， 代入得：， 整理得：， 由点是唯一一个“积和点”可知：，解得：，． 故答案为：0或4． 【变式6-3】（23-24九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“阶积点”．例如：点为一次函数图象的“阶积点”．若关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，则的值为 ． 【答案】1或5 【分析】由关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，可得出关于的一元二次方程有三个实数根，分，同号及，异号两种情况考虑，当，同号时，原方程可整理得，由根的判别式，可得出此时原方程有两个不相等的实数根；当，异号时，原方程可整理得，由该方程有两个相等的实数根，可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：关于的一元二次方程有三个实数根． 当，同号时，， 整理得：， ， ， ，， ， 此时原方程有两个不相等的实数根； 当，异号时，， 整理得：， 当，同号时，有两个不相等的实数根， ∴该方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：，， 的值为1或5． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，分两种情况考虑是解题的关键． 【题型7 根的判别式综合几何的应用】 【例7】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 ．    【答案】1或． 【分析】由平移的性质得到，① 当时，；② 如图1，当时，③如图2，当时，则，延长交AB于H，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵将Rt△ABC平移得到， , ① 当时，； ②如图1，当时，    ∵∠ABC＝90°，是∠ABC的角平分线， ∴， 延长交AB于H， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴22＝（2﹣x）2+（1+x）2， 整理方程为：2x2﹣2x+1＝0， ∵△＝4﹣8＝﹣4＜0， ∴此方程无实数根，故这种情况不存在； ③如图2，当当时，则， 延长交AB于H， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴（x）2＝（2﹣x）2+（1+x）2， 解得：x＝， ∴BB′＝， 综上所述，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是1或， 故答案为：1或．    【点睛】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关键． 【变式7-1】如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．    (1)几秒后，四边形的面积等于？ (2)的面积能否等于？请说明理由． 【答案】(1)1秒 (2)不能，见解析 【分析】（1）根据题意可得当运动时间为 时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可； （2）看的面积能否等于，只需要看方程是否有解即可． 【详解】（1）解： ，， 当运动时间为 时，， 根据题意可得： ， 整理得：， 解得：或， 当时，点重合，不符合题意，舍去， ∴经过1秒钟，四边形的面积等于； （2）解：的面积不能等于， 理由如下： 根据题意可得： ， 整理得：， ， 所列方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用以及根的判别式，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解． 【变式7-2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根． (1)当为何值的，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若此方程的一个根是，请求出此平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)当时，四边形是菱形，这时菱形的边长为 (2)平行四边形的周长是 【分析】此题考查了平行四边形的性质、菱形的性质以及根的判别式，注意由菱形的邻边相等，得到有相等的实数根，即是解题的关键． （1）由四边形是菱形，可得，又由平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根，可得有相等的实数根，即，则可求得的值，继而求得答案； （2）首先将方程的一个根，代入，即可求得的值，继而求得答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， 平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根， ， 解得：， 当时，四边形是菱形； 原方程为：， 解得：， 这时菱形的边长为：； （2）解：此方程的一个根是， ， 解得：，                    原方程为：， ， 解得：，， ， 平行四边形的周长是：． 【变式7-3】（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 (3)1 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为； （2）证明：根据题意，得， ∵， ∴ ∴， ∴勾系一元二次方程必有实数根； （3）解：当时，有，即， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 一元二次方程根的判别式（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 判断不含参方程根的情况】 1 【题型2 判断含参方程根的情况】 2 【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】 2 【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】 3 【题型5 根的判别式联系代数的应用】 3 【题型6 根的判别式融汇函数的应用】 3 【题型7 根的判别式综合几何的应用】 4 知识点 一元二次方程根的判别式 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【题型1 判断不含参方程根的情况】 【例1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-1】（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列方程有两个不相等的实数根是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·云南临沧·三模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【变式1-3】（2025·河北唐山·二模）已知整式． (1)化简； (2)若，利用判别式判断此方程实数根的情况． 【题型2 判断含参方程根的情况】 【例2】（24-25九年级上·河南信阳·期末）已知，，为常数，点在第四象限，则关于的方程的根的情况是 ． 【变式2-1】（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【变式2-2】（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【变式2-3】关于x的方程的根的情况是________． 【题型3 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数为常数）】 【例3】等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为 【变式3-1】（2025·河北唐山·一模）关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 ． 【变式3-2】（2025·湖南娄底·三模）对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【变式3-3】（2025·江苏泰州·三模）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则直线不经过第 象限． 【题型4 知根的情况求参数的取值范围（二次项系数含参）】 【例4】（2025·云南·模拟预测）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．或 【变式4-1】（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是 【变式4-2】（2025·山东济南·二模）若关于x的方程有解，则a的值不可能是（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【变式4-3】（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且实数，，互不相等，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 根的判别式联系代数的应用】 【例5】（22-23八年级下·安徽·期末）若实数a，b满足，则a的取值范围是 ． 【变式5-1】如果a、b、c为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2＝2a2+16a+14与bc＝a2﹣4a﹣5，那么a的取值范围是 ． 【变式5-2】（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足：．求的最小值 【变式5-3】（2023·福建·模拟预测）已知实数x、y满足，则的取值范围是 ． 【题型6 根的判别式融汇函数的应用】 【例6】（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的方程有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点在直线上，点在直线下方，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·安徽合肥·三模）直线与的图象有两个不同的交点，则的取值范围是 ． 【变式6-2】（2024·四川成都·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若点满足，则称点为“积和点”．例如：，就是“积和点”．若直线上所有的点中只有唯一一个“积和点”，则 ． 【变式6-3】（23-24九年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两条坐标轴的距离之积等于的点，叫做该函数图象的“阶积点”．例如：点为一次函数图象的“阶积点”．若关于的一次函数图象的“阶积点”恰好有3个，则的值为 ． 【题型7 根的判别式综合几何的应用】 【例7】定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB'的方向平移，得到A'B'C'，连接AC'，CC'，若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离BB'的长度是 ．    【变式7-1】如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，另外一点也随之停止运动．    (1)几秒后，四边形的面积等于？ (2)的面积能否等于？请说明理由． 【变式7-2】（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知平行四边形的两边，的长是关于的方程：的两个实数根． (1)当为何值的，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若此方程的一个根是，请求出此平行四边形的周长是多少？ 【变式7-3】（22-23八年级下·浙江·阶段练习）如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$