专题12 一元一次方程的应用扩展（8大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义以“题型为纲”系统构建一元一次方程应用知识体系，通过框架图梳理8大题型（和差倍分、工程、配套等）的核心思路与等量关系，用表格呈现关键技巧（如工程问题设总量为1，配套问题按比例设元），清晰展现各题型内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-典例-分层练习”的递进设计，如方案问题引导列不同收费方案表达式培养模型意识，分段计费问题通过区间判断提升运算能力。每个题型配易错点提醒，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题12 一元一次方程的应用扩展（8大基本题型） 题型1：和差倍分问题 题型2：工程问题 题型3：配套问题 题型4：方案问题 题型5：分段计费问题 题型6：积分问题 题型7：年龄问题 题型8：数字问题 【题型1】和差倍分问题 核心思路：抓住“和、差、倍、分”的关键词，通过设未知数表示各量，建立等量关系 等量关系：和＝加数＋加数，差＝大数－小数，倍＝倍数×基数，分＝总数×比例 关键技巧：设较小的数为x，则较大的数为kx（k为倍数）； 【题型2】工程问题 核心思路：将工作总量视为单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间（如：甲单独做a天完成，则效率为）。 等量关系：甲工作量＋乙工作量＝总工作量（1）。 关键技巧： 1. 设总工作量为1，各队效率为； 2. 若有合作，效率相加（如：甲、乙合作效率为）。 【题型3】配套问题 核心思路：明确配套比例（如：1个A配2个B），设生产A的数量为x，则生产B的数量为2x（根据比例），再根据总工作量或人数列方程。 关键技巧： 1. 配套比例＝“1份”数量:“n份”数量（如：螺钉:螺母＝1:2）； 2. 设“1份”的数量为x，则“n份”的数量为nx 【题型4】方案问题 核心思路：根据题目中的方案（如：不同收费标准、不同购买数量），分别列出各方案的费用表达式，再根据“最省钱”“费用相等”等条件列方程。 关键技巧： 1. 设方案中的变量（如：购买数量x）； 2. 分别计算各方案的费用（如：A方案费用＝单价×数量＋固定费，B方案费用＝折扣×单价×数量）； 3. 根据条件列方程（如：A方案费用＝B方案费用，或A方案费用＜B方案费用）。 【题型5】分段计费问题 核心思路：根据费用的阶梯标准（如：水费、电费的分段价格），将用量分为不同区间，分别计算各区间费用，再求和。 关键技巧： 1. 明确分段的临界点（如：0-10吨，10-20吨，20吨以上）； 2. 设用量为x，判断x所在的区间； 3. 计算各区间的费用（如：0-10吨费用＝10×单价1，10-20吨费用＝10×单价2，20吨以上费用＝（x−20）×单价3）。 【题型6】积分问题 核心思路：根据比赛积分规则（如：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分），设胜、平、负的场数为x,y,z，列方程：胜场＋平场＋负场＝总场数，积分＝3x＋y。 关键技巧： 1. 胜场＋平场＋负场＝总场数（如：联赛10场，x＋y＋z＝10）； 2. 积分＝3x＋y（如：胜3场得9分，平2场得2分，总积分11分）。 【题型7】年龄问题 核心思路：年龄差始终不变，设某人现在年龄为x，则几年前的年龄为x－n，几年后的年龄为x＋n，根据年龄差列方程。 关键技巧： 1. 年龄差＝大年龄－小年龄（始终不变）； 2. 设现在年龄为x，则过去/未来年龄为x±n。 【题型8】数字问题 核心思路：设数字的个位、十位、百位等为x,y,z，表示出原数和新数（如：两位数＝10×十位＋个位），根据“新数比原数大/小多少”列方程。 关键技巧： 1. 原数＝10n-1×最高位＋…＋100×个位（如：三位数＝100a＋10b＋c）； 2. 新数＝原数的数字调整后的表达式（如：交换十位与个位，新数＝100a＋10c＋b）。 【题型1】和差倍分问题 【典例1】x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为______； 【练习1】12与x的差等于x的2倍，则x的值为__________． 【练习2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【练习3】阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【题型2】工程问题 【典例1】一项工程，甲队天干完，乙队天干完．两队合干天后，由甲队单独干，还要_____天干完． 【练习1】某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【练习2】甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是多少？ 【练习3】某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【题型3】配套问题 【典例1】某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 【练习1】某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【练习2】某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应该安排__________天生产甲种零件． 【练习3】某车间有技工86人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套． (1)如何分配恰当的人数生产甲或乙种零件，使得每天生产的配套零件最多？ (2)最多生产多少套零件？ 【题型4】方案问题 【典例1】某游泳馆每次游泳费用是20元，为招揽顾客特推出两种优惠方案， 方案一：办理会员卡费用是200元，可免费游泳5次，免费次数用完以后，每次凭会员卡只需10元/次； 方案二：不办理会员卡，每次费用打8折； (1)分别写出方案一和方案二花费钱数与次数之间的关系式； (2)小明今年预计去游泳45次，哪种方案更合算？ (3)小颖计划今年在游泳上花费480元，她选择哪种方案能去的次数多？ 【练习1】某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价150元，文具袋每个定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋x个(，x为整数)． (1)若该学校按方案一购买，需付款_元； 若该学校按方案二购买，需付款_元(用含x的式子表示)； (2)当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同； (3)请你为学校提出最合理化的购买方案?直接写方案 【练习2】小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有张白板纸，最多可做几个包装盒？ (2)现有张白板纸，为了尽可能做出更多的包装盒，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分全做盒身，一部分全做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当裁出一个盒身和一个盒盖，剩下的张白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【练习3】已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超市推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费______元；若该顾客按方案二购买，共需花费______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾客设计更加优惠的购买方案． 【题型5】分段计费问题 【典例1】为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【练习1】为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水5吨以下（包含5吨）缴水费12.5元；超过5吨的部分，每吨3.2元．小强家4月份的应缴水费34.9元，则4月份的用水量为_____________吨． 【练习2】为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有__________人． 【练习3】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是_ 元； 若小明家10月用电量为230度，则他们家10月的电费是_元． (2)若小明家11月用电量为度；请用含的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 【题型6】积分问题 【典例1】“思奇阅读”倡导“阅读即思考，思考即创造”．七年级（1）班统计图书角借阅情况：科普类书籍每本借阅一次计4分，文学类书籍每本借阅一次计3分．本月这两类书籍共被借阅50次，累计积分达175分．设科普类书籍借阅x次，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【练习1】有14个队参加的足球循环赛中（每两队之间比一场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数比所负场数多2场，共积分20分，则该队负（    ）场 A．3 B．5 C．6 D．7 【练习2】年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行．本次比赛共有支球队参赛，分为两个阶段．第一阶段采用单场循环赛，支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军．算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛 _______ 场． 【练习3】综合与实践 【问题情境】 某学校七年级举行“迎新年”篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 10 4 24 七（5） 14 9 5 23 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 （Ⅰ）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （Ⅱ）某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程①__________． 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为④__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程⑤__________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决的第（Ⅱ）个问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： (1)七年级共进行__________场篮球赛；请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； (2)请求出胜一场的积分； (3)请你帮助小明，解决提出的第（Ⅱ）个问题． 【题型7】年龄问题 【典例1】女儿今年岁，母亲今年岁，是否有哪一年母亲的年龄恰好是女儿年龄的倍？ 【练习1】老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年，之后从小学到读完大学花了我年龄一半的时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台上．谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄是_______岁． 【练习2】有一户人家，父亲和儿子同一天过生日，已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父子两人各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？ 【练习3】希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两鬓长起细细的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，与世长辞了，根据以上信息，请你算出丢番图的寿命为（   ）岁 A． B． C． D． 【题型8】数字问题 【典例1】如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【练习1】“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为：（   ） A． B． C． D． 【练习2】将从1到1800的正整数按一定规律排列如图： (1)探究如图“+”框中的5个数： ①设这5个数中间的数为，这5个数的和是240，求是多少？； ②这5个数的和可能是2005吗？___________（填能或不能） (2)数1240排在第___________行，第___________列； (3)若“+”形框中框住的五个数的和记为“S”，则的最大值与最小值的差等于___________． 【练习3】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则m的值为__________． 故答案为：3． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题12 一元一次方程的应用扩展（8大基本题型） 题型1：和差倍分问题 题型2：工程问题 题型3：配套问题 题型4：方案问题 题型5：分段计费问题 题型6：积分问题 题型7：年龄问题 题型8：数字问题 【题型1】和差倍分问题 核心思路：抓住“和、差、倍、分”的关键词，通过设未知数表示各量，建立等量关系 等量关系：和＝加数＋加数，差＝大数－小数，倍＝倍数×基数，分＝总数×比例 关键技巧：设较小的数为x，则较大的数为kx（k为倍数）； 【题型2】工程问题 核心思路：将工作总量视为单位“1”，工作效率=工作总量÷工作时间（如：甲单独做a天完成，则效率为）。 等量关系：甲工作量＋乙工作量＝总工作量（1）。 关键技巧： 1. 设总工作量为1，各队效率为； 2. 若有合作，效率相加（如：甲、乙合作效率为）。 【题型3】配套问题 核心思路：明确配套比例（如：1个A配2个B），设生产A的数量为x，则生产B的数量为2x（根据比例），再根据总工作量或人数列方程。 关键技巧： 1. 配套比例＝“1份”数量:“n份”数量（如：螺钉:螺母＝1:2）； 2. 设“1份”的数量为x，则“n份”的数量为nx 【题型4】方案问题 核心思路：根据题目中的方案（如：不同收费标准、不同购买数量），分别列出各方案的费用表达式，再根据“最省钱”“费用相等”等条件列方程。 关键技巧： 1. 设方案中的变量（如：购买数量x）； 2. 分别计算各方案的费用（如：A方案费用＝单价×数量＋固定费，B方案费用＝折扣×单价×数量）； 3. 根据条件列方程（如：A方案费用＝B方案费用，或A方案费用＜B方案费用）。 【题型5】分段计费问题 核心思路：根据费用的阶梯标准（如：水费、电费的分段价格），将用量分为不同区间，分别计算各区间费用，再求和。 关键技巧： 1. 明确分段的临界点（如：0-10吨，10-20吨，20吨以上）； 2. 设用量为x，判断x所在的区间； 3. 计算各区间的费用（如：0-10吨费用＝10×单价1，10-20吨费用＝10×单价2，20吨以上费用＝（x−20）×单价3）。 【题型6】积分问题 核心思路：根据比赛积分规则（如：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分），设胜、平、负的场数为x,y,z，列方程：胜场＋平场＋负场＝总场数，积分＝3x＋y。 关键技巧： 1. 胜场＋平场＋负场＝总场数（如：联赛10场，x＋y＋z＝10）； 2. 积分＝3x＋y（如：胜3场得9分，平2场得2分，总积分11分）。 【题型7】年龄问题 核心思路：年龄差始终不变，设某人现在年龄为x，则几年前的年龄为x－n，几年后的年龄为x＋n，根据年龄差列方程。 关键技巧： 1. 年龄差＝大年龄－小年龄（始终不变）； 2. 设现在年龄为x，则过去/未来年龄为x±n。 【题型8】数字问题 核心思路：设数字的个位、十位、百位等为x,y,z，表示出原数和新数（如：两位数＝10×十位＋个位），根据“新数比原数大/小多少”列方程。 关键技巧： 1. 原数＝10n-1×最高位＋…＋100×个位（如：三位数＝100a＋10b＋c）； 2. 新数＝原数的数字调整后的表达式（如：交换十位与个位，新数＝100a＋10c＋b）。 【题型1】和差倍分问题 【典例1】x的3倍与5的和比x大2，则可列方程为______； 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找相等关系，首先要找到反映相等关系的关键词，如：多，少，倍等．根据题意列出方程即可． 【详解】解：x的3倍为，与5的和为，比x大2即． 故答案为． 【练习1】12与x的差等于x的2倍，则x的值为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据题意，列出关于x的一元一次方程，然后通过移项和合并同类项求解． 【详解】解：由题意，得方程：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 两边同时除以，得：． 故答案为：4． 【练习2】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 【练习3】阅读材料：在一次数学活动课上，小智发现：若一个两位正整数，十位上的数字为，个位上的数字为（），把十位上的数字与个位上的数字交换位置，原数与所得新数的差等于与的差的倍． 回答问题： (1)请证明小智的发现； (2)已知一个三位正整数的百位上的数字为，个位上的数字为，把百位上的数字与个位上的数字交换位置，十位上的数字不变，原数与所得新数的差等于594，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，列代数式，一元一次方程的应用等，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据题意列出原数与新数之差进行计算； （2）设十位上的数字为，根据题意，表示出原数和新数，列出方程，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：原数为，新数为， ∵， ∴， ∴原数与新数的差为， ∵与的差为， 故原数与所得新数的差等于与的差的倍． （2）解：设十位上的数字为， 根据题意可得：原数为，新数为：， 两数之差为：， 根据题意：， ∴． 【题型2】工程问题 【典例1】一项工程，甲队天干完，乙队天干完．两队合干天后，由甲队单独干，还要_____天干完． 【答案】 【分析】本题考查的是工程问题的解题方法，充分理解题意是解决本题的关键． 根据题意得知，甲队每天完成这项工程的，乙队每天完成这项工程的，现在两队合作了4天，那么用甲队和乙队的工效和即为合作4天完成的工作量，然后用1减去完成的工作量就是剩下的工作量，用剩下的工作量甲的工效即为还要多少天完成任务． 【详解】解： （天） 答：还要9天完成任务． 故答案为：9． 【练习1】某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设完成此项工程共需天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设完成此项工程共需天，根据题意得： ． 故选：C 【练习2】甲、乙两个工程队分别负责两项工程．晴天，甲完成工程需要10天，乙完成工程需要16天；雨天，甲和乙的工作效率分别是晴天时的和．实际情况是两队同时开工、同时完工．那么在施工期间，下雨的天数是多少？ 【答案】12天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，比例的实际应用，根据题意可求出两个工程队在晴天和雨天的工作效率，进而求出在晴天，甲队的工作效率比乙队的工作效率高，在雨天，乙队的工作效率比甲队的工作效率高，则可求出整个施工期间，晴天与雨天的天数比，再通过设出晴天和雨天的天数，根据工作总量为“1”建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，在晴天，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 在雨天，甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 所以在晴天，甲队的工作效率比乙队的工作效率高， 在雨天，乙队的工作效率比甲队的工作效率高， 因为实际情况是两队同时开工、同时完工， 所以整个施工期间，晴天与雨天的天数比为， 设整个施工期间，晴天的天数为天，雨天的天数为天， 由题意得，， 解得， 所以， 所以在施工期间，下雨的天数是12天， 答：在施工期间，下雨的天数是12天． 【练习3】某隧道及连接道路工程项目全长500米，其中隧道(地下路段)长度220米，剩余为连接道路（地上路段）．现有甲、乙两个工程队负责工程项目的修建，已知乙工程队每天修建地上路段的长度是甲工程队每天修建地上路段长度的倍，一期工程甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天． (1)求一期工程中甲、乙两工程队每天分别修建地上道路多少米? (2)工程二期，由甲、乙两工程队继续负责地下路段的建设，由于建设难度的提升，甲、乙两工程队每天可修建地下道路长度缩减为一期工程的一半．工程二期，甲工程队每天修建道路的费用为3万元，乙工程队每天修建道路的费用为9万元．若安排由甲、乙共同修建该地下路段的一部分，剩下部分由甲工程队单独完成，工程二期总费用为72万元，求甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了多少天? 【答案】(1)甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米 (2)甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （1）由题意得，设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米，根据甲、乙两工程队一起修建完280米长的地上路段，用时共4天，列方程求解即可； （2）设甲工程队单独修建了y天，则甲单独修建的费用为万元，甲乙共同修建的费用为万元，甲乙每天共同费用为万元，进而可求出共同修建的天数为天，再根据“地下路段总长220米”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天修建地上道路x米，则乙工程队每天修建米， 由题意得， 解得， ∴乙每天修建：米， 答：甲工程队每天修建20米，乙工程队每天修建50米； （2）解：∵工程二期，甲、乙每天修建地下道路的长度为一期的一半， ∴甲每天修地下道路：米；乙每天修地下道路：米， 设甲工程队单独修建了y天， ∴甲单独修建的费用：万元，甲乙共同修建的费用：万元，甲乙每天共同费用为万元， ∴共同修建的天数为天， ∵“地下路段总长220米”， ∴ 解得． 答：甲工程队在工程二期道路建设中单独修建了8天． 【题型3】配套问题 【典例1】某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据配套关系列方程的方法是解题的关键．根据题意可知人生产螺栓，则有人生产螺母，然后根据螺栓总数螺母总数，即可列出相应的方程． 【详解】解：设人生产螺栓，则有人生产螺母， ， 故选：A． 【练习1】某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 【练习2】某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应该安排__________天生产甲种零件． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设生产甲种零件的天数为天，则生产乙种零件的天数为天，根据甲、乙零件配套的比例关系列出方程求解． 【详解】解：设应该安排天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件． 由题意得， 简化得， 即， 解得， ∴应该安排6天生产甲种零件， 故答案为：6． 【练习3】某车间有技工86人，平均每人每天能生产甲种零件16个或乙种零件10个，已知每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套． (1)如何分配恰当的人数生产甲或乙种零件，使得每天生产的配套零件最多？ (2)最多生产多少套零件？ 【答案】(1)生产甲种零件的人数为25人，生产乙种零件的人数为61人或生产甲种零件的人数为26人，生产乙种零件的人数为60人时，每天生产的配套零件最多 (2)最多生产200套零件 【分析】本题主要考查一次方程的实际应用，明确当个数相等时每天生产的配套零件最多这个前提是解题的关键． （1）首先利用未知数表示出生产甲、乙零件的人数和每天生产的甲、乙零件的个数，再利用已知条件的每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套，列出每天生产的配套零件的个数，再利用两种零件配套个数相等时存在最大配套个数求解方程即可，但是要注意尽量选取最优解； （2）利用（1）中求解出的人数计算最大的配套个数即可． 【详解】（1）解：设生产甲种零件的人数为x人，则生产乙种零件的人数为人， 所以每天生产的甲种零件为个，乙种零件为个， 因为每2个甲种零件和3个乙种零件配成一套， 所以，解得：， 所以或 当时，人；当时，人； 所以生产甲种零件的人数为25人，生产乙种零件的人数为61人或生产甲种零件的人数为26人，生产乙种零件的人数为60人时，每天生产的配套零件最多； （2）解：当时，，， 所以此时配套零件最多200套； 当时，，， 所以此时配套零件最多200套； 所以生产配套零件最多200套． 【题型4】方案问题 【典例1】某游泳馆每次游泳费用是20元，为招揽顾客特推出两种优惠方案， 方案一：办理会员卡费用是200元，可免费游泳5次，免费次数用完以后，每次凭会员卡只需10元/次； 方案二：不办理会员卡，每次费用打8折； (1)分别写出方案一和方案二花费钱数与次数之间的关系式； (2)小明今年预计去游泳45次，哪种方案更合算？ (3)小颖计划今年在游泳上花费480元，她选择哪种方案能去的次数多？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)方案一合算 (3)方案一能去的次数多 【分析】本题考查代数式，代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）根据题意分别列出关系式即可； （2）将代入求出，再进行比较即可得出答案； （3）利用一元一次方程分别求出两种方案的次数，再比较即可得出答案． 【详解】（1）解：方案一：； 方案二：； （2）解：当时， 方案一：； 方案二：， ； 方案一合算； （3）解：， ； ， ； ， 方案一能去的次数多． 【练习1】某学校计划购买一些书包和文具袋，某商场销售书包和文具袋，书包每个定价150元，文具袋每个定价20元．国庆节期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即方案一：买一个书包送一个文具袋；方案二：书包和文具袋都按定价的付款．该学校要到该商场购买书包10个，文具袋x个(，x为整数)． (1)若该学校按方案一购买，需付款_元； 若该学校按方案二购买，需付款_元(用含x的式子表示)； (2)当购买文具袋的数量为多少时，方案一和方案二价格相同； (3)请你为学校提出最合理化的购买方案?直接写方案 【答案】(1)； (2) (3)见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据题意，分别列式化简，得出按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； （2）理解题意，得，解出的值，即可作答． （3）理解题意，综合运用方案一和方案二进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元）， ∴该学校按方案一购买，需付款元； 依题意，（元） ∴若该学校按方案二购买，需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元； 按方案二购买，需付款元； 依题意，， 解得 答：当购买文具袋的数量为25时，方案一和方案二价格相同； （3）解：依题意，运用方案一，购买书包，则（元） 则方案二，（元） ∴（元） ∴学校提出最合理化的购买方案为，运用方案一，购买书包，再运用方案二购买个文具袋，此时费用是元 【练习2】小敏和小强假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套． (1)现有张白板纸，最多可做几个包装盒？ (2)现有张白板纸，为了尽可能做出更多的包装盒，小敏和小强各设计了一种解决方案： 小敏：把这些白板纸分成两部分，一部分全做盒身，一部分全做盒盖； 小强：先把一张白板纸适当裁出一个盒身和一个盒盖，剩下的张白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖． 请探究：小敏和小强设计的方案是否可行？若可行，求出最多可做包装盒的个数；若不行，请说明理由． 【答案】(1)最多可做个包装盒 (2)小敏方案不可行，理由见解析；小强方案可行，最多做个包装盒 【分析】本题考查 一元一次方程的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设用 x 张白纸板做盒身， 张做盒盖，根据盒身数量 盒盖数量的配套关系列方程，求解后计算包装盒个数． （2）分别分析小敏、小强的方案，小敏方案：设用 a 张做盒身， 张做盒盖，按配套关系列方程，判断解是否为整数；小强方案：先利用 1 张纸板做 1 个盒身 + 1 个盒盖，再设剩下张中y张做盒身，张做盒盖，按配套关系列方程，求解后计算总包装盒数． 【详解】（1）解：设x 张白板纸做盒身，则有 张做盒盖， 根据题意，得 ， 解得：， (个)， 答：最多可做个包装盒． （2）解：小敏的方案不可行．理由如下： 设张白板纸做盒身． 根据题意，得 ， 解得 ，不符合题意． 小强的方案可行； 设张白板纸中张做盒身． 根据题意，得 解得， （个）． 答：最多做个包装盒． 【练习3】已知某超市酸奶的定价为20元/箱，玻璃杯的定价为5元/个，该超市推出了两种优惠促销方案，如下表所示．现某顾客需要购买40箱酸奶和个玻璃杯． 方案一 酸奶和玻璃杯一律按九折优惠 方案二 购买一箱酸奶，赠送一个玻璃杯 (1)若该顾客按方案一购买，共需花费______元；若该顾客按方案二购买，共需花费______元；（用含的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时按哪种方案购买更省钱； (3)当购买多少个玻璃杯时，上述这两种方案的花费一样多？并且请你根据购买玻璃杯数量的情况，为该顾客设计更加优惠的购买方案． 【答案】(1)；； (2)方案二更省钱 (3)当购买240个玻璃杯时，两种方案花费一样多；更优惠的方案是：先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买剩余的玻璃杯，花费为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解答的关键． （1）利用总价单价数量，结合该超市推出的两种优惠促销方案，即可用含x的代数式表示出按方案一及按方案二购买所需费用； （2）代入，求出按方案一及按方案二购买所需费用，再比较后即可得出结论； （3）①根据按这两种方案的花费一样多，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； ②根据题意，先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买个玻璃杯更省钱． 【详解】（1）解：根据题意得：按方案一购买所需费用为元； 按方案二购买所需费用为元． 故答案为：；； （2）当时， 方案一购买所需费用为：（元）， 方案二购买所需费用为：（元）， 因为， 所以按方案二购买更省钱 （3）①由题意得： 解得 答：当购买240个玻璃杯时，上述两种方案一样． ②先按方案二购买40箱酸奶，赠送40个玻璃杯，再按方案一购买个玻璃杯． 所需费用：元． 因为，且当时，， 所以该方案比方案一和方案二都更优惠． 【题型5】分段计费问题 【典例1】为提高人们节约用水的意识，某市对“生活用水”实行分段计费，收费标准为：每月用水不超过立方米，则单价为元立方米；超过立方米的部分，单价为元立方米．小明家月份水费为元，设用水立方米（），以下方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设用水立方米（），根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设用水立方米（），根据题意得 故选：B． 【练习1】为提倡人们节约用水，自来水公司分段收费标准如下：每户每月用水5吨以下（包含5吨）缴水费12.5元；超过5吨的部分，每吨3.2元．小强家4月份的应缴水费34.9元，则4月份的用水量为_____________吨． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键，根据题意得到小强家4月份的用水量超过5吨，设小强家4月份的用水量为吨，由此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴小强家4月份的用水量超过5吨， ∴设小强家4月份的用水量为吨， ∴， 解得，， ∴小强家4月份的用水量为吨， 故答案为：12 ． 【练习2】为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客． 门票定价为元/人，非节假日打8折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即人以下（含人）的团队按原价售票；超过人的团队，其中人仍按原价售票，超过人部分的游客打7折售票．某旅行社导游李娜于月1日（节假日）带A团，月日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款元，A，B两个团队合计人，则A团有__________人． 【答案】或 【分析】本题考查了方案选择(一元一次方程的应用)，解题关键是正确列出方程求解． 设A团人数为x，则B团人数为．A团节假日购票，付款按分段函数计算；B团非节假日购票，按8折计算付款．根据总付款元，分和两种情况列方程求解． 【详解】解：设A团有x人，则B团有人． B团非节假日购票款为：． A团节假日购票款： 当时，为元； 当时，为元． 总付款为元， 因此：当时，， 解得：，符合． 当时，， 解得：，符合． 故A团有人或人． 故答案为：或． 【练习3】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费：每月用电不超过180度时，按每度元计费：每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度元计费．收费标准如表： 用电量 不超过180度 超过180度但不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)若小明家9月用电量为160度，则他们家9月的电费是_ 元； 若小明家10月用电量为230度，则他们家10月的电费是_元． (2)若小明家11月用电量为度；请用含的代数式表示他们家11月应缴的电费； (3)若小明家12月缴的电费166元，则该月小明家用电量是多少？ 【答案】(1)80，120； (2)当时，电费是元；当时，电费是元； (3)12月用电量为度． 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）根据表格计算即可； （2）分情况作答即可； （3）求出12月电费所在位置，进而列方程计算即可． 【详解】（1）解：（元） ∴9月的电费是80元； （元） ∴10月的电费是120元； 故答案为：80，120； （2）解：依题意，当时，电费是元； 当时，电费是元； （3）解：由（1）知12用电量大于230度， 当， ； 可知12用电量在第三档， 设12月用电量为度， 则， 解得：， 即12月用电量为度． 【题型6】积分问题 【典例1】“思奇阅读”倡导“阅读即思考，思考即创造”．七年级（1）班统计图书角借阅情况：科普类书籍每本借阅一次计4分，文学类书籍每本借阅一次计3分．本月这两类书籍共被借阅50次，累计积分达175分．设科普类书籍借阅x次，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设科普类书籍借阅x次，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设科普类书籍借阅x次，根据题意得： ． 故选：A 【练习1】有14个队参加的足球循环赛中（每两队之间比一场），胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，某队所胜场数比所负场数多2场，共积分20分，则该队负（    ）场 A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用等知识，设负场数为x，根据总积分20分列出方程，解方程即可求解﹒ 【详解】解：设负场数为x， 由题意得， 解得﹒ 答：该队负3场﹒ 故选：A 【练习2】年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼地举行．本次比赛共有支球队参赛，分为两个阶段．第一阶段采用单场循环赛，支球队每支球队都要和其他球队赛一场，最后根据积分产生“八强”；第二阶段采用淘汰赛，晋级“八强”的支球队只要输了一场比赛即被淘汰出局，最终胜出者为冠军．算一算，按照这个规则，本次“苏超”共要比赛 _______ 场． 【答案】 【分析】本题主要考查的知识点是组合问题和淘汰赛赛制的比赛场次计算．先计算第一阶段单场循环赛的比赛场次，再计算第二阶段淘汰赛的比赛场次，最后将两阶段场次相加得到总场次． 【详解】解：设总比赛场次为场 第一阶段:单场循环赛中，每支球队都要与其他球队比赛一场；每支球队需比赛的场次为球队总数减(不与自己比赛)，支球队共比赛场，但每场比赛被重复计算两次，所以需除以得到实际场次． （场） 第二阶段:淘汰赛中，每场比赛淘汰支球队，要决出冠军需淘汰支球队，因此比赛场次为淘汰球队数， （场） 总场次等于第一阶段循环赛场次加上第二阶段淘汰赛场次， 解得： 答：本次“苏超”共要比赛场． 故答案为：． 【练习3】综合与实践 【问题情境】 某学校七年级举行“迎新年”篮球比赛，七年级共15个班参加比赛，比赛采取单循环赛．下表记录了5支篮球队的积分情况： 班名 比赛场次 胜场 负场 积分 七（2） 14 10 4 24 七（5） 14 9 5 23 七（9） 14 7 7 21 七（11） 14 4 10 18 七（15） 14 0 14 14 【提出问题】 （Ⅰ）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （Ⅱ）某班的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？请说明理由． 【分析问题】 小智：观察积分榜，从七（15）班的比赛数据可以看出，负一场积1分．若设胜一场的积分为分，则根据七（2）班的比赛数据，可以得到方程①__________． 小慧：从七（9）班的比赛数据看，胜一场的积分+负一场的积分共为3分．若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示②__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程③__________． 小聪：根据七（2）班的比赛数据，若设胜一场的积分为分，则负一场的积分用含的式子可以表示为④__________分，再根据七（5）班的比赛数据，还可以列出方程⑤__________． 小明：只要我们求出了负一场和胜一场的积分各是多少分，就能解决的第（Ⅱ）个问题了． 【解决问题】根据上面展示交流的过程，完成下列学习任务： (1)七年级共进行__________场篮球赛；请将上述展示交流过程中，序号处缺少的内容补充出来：①__________；②__________；③__________；④__________；⑤__________； (2)请求出胜一场的积分； (3)请你帮助小明，解决提出的第（Ⅱ）个问题． 【答案】(1)；①；②；③；④；⑤； (2)2分； (3)不能，见解析． 【分析】本题主要考查列代数式、已知代数式求值和解一元一次方程， （1）根据比赛规则即可列式求解；结合题意列出代数式或方程即可； （2）由小智的说法列出一元一次方程求解即可； （3）设一个队胜了m场，则负了场，结合胜场积分等于负场积分列方程求解，进一步判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：， ①， ②， ③， ④=， ⑤； 故答案为：105；①；②；③；④；⑤； （2）解：由小智的说法可得： 解得． 故胜一场的积分是2分； （3）解：不能． 设一个队胜了m场，则负了场． 如果这个队的胜场积分等于负场积分，则得方程， 解得， 因为m的值必须是整数，所以，不符合实际， 故可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分． 【题型7】年龄问题 【典例1】女儿今年岁，母亲今年岁，是否有哪一年母亲的年龄恰好是女儿年龄的倍？ 【答案】有，年后 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设年后母亲年龄是女儿年龄的倍，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设年后母亲年龄是女儿年龄的倍， 由题意得，， 解得， 答：年后，母亲年龄是女儿年龄倍． 【练习1】老师说：“我六分之一的时光是幸福的童年，之后从小学到读完大学花了我年龄一半的时间，随后至今仍十二年如一日地站在讲台上．谁知道我现在的年龄？”老师现在的年龄是_______岁． 【答案】 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系． 不妨设老师现在的年龄为岁，童年的时光+从小学到大学的时间+当老师的时间=现在的年龄； 根据上述等量关系式先列出方程，进而解方程即可． 【详解】解：设老师现在的年龄是岁， 由题意可得， 解得 故答案为：． 【练习2】有一户人家，父亲和儿子同一天过生日，已知父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍，那么现在父子两人各多少岁？再过几年两个人的年龄加起来等于100岁？ 【答案】现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁．再过8年两个人的年龄加起来等于100岁 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解， 解题关键是要读懂题目的意思列出方程． 【详解】解：设现在儿子的年龄为x岁，则现在父亲的年龄为岁． 由题意，得， 解得，则． 设再过年两个人的年龄加起来等于100岁， 根据题意得， 解得． 故现在儿子的年龄为28岁，父亲的年龄为56岁．再过8年两个人的年龄加起来等于100岁． 【练习3】希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两鬓长起细细的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，与世长辞了，根据以上信息，请你算出丢番图的寿命为（   ）岁 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题关键． 设丢番图的寿命为岁，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】解：设丢番图的寿命为岁， 根据题意得，， 解得：， 故选：． 【题型8】数字问题 【典例1】如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， 所以这五个数的和为， A．若，解得，此时左上数字为空，不符合题意； B．若，解得，不符合题意； C．若，解得，不符合题意； D．若，解得，符合题意； 故选：D． 【练习1】“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值等知识，正确进行计算是解题关键．根据“三阶幻方”的知识，分别列出关于x、y的一元一次方程，并求解，然后代入求值即可． 【详解】解：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等： ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 【练习2】将从1到1800的正整数按一定规律排列如图： (1)探究如图“+”框中的5个数： ①设这5个数中间的数为，这5个数的和是240，求是多少？； ②这5个数的和可能是2005吗？___________（填能或不能） (2)数1240排在第___________行，第___________列； (3)若“+”形框中框住的五个数的和记为“S”，则的最大值与最小值的差等于___________． 【答案】(1)①48②能 (2)138；7 (3)8895 【分析】本题主要考查数字的变化规律，列代数式，一元一次方程的应用，解答的关键是理解清楚各数之间的规律． （1）①用含a的式子表示各个数，再求和，从而可求解； ②结合①列方程进行求解即可； （2）不难看出，第n行的最后一个数为，再有，从而可判断1240的位置； （3）根据“+”形框的形状，不难得到“+”形框中最小的数为11，最大的数为1790，从而可求相应的S的值，再求差即可． 【详解】（1）解：观察“+”形框中框住的五个数，中间数为时，上下左右的数分别为， 这5个数的和为， 当这5个数的和为240时，， 解得：， 故答案为：； ②， 解得， 所以，这5个数的和能为2005， 故答案为：能； （2）解：由数表知，每一行都有9个数，则第n行的最后一个数为， 又， 所以，数1240排在第138行，第7列； 故答案为：138；7； （3）解：根据“+”形框的形状，可得“+”形框中最小的数在第二行第二列为11， 最大的数在第199行第8列，为， ∴当最小的数为11时，则这5个数的和； 当最大的数为1790时，则这5个数的和， ∴S的最大值与最小值的差为：， 故答案为：8895． 【练习3】如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数，∵，∴是“快乐数”；又如：四位数，∵，∴不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则m的值为__________． 【答案】3 【分析】本题考查了数字问题（一元一次方程的应用），新定义下的实数运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据“快乐数”的定义，对于四位数，有，，，代入条件建立方程求解． 【详解】解：由题意，得， 即， 整理得， 解得：． 经检验，数字1、5、3、8互不相等且均不为0，符合条件． 故答案为：3． / 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