第18章分式方程的解法热门考点专项练习2025-2026学年人教版八年级数学上册

分式方程的解法专项练习解析 考点一、基本题 考点一、基本题 1、解下列分式方程： (1) ; 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 方程左右两边同时乘得， 解这个整式方程，得． 检验，将代入， ∴是原分式方程的解． (2) ; 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为； (3) ; 【答案】(1) 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键，最后的检验是易错点． 先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 检验：将代入中可得， 所以是原方程的解． (4) ; 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可． 【详解】解：， 化为整式方程，得， 解得， 当时，， 所以是原分式方程的解． (5) ; 【答案】无解； 【分析】本题考查了解分式方程，因式分解，解题的关键是掌握以上运算法则．先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； 【详解】解： 方程的两边同乘，得 解得， 检验：把代入， ∴原方程无解； (6) ; 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：, 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验是分式方程的解； (7) ; 【答案】无解 【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 两边同乘，得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 则原方程无解． (8) ; 【答案】原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键，最后的检验是易错点． 先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； 【详解】解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 是原方程的增根，舍去； 原方程无解． (9) ; 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．先将原方程变形为，再通过去分母，将分式方程转化为一元一次方程，解方程得，最后进行检验即可． 【详解】解：将原方程变形为， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，分母， 原方程的根是． (10) . 【答案】无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． 先去分母，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 2、解关于的方程：. 【答案】当，或时，方程无解；否则 【分析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先化简分式方程，再根据分母的取值情况分析分式方程无解时的值即可求解． 【详解】解： ， ∵当，或时方程无解， ∴，或，时无解， 解得：，或， 综上可得：当，或时，方程无解；否则． 考点二、化成“整式＋分式” 解下列方程： (1) 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握以上知识是解题的关键．先化为整式，再通分，解分式方程，最后检验即可． 详解】解：， 检验：当时， 原方程的根是 (2) ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．先将分式方程变形得，两边通分后再去分母转化为整式方程求解并检验即可． 【详解】解：整理，得， 即， 移项，得， ， 去分母，得， 整理，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 考点三、裂项法 1．解方程． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 2．解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的差，方程即可化简，最后解方程并检验即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 3．观察：，，，… 依据上述规律，解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，解分式方程，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据题意可得，据此把所求式子裂项求解即可； （2）可证明，则可把原方程变形为，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴ ， = = =； （2）解：， ∵， ∴， 整理，得， 即，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 4．观察下列等式： 第1个等式： = ×(1 - ) 第2个等式： = ×( - ) 第3个等式： = ×( - ) 第4个等式： = ×( - ) ．．． (1)请写出第n个等式； (2)计算：； (3)若，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的裂项相消法，解分式方程，解题的关键是通过观察等式规律，将分式拆分为两个分式的差，进而简化计算． （1）观察等式中分母的规律，写出第个等式的裂项形式； （2）利用裂项相消法，将每一项拆分乘两个分式的差，抵消中间项后计算； （3）先按裂项规律拆分式子，抵消后得到关于的方程，求解方程得到的值． 【详解】（1）解∶分母是两个数的乘积，前一个数依次为1，4，7，10，…，可表示为， 后一个数依次为4，7，10，13，…，可表示为， 等式右边均为乘这两个数的倒数差． 因此，第个等式∶ （2）解： ； （3）解： ， 根据题意，， ， ， ∴， 经检验，是原方程的解并符合题意， ∴． 5．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加减法和分式方程的解法，弄清题中的拆项法是解本题的关键． 方程利用拆项法变形后，即可通过解分式方程求出解． 【详解】解：∵ ∴， 整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 故原方程的根是． 6．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；由题意易得，然后方程可进行求解． 【详解】解： ∴ 解得：， 经检验：是原方程的解． 7．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将原分式方程化简为，再去分母，将分式方程转化为整式方程，再解方程即可，注意要验根． 【详解】解： ； 方程的两边同乘，得：， 解得：， 经检验，当时，， ∴原方程的解为：． 考点四、倒数型 1．关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 【答案】(1)或 (2)或，过程见解析 (3)或 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是将方程转化为的形式． （1）由可得，根据题意可得； （2）由（1）的形式即可猜想方程的解；代入原方程判断能否是方程两边相等即可； （3）先将原方程转化为的形式，然后得到或，然后解得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该方程的解为：或； 故答案为：或； （2）解：方程的解为：或， 检验：当时，左边右边，故是方程的解， 当时，左边右边，故也是方程的解； （3）解：将方程左边整理得： ； 方程右边整理为： ； ∴原方程可化为：， ∴或， 解得，或． 2．观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 【答案】(1) (2)，， (3)见解析 【分析】本题考查了数字类规律问题，分式方程的解，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （1）根据题中给出的特征即可得到解答； （2）根据题中给出的特征及其对应的解总结规律即可； （3）将方程的解代入原方程，判断左右两边是否相等即可解答． 【详解】（1）解：的解为：，， 故答案为：，； （2）解：∵①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… ∴第个方程为的解为，， 故答案为，，； （3）证明：当时，左边右边； 当时，左边右边； ∴，均为方程的解． 3．观察下列方程及其解的特征： 的解为； 的解为，； 的解为，； ； 解答下列问题： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)解分式方程． 【答案】(1)，； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了解分式方程，理解并找出题目中的特征是解题的关键． （）根据题中给出的特征即可得到解答； （）根据题中给出的特征即可得到解答； （）先把原方程变形后，利用得出的特征即可解答． 【详解】（1）解：的解为：，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴方程为， 故答案为：； （3）解： ， ∴或， ∴，． 经检验：，为原分式方程的解． 4．下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)，； (3)或 【分析】本题考查了解分式方程． （1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果； （2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果； （3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可； 【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是； 故答案为：； （2）解：猜想关于x的方程的解是，； 故答案为：，； （3）解：， 方程变形得：， 即 ∴或， 解得：或． 5．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查分式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握分式的混合运算是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据材料提示的计算方法计算； （3）根据题意原式变形得，结合材料提示的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，方程 的解是， 故答案为：； （2）解：猜想关于的方程得到或， 故答案为：或； （3）解：， 变形得，，整理得，， ∴或， 解得，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 分式方程的解法专项练习 考点一、基本题 1、解下列分式方程： (1) ; (2); (2) ; (4); (5) ; (6); (6) ; (8); (9) ; (10). 2、 解关于的方程：. 考点二、化成“整式＋分式” 解下列方程： (1) (2)． 考点三、裂项法 1．解方程． 2．解方程：． 3．观察：，，，… 依据上述规律，解决下列问题： (1)计算：； (2)解方程：． 4．观察下列等式： 第1个等式： = ×(1 - ) 第2个等式： = ×( - ) 第3个等式： = ×( - ) 第4个等式： = ×( - ) ．．． (1)请写出第n个等式； (2)计算：； (3)若，求n的值． 5．解方程：． 6．解方程： 7．解方程：． 考点四、倒数型 1．关于的方程： 的解为或； 的解为，； 的解为，； … 根据材料解决下列问题： (1)方程的解是 ； (2)猜想方程的解，并将所得的解代入方程中检验； (3)请用这个规律解关于的方程：． 2．观察下列方程及其解的特征： ①的解为，； ②的解为，； ③的解为，； …… 解答下列问题： (1)第4个方程的解为________． (2)请猜想第个方程为_______；第个方程的解为_______． (3)请根据方程的解的定义验证（2）中猜想的方程的解的正确性． 3．观察下列方程及其解的特征： 的解为； 的解为，； 的解为，； ； 解答下列问题： (1)请猜想：方程的解为 ； (2)请猜想：关于的方程 的解为，； (3)解分式方程． 4．下面是一些方程和它们的解． 的解为，； 的解为，； 的解为，； …… 根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题： (1)的解为______； (2)关于的方程的解为______； (3)试求：关于的方程的解． 5．根据规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程 的解为 方程 的解为 方程 的解为 以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于x 的方程 的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于x 的方程 得到 ________； (3)拓展延伸：由（2）可知，在解方程 时，可变形转化为 的形式求值， 按要求写出你的变形求解过程． 学科网（北京）股份有限公司 $