1.3　反比例函数的应用课件2025-2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的应用，通过回顾面积与长宽、压强公式等数学和物理中的反比例关系，结合科技小组过烂泥地的情景导入，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生发现实际问题中的函数关系。 其亮点在于融合跨学科案例（如物理压强、杠杆定律，生活中的区间测速、气球爆炸）与图表分析，培养学生用数学眼光抽象实际数量关系、用数学思维推理函数性质解决问题、用数学语言（表达式和图像）表达关系的核心素养。通过“分析情境→建模型→解决问题”的小结方法，学生能提升应用意识，教师可高效落实核心素养教学。

1.3　反比例函数的应用 第1章　反比例函数 1 学习目标 【学习目标】 1．能灵活用反比例函数表达式解决一些实际问题． 2．能综合利用方程、反比例函数的知识解决一些实际问题． 3．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力． 【学习重点】 掌握从实际问题中构建反比例函数模型的方法． 情景导入 回顾： 1．利用数学公式建立反比例函数模型，例如当面积一定时，长方形的____与___就是反比例函数关系；当体积一定时，长方形的______与___成反比例． 2．利用物理学公式建立反比例函数模型，物理学中许多公式反映物理量之间的反比例关系，例如p＝ (p表示压强，F表示压力，S表示受力面积)．当压力一定时，_____与_________成反比例．U＝IR(U表示电路的电压、I表示电流、R表示电阻)，当电压一定时，______与______成反比例． 长 宽 底面积 高 压强 受力面积 电流 电阻 自学互研 知识模块一 反比例函数在实际问题中的应用 动脑筋：某科技小组在一次野外考察途中遇到一片烂泥湿地. 为了安全、迅速地通过这片湿地， 他们沿着前进路线铺垫了若干块木板， 构筑成一条临时通道， 从而顺利通过了这片湿地.（1）根据压力F（N）、压强 p（Pa）与受力面积S（m2）之间的关式 ， 请你判断： 当F 一定时， p 是S 的反比例函数吗？ 解：对于 ， 当F 一定时， 根据反比例函数的定义可知， p 是S的反比例函数． 受力面积S（m2） 0.005 0.01 0.02 0.04 压强p（Pa） 解：因为F = 450 N， 所以当S = 0.005 m2时， 由 得p = = 90000（Pa）. 90 000 45 000 22 500 11 250 （2） 若人对地面的压力F = 450 N， 完成下表： （3） 当F = 450 N 时，试画出该函数的图象， 并结合图象分析当受力面积 S 增大时， 地面所受压强 p 是如何变化的. 据此，请说出他们铺垫木板（木板重力忽略不计）通过湿地的道理. 解： 当F = 450 N 时，该反比例函数的表达式为 ，它的图象如图所示. 由图象的性质可知，当受力面积S 增大时， 地面所受压强 p 会越来越小. 因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积，以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地. 6 归纳 在实际问题中的数量关系，通过分析，转化为数学问题中的数量关系，构建反比例函数模型，用函数的思想解决这类问题，另外还要注意学科之间知识的渗透． 这是波义耳于1662年首先用实验研究出的结果，上式通常称为波义耳定律. 议一议：使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？ 在温度不变的情况下，气球内气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数k. 即 pV=k(k为常数，k＞0). 说一说 自学互研 8 （1）在温度不变的情况下，气球内气体的压强p 是它的体积V 的反比例函数吗？写出它的解析式. 自学互研 （2）踩气球时，气球的体积会发生什么变化？ 根据第(1)小题的结果，此时气球内气体的压强会发生什么变化？这是根据反比例函数的哪条性质？ 体积变小，压强增大. 这是根据反比例函数 ， 当k >0且x >0时，函数值随自变量取值的减小而增大. （3） 当气球内气体的压强大到一定程度时，气球会爆炸吗？ 当气球内气体的压强大到一定程度时，气球会爆炸. 自学互研 自学互研 例1　某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能解释他们这样做的道理吗？ 范例 (1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式 p＝ ，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？ 解：(1)对于p＝ ，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数． (2)如人对地面的压力F＝450N，完成下表： 受力面积S(m2) 0.005 0.01 0.02 0.04 压强p(Pa) 解：(2)因为F＝450N，所以当S＝0.005m2时， 由p＝ 得：p＝ ＝90000(Pa) 类似的，当S＝0.01m2时，p＝45000Pa； 当S＝0.02m2时，p＝22500Pa； 当S＝0.04m2时，p＝11250Pa. 90000 45000 22500 11250 (3)当F＝450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理． 解：(3)当F＝450N时，该反比例函数的表达式为p＝ ，它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积，以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地． 范例 例2　小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别是1200N和0.5m. (1)动力F和动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少要多大的力？ (2)若想使动力F不超过第(1)题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 解：(1)由杠杆定律有FL＝1200×0.5，即F＝ . 当L＝1.5时，F＝ ＝400(N)． 即撬动石头至少要400N的力． (2)当F＝ ×400＝200(N)时，L＝ ＝3(m)， ∴3－1.5＝1.5(m)，即要加长1.5m. 思考：你能由此题利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时，动力臂越长越省力吗？ 课堂小结 实际问题中的反比例函数 过程： 分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意： 实际问题中的两个变量往往都只能取非负值； 作实际问题中的函数图像时，横、纵坐标的单 位长度不一定相同 一、 选择题 1.已知蓄电池的电压U为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.下列反映I与R之间函数关系的图象大致是 (　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 2. 新情境·日常生活如图①,区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法.小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下,汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②),已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h,最低车速不得低于60km/h,小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是 (　　) A. 0.1h B. 0.35h C. 0.45h D. 0.5h B 1 2 3 4 5 6 7 8 3. 某气球内充满一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强p(kPa)与气体的体积V(m3)成反比例(如图),则下列说法正确的是 (　　) A. 气球内气体的压强随气体体积的增大而增大 B. 当气球内气体的体积为1m3时,它的压强为90kPa C. 气球内气体的压强p(kPa)关于体积V(m2)的函数表 达式为p=(V>0) D. 若气球内气体的压强大于150kPa时,气球会爆炸, 则气体的体积应不小于0.8m3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 二、 填空题 4. 杠杆平衡时,阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m,动力为FN,动力臂为lm.则动 力F(N)关于动力臂l(m)的函数表达式为　　　　.  5. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数. 已知一款机器狗载重后总质量为60kg时,它的最快移动速度为6m/s;当其载重后总质量为90kg时,它的最快移动速度为　　　　m/s.  F= 4 1 2 3 4 5 6 7 8 6. 如图,一块砖的A,B,C三个面的面积之比是5∶3∶1.若A,B,C三个面分别放在地上,地面所受压强分别为p1,p2,p3,压强的计算公式为p=,其中p是压强,F是压力,S是受力面积,则p1,p2,p3的大小关系为 　　　　　　(用“<”连接). p1<p2<p3 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 三、 解答题 7.某燃气公司计划在地下修建一个容积为Vm3 (V为定值)的圆柱形天然气储存室,储存室的底面积S(m2)与其深度d(m)是反比例函数关系,它的图象如图所示. (1) 求储存室的容积; (1) 由题意,得S与d的反比例函数表达式为S=.把(20, 500)代入,得500=,∴ V=10000.∴ 储存室的容积为 10000m3 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 受地形条件限制,储存室的深度d(m)需要满足16≤d≤25,求储存室的底面积S(m2)的取值范围. (2) 由(1),得S=.当d=16时,S=625;当d=25时,S=400. ∵ 当16≤d≤25时,S随d的增大而减小,∴ 400≤S≤625 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 8. 某品牌饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后,饮水机自动开始加热,且此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)满足一次函数关系,当加热到100℃时自动停止加热,随后水温开始下降,此过程中水温y(℃)与开机时间x(min)成反比例函数关系,当水温降至20℃时,饮水机又自动开始加热,…,重复上述程序(图象如图所示). (1) 分别求出当0<x<8和8<x<t时的函数表达式,并求出t的值. 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 (1) 当0<x<8时,设水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式为y=kx+b.依据题意,得解得∴ 此函数表达式为y=10x+20.当8<x<t时,设水温y(℃)与开机时间x(min)的函数表达式为y=.依据题意,得100=,∴ m=800.∴ y=.当y=20时,20=,解得t=40 1 2 3 4 5 6 7 8 (2) 两次加热之间,水温保持不低于40℃有多长时间? (3) 开机后50min时,水的温度是多少? (2) 对于y=10x+20,当y=40时,40=10x+20,解得x=2.对于 y=,当y=40时,40=,解得x=20.∴ 两次加热之间,水 温保持不低于40℃的时间为20-2=18(min)　 (3) ∵ 50-40=10>8,∴ 对于y=,当x=10时,y==80. ∴ 开机后50min时,水的温度是80℃ 第8题 1 2 3 4 5 6 7 8 $