专题04 数列求和（分组并项求和，裂项相消，错位相减法，倒序相加法）讲义-2026届高三数学一轮复习

专题04数列求和 （分组并项求和，裂项相消，错位相减法，倒序相加法） 必备知识——重基础强方法 数列求和的几种常用方法 一．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝. 二．分组求和法与并项求和法 (1)．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. (2)．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，. 三．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． 4：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 5：对数型 四．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 五．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 一、．教材回归 (1)(人教A选择性必修第二册4.4练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　) A．1 B． C． D． 答案　B 解析　∵an＝＝－，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋－＋…＋－＝.故选B. (2)(人教A选择性必修第二册4.4练习T1改编)数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　) A．－200 B．－100 C．200 D．100 答案　D 解析　S100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.故选D. (3)(人教A选择性必修第二册习题4.3 T3改编)若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 答案　C 解析　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.故选C. (4)在数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝－2，则S100＝________． 答案　－50 解析　根据题意，由a1＝1，a1a2＝－2，得a2＝－2，又a2a3＝－2，得a3＝1，a3a4＝－2，得a4＝－2，…，所以{an}中所有的奇数项均为1，所有的偶数项均为－2，所以S100＝a1＋a2＋…＋a99＋a100＝1－2＋…＋1－2＝50×(－1)＝－50. 专题一　分组法求和 例1(2025天津二模)．已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：；（ii）求数列的前项的和． 解析：　（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为， ，， ，，解得：， ，，，. （2）（i）由（1）得：，， ， ， 令，又，，则， 即，. （ii）记， 则，； 当时，， ； 经检验：，满足， 综上所述：. 【感悟提升】 拆项分组法求和的常见类型 变式训练：1.已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 思路分析:（1）根据与之间的关系分析可知数列为等比数列，即可得；根据题意可得等差数列的公差为，即可得； （2）可得，利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解. 解析　（1）因为， 当时，，得， 当时，则， 两式相减得，，即， 且，可知数列为等比数列，公比， 所以. 设等差数列的公差为， 因为，且，解得， 所以. （2）由（1）知， 设的前项和为 则 . 专题二　并项转化法求和 例2.已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 思路分析:（1）由等比中项的性质可得，即可得到等差数列的通项公式，从而可得等比数列的公比，再由等比数列的通项公式 （2） 结合等差数列以及等比数列的求和公式代入计算，由分组求和法 （3）分为奇数与为偶数讨论，结合并项求和法，代入计算，即可得到结果. 解（1）由为等比数列可得，即， 即，解得或（舍）， 所以， 又的前三项为，即，即， 公比，所以. （2）因为， 则 . （3）因为，即， 设数列的前项和为， 当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述，. 【感悟提升】 并项转化法求和 定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和 适用条件 形如an＝(－1)nf(n)类型，周期型可采用几项合并求解 注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示 变式训练：2已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. 思路分析:（1）由等差数列基本量法建立方程组并求解，进而求出通项公式可得； （2）两两并项应用平方差公式化简后再根据等差数列求和公式可求. 解　（1）设等差数列的公差为， 由，则. 依题意，，即， 解得，，所以. 故. （2）由（1）得，， . 专题三　裂项相消法求和 例3.（2025·河南许昌·三模）在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和，并比较与的大小． 思路分析:（1）由等差数列的定义进行求解； （2）由（1）问得，则，再由裂项求和进行求解． 解　（1）在数列中，，且， ， 是首项为，公差为2的等差数列． （2）由（1）得， 则， ，即， 又符合， ， 故， ． 则对， 又，故． 【感悟提升】 利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝. 变式训练：3.（24-25高二下·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 思路分析:（1）结合题意由以及等差数列的基本量法可得数列的通项；由等比数列下标的性质可得的通项公式； （2）奇数项利用等比数列的求和公式求解，偶数项和由裂项相消法求和，然后再相加可得. 解：（1）由可得， 当时，， 所以，整理可得， 又，所以，即，即公差 当时，，即， 所以数列的通项公式为； 设等比数列的公比为， 由，可得，即， 解得或（舍去）， 所以. （2）奇数项为，对应通项为， 所以， 偶数项为，令可得， 求和为， 所以数列的前项和. 专题四　错位相减法求和 例4.（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 思路分析:（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 解（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 【感悟提升】 1．错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn. 2．错位相减法求和的步骤 3．错位相减法求和的注意事项 注意点一 在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn，特别是等比数列公比为负数的情形 注意点二 等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成 注意点三 经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误 变式训练：4.(2023·河北示范性高中调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，an＋1＝2(Sn＋1)． (1)证明{an}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 思路分析:（1）根据等比数列定义证明，再分奇数偶数求出通项公式即可； （2）应用错位相减法计算再结合单调性证明不等式即可. 解：（1）因为 ， 又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 所以当为偶数时，； 当为奇数且时， ． 也符合上式． 综上所述， （2）由（1）得，则， 可得， 两式相碱，可得 ． 则． 因为， 所以为递增数列， 则， 所以． 专题五　倒序相加法求和 例5.（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 思路分析:（1）得到，由为奇函数，结合； （2）根据指数幂的运算法则，求得，结合倒序相加法. 解　：（1）解：由函数， 可得， 因为为奇函数，则满足，解得， 当时，可得，其定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足题意， 所以实数的值为. （2）解：由函数，可得， 所以， 设， 则 两式相加得 因为，所以，可得，所以 【感悟提升】 倒序相加法的使用策略 策略一 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项和公式的推导即用此方法) 策略二 和对称性有关求和时可用倒序相加，比如函数关于点对称的性质，组合数中C＝C的性质 变式训练：5（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 思路分析:（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 解析　（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04数列求和 （分组并项求和，裂项相消，错位相减法，倒序相加法） 必备知识——重基础强方法 数列求和的几种常用方法 一．公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn＝na1＋d. (2)等比数列的前n项和公式 当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和Sn＝； ②已知等比数列的第1项和公比求前n项和Sn＝. 二．分组求和法与并项求和法 (1)．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. (2)．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，. 三．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 1．1＋2＋3＋4＋…＋n＝. 2．12＋22＋…＋n2＝. 3．裂项求和常用的变形 (1)分式型：＝， ＝， ＝等． (2)指数型：＝－，＝－ 等． 4：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 5：对数型 四．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的． 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 五．倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 一、．教材回归 (1)(人教A选择性必修第二册4.4练习T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝(　　) A．1 B． C． D． (2)(人教A选择性必修第二册4.4练习T1改编)数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)，则该数列的前100项和为(　　) A．－200 B．－100 C．200 D．100 (3)(人教A选择性必修第二册习题4.3 T3改编)若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 (4)在数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝－2，则S100＝________． 专题一　分组法求和 例1(2025天津二模)．已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：；（ii）求数列的前项的和． 【感悟提升】 拆项分组法求和的常见类型 变式训练：1.已知为数列的前项和，满足，数列是等差数列，且，. (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和. 专题二　并项转化法求和 例2.已知等差数列满足：公差 且恰为等比数列 的前三项． (1)求数列 与 的通项公式： (2)若数列 满足：求数列  前n项和 ; (3)求的前n项和 【感悟提升】 并项转化法求和 定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和 适用条件 形如an＝(－1)nf(n)类型，周期型可采用几项合并求解 注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示 变式训练：2已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式及数列的前项和； (2)设，求数列的前项和. . 专题三　裂项相消法求和 例3.（2025·河南许昌·三模）在数列中，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和，并比较与的大小． 【感悟提升】 利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者前面剩几项，后面也剩几项． (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝，＝. 变式训练：3.（24-25高二下·天津·期中）已知数列的前n项和为，且，，数列为等比数列且公比大于0，， (1)求：数列和的通项公式 (2)记，求数列的前项和． 专题四　错位相减法求和 例4.（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【感悟提升】 1．错位相减法求和的适用条件 若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{anbn}的前n项和Sn. 2． 错位相减法求和的步骤 3．错位相减法求和的注意事项 注意点一 在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn，特别是等比数列公比为负数的情形 注意点二 等式右边由第一项、中间n－1项的和式、最后一项三部分组成 注意点三 经常把b2＋b3＋…＋bn这n－1项和看成n项和，把－anbn＋1写成＋anbn＋1导致错误 变式训练：4.(2023·河北示范性高中调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝6，an＋1＝2(Sn＋1)． (1)证明{an}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和Tn. 专题五　倒序相加法求和 例5.（25-26高三上·河南·开学考试）已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 【感悟提升】 倒序相加法的使用策略 策略一 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前n项和公式的推导即用此方法) 策略二 和对称性有关求和时可用倒序相加，比如函数关于点对称的性质，组合数中C＝C的性质 变式训练：5（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 21 学科网（北京）股份有限公司 $