直线与圆、圆与圆的位置关系专题讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与圆、圆与圆的位置关系高考专题，按位置关系判断、弦长计算、切线方程、最值问题等逻辑层次梳理考点，通过知识点落实、基础训练、例题专练及能力提升等环节，帮助学生构建知识网络，突破几何与代数综合应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学眼光观察图形关系，用数学思维推理位置条件，设计“反思总结+分层训练”模式，如切线问题中对比几何法与代数法，培养学生运算能力与推理意识。精选高考真题变式与综合应用题型，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

直线与圆、圆与圆的位置关系专题 高考要求： 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际应用问题. 知识点落实： 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长（弦长公式的推导） (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 基础训练： 直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A.相交且直线经过圆心 B.相切 C.相离 D.相交且直线不经过圆心 详解：圆心到直线的距离d＝＝1<4，且直线3x＋4y＝5不经过点(0，0)，所以直线与圆相交且不经过圆心. 变式训练: （1）直线2x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为(　　) A. B. C. D. （2）圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(　　) A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 反思总结： 灵活应用两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 例题专练： 题型1：直线与圆的位置关系 考点1　位置关系的判断 例1　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离 反思总结： 判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d与r的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 考点2　弦长问题 例2　已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则k等于(　　) A.－ B. C. D.－ 考点3　切线问题 例3　(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为(　　) A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0 C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0 反思总结： 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况. 考点4　直线与圆位置关系中的最值问题 例4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　　.  跟踪训练： (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.y轴被圆C截得的弦长为2 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0 (2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝4上，直线l：4x＋3y－12＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则(　　) A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为2 B.满足·＝0的点P仅有1个 C.点P到直线l距离的最大值为 D.||的最小值是1 题型二　圆与圆的位置关系 例5　(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2恒过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10 C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a< D.当a＝时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 反思总结： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 跟踪训练： (多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是(　　) A.点(1，－1)在圆O2内 B.直线AB的方程为x＋y－1＝0 C.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋ D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB| 能力提升训练： 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程 一、圆中切线问题 1.已知圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P点的切线只有一条，其方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0. 2.已知圆的方程为x2＋y2＝r2，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P点的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 3.已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)过圆上的P0(x0，y0)点的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆外一点(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换. 4.过圆外一点P(x0，y0)引圆(标准方程，一般方程)的切线长度d＝(一般方程)＝(标准方程). 二、常见的圆系方程 1.同心圆圆系 (1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)； (2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0(D2＋E2－4λ>0). 2.过线圆交点的圆系 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0. 3.过两圆交点的圆系 过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0). (1)特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. (2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ[(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)]＝0. 典例： (1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9外一点P(－4，2)，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线AB的方程为　　　　　　.  (2)(2025·张家口模拟)圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切线的方程为　　　　　　　　.  巩固训练 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二上·天津红桥·月考）圆与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 6．（25-26高二上·福建漳州·月考）若圆与圆恰有三条公切线，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 8．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·福建漳州·月考）过点且斜率为的直线与曲线交于不同的，两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．面积的最大值为2 D．当面积取最大值时， 10．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．的取值范围为 B．若，则点在圆内 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆的方程为 11．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知圆，圆，则（   ） A．过点作圆的切线有且仅有2条 B．圆与圆无公共点 C．点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D．圆上到直线的距离为2的点恰有3个 12．（25-26高二上·广东·月考）实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 三、填空题 13．（25-26高二上·四川南充·期中）圆：关于直线：对称后的方程为 . 14．（25-26高二上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为 .    四、解答题 15．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知圆关于直线对称． (1)求常数 (2)已知斜率为的直线与圆交于、两点，若，为坐标原点，求直线的方程． 16．（25-26高二上·天津红桥·月考）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边的中垂线所在直线的方程； (3)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 17．（25-26高二上·天津红桥·月考）若圆被直线所截得的弦长为，求实数的值． 18．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2) 的外接圆方程． 19．（25-26高二上·北京·月考）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程． 20．（25-26高二上·河北·月考）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 21.(2025·赣州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C'是以圆x2＋y2＝1上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆C'交于A，B两点，则当∠ACB最大时，|CC'|＝　　　　.  22.(2024·内蒙古模拟)已知f(x)＝若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则＋…＋＝　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆、圆与圆的位置关系专题 高考要求： 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际应用问题. 知识点落实： 1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r) 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点 d>r d＝r d<r 2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|) 位置关系 图形 量的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.直线被圆截得的弦长（弦长公式的推导） (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2. (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·. 基础训练： 直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是(　　) A.相交且直线经过圆心 B.相切 C.相离 D.相交且直线不经过圆心 详解：圆心到直线的距离d＝＝1<4，且直线3x＋4y＝5不经过点(0，0)，所以直线与圆相交且不经过圆心. 变式训练: （1）直线2x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为(　　) A. B. C. D. 详解:设圆x2＋y2＝2的圆心为C(0，0)，半径r＝，因为C(0，0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，所以|AB|＝2＝2. （2）圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是(　　) A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 详解:∵圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2， 圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9， ∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3， ∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切. 反思总结： 灵活应用两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2). 例题专练： 题型1：直线与圆的位置关系 考点1　位置关系的判断 例1　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离 详解:圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1)，显然<4＝r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A，C正确. 反思总结： 判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d与r的关系判断. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 考点2　弦长问题 例2　已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则k等于(　　) A.－ B. C. D.－ 详解:圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，r＝2，所以圆心C(1，1)到直线l：y＝kx＋3的距离 d＝，而d＝＝1，所以d＝＝1，解得k＝－. 考点3　切线问题 例3　(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为(　　) A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0 C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0 详解：由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－4)－3， 则圆心到切线的距离d＝＝1，可得k＝－， 所以y＝－(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0； 当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切， 综上，切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 反思总结： 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 注意验证斜率不存在的情况. 考点4　直线与圆位置关系中的最值问题 例4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　　.  详解：圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C(1，1)，半径r＝1， 如图，连接PC， 因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝， 所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3， 所以四边形PACB面积的最小值为＝2. 　涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. 跟踪训练： (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有(　　) A.直线l恒过定点(3，1) B.y轴被圆C截得的弦长为2 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0 详解：由已知可得，圆心C(1，2)，半径r＝5， 直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0， 由可得 所以直线l恒过定点(3，1)，A正确； 将x＝0代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2， 所以y轴被圆C截得的弦长为4，B错误； 因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为<5＝r， 所以点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确； 当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线l被圆C截得的弦长最短，则l的斜率k应满足·k＝－1，所以k＝2， 代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D正确. (2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝4上，直线l：4x＋3y－12＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则(　　) A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为2 B.满足·＝0的点P仅有1个 C.点P到直线l距离的最大值为 D.||的最小值是1 详解：点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O的半径为r，过点B作圆O的切线，所以点B到切点的距离为＝2，故A正确； 由中点坐标公式得线段AB的中点为M，由两点间距离公式得|AB|＝5，则以线段AB为直径的圆M的方程为＋(y－2)2＝， 因为|OM|＝， 而－2＝，＋2＝， 满足<<，所以圆M与圆O相交，所以满足·＝0的点P有2个，故B错误； 圆心O到直线l的距离为，半径r＝2，所以点P到直线l距离的最大值为，故C正确； 线段AB的中点为M， 则)， 所以||＝2||， 因为|PM|min＝|OM|－r＝－2＝， 所以||的最小值是1，故D正确. 题型二　圆与圆的位置关系 例5　(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是(　　) A.直线C1C2恒过定点(3，0) B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10 C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a< D.当a＝时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为 详解:由圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R， 可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直线C1C2的方程为y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确； 圆C1的半径r1＝3，又圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R即(x－4)2＋(y＋a)2＝4，a∈R， 圆C2的半径r2＝2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5， |PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B正确； 若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，又|C1C2|＝， 则3－2<|C1C2|<3＋2，即1<<5，解得－<a<，C错误； 当a＝时，两圆相交， 圆C1：(x－1)2＋＝9， 圆C2：(x－4)2＋＝4， 将两方程相减可得公共弦方程为6x－2y－＝0，则C1到直线6x－2y－＝0的距离为 ，则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2，D正确. 反思总结： (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 跟踪训练： (多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是(　　) A.点(1，－1)在圆O2内 B.直线AB的方程为x＋y－1＝0 C.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋ D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB| 详:因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A错误； 因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x＋y－1＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0，故B正确； 圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0的距离d＝，所以圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋，故C正确； 直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比线段AB长的弦，故D错误. 能力提升训练： 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程 一、圆中切线问题 1.已知圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P点的切线只有一条，其方程为x0x＋y0y＋D＋E＋F＝0. 2.已知圆的方程为x2＋y2＝r2，若已知切点P(x0，y0)在圆上，则该圆过P点的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 3.已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)过圆上的P0(x0，y0)点的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (2)过圆外一点(x0，y0)作圆的两条切线，则切点弦方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换. 4.过圆外一点P(x0，y0)引圆(标准方程，一般方程)的切线长度d＝(一般方程)＝(标准方程). 二、常见的圆系方程 1.同心圆圆系 (1)以(a，b)为圆心的同心圆圆系方程为(x－a)2＋(y－b)2＝λ(λ>0)； (2)与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0同心圆的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0(D2＋E2－4λ>0). 2.过线圆交点的圆系 过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0. 3.过两圆交点的圆系 过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0). (1)特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程，两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. (2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过C2，可等价转化为过圆C1和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ[(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)]＝0. 典例： (1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9外一点P(－4，2)，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线AB的方程为　　　　　　.  答案　x＝－ 详解：由题意，切点弦AB所在直线的方程为(－4－1)(x－1)＋(2－2)(y－2)＝9，化简得x＝－. (2)(2025·张家口模拟)圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：(x－5)2＋(y－3)2＝36的公切线的方程为　　　　　　　　.  详解：圆C1的圆心为(1，0)，半径为1，圆C2的圆心为(5，3)，半径为6， 因为|C1C2|＝＝5＝6－1，所以两圆内切，只有一条公切线，将圆C1，C2化为一般式得 C1：x2＋y2－2x＝0， C2：x2＋y2－10x－6y－2＝0， 两式相减得8x＋6y＋2＝0， 即4x＋3y＋1＝0， 所以圆C1，C2的公切线的方程为4x＋3y＋1＝0. 巩固训练 一、单选题 1．（25-26高二上·宁夏·月考）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，由得：， 即， 化简可得：，即点轨迹方程为， 直线的方程为，则圆心到直线的距离为， 点到直线距离最小值为. 故选：D 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）若直线是圆的一条对称轴，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过点，所以，解得． 故选：C 3．（25-26高二上·天津红桥·月考）圆与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 【详解】圆的方程化为标准方程：，圆心为，半径； 圆的方程化为标准方程：，圆心为，半径； 圆心距为：， ，. 因为，即，所以两圆相交. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【详解】直线，即，所以直线恒过点， 圆，即，圆心为，半径， 当最小时，点到直线的距离应最大， 即时，最小，此时，． 故选：C． 5．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【详解】因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 6．（25-26高二上·福建漳州·月考）若圆与圆恰有三条公切线，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】由化为可知：，半径， 由化为可知：，半径， 又因为两圆恰有三条公切线，所以两个圆外切，所以，即， 所以，所以. 故选：D 7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【详解】， 在圆外， 故选：C. 8．（25-26高二上·重庆·期中）已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：C 二、多选题 9．（25-26高二上·福建漳州·月考）过点且斜率为的直线与曲线交于不同的，两点，为坐标原点，则（    ） A． B． C．面积的最大值为2 D．当面积取最大值时， 【详解】由，则，，即， 所以曲线是以原点为圆心，2为半径的半圆， 直线的方程为，即，它们相交于两点，如图所示： 选项A，由圆心到直线距离，得，又由图可知， 所以，故选项A错误； 选项B，显然当直线过圆心时，最大为直径4，所以，故选项B正确； 选项C，由，所以当△面积取最大值时， ，即，故选项C正确； 选项D，当面积取最大值时，， 所以圆心到直线距离，所以， 因为，所以，选项D错误. 故选：BC. 10．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．的取值范围为 B．若，则点在圆内 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆的方程为 【详解】，圆心，半径， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，， 所以，所以点在圆内，故正确； 对于C：当时，，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故错误； 对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆， 所以圆的方程为，故正确； 故选：ABD. 11．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知圆，圆，则（   ） A．过点作圆的切线有且仅有2条 B．圆与圆无公共点 C．点在圆上，点在圆上，则的最大值为12 D．圆上到直线的距离为2的点恰有3个 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，点在圆外，过点作圆的切线有且仅有2条，A正确； 对于B，，即，圆与圆相交，有2个公共点，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，点到直线的距离， 则与直线平行且距离为2的两条平行线中，一条过圆的圆心，另一条与圆相切， 因此圆上到直线的距离为2的点恰有3个，D正确. 故选：ACD 12．（25-26高二上·广东·月考）实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 【详解】曲线的方程可化为，它表示圆心为，半径为的圆. 对于A，表示圆上的点到原点的距离的平方， 则它的最小值为， 此时的最小值是 ，故A正确； 对于B，表示圆上的点与点的连线的斜率， 则该直线的方程为，即 由圆心到直线的距离， 解得，故B正确； 对于C，设是曲线上任意一点， 则到直线的距离为， 所以表示曲线上任意一点到直线的距离的倍， 而圆心到直线的距离， 所以其最小值为，故C错误； 对于D，因为点在圆上， 的斜率为，则过点的切线斜率为， 故切线方程为，即，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 13．（25-26高二上·四川南充·期中）圆：关于直线：对称后的方程为 . 【详解】圆：，圆心，半径， 设圆心关于直线：的对称点为， 则直线与直线垂直， ，，，， 又和的中点为，且中点在直线：上， ，联立，解得， 为所求圆的圆心，半径为， 所求圆的方程为. 故答案为：. 14．（25-26高二上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，圆，圆都与直线：及x轴的正半轴相切.若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为，则直线的方程为 .    【详解】由题意，圆心，都在x轴与直线组成角的角平分线上. 若直线的斜率，则可设，则. 圆心，都在直线上，可设，，， 则：，：， 因为交点在第一象限内， 所以，即 所以m，n是方程的两根，于是. 由，得，则，所以，则直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知圆关于直线对称． (1)求常数 (2)已知斜率为的直线与圆交于、两点，若，为坐标原点，求直线的方程． 【详解】（1）圆圆心为 , 因为圆关于直线对称； 所以圆心在直线上； 所以，解得 （2）由（1）知圆， 设直线的方程为 ， ； 联立方程化简得到； 则， 则 ； 因为，所以， 即，解得 ； 所以直线的方程为. 16．（25-26高二上·天津红桥·月考）的三个顶点分别是、、． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边的中垂线所在直线的方程； (3)求过点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【详解】（1）直线的斜率为：. 设直线的斜率为，则，所以. 又直线过点， 所以边上的高所在直线的方程为，即. （2）边的中点坐标为. 由题意及（1）可知，边的中垂线所在直线的斜率为：. 所以边的中垂线所在直线的方程为，即. （3）设圆心坐标为，则①. 由题意可知，，整理得②. 由①②联立可解得，，，故圆心坐标为. 半径. 故圆的标准方程为：. 17．（25-26高二上·天津红桥·月考）若圆被直线所截得的弦长为，求实数的值． 【详解】圆的圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离为：. 由题意可得，，整理得， 解得或. 18．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知的三个顶点是．求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2) 的外接圆方程． 【详解】（1）因为，则边的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）设三角形ABC的外接圆方程为， 将代入可得， 解得， 所以的外接圆方程为. 19．（25-26高二上·北京·月考）已知圆C的圆心C在直线上，且与直线相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若过点的直线l被圆C截得的弦AB长为6，求直线l的方程． 【详解】（1）设过点且与直线垂直的直线方程为， 因为点在直线上， 即有，解得，即. 因为圆心C也在直线上， 所以由，解得，则圆心，半径， 所以圆C的方程为. （2）因直线l被圆C截得的弦AB长为6，则圆心C到直线l的距离， 当直线l的斜率不存在时，直线l：， 圆心C到此直线的距离为2，半径，弦长为，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设过点的直线斜率为， 则直线方程为，即， 圆心C到此直线的距离，解得，此时直线的方程为. 所以直线l的方程为或. 20．（25-26高二上·河北·月考）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切. (1)求圆的方程； (2)设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）. ①求四边形面积的最大值； ②证明：直线与的交点在定直线上. 【详解】（1）设圆心为，，则圆的方程为， 圆心到直线的距离，解得或（舍去）， 所以圆的方程为. （2）由（1）可知，，设的方程为，，， 联立，消去并整理得， 则，， ①四边形的面积， 令，则，所以， 易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故. ②证明：直线的方程为，直线的方程为， 消去得：， 由韦达定理可知，将此式代入上式得，， 即，解得， 即直线与的交点在定直线上. 21.(2025·赣州模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆C'是以圆x2＋y2＝1上任意一点为圆心，半径为1的圆.圆C与圆C'交于A，B两点，则当∠ACB最大时，|CC'|＝　　　　.  详解： 依题意，在△ABC中，|AC|＝|BC|＝，如图，显然0<|AB|≤2，∠ACB是锐角， sin ， 又函数y＝sin x在上单调递增， 因此当且仅当公共弦AB的长度最大时，∠ACB最大，此时弦AB为圆C'的直径， 在Rt△ACC'中，∠AC'C＝90°，|AC'|＝1， 所以|CC'|＝＝2. 22.(2024·内蒙古模拟)已知f(x)＝若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则＋…＋＝　　　　　.  详解： 当－1≤x≤1时，y＝f(x)＝，即x2＋y2＝1，y≥0， 当x>1时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2， 画出函数图象，如图所示. 若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点， 根据图象知，直线y＝knx与第n＋1个半圆相切，不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为P，连接POn＋1， 所以在Rt△OPOn＋1中，tan∠POOn＋1＝＝kn， kn＝，故， 所以＋…＋ ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $